第1章 勾股定理 单元练习 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上勾股定理单元卷，融合文化传承（如“葭生池中”“赵爽弦图”）与实际应用（梯子下滑、快递驿站选址），覆盖基础巩固与综合能力，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|勾股定理应用、逆定理、勾股数|第4题“葭生池中”体现文化传承，第12题梯子下滑强化应用意识| |填空题|5|面积计算、等腰三角形、弦图规律|第15题弦图面积关联代数变形，第17题罗士琳法则培养推理能力| |解答题|8|直角三角形判断、动点问题、规律证明|第21题快递驿站选址融合轴对称与勾股定理，第25题规律探究发展创新意识|

北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元练习 一．选择题（共12小题） 1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为64，100，则正方形A的面积为（　　） A．6 B．8 C．36 D．164 2．△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=90° B．∠A：∠B：∠C=3：4：5 C．a=3，b=4，c=5 D．c2-a2=b2 3．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 4．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 5．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（　　） A． B．4 C． D． 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+62=102 B．（10-x）2+62=x2 C．x2+（10-x）2=62 D．x2+62=（10-x）2 8．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3-S2=32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 10．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．16 C．18 D．25 11．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=25，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，交BC于点G，则DE的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图，一架梯子AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 二．填空题（共5小题） 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=6，AB=10，则CD的长为 ______ ． 14．如图，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，若腰AB=6，则△ABC的底边BC长为 ______ ． 15．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c,若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则（a+b）2的值为 ______ ． 16．如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为 ______ ． 17．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ______ ． 三．解答题（共8小题） 18．（2026春•同步）在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,若a：b：c=8：15：17．试判断△ABC是不是直角三角形． 19．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE=AB． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）若∠DAC=30°，求∠ACD的度数． 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的面积． 21．如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小红家位于小明家北500米（AC=500米）、东1200米（BC=1200米）的点B处． （1）求小明家离小红家的距离AB； （2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的最小值． 22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE，DB=DC． 试说明：BG2-GE2=EA2． 23．如图所示，小明制作一个模具，AD=4cm,CD=3cm,∠ADC=90°，AB=13cm,BC=12cm,求这个模具的面积． 24．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s,P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP= ______ cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 25．观察下列等式． 第1个等式：（22-1）2+42=52； 第2个等式：（32-1）2+62=102； 第3个等式：（42-1）2+82=172； 第4个等式：（52-1）2+102=262． （1）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 北师大版（2024）八年级上 第1章 勾股定理 单元练习 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、D 8、D 9、A 10、A 11、C 12、B  二．填空题（共5小题） 13、； 14、； 15、25； 16、16； 17、11，60，61；  三．解答题（共8小题） 18、解：∴a：b：c=8：15：17， ∴设a=8x,b=15x,c=17x, ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形． 19、（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC=∠EAD， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°=∠B， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△AED， ∴AC=AD， ∵∠DAC=30°， ∴． 20、解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）可得， ∴ ． 21、解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000……， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 22、证明：如图，连接CG， ∵DB=DC，F为BC的中点， ∴DF⊥BC， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴∠BEA=∠BEC=90°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴EA=EC， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=EC2， ∴BG2-GE2=EA2． 23、解：连接AC， 在△ADC中，∵AD=4cm,CD=3cm,∠ADC=90°， ∴AC2=AD2+CD2， ∴AC= =， ∴S△ACD= ， 在△ABC中，∵AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,52+122=132， 即：AC2+BC2=AB2， 根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴S△ABC=， ∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=30-6=24（cm2）， 答：这个模具的面积是24cm2． 24、解：（1）∵点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒， ∴AP=t cm, ∵AB=16cm, ∴BP=AB-AP=（16-t）cm, 故答案为：（16-t）； （2）点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm,设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ∴BQ=2t, ∵△PQB为等腰三角形时，BP=BQ， ∴16-t=2t, 解得：t= ， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1， 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°． ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=10cm, ∴BC+CQ=22cm, ∴t=22÷2=11（秒）； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2， 则BC+CQ=24cm, ∴t=24÷2=12（秒）； 综上所述：t为11秒或12秒． 25、解：（1）第1个等式：（22-1）2+42=52； 第2个等式：（32-1）2+62=102； 第3个等式：（42-1）2+82=172； 第4个等式：（52-1）2+102=262， 由题中等式的规律可得（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2， 证明：左边=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n+1）2=右边． （2）它的三边长能为勾股数，理由如下： ∵35=36-1=62-1， 把n=6代入，得（62-1）2+（2×6）2=（62+1）2， 即352+122=372， ∴它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 学科网（北京）股份有限公司 $