第1章 勾股定理与折叠问题、勾股定理与最短路径问题讲义-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理与折叠问题、最短路径问题两大核心考点，系统梳理折叠的轴对称本质及勾股定理结合逻辑，构建等量关系与常见模型，同时解析最短路径的立体展开原理及勾股计算方法，形成递进式学习支架。 资料以结构化解题步骤培养数学思维，通过折叠问题设元列方程提升推理与运算能力，立体展开转化平面体现空间观念与几何直观，例题变式选自多地检测题强化模型与应用意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏。

勾股定理与折叠问题、勾股定理与最短路径问题讲义 勾股定理与折叠问题、勾股定理与最短路径问题讲义 考点目录 勾股定理与折叠问题 勾股定理与最短路径问题 考点一 勾股定理与折叠问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 折叠的几何本质 折叠属于轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴；折叠前后的对应图形全等，即对应边长度相等、对应角大小相等；对应点的连线被折痕垂直平分。折叠不改变线段的长度和角的大小，只改变图形的位置。 1. 勾股定理的结合逻辑 折叠通常在矩形、正方形、直角三角形等自带直角的图形中进行，折叠后会形成新的直角三角形；该直角三角形中，部分边长已知，部分边长可通过折叠的等量关系用未知数表示，进而利用勾股定理建立方程，求解未知线段的长度，是方程思想在几何计算中的典型应用。 1. 核心等量关系 · 折叠前后对应边相等：折叠前后重合的边长度相等，是边长转化的核心依据； · 隐藏直角：原图形的直角折叠后仍然是直角，为勾股定理的应用提供前提； · 线段和差：折叠后的线段通常与原图形的边构成和差关系，是设元表示边长的基础。 1. 常见折叠模型 · 矩形顶点折到对边上：折痕过一个顶点，将另一顶点折叠到对边，形成两个连续的直角三角形，先后用勾股定理计算； · 矩形沿对角线折叠：形成等腰三角形与直角三角形组合，利用角平分线+平行线推等腰，再结合勾股计算； · 直角三角形沿中线/高折叠：折叠后顶点落在直角边或斜边上，利用边长关系列勾股方程。 二、解题思路 1. 标记对应量 根据折痕找准对应点、对应边、对应角，将折叠前后相等的边、相等的角在图中标注出来，明确已知的边长和角度。 1. 设未知数 通常设所求的线段长度为 ；利用折叠的边相等关系、线段的和差关系，将相关直角三角形的其余两条边都用含 的代数式表示。 1. 锁定直角三角形 找到一个三边均可表示（已知或含 ）的直角三角形，这是列方程的载体；优先选择已知条件最多、未知数最少的直角三角形。 1. 列方程求解 将直角三角形的三边代入勾股定理 ，列出一元方程；解方程得到未知数的值。 1. 检验合理性 将结果代回图形，验证线段长度是否为正、是否符合图形的边长限制，舍去不符合几何意义的解。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 例3．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 变式2．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 变式3．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质和勾股定理的应用，根据勾股定理列出正确的方程是解决本题的关键． 根据折叠的性质可得，，，设，在中，根据勾股定理求出，最后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴，，， ∴设， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ， ， ， 解得， ∴. 考点二 勾股定理与最短路径问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心原理 平面内两点之间，线段最短。立体图形表面的两点无法直接连接线段，因此通过展开立体表面到同一平面，将空间路径转化为平面内的线段，再用勾股定理计算线段长度，即为最短路径的长度。 1. 勾股定理的作用 展开后，起点与终点的连线作为直角三角形的斜边，立体图形的棱长、底面周长/半周长等作为两条直角边，通过勾股定理 直接算出最短路径长。 1. 常见题型载体与对应展开方式 · 正方体/长方体表面爬行：将相邻的两个面展开到同一平面，形成大长方形，连接两点；长方体有多种不同的展开方式，需分别计算后比较取最小值。 · 圆柱侧面爬行：将圆柱侧面沿高展开为长方形，长方形的一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长（或对应弧长对应的水平长度），两点连线为最短路径。 · 台阶表面爬行：将台阶的所有水平面和竖直面展开成一个大长方形，长为台阶水平总长度，高为台阶竖直总高度，对角线为最短路径。 · 网格最短路径：网格中横向、纵向距离为直角边，斜向路径为斜边，用勾股定理计算长度。 1. 拓展：将军饮马型最短路径 通过对称将折线路径转化为两点之间的线段，最终仍通过勾股定理计算总长度，核心仍是“两点之间线段最短”。 二、通用解题步骤 1. 定起止点：明确起点和终点在立体图形上的具体位置（顶点、棱中点、面上某点）。 1. 展平表面 将起点和终点所在的两个相邻表面，展开到同一个平面内；若有多种展开方式，要全部罗列，避免遗漏最短的情况。 1. 连线段构直角 连接起点与终点，该线段即为平面内的最短路径；以该线段为斜边，结合展开图形的边长，构造出直角三角形，确定两条直角边的长度。 1. 计算路径长 代入勾股定理计算线段的长度；若有多种展开方式，分别计算后比较大小，取最小值即为最短路径。 1. 验证路径可行性 确认线段全程都落在展开的表面上，没有超出图形边界，保证路径可在原立体表面实现。 三、典型载体的注意要点 · 长方体：三个不同的展开方向（分别沿长、宽、高展开），对应三组不同的直角边，必须全部计算再比较； · 圆柱：若爬行路径不绕满一圈，水平长度对应底面弧长，而非完整周长； · 台阶：直角边分别是“所有台阶的水平宽度之和”与“所有台阶的竖直高度之和”，与台阶数量无关。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 例2．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将长方体木条的侧面展开，把问题转化为平面上两点间的最短路径问题，再利用勾股定理计算出最短路径的长度． 【详解】解：如图，将长方体木条的侧面及地面展开，得到新的长方形，其长为，宽为． 蚂蚁从点爬到点的最短路径为展开图中线段的长度，， 由勾股定理得： ， ∴一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走． 例3．（25-26八年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 变式2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的勾股定理的实际应用，平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即：所用彩条最短长度是41． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理与折叠问题、勾股定理与最短路径问题讲义 勾股定理与折叠问题、勾股定理与最短路径问题讲义 考点目录 勾股定理与折叠问题 勾股定理与最短路径问题 考点一 勾股定理与折叠问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 折叠的几何本质 折叠属于轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴；折叠前后的对应图形全等，即对应边长度相等、对应角大小相等；对应点的连线被折痕垂直平分。折叠不改变线段的长度和角的大小，只改变图形的位置。 1. 勾股定理的结合逻辑 折叠通常在矩形、正方形、直角三角形等自带直角的图形中进行，折叠后会形成新的直角三角形；该直角三角形中，部分边长已知，部分边长可通过折叠的等量关系用未知数表示，进而利用勾股定理建立方程，求解未知线段的长度，是方程思想在几何计算中的典型应用。 1. 核心等量关系 · 折叠前后对应边相等：折叠前后重合的边长度相等，是边长转化的核心依据； · 隐藏直角：原图形的直角折叠后仍然是直角，为勾股定理的应用提供前提； · 线段和差：折叠后的线段通常与原图形的边构成和差关系，是设元表示边长的基础。 1. 常见折叠模型 · 矩形顶点折到对边上：折痕过一个顶点，将另一顶点折叠到对边，形成两个连续的直角三角形，先后用勾股定理计算； · 矩形沿对角线折叠：形成等腰三角形与直角三角形组合，利用角平分线+平行线推等腰，再结合勾股计算； · 直角三角形沿中线/高折叠：折叠后顶点落在直角边或斜边上，利用边长关系列勾股方程。 二、解题思路 1. 标记对应量 根据折痕找准对应点、对应边、对应角，将折叠前后相等的边、相等的角在图中标注出来，明确已知的边长和角度。 1. 设未知数 通常设所求的线段长度为 ；利用折叠的边相等关系、线段的和差关系，将相关直角三角形的其余两条边都用含 的代数式表示。 1. 锁定直角三角形 找到一个三边均可表示（已知或含 ）的直角三角形，这是列方程的载体；优先选择已知条件最多、未知数最少的直角三角形。 1. 列方程求解 将直角三角形的三边代入勾股定理 ，列出一元方程；解方程得到未知数的值。 1. 检验合理性 将结果代回图形，验证线段长度是否为正、是否符合图形的边长限制，舍去不符合几何意义的解。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 例3．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 变式2．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 变式3．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 考点二 勾股定理与最短路径问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心原理 平面内两点之间，线段最短。立体图形表面的两点无法直接连接线段，因此通过展开立体表面到同一平面，将空间路径转化为平面内的线段，再用勾股定理计算线段长度，即为最短路径的长度。 1. 勾股定理的作用 展开后，起点与终点的连线作为直角三角形的斜边，立体图形的棱长、底面周长/半周长等作为两条直角边，通过勾股定理 直接算出最短路径长。 1. 常见题型载体与对应展开方式 · 正方体/长方体表面爬行：将相邻的两个面展开到同一平面，形成大长方形，连接两点；长方体有多种不同的展开方式，需分别计算后比较取最小值。 · 圆柱侧面爬行：将圆柱侧面沿高展开为长方形，长方形的一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长（或对应弧长对应的水平长度），两点连线为最短路径。 · 台阶表面爬行：将台阶的所有水平面和竖直面展开成一个大长方形，长为台阶水平总长度，高为台阶竖直总高度，对角线为最短路径。 · 网格最短路径：网格中横向、纵向距离为直角边，斜向路径为斜边，用勾股定理计算长度。 1. 拓展：将军饮马型最短路径 通过对称将折线路径转化为两点之间的线段，最终仍通过勾股定理计算总长度，核心仍是“两点之间线段最短”。 二、通用解题步骤 1. 定起止点：明确起点和终点在立体图形上的具体位置（顶点、棱中点、面上某点）。 1. 展平表面 将起点和终点所在的两个相邻表面，展开到同一个平面内；若有多种展开方式，要全部罗列，避免遗漏最短的情况。 1. 连线段构直角 连接起点与终点，该线段即为平面内的最短路径；以该线段为斜边，结合展开图形的边长，构造出直角三角形，确定两条直角边的长度。 1. 计算路径长 代入勾股定理计算线段的长度；若有多种展开方式，分别计算后比较大小，取最小值即为最短路径。 1. 验证路径可行性 确认线段全程都落在展开的表面上，没有超出图形边界，保证路径可在原立体表面实现。 三、典型载体的注意要点 · 长方体：三个不同的展开方向（分别沿长、宽、高展开），对应三组不同的直角边，必须全部计算再比较； · 圆柱：若爬行路径不绕满一圈，水平长度对应底面弧长，而非完整周长； · 台阶：直角边分别是“所有台阶的水平宽度之和”与“所有台阶的竖直高度之和”，与台阶数量无关。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 例2．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 例3．（25-26八年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 变式2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $