第二章 《实数》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《实数》单元卷，以基础巩固为核心，融合高空抛物等社会热点与生活应用情境，梯度覆盖无理数、二次根式等核心知识，适配单元复习与运算能力、推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|无理数判断（第1题）、二次根式估值（第2题）、数轴化简（第3题）|结合高空抛物情境（第10题），考查数学眼光观察现实世界| |填空题|6题/18分|平方根（第13题）、新定义运算（第15题）、勾股定理应用（第16题）|设置“美丽实数对”新定义（第15题），培养数学思维| |解答题|7题/72分|二次根式计算（17题）、规律探究（21题）、实际应用（22题）|长方形拼接正方形制作笔筒（22题），体现数学语言表达现实世界|

第二章 《实数》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．实数，，，中，四个数中是无理数为（　　） A． B．0.1 C． D． 2．估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A．2a﹣4 B．2 C．﹣4 D．﹣1 4．若，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6．下列算式中，运算错误的是（ ） A． B． C． D． 7．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（　　） A．36 B．24 C． D．以上皆不对 8．分别把下列各组数中的两数相加，其中和为0的是(　　) A．2和 B．- 2和0 C． 和 D． 和 9．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知a，b都是实数．若，则＝　 　． 12．已知：，则的值为　 　． 13． 9的平方根等于　 　. 14．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是　 　． 15．对于任意不相等的两个实数a，b定义运算“*”如下： 例如：，则8*4=　 　. 16．已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是　 　 三、解答题（共7题，共72分） 17．计算： 18．计算： （1）； （2）． 19．已知某正数x的两个平方根分别是和，y的立方根是．是的整数部分．求的平方根． 20．有理数和无理数统称为实数，我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称（a，b）为“美丽实数对”. （1）若p（a，b）为“美丽实数对”，则a，b应满足的等量关系为　 　； （2）若点p（9，k）是“美丽实数对”，求k的值； （3）若点N（x+5y，5y-x）是“美丽实数对”，求xy的值. 21．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： （1）______；______； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）； （3）利用上面结论，求的值． 22．嘉嘉用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为 900 cm2 的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题. （1）求长方形硬纸片的长和宽. （2）嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为512 cm3 的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用? 若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积. 23．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b． （1）求a，b的值； （2）求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：，，，中，是无理数，，，为有理数，故D正确． 故选：D． 【分析】根据无理数的定义即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：， ∵， ∴． 即的值在1和2之间． 故选：B 【分析】本题以二次根式的混合运算与无理数估值为背景，考查二次根式的除法运算法则以及算术平方根的大小比较。解题的关键是先将原式化简为- 2，再根据 3 < < 4，得出该结果的范围在 1 到 2 之间。 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由数轴可得：1<a<2， ∵a-1>0， ∴|a-1|=a-1， ∵a-3<0， ∴， ∴． 故答案为：A． 【分析】先根据数轴上a的位置得到取值范围1<a<2，再根据a>1判断a-1为正数，去掉绝对值得a-1，再根据a<3判断a-3为负数，利用二次根式性质化简得3-a，最后去括号，合并同类项得到化简结果2a-4． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：已知x=，∵，42=16，且9<10<16， ∴3<<4，即3<4。 故选：C 【分析】本题考查无理数的估算，核心思路是通过平方数确定无理数的范围，利用平方数与被开方数的大小关系判断介于哪两个整数之间，最终得出x的取值范围。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意. 故答案为：D． 【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断可得答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，不符合题意； B、∵，∴B正确，不符合题意； C、∵，∴C正确，不符合题意； D、∵和不是同类二次根式，不能合并，∴D不正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘除以及二次根式的加法的计算方法逐项分析判断即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：设正方形的边长为， ，解得或（负值舍去）， 故答案为：C． 【分析】设正方形的边长为，根据面积建立方程，解方程即可求出答案. 8．【答案】D 【解析】【解答】 解：由题知，因为2+ 所以只有D选项符合题意. 故选： D. 【分析】根据题意，将选项中的各组数相加即可. 9．【答案】A 【解析】【解答】选项A. ，不能化简. 选项B. =3， 选项C. =2 ， 选项D. =3 . 故答案为：A.. 【分析】分别化简各式，然后利用最简二次根式的概念进行判断即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 【分析】将h=90代入公式，结合二次根式性质化简即可求出答案. 11．【答案】-2 【解析】【解答】解：根据题意得 ， 解得a=4，b=-2， ∴ ， 故答案为：-2． 【分析】本题考查非负数的性质以及立方根的定义，由绝对值和偶次根式的非负性，得到，求得a和b的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案. 12．【答案】7 【解析】【解答】解：∵ ∴， ∴ 解得，，， ∴． 故答案为：7． 【分析】根据偶次方，二次根式的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案. 13．【答案】±3 【解析】【解答】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3。 故答案为：±3。 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于9，则这个数就是9的平方根，从而即可得出答案。 14．【答案】 【解析】【解答】解：设表示的数为， 根据题意，得：， 解得：， ∴表示的数是． 故答案为：． 【解答】设表示的数为，根据数轴上两点间距离建立方程，解方程即可求出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】解：根据题目给出的新定义可得： 8*4=． 故答案为：． 【分析】根据题目给出的新定义，将对应数值代入计算即可． 16．【答案】2 【解析】【解答】解：由勾股定理得：另一直角边为， ∴ 此直角三角形的面积为. 故答案为：2. 【分析】由勾股定理得另一直角边为，根据三角形面积公式，计算求解即可. 17．【答案】解：原式= = = 【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简与合并同类二次根式.可拆成，可拆成，分母有理化为；最后合并被开方数相同的项即可. 18．【答案】（1）解： ； ​​​​​​​ （2）解： ． ​​​​​​​ 【解析】【分析】 （1）先对算式中的二次根式进行化简，计算二次根式的乘法运算，最后将同类二次根式合并即可； （2）计算过程中运用平方差公式和完全平方公式化简，再进行二次根式的加减混合运算即可. （1）解： ； （2）解： ． 19．【答案】解：由题可知：， 解得： 所以，， 所以， 因为，， 所以，． 所以， 所以，的平方根是． 【解析】【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到方程，求出的值；再由的立方根是，求出的值；结合z是的整数部分，求出z的值，将其代入带啥时候的值，利用平方根的求法，即可得到答案. 20．【答案】（1）a2-b2=80 （2）解：若点p（9，k）是“美丽实数对”， 则92−k2＝80， 整理得：k2＝1， 则k＝±1； （3）解：若点N（x＋5y，5y−x）是“美丽实数对”， 则（x＋5y）2−（5y−x）2＝80， 整理得：x2＋10xy＋25y2−25y2＋10xy−x2＝80， 则20xy＝80， 那么xy＝4． 【解析】【解答】解：（1）若p（a，b）为“美丽实数对”， 则a2−b2＝80， 故答案为：a2−b2＝80； 【分析】（1）利用“美丽实数对”的定义直接列出算式即可； （2）利用“美丽实数对”的定义可得92−k2＝80，再求出k的值即可； （3）利用“美丽实数对”的定义可得（x＋5y）2−（5y−x）2＝80，再求解即可.​​​​​​​ 21．【答案】（1）， （2）解： 上述各式子的变形规律 为： （3）解：利用第小问结论得， 原式； ； ； ； ． 【解析】【解答】（1）解：解：原式=； 原式=． 故答案为：，； （2） 解：由题可知：． 【分析】（1）第一个式子分子分母同时乘以，然后分母根据平方差进行计算即可，第二个式子分子分母同时乘以，同理进行计算即可； （2）观察题干给出的例题及（1）的结论得出：等式左边是分数形式，分子为1，分母是两个连续正整数的算术平方根的和，右边是这两个连续正整数的算术平方根的差，讲话得到的规律用含n的式子表示出来即可； （3）根据（2）的结论将第一个括号内的各个加数分别变形，然后合并后利用平方差公式计算即可． （1）解：解：原式=； 原式=． （2）解：由题可知：． （3）解：利用第小问结论得， 原式； ； ； ； ． 22．【答案】（1）解：∵正方形纸片的面积为900 cm2， ∴正方形纸片的边长为 30cm， ∵正方形用两张同样大小的长方形硬纸片拼接而成， ∴长方形的长为 30 cm，宽为15 cm. （2）解：∵用该正方形硬纸片制作一个体积为512 cm3 的正方体的无盖笔筒 ∴该正方体的棱长为 ， ∴共需要5个边长为8cm的面，总面积为 ， ∵ ∴该硬纸片够用， ∴剩余的硬纸片面积为900-320=580（cm2）. 【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出边长即可； （2）先求出正方体的棱长，再求出正方体的总面积，最后求解即可. 23．【答案】（1）解：， 的整数部分为3，小数部分为； （2）解：由(1)得， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）先估算出的范围得出，再求解即可； （2）把a，b的值代入计算求解即可。 （1）解：， 的整数部分为3，小数部分为； （2）解：由(1)得， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $