第1章 勾股定理（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，从夯实基础的“已知两边求第三边”“判断直角三角形”，到进阶拔高的“折叠问题”“弦图计算”，再到创新思辨的“动点最值”“最短路径”，呈现清晰的递进脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，如题型10以“梯子斜靠墙壁”实际问题引导学生用数学眼光观察现实，题型12通过证明线段关系发展推理能力，题型14最短路径问题强化模型意识。基础题巩固公式应用，拔高题提升综合能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

第1章 勾股定理（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 已知直角三角形两直角边求斜边】 1 【题型2 已知斜边和一条直角边求另一条边】 2 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 3 【题型4 勾股树问题】 3 【题型5 勾股定理的证明方法】 5 【题型6 勾股数】 6 【进阶拔高】 6 【题型7 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 6 【题型8 以弦图为背景的计算】 8 【题型9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 9 【题型10 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 10 【题型11 勾股定理与网格问题】 11 【题型12 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 12 【创新思辨】 14 【题型13 动点问题中勾股定理与最值综合】 14 【题型14 求最短路径】 15 【题型15 求构成直角三角形的点】 16 【题型16 勾股定理及其逆定理的综合】 17 【夯实基础】 【题型1 已知直角三角形两直角边求斜边】 【例1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【变式1-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【题型2 已知斜边和一条直角边求另一条边】 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数__________时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【变式3-3】（25-26八年级下·湖北十堰·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 勾股树问题】 【例4】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【题型5 勾股定理的证明方法】 【例5】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【变式5-1】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【变式5-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【题型6 勾股数】 【例6】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【进阶拔高】 【题型7 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 【例7】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【变式7-2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【变式7-3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点． (1)在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 【题型8 以弦图为背景的计算】 【例8】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式8-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【题型9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例9】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式9-1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【变式9-3】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【题型10 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 【例10】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    【变式10-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【变式10-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【题型11 勾股定理与网格问题】 【例11】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【变式11-1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【变式11-2】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 【题型12 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 【例12】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【变式12-1】（2025九年级·甘肃·专题练习）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的中线； ②过点作边上的垂线交于点； (2)上述作法可用于验证阿波罗尼奥斯定理：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边一半的平方和的两倍．即，关于此定理的部分证明过程如下： 证明：设，． ，， … 请按照上面的证明思路，补全余下的证明过程． 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【变式12-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·开学考试）已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【创新思辨】 【题型13 动点问题中勾股定理与最值综合】 【例13】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 【变式13-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【变式13-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【变式13-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题发现： (1)如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． (2)问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． (3)问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 【题型14 求最短路径】 【例14】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【变式14-3】（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【题型15 求构成直角三角形的点】 【例15】（25-26八年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【变式15-1】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E是AC上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，BD的长为________．    【变式15-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【题型16 勾股定理及其逆定理的综合】 【例16】（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【变式16-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为______． 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【变式16-3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 已知直角三角形两直角边求斜边】 1 【题型2 已知斜边和一条直角边求另一条边】 3 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 5 【题型4 勾股树问题】 7 【题型5 勾股定理的证明方法】 10 【题型6 勾股数】 14 【进阶拔高】 16 【题型7 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 16 【题型8 以弦图为背景的计算】 20 【题型9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 23 【题型10 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 27 【题型11 勾股定理与网格问题】 32 【题型12 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 36 【创新思辨】 42 【题型13 动点问题中勾股定理与最值综合】 42 【题型14 求最短路径】 49 【题型15 求构成直角三角形的点】 54 【题型16 勾股定理及其逆定理的综合】 59 【夯实基础】 【题型1 已知直角三角形两直角边求斜边】 【例1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 【变式1-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【答案】5 【分析】由的面积求出正方形的边长，在中，应用勾股定理即可． 【详解】解：过点M作交于点E， 则四边形是矩形， ． 正方形中，， ， 的面积等于8， ． ， 在正方形中，， ，根据勾股定理可得 ． 【题型2 已知斜边和一条直角边求另一条边】 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 【变式2-1】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【答案】 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，进而得到，，，求出的长，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【答案】或 【分析】根据题意，分第三边为斜边和边长为的边是斜边，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：若第三边为斜边，则第三边为； 若边长为的边是斜边，则第三边为； 综上，第三边为或． 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不符合； B选项，最长边为，，，，不符合； C选项，，不能构成三角形，不符合； D选项，最长边为，，，，符合． 【变式3-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【答案】能 【分析】若设c为斜边，由勾股定理得，根据等式的性质可得：，则由勾股定理的逆定理可作出判断． 【详解】设c为斜边，则由勾股定理得：，两边同乘以，得， 即 ，根据勾股定理的逆定理可得能组成直角三角形． 故答案为：能 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，一般地，若线段能组成一个直角三角形，则线段 也能组成一个直角三角形． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数__________时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】17 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于第三条边为整数，需分情况讨论哪条边为斜边． 【详解】解：设第三条线段长为，且为整数， 当为斜边时，由勾股定理得，即 ， 所以，（取正值）； 当为斜边时，由勾股定理得，即 ，，，不是整数，不符合条件； 当为斜边时，由于，不能为斜边，故不存在． 因此，第三条线段的长为． 故答案为：17． 【变式3-3】（25-26八年级下·湖北十堰·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形，故①错误； ②∵，， 又、、能组成三角形， ， ∴， ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形，故②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形，故③正确； ④ ， 能组成直角三角形，故④正确， 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【题型4 勾股树问题】 【例4】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个） 故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A 【变式4-2】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【答案】 【分析】由已知图形得到第n个图形中正方形有个，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第6个图形中正方形有个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个． 【题型5 勾股定理的证明方法】 【例5】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】 解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】略 【题型6 勾股数】 【例6】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【答案】D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【详解】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 【进阶拔高】 【题型7 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 【例7】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【答案】3 【分析】先求出的长，再得出，，，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长是3． 【变式7-2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知，然后根据矩形的性质和中的勾股定理求出，即可解答； （2）设，分别表示出、，然后在中利用勾股定理求出即可；在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把纸片折叠，使点B恰好落在边上， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ． ， ∴， ∴. （2）解：设，则，， 在中， ， 即． 解得．故． 在中，由勾股定理得， ∴ 【变式7-3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点． (1)在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 【答案】(1) 如图所示，点、即为所求； (2)的长为 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交于点，作平分交于点；证明出，即可证明上述作法； （2）由勾股定理求出的长度，得的长度，根据翻折的性质和平行线的性质，证出，令，则，由，得，解得的值，即可得出，线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：作图如下： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴． 【题型8 以弦图为背景的计算】 【例8】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【变式8-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交延长线于，根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得出，，，进而得出，根据含角的直角三角形的性质求出，，进而求出，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式8-2】（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形和全等三角形的性质可证，设，根据勾股定理求出x，再根据面积求解即可． 【详解】解：大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成， ，，， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， 解得， ， ∴阴影部分的面积． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 【题型9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例9】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式9-1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式9-3】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线，矩形的判定和性质，正确添加辅助线是解答本题的关键． 延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q，根据勾股定理得，，，由，，即可得结论． 【详解】解：延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q， ． ，， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，，， ． ． 故答案为：10． 【题型10 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 【例10】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 【变式10-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 【变式10-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 【变式10-3】（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 【题型11 勾股定理与网格问题】 【例11】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）画出所有面积为5的正方形即可． 【详解】（1）略 （2）解：画出所有面积为5的正方形，如图， 共有4个面积为5的格点正方形． 【变式11-1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 【变式11-2】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 【变式11-3】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 【答案】(1)如图1，面积为5 (2)如图2，面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，用线段表示无理数，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为直角三角形，且， ； （2）解：图略， ，，， ． 【题型12 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 【例12】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 【变式12-1】（2025九年级·甘肃·专题练习）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的中线； ②过点作边上的垂线交于点； (2)上述作法可用于验证阿波罗尼奥斯定理：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边一半的平方和的两倍．即，关于此定理的部分证明过程如下： 证明：设，． ，， … 请按照上面的证明思路，补全余下的证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据题意作出的中点，连接，即可求解； ②根据题意过点作边上的垂线交于点； （2）用线段的和差关系变形，结合勾股定理以及等量代换即可证明． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：设，． ，， ∵点D为的中点， ∴ ∴ ． 即 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）略 【变式12-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·开学考试）已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， 将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 结论成立，理由如下： 将绕点旋转至的位置，连接，则：， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，通过旋转构造全等三角形是解题的关键： （1）将绕点旋转，得到，连接，易证为直角三角形，勾股定理得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）将绕点旋转至的位置，连接，同法（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【创新思辨】 【题型13 动点问题中勾股定理与最值综合】 【例13】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 【答案】2 【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，，可得当共线时，的值最小，即等于的长，则，过点作交的延长线于点，设，可得，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当共线时，的值最小，即等于的长， ∴， 过点作交的延长线于点， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的最小值是2． 【变式13-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点B作，且，，构造矩形，证明，推出，则，当A，N，E三点共线时等号成立，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作，且，，连接， ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， ，． 在和中， ， ， ， ，当A，N，E三点共线时等号成立，连接 ，，， ， 的最小值为． 【变式13-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】通过构造全等三角形，将的长度转化为关于线段长度的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点， ， ， ， ， 过点作交直线于点， ， ， 又在 中，， ， 在 和 中 ， ， ， ， 设，则， 点在直线上，点在直线上，， ， 在 中，， ， 当时，取得最小值 4， 的最小值为2． 【变式13-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题发现： (1)如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． (2)问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． (3)问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 【答案】(1)5 (2) (3)能，最大值为，此时的面积为 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可得出结果； （2）连接并延长使，连接，证明，，推出为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （3）如图所示，连接并延长使，连接，证明为等腰直角三角形，得到，得到，进而得到当M在延长线上时，最大，最大值为，再利用勾股定理求得，即可求得面积． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴的最大值为5； （2）解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， 即； 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， 同理为等腰直角三角形， N为中点， ， 在中 ， ， ； （3）解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， ， 在五边形中，， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ∴ ，， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴当M在延长线上时，最大，此时，即最大值为，如图， 在中，， 在中，， ， ， ∴. 【题型14 求最短路径】 【例14】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 【变式14-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱柱展开，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度， 三棱柱的高为，底面边长为， ∴灯带的长度至少为：． 【变式14-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 【变式14-3】（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 【题型15 求构成直角三角形的点】 【例15】（25-26八年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式15-1】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E是AC上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，BD的长为________．    【答案】4或 【详解】①当时，如解图①，可得，，，，，，，，，；②当时，如解图②，过点作于点，则，，，，，，，∴，，∴，∴；不可能为直角．综上所述，的长为4或．      【变式15-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 【题型16 勾股定理及其逆定理的综合】 【例16】（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式16-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 【变式16-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式16-3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，再由等边三角形的性质与判定得，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，证明，得到；再证明，由勾股定理得到，则； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，推出，证明，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $