第二章 实数 单元自测培优卷- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级第二章实数单元自测培优卷，45分钟100分，适配基础测试与周测，融合中考真题情境与文化素材，强化数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数大小比较、最简二次根式、数轴与实数|整合2026年山东威海三模等真题，考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|平方根与立方根、秦九韶三斜求积公式|融入文化传承素材，培养模型意识与应用意识| |解答题|7/58|规律探究、实际问题（矩形花圃、巡逻艇航线）|分层设计基础计算与变式拓展，发展推理能力与创新意识|

第二章 实数单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 5．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026·四川广元·三模）如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 10．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）若，则______． 11．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）若，则的值___________． 13．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）一艘巡逻艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到O港．若行驶中巡逻艇的速度为，则A，B之间的距离是__________． 14．（2026·广东广州·中考真题）我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，两条直角边、的长分别为c、a，且满足，求的周长． 16.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简：． 解：原式． 17.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式 （1）； （2）． 18.（8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 19.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 20.（8分）（25-26八年级下·北京西城·期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律. 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例： 特例： 特例： 特例：______填写一个符合上述运算特征的例子； （2）观察、归纳，得出猜想. 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：______. 21.（10分）（25-26八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、无法再化简，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 3．（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 解： ，，且， ，， 解得： ，， ． 4．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 解：由图知， ∴，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 6．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 解：． ． 又． ． 即． ． 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 8．（2026·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026·四川广元·三模）如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【分析】先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 10．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 11．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）若，则的值___________． 【答案】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）一艘巡逻艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到O港．若行驶中巡逻艇的速度为，则A，B之间的距离是__________． 【答案】 【分析】根据巡逻艇行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且，，再根据勾股定理可得，根据题意可知，求出的值，即可求出A，B之间的距离． 解：根据巡逻艇行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且：，， ∴， ∵巡逻艇1小时行驶的距离为， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·广东广州·中考真题）我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 【答案】 【分析】根据，确定最长边，最短边，所求第三边为，将已知条件代入给定公式求解，舍去负根即可． 解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，两条直角边、的长分别为c、a，且满足，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出a和c的值． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求出c和a，再根据勾股定理求出，即可求出答案； 解：， ， ． ， ， ． 16.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简：． 解：原式． 【答案】不正确； 正确解答：由题意得：，， ∴， ∴原式， ， ， ． 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的非负性．先确定m的取值范围，再化简原式即可得出最终化简结果． 解：略 17.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式加减乘除法则是解题的关键，（1）中对二次根式进行化简和分母有理化，化为同类二次根式再进行加减．（2）中对二次根式进行化简和分母有理化，化为最简二次根式再进行乘除． （1）解：原式 ． （2）原式 18.（8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】95 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 解：， ， ， ． 19.（8分）（25-26八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可； （2）先计算括号内的乘法，再计算除法即可． （1）解： ； （2）解： ． 20.（8分）（25-26八年级下·北京西城·期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律. 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例： 特例： 特例： 特例：______填写一个符合上述运算特征的例子； （2）观察、归纳，得出猜想. 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：______. 【答案】（1）；（2）；（3）证明：等式左边右边， 故猜想成立； （4） 【分析】根据所给的特例的形式进行求解即可； 分析所给的等式的形式进行总结即可； 对的等式的左边进行整理，即可求证； 利用中的规律进行求解即可. （1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例 特例 特例 用含的式子表示为：， 故答案为：； （3）略 （4）解： . 故答案为：. 【点拨】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. 21.（10分）（25-26八年级下·山东烟台·期中）课本原题：已知，求的值． （1）请用两种方法解决课本原题； （2）变式探究：若，则代数式的值为（    ） A．4；B．8；C．16；D．20 （3）变式探究：已知，求的值． （4）拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？ 【答案】（1）方法一： ； 方法二： ∵， ∴，， ∴． （2）A （3） （4）2 【分析】（1）一种方法是将x，y的值直接代入；另一种方法是将变形为，再将x，y的值代入求解； （2）将变形为，再将x，y的值代入求解； （3）将变形为，再将的值代入求解； （4）根据可知：小数部分，整数部分，代入求解即可． 解：（1）略 （2）解： ， 故选A； （3）解：∵， ∴， ∴ ； （4）解：由题意得：，， ∴． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，求无理数的整数、小数部分等，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及完全平方公式的变形． 学科网（北京）股份有限公司 $