第15章 轴对称（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学轴对称单元复习讲义通过题型归纳系统构建知识体系，从夯实基础的轴对称图形判断、对称轴找法，到进阶拔高的垂直平分线证明、将军饮马问题，再到创新思辨的动点与轴对称综合求最值，形成递进脉络，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如等腰三角形已知两边求周长培养抽象能力，进阶题型如利用轴对称性质证明提升推理意识，创新题型如直线上等腰三角形存在性问题发展空间观念。每个题型配例题与变式，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

第15章 轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 2 【题型3 利用轴对称性质求解】 3 【题型4 线段垂直平分线的性质求解】 4 【题型5 线段垂直平分线的判定】 6 【题型6 尺规作线段的垂直平分线】 7 【题型7 成轴对称的两个图形的识别】 8 【题型8 画轴对称图形】 9 【题型9 求点关于坐标轴对称的坐标】 10 【题型10 等腰三角形已知两边求周长】 11 【题型11 等腰三角形已知一角求其他角】 11 【题型12 等边三角形求边长或周长】 12 【题型13 含30°直角三角形求边长】 12 【进阶拔高】 13 【题型14 利用垂直平分线证明】 13 【题型15 利用轴对称性质证明】 15 【题型16 等腰三角形与垂直平分线综合】 16 【题型17 等腰三角形中的分类讨论】 16 【题型18 等边三角形中的证明】 17 【题型19 与含30°直角三角形有关的证明】 18 【题型20 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 20 【题型21 镜面对称】 21 【题型22 等腰三角形与角平分线综合】 21 【题型23 尺规作垂直平分线并证明】 22 【题型24 坐标轴对称与图形变换综合】 24 【题型25 等边三角形与全等三角形综合】 25 【创新思辨】 26 【题型26 动点与轴对称综合求最值】 26 【题型27 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 27 【题型28 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 28 【题型29 等边三角形与旋转综合探究】 29 【题型30 轴对称与全等三角形综合证明】 31 【题型31 含30°直角三角形与动点综合】 32 【题型32 轴对称与坐标系综合探究】 34 【题型33 等腰三角形存在性问题】 35 【夯实基础】 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·甘肃陇南·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 【例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【题型3 利用轴对称性质求解】 【例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【题型4 线段垂直平分线的性质求解】 【例4】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【变式4-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型5 线段垂直平分线的判定】 【例5】（25-26七年级下·上海·期末）已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． (1)求证：； (2)求证：点在边的垂直平分线上． 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式5-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式5-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【题型6 尺规作线段的垂直平分线】 【例6】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，请在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型7 成轴对称的两个图形的识别】 【例7】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【变式7-2】（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式7-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【题型8 画轴对称图形】 【例8】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【变式8-2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出，使和关于x轴对称． (2)直接写出点B关于点A的对称点的坐标． 【变式8-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 【题型9 求点关于坐标轴对称的坐标】 【例9】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 【变式9-1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【变式9-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点A，B，C，D，建立平面直角坐标系，使点A、点B关于x轴对称，且点A与点D的横坐标互为相反数，则点C的坐标是____________． 【题型10 等腰三角形已知两边求周长】 【例10】（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_________； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是_______． 【变式10-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【变式10-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形一边为8，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．不能确定 【变式10-3】（专题04生活的轴对称（考题猜想，易错必刷43题11种题型专项训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【题型11 等腰三角形已知一角求其他角】 【例11】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式11-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等䐵三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【变式11-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 【变式11-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型12 等边三角形求边长或周长】 【例12】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）若等边三角形的边长为4，则连接各边中点所成的三角形的周长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．1 【变式12-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 【变式12-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 _________． 【变式12-3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【题型13 含30°直角三角形求边长】 【例13】（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【变式13-1】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 【变式13-2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【变式13-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【进阶拔高】 【题型14 利用垂直平分线证明】 【例14】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，是的垂直平分线，是的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【变式14-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：平分． 【变式14-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，点在线段上，垂直平分垂直平分，已知． (1)求证：； (2)分别连接，，求证：． 【变式14-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【题型15 利用轴对称性质证明】 【例15】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． (1)连接，求证：． (2)当时，求的度数． (3)若，求证：． 【变式15-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，与相交于点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式15-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD． (1)如图1，过点A作AECD交BD于点E，求证：AE＝BE； (2)如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【题型16 等腰三角形与垂直平分线综合】 【例16】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 【变式16-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【变式16-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【变式16-3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 【题型17 等腰三角形中的分类讨论】 【例17】（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【变式17-1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【变式17-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为________． 【题型18 等边三角形中的证明】 【例18】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，和都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【变式18-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【变式18-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：平分； (3)若，求证：． 【变式18-3】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图1，在等边中，点、分别是、上的点，且，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，点在的延长线上．求证：； (3)如图3，若点是的中点，连接、．求证：． 【题型19 与含30°直角三角形有关的证明】 【例19】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【变式19-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 【变式19-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【变式19-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若是等边三角形，求证：． 【题型20 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 【例20】（25-26八年级上·广西百色·期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【变式20-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点、之间的距离的最小值是________，取得最小值时的度数是________． 【变式20-2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【变式20-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【题型21 镜面对称】 【例21】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式21-1】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【变式21-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____． 【变式21-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 【题型22 等腰三角形与角平分线综合】 【例22】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【变式22-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式22-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【题型23 尺规作垂直平分线并证明】 【例23】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 【变式23-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式23-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【变式23-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 【题型24 坐标轴对称与图形变换综合】 【例24】（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为____． 【变式24-1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【变式24-2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 【变式24-3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【题型25 等边三角形与全等三角形综合】 【例25】（25-26七年级下·上海·期末）如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： (1)； (2)． 【变式25-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【变式25-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式25-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【创新思辨】 【题型26 动点与轴对称综合求最值】 【例26】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）．    【变式26-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在边长为8cm的等边中，点D从A出发沿方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以为边作等边，点N为线段上一动点，点M为的中点，连、，当最小时，线段的长度为 _____cm． 【变式26-2】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______．      【变式26-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是_________． 【题型27 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例27】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．    【变式27-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【变式27-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知中，，．试用直尺和圆规在延长线上找一点，使得是等腰三角形．请找出所有的点，并且分别标出顶角和底角的度数．（如有需要可以自己画备用图） 【变式27-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【题型28 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 【例28】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【变式28-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式28-2】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【变式28-3】（25-26七年级下·上海静安·期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 【题型29 等边三角形与旋转综合探究】 【例29】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 【变式29-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式29-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【变式29-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【题型30 轴对称与全等三角形综合证明】 【例30】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【变式30-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上，点B关于CD的对称点为E，BE交CD于点G．AE与CD的延长线交于点F，连接CE，BF． (1)求证：∠CAE=∠CEA； (2)若BD<AD，求∠AFC的度数； (3)若AD=BC，求证：EF=DF． 【变式30-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【变式30-3】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【题型31 含30°直角三角形与动点综合】 【例31】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 【变式31-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【变式31-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）若，则___________； （2）若为等边三角形，则___________． 【变式31-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 【题型32 轴对称与坐标系综合探究】 【例32】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【变式32-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中有一“凹”字图形，已知，，，，现将一根长且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，按照的顺序紧绕在“凹”字上，若坐标系的单位长度为，则细线绕完后另一端点所在的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式32-2】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【变式32-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知正方形ABCD，顶点 A （1，3）、B （1，1）、C （3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为_____． 【题型33 等腰三角形存在性问题】 【例33】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________． 【变式33-1】（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 【变式33-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻是以为其中一个底角的等腰三角形，则此时与的数量关系为______． 【变式33-3】（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 3 【题型3 利用轴对称性质求解】 5 【题型4 线段垂直平分线的性质求解】 7 【题型5 线段垂直平分线的判定】 11 【题型6 尺规作线段的垂直平分线】 15 【题型7 成轴对称的两个图形的识别】 17 【题型8 画轴对称图形】 19 【题型9 求点关于坐标轴对称的坐标】 24 【题型10 等腰三角形已知两边求周长】 25 【题型11 等腰三角形已知一角求其他角】 29 【题型12 等边三角形求边长或周长】 31 【题型13 含30°直角三角形求边长】 34 【进阶拔高】 36 【题型14 利用垂直平分线证明】 36 【题型15 利用轴对称性质证明】 41 【题型16 等腰三角形与垂直平分线综合】 47 【题型17 等腰三角形中的分类讨论】 52 【题型18 等边三角形中的证明】 56 【题型19 与含30°直角三角形有关的证明】 64 【题型20 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 70 【题型21 镜面对称】 75 【题型22 等腰三角形与角平分线综合】 77 【题型23 尺规作垂直平分线并证明】 81 【题型24 坐标轴对称与图形变换综合】 86 【题型25 等边三角形与全等三角形综合】 92 【创新思辨】 97 【题型26 动点与轴对称综合求最值】 97 【题型27 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 102 【题型28 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 105 【题型29 等边三角形与旋转综合探究】 109 【题型30 轴对称与全等三角形综合证明】 117 【题型31 含30°直角三角形与动点综合】 124 【题型32 轴对称与坐标系综合探究】 130 【题型33 等腰三角形存在性问题】 133 【夯实基础】 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 【变式1-3】（2024·甘肃陇南·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 【例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【答案】解：如图所示即为所作． 【详解】略 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 【题型3 利用轴对称性质求解】 【例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 【题型4 线段垂直平分线的性质求解】 【例4】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 【变式4-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型5 线段垂直平分线的判定】 【例5】（25-26七年级下·上海·期末）已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． (1)求证：； (2)求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】(1)证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：由（1）可知，， ，， ， ∴， ， ，即， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出，再用等腰三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)是的平分线上一点，，， ， ∵， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； (2)是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出，确定，，确定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型6 尺规作线段的垂直平分线】 【例6】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，请在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】作的垂直平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 【变式6-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示即为所求， 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，则点D即为所求，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】略 【题型7 成轴对称的两个图形的识别】 【例7】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【变式7-2】（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式7-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【题型8 画轴对称图形】 【例8】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 【变式8-2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出，使和关于x轴对称． (2)直接写出点B关于点A的对称点的坐标． 【答案】(1) 解：如图为所求： (2) 【分析】（1）解题的关键是利用关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，找到对称点，再依次连接起来． （2）解题的关键是对称点与对称中心三点共线，且对称中心是对称点所连线段的中点． 【详解】（1）略 （2）解：如图，点是点关于点的对称点，由图可知． 【变式8-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求，则． 【分析】（1）根据与关于轴对称可确定y轴的位置，根据点B的坐标确定x轴的位置和原点的位置即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得到点，的坐标，据此描点，连线作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9 求点关于坐标轴对称的坐标】 【例9】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a和b的值，再计算即可． 【详解】解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 【变式9-1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. 【变式9-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点A，B，C，D，建立平面直角坐标系，使点A、点B关于x轴对称，且点A与点D的横坐标互为相反数，则点C的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是：根据已知条件确定轴、轴的位置． 根据点和点关于轴对称，可确定轴的位置，根据点与点的横坐标互为相反数，可确定轴的位置，即可求解． 【详解】解： 点和点关于轴对称，点与点的横坐标互为相反数， 确定坐标系，如图： 由图可知，点坐标为：， 故答案为：． 【题型10 等腰三角形已知两边求周长】 【例10】（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_________； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是_______． 【答案】 19 7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）分当腰长为，底边长为和当腰长为，底边长为时两种情况； （2）因为已知给出的边为，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的两条边长分别为，， 当腰长为，底边长为时，等腰三角形的周长； 当腰长为，底边长为时，，不能构成三角形， ∴等腰三角形的周长； 故答案为：19； （2）解：当长为的边为底时，其它两边都为， 三边长是：，，，腰长是； 当长为的边为腰时，其它两边为和， ∵ ，所以不能构成三角形． ∴腰长是． 故答案为：． 【变式10-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【变式10-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形一边为8，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次方程、等腰三角形的性质及三角形的三边关系，关键是通过三边关系排除不成立的情况．先解方程得另一边边长，根据等腰三角形的定义与三角形的三边关系，判断第三边的长度，进而求等腰三角形的周长． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即另一边长为4， 若第三边为8，则三边长分别为8，8，4， ∵ ，，满足三边关系， 等腰三角形的周长为； 若第三边为4，则三边为4，4，8， ∵ ，不满足两边之和大于第三边， 故舍去； 综上，这个等腰三角形的周长为． 故选：B． 【变式10-3】（专题04生活的轴对称（考题猜想，易错必刷43题11种题型专项训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【答案】(1)，， (2)，． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用. （1）设底边，则，根据三角形的周长是，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出答案． （2）设，，根据中线将的周长分为两部分，得出两部分的长度，然后列出关于a，b的二元一次方程并求解，然后分2种情况讨论，并根据三角形的三边关系得出正确的答案． 【详解】（1）解：如下图： 设底边，则， ∵三角形的周长是， ∴， ∴，， 答：等腰三角形的三边长是，，． （2）如下图： 设，， ∵中线将的周长分为两部分，，， ∴，或，， 解得：，或，， 当，时， ∴三角形三边长是，，， 因为，不符合三角形三边关系定理， ∴此种情况舍去， 当，，时， 三角形的三边长是，，， 符合三角形的三边关系定理， 综合上述：符合条件的三角形三边长是，，， 答：等腰三角形的边长是，．． 【题型11 等腰三角形已知一角求其他角】 【例11】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当为顶角时：底角度数为 ； 当为底角时：另一底角也为，顶角为 ， 综上，底角可能为或， 故选：C． 【变式11-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等䐵三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．设顶角的度数是，和设顶角的度数是，然后根据三角形内角和定理，列式计算即可作答．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况． 【详解】解：依题意， 设顶角的度数是，则有：， 解得：， 所以顶角度数是：； 设顶角的度数是， 则有：， 解得：， 则有顶角度数是：， 综上所述，故顶角的度数是或者． 故选：C． 【变式11-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 如果等腰三角形底角的一个外角是，由邻补角的性质求出它底角的度数是；如果等腰三角形顶角的外角是，由三角形外角的性质求出它底角的度数是，于是得到它底角的度数是或． 【详解】解：如果等腰三角形底角的一个外角是， ∴它底角的度数是； 如果等腰三角形顶角的外角是， ∴它底角的度数是， ∴等腰三角形底角的度数是或． 故选：C． 【变式11-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为； 【详解】解：如图1，当该等腰三角形为锐角三角形时，      ∵，， ∴； 如图2，当该等腰三角形为钝角三角形时，      ∵，， ∴； 综上所述，该等腰三角形顶角的度数是或． 故选C． 【题型12 等边三角形求边长或周长】 【例12】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）若等边三角形的边长为4，则连接各边中点所成的三角形的周长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据题意画出图形（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得的长，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，是边长为4的等边三角形，点分别是边的中点， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，， ∴的周长为， 即连接各边中点所成的三角形的周长是6， 故选：B． 【变式12-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，二元一次方程组的应用，由题意可得，解方程组得，再代入求值即可，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【变式12-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 _________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系． 根据折叠可得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长． 【详解】解：将沿直线折叠，点落在点处， 所以，， 则阴影部分图形的周长为： ． 故答案为：． 【变式12-3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 【题型13 含30°直角三角形求边长】 【例13】（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ． 【变式13-1】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 【答案】5.4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半列出，并求的值即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴树折断之前高为， 故答案为：． 【变式13-2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式13-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【答案】 【分析】求出，，，然后利用含30度直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【进阶拔高】 【题型14 利用垂直平分线证明】 【例14】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，是的垂直平分线，是的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵是的垂直平分线， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∵． ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴． 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据中垂线的性质，得到，，等量代换，即可得出结果； （2）含30度角的直角三角形的性质，得到，证明是等边三角形，得到，中垂线的性质，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； (2) 证明：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形外角性质求出的度数，利用三角形内角和，等边对等角求出，，从而得出结论； （2）根据用三角形内角和，等边对等角求出，在中求出，再根据三角形外角性质求出的度数，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角性质，等边对等角，三角形内角和，等边三角形的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 【变式14-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，点在线段上，垂直平分垂直平分，已知． (1)求证：； (2)分别连接，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 解：连接，， ∵垂直平分垂直平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用等角的余角相等即可证明； （2）连接，，利用三角形内角和定理求得，利用推出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据垂直关系可证得，又根据平行关系可得，即可求解； （2）由已知条件证明，即可证得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，体现了“边、角关系的推导与转化”能力． 【题型15 利用轴对称性质证明】 【例15】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． (1)连接，求证：． (2)当时，求的度数． (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：连接交于点， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴； (2) (3) 连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，通过证明，推导得，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）设，结合题意，得；根据三角形内角和，推导得，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案； （3）连接，根据题意，得，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明，得，，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）设，由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式15-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，与相交于点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和轴对称的性质找到条件，利用证明，即可得到结论； （2）连接，设，则，由轴对称得到，，则，由等边对等角得，由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， ， 关于直线对称， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接，    设，则， 关于直线对称， ，， 由，得： ， 又是的外角， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 【变式15-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD． (1)如图1，过点A作AECD交BD于点E，求证：AE＝BE； (2)如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，结合已知OA＝OC，根据AAS，证明△AOE≌△COD，得出CD＝AE，OD＝OE，由OB＝OD+CD，可得BE＝CD，等量代换即可得证； （2）由AE＝BE，根据等边对等角得出∠ABE＝∠BAE，根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质得出∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE，根据轴对称的性质得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵AEDC， ∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO， 在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（AAS）； ∴CD＝AE，OD＝OE， ∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD， ∴BE＝CD， ∴AE＝BE； （2）证明：由（1）知，AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE， ∵∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE， ∴∠CDO＝2∠ABE， 即∠BDC＝2∠ABD， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； (2)3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． 【题型16 等腰三角形与垂直平分线综合】 【例16】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 【详解】解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故答案为：或． 【变式16-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 【变式16-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【答案】或 【分析】作出图形，分等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种情况进行讨论即可． 计算即可得解． 【详解】解：①如图，是锐角三角形时，是的中垂线，是边上的高，， ∴， 在中， ， 在中， ； ②如图，是钝角三角形时，是的中垂线，是边上的高，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴； ③如图，是直角三角形时，是的中垂线，则是边上的高，这时， 与题意不符，此种情况不存在． 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平角的定义，高的定义，中垂线的定义，等腰三角形的定义等知识．难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【变式16-3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形，如图1， ∵垂直平分，与直线所夹的锐角是， ∴， ∴； 当是钝角三角形，如图2， 同理，∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角度数是或， 故答案为：或． 【题型17 等腰三角形中的分类讨论】 【例17】（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 【变式17-1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题根据新定义，结合等腰三角形性质分类讨论，再利用三角形内角和定理计算，结合锐角三角形的条件舍去不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：设等腰中，，顶角为，底角．根据新定义，分情况讨论如下： 情况1：二分角是顶角的角平分线与一腰的夹角，由定义得， 解得， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 情况2：二分角是底角的角平分线与一腰的夹角． 子情况2.1：二分角是底角的角平分线与该底角所在腰的夹角，可得， 解得， 顶角， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 子情况2.2：二分角是底角的角平分线与另一腰的夹角，即夹角为 设，则，底角平分线分得的角为， 由三角形内角和定理，得， 代入整理得，无符合题意的正解； 若该夹角的邻补角为， 解得，为钝角三角形，不符合题意，舍去． 综上，等腰顶角的度数为或． 【变式17-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ， 是的一个外角， ， ； 当，和位于射线的同侧时，如图： ， ， ； 当时， ， 是的一个外角， ， 此种情况不成立； 当时，如图： ， ， 是的一个外角， ， ； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【题型18 等边三角形中的证明】 【例18】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，和都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：和都是等边三角形， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. (3) 证明：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型是解本题的关键． （1）由和都是等边三角形，得到，再证明，得到，利用全等三角形的性质可得答案． （2）证明，进一步证明，可得结论. （3）证明为等边三角形，进一步解答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式18-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明： 与都为等边三角形， ， ， ， ， ； (2) 证明：设交于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， ， 即； (3) 证明：过点作的延长线于点，如图所示： 由（1）可知，， ，， ， ， ， 平分． 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）设交于点，由（1）可知，，得到，结合对顶角相等，那么，从而推出结论； （3）过点作的延长线于点，证明，得到，从而得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式18-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：平分； (3)若，求证：． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (2) 延长、，相交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分． (3) 在上截取，连接，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ， 由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）通过角平分线，得出，结合，得，即得出三个内角均为，故可证明是等边三角形； （2）延长、，相交于点，证明，得，易证直线为线段的垂直平分线，可以得出为等腰三角形，最后可证明平分； （3）在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证出，得到与、、有关的相等线段后，根据等量代换证出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式18-3】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图1，在等边中，点、分别是、上的点，且，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，点在的延长线上．求证：； (3)如图3，若点是的中点，连接、．求证：． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． (2) 证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3) 证明：如图，延长至点H，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质． （1）由等边三角形的性质，可得，，结合已知，利用“边角边”，即可证得结论； （2）由等边三角形的性质，可得，，，可得，利用“边角边”，证明，即可证得结论； （3）延长至点H，使，连接，证明，可得，，，可得，由为等边三角形，可得，由可得，，从而得到，证明，可得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型19 与含30°直角三角形有关的证明】 【例19】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【详解】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 【变式19-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 【答案】(1) 证明：如图， ，， ， 是边上的中线 是的高， ， ， 是边上的中线， ， ． (2) 证明：如图，过点作交的延长线于点． 则为边上的高线． ， 为中点 与的面积相等． (3) 证明：由（2）知． ，， 垂直平分 ， 又 ， 在和中， ， ∴ ∴，而 ∴ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据三线合一可得是的高，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三角形中线的性质得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点．则为边上的高线．得出，进而即可得出结论； （3）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，，进而证明得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式19-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴，； 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． (3)四边形的面积是40 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质；掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得，由角平分线的性质定理得，即可得证； （3）结合全等三角形的性质得 ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知 ∴， ∴ ． 答：四边形的面积是40． 【变式19-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若是等边三角形，求证：． 【答案】(1) 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； (2) 证明：是等边三角形， ． 平分，， ，， 又， ． ，， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．解题的关键是能够综合运用上述知识． （1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型20 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 【例20】（25-26八年级上·广西百色·期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及最短路径问题．关键是利用垂直平分线的对称性将转化为，再根据“两点之间线段最短”确定的最小值为的长度，最后结合等边三角形高的性质求出的长度． 【详解】解：如图，连接． ∵是等边三角形，是边上的高， ∴垂直平分， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据两点之间线段最短，当为与的交点时，取得最小值，最小值为的长度． 又∵是的中点，是等边三角形， ∴是边上的高， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 【变式20-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点、之间的距离的最小值是________，取得最小值时的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短可得时，最小，根据的面积即可求出的最小值．根据“等边对等角”得到，，再根据三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：连接，，， 点和点关于对称， ，， 点和点关于对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当最小时，最小． 是上一点， 时，最小，如图， 此时， ， ， 的最小值为． ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即． 故答案为：，． 【变式20-2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【答案】 存在 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． （1）周长是存在最小值； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，由对称的性质证出是等边三角形，求得的长，即可求得的周长的最小值． 【详解】解：（1）周长是存在最小值； 故答案为：存在； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等边三角形， ． 的周长的最小值， 故答案为：． 【变式20-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 【题型21 镜面对称】 【例21】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 【变式21-1】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 【变式21-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____． 【答案】MLI7639 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由图分析可得题中所给的号码与“M17639”成轴对称，则实际号码是：M17639． 故答案为M17639 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【变式21-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 【答案】16 【分析】根据轴对称的性质解答即可 【详解】解：∵他在照镜子时，图中的数字与实际数字成轴对称， ∴他是16号球员. 故答案为16. 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒且关于镜面对称. 【题型22 等腰三角形与角平分线综合】 【例22】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 【变式22-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 【变式22-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：， ， 又，， ． (2) 证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）略 （2）略 【变式22-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 证明：，F为的中点， ． 平分，， ． (2)的周长是20． 【分析】本题考查了角平分线性质和全等三角形的判定和性质． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再由角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明结论； （2）由角平分线的性质可知，进而证明，由此可得，进而证明． 【详解】（1）略 （2）解：，，平分， ， ， ， ， ． 【题型23 尺规作垂直平分线并证明】 【例23】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 【答案】见解析 【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可； （2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴AE=BE ∵∠A=30，∠ACB=90 ∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60 ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30 ∴∠EBC=∠ABE ∴EB平分∠ABC． （3）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴∠DEB=90-∠ABE =60 ∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30 ∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF 又∵AE= BE ∴AE=EF 【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形． 【变式23-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 证明：由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法和题意作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式23-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)作图如图所示； (2)证明：如图，过点，作交于点， 平分， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 在和中， ， . 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段垂直平分线的应用． （1）利用尺规作线段的垂直平分线即可． （2）根据垂直平分线的性质得，运用平行线的性质可得，运用证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式23-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 【答案】(1) 如图1，直线即为所求； (2) 证明：如图2，连接、， 垂直平分线段，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，正确掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线即可； （2）连接、，根据垂直平分线的性质得出，，根据推出，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型24 坐标轴对称与图形变换综合】 【例24】（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为____． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再通过作辅助线构造全等三角形，利用旋转的性质得到对应边和对应角相等，证明三角形全等，进而求出的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ∵点，与关于轴对称， ∴． ∵线段以点为中心逆时针旋转得， ∴，， ∴． 由题意可得， ∵轴， ∴，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式24-1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 【变式24-2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于y轴对称点的性质，过点A，点B分别作，垂直于x轴，先证明 ，得点A的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：如图，过点A，点B分别作，垂直于x轴， ， 点与轴上表示的点重合，点坐标为， ，，， ， 由题意知是等腰直角三角形， ，， ， 又 ， ， 在和中， ， ，， ， 点A的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【变式24-3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，如图，点的位置，即为所求； (2)； ； 所得图形与原的位置关于x轴对称 (3)或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可解答； （2）设点A，B，C的对应点分别为点，可得，即可求解； （3）过点A作，且，即可求解． 【详解】（1）解：∵点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． ∴点， （2）解：设点A，B，C的对应点分别为点， ∵，将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴新的三角形的坐标分别是， 画出新图形略； 所得图形与原的位置关于x轴对称； （3）解：如图，过点A作，且， ∴点D的坐标为或． 【题型25 等边三角形与全等三角形综合】 【例25】（25-26七年级下·上海·期末）如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴， ∵均是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：如图，设交于点P，交于点K， 由（1）得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，再证明，可得，即可求证； （2）设交于点P，交于点K，根据，可得，再由是等边三角形以及三角形外角的性质可得，然后根据三角形中位线定理可得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式25-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 【变式25-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【变式25-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得 【创新思辨】 【题型26 动点与轴对称综合求最值】 【例26】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）．    【答案】a 【分析】本题考查了关于动点的最小距离问题，三角形三边关系，折叠的性质，等边三角形的性质，先由三角形三边关系得出当点在上时，点C与点之间的距离最小，再根据折叠的性质和等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接，    ∴在中，， ∴当点在上时，点C与点之间的距离最小为， 如图，当点在上时，    由折叠的性质得：，，，， ∵在等边三角形中，是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：a． 【变式26-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在边长为8cm的等边中，点D从A出发沿方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以为边作等边，点N为线段上一动点，点M为的中点，连、，当最小时，线段的长度为 _____cm． 【答案】2 【分析】如图，过点E作于H，连接．证明，推出，推出F点运动的路径为过点C垂直于的一条线段，作点M关于的对称点K，连接，过点K作于J， ，解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，点E作于H，连接．设运动时间为t， ∵是等边三角形， ∴， ∴，cm，cm， ∴（cm），（cm）， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴F点运动的路径为过点C垂直于的一条线段， 作点M关于的对称点K，连接，过点K作于J， ∵， ∴当点N与J重合，点F在KJ上时，的值最小，此时（cm）， ∵，， ∴（cm）， ∴（cm）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式26-2】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______．      【答案】 【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定最小值为，即可求解． 【详解】解：过D作于，连接，如图：    长方形中，，，， ∴ ∴， ∵M关于边，的对称点分别为M1，M2， ∴， ∴， 线段长度最小即是长度最小，此时，即M与重合，最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 【变式26-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是_________． 【答案】5 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 【题型27 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例27】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．    【答案】10°或80°或20°或140° 【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题． 【详解】解：如图，    在中，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 【变式27-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【答案】这样的等腰三角形能画4个，如下： 【分析】当时，以点O为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，以点A为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，作出的垂直平分线交直线a于． 【详解】略 【变式27-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知中，，．试用直尺和圆规在延长线上找一点，使得是等腰三角形．请找出所有的点，并且分别标出顶角和底角的度数．（如有需要可以自己画备用图） 【答案】 解：第1个点：以B为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图， 则，此时是等腰三角形， 顶角，底角； 第2个点：以A为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图， 则，此时是等腰三角形， 底角；顶角； 第3个点：作线段的垂直平分线，交延长线于点，如图， 则，此时是等腰三角形， 底角，顶角； 故符合条件的点P有3个． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． 根据题意，画出图形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】略 【变式27-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先说直线上的所有点都能使一定是等腰三角形；再分、、三种情况确定点P即可解答． 【详解】解：∵直线是边的垂直平分线， ∴直线上存在点到点A、B的距离相等，即直线上的所有点都能使一定是等腰三角形； ∵是等腰三角形， ∴如图：当时，点P为线段的垂直平分线与直线l的交点； 如图：当时，以A为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 如图：当时，以C为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 综上，满足条件的点的个数共有5个， 故答案为：5． 【题型28 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 【例28】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 【变式28-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【变式28-2】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以、、、为边作等边三角形，即可得到点的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点． 【详解】解：如图所示，符合性质的点共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点． 【变式28-3】（25-26七年级下·上海静安·期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 【答案】作图见解析 【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解. 【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线； 以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点； 还有一点是三边的垂直平分线的交点， ∴一共有10个点； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【题型29 等边三角形与旋转综合探究】 【例29】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF，即可得出答案；②同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠BOF，即可得答案． 【详解】解：情况1，如下图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD=OC，∠AOD=∠COD=90°， ∵△OEF是等边三角形， ∴OE=OF，∠EOF=60°， 在△ODE和△OCF中， ∴△ODE≌△OCF（SSS）， ∴∠DOE＝∠COF， ∴∠DOF＝∠COE， ∴∠DOF＝（∠COD-∠EOF）=×（90°﹣60°）＝15°， ∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+15°=105°； 情况2，如下图：连接DE、CF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，∠AOD=∠COB＝90°， ∵△OEF为等边三角形， ∴OE＝OF，∠EOF＝60°， 在△ODE和△OCF中， ∴△ODE≌△OCF（SSS）， ∴∠DOE＝∠COF， ∴∠DOE＝∠COF＝（360°-∠COD-∠EOF）=×（360°﹣90°﹣60°）＝105°， ∴∠BOF＝∠COF-∠COB=105°-90°=15°， ∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=90°-15°=75°， 故答案为：105°或75°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，做题的关键是注意两种情况和证三角形全等． 【变式29-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形和等边三角形的性质，根据所给条件，可得出，再对的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形， ，． ∵是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． 当在正方形外部时， 同理可得，， ． ， ． 综上所述，的度数为或． 故选：． 【变式29-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，利用等边三角形的性质得，，、分别平分和，再证明，于是可证明，所以，，，则可对①④进行判断；利用得到四边形的面积，则可对②进行判断；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：连接、，如图，    为等边三角形， ，， ∵O是的平分线与边上的高的交点， ∴O是的平分线与的平分线的交点， ∴、分别平分和， ∴， ， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ，，故①正确； ，故④正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故选：C． 【变式29-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【答案】(1)150；30 (2)或 (3)的最大值 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①由，推出，，可得，求出即可； ②由，推出，，可得，求出即可； （2）利用（1）中方法可得结论； （3）结论：的最大值．如图4中，作点C关于直线的对称点，连接．利用全等三角形的性质证明可得结论． 【详解】（1）解：①如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150； ②如图3中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30； （2）解：当在内旋转时，． 当在外旋转时，． 故答案为：或． （3）解：结论：的最大值． 理由：如图4中，作点C关于直线的对称点，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【题型30 轴对称与全等三角形综合证明】 【例30】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【答案】(1) 证明: ∵，，， ∴， ∴； (2)； (3) 证明： 延长交于点，    由（）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时的值最小， ∵点是直线上的动点， ∴当的值最小时，点与点重合． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明即可； （）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解； （） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）略 【变式30-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上，点B关于CD的对称点为E，BE交CD于点G．AE与CD的延长线交于点F，连接CE，BF． (1)求证：∠CAE=∠CEA； (2)若BD<AD，求∠AFC的度数； (3)若AD=BC，求证：EF=DF． 【答案】(1)见解析 (2)45° (3)见解析 【分析】（1）由点B关于直线CD的对称点为E，得BC=CE，再根据AC=BC，可知CA=CE，从而证明结论； （2）由AC=BC得BC=CE=AC，根据等腰直角三角形以及三角形外角的性质即可求解； （3）当AD=BC，则∠ACD=67.5°，可得AF=CF，∠BCD=22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB=22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB=45°，再利用ASA证明△AEC≌△ADC，可得AE=CD，即可证出． 【详解】（1）∵点B，E关于CD对称， ∴CE=CB． ∵AC=BC， ∴AC=CE． ∴∠CAE=∠CEA． （2）设∠BCD=α， ∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴BC=CE，CD⊥BE， ∴∠BCD=∠ECD=α， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴BC=CE=AC，∠ACE=90°-2α， ∴∠AEC=[180°-（90°-2α）]=45°+α， ∵∠AEC=∠ECF+∠AFC=α+∠AFC， ∴∠AFC=∠AEC-∠ECF=45°+α-α=45°； （3）∵AD=BC ∴AD=AC， ∴∠ACD=67.5°， ∴∠DCB=22.5°， 又∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴∠ECD=∠DCB=22.5°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB=45°， ∵∠AFC=45°，∠ACD=67.5°， ∴∠CAF=67.5°， ∴△AEC≌△ADC（ASA）， ∴AE=CD， ∴∠CAF=∠ACD=67.5°， ∴AF=CF． ∴AF-AE=CF-CD， ∴EF=DF． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△AEC≌△ADC是解题的关键． 【变式30-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式30-3】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1) ， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， (2) ①如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 【题型31 含30°直角三角形与动点综合】 【例31】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 【答案】2或4或8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 【变式31-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查含30度角的三角形性质，分点从移动和点从移动，再分和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； 当为直角三角形时，分两种情况，和； 当点从移动时，由题意，得：，则 ①当，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即：， ∴； 当点从时，则， ①时，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即：， ∴（舍去）； 综上：或或； 故选：D． 【变式31-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）若，则___________； （2）若为等边三角形，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在边上时，如图所示： 在等边中，，则由题意可得， ， 在中，， ， 则，解得； 当点在边上时，如图所示： 在等边中，， ，且是的一个外角， ， 即，此情况不存在； 综上所述，若，则， 故答案为：； （2）解：当点在边上时，连接，如图所示： 在等边中，，则， 不可能为等边三角形，此情况不存在； 当点在边上时，如图所示： 在等边中，，，则由题意可得， ， 若为等边三角形，则， ，解得； 综上所述，若为等边三角形，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题，涉及等边三角形的性质、含直角三角形性质、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论，数形结合是解决问题的关键． 【变式31-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 【答案】 【分析】分两种临界情况讨论：①当时，②当时. 利用含角的直角三角形的性质求出的长，结合图形确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 要使是锐角三角形，则与均为锐角， ①当时，， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，； ②当时，， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，当时，是锐角三角形， 故答案为． 【题型32 轴对称与坐标系综合探究】 【例32】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【答案】9 【分析】根据轴对称最短距离问题和垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵（点A、P、D共线时取等号）， ∴的最小值为9， ∴的最小值为9． 【变式32-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中有一“凹”字图形，已知，，，，现将一根长且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，按照的顺序紧绕在“凹”字上，若坐标系的单位长度为，则细线绕完后另一端点所在的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为规律题，考查了平面直角坐标系点的特征，坐标点之间的距离，轴对称图形，合理找出运动规律是解题的关键．根据运动的方式求出运动路线的长度，找出规律即可解答． 【详解】解：∵“凹”字图形是轴对称图形，对称轴是y轴，，，，， ∴，，，， ∴绕一圈需要的绳子长度为， ∵， ∴绳子绕四圈后余4个单位长度，即A向B四个单位， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是， 故选：A． 【变式32-2】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的坐标规律，先确定初始点的坐标，再分析每次翻折后的坐标变化，找出翻折规律，最后计算第次翻折后的坐标即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴， 又∵正方形边长相等， ∴， ∴点初始坐标为． 接下来分析翻折规律： 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为，即回到初始坐标． …… ∵…， ∴第次翻折点对应的点与进行第次翻折后的点相同，对应坐标为． 故答案为：． 【变式32-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知正方形ABCD，顶点 A （1，3）、B （1，1）、C （3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为_____． 【答案】（－2012，2） 【详解】试题分析：由正方形ABCD的顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）可得出点M坐标为（2，2），所以把正方形ABCD第1次变换后的点M的对应点的坐标为（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（-1，-2），第4次变换后的点M的对应点的坐标为（-2，2），．．．．．．所以可得第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），所以当n=2014时，点M的对应点坐标变为（－2012，2）． 考点：正方形的性质、图形的变换与点的坐标、探寻规律． 【题型33 等腰三角形存在性问题】 【例33】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________． 【答案】或或或或 【分析】分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①对于，当为顶角时，则， ∴， ∵点D在的边上， ∴， ∵， ∴，故， （Ⅰ）在中，若，则， 设，则， ∴， ∴，， 当时，则，解得， ∴，不符合题意； 当时，则， 解得， ∴，不符合题意； （Ⅱ）在中，若， 在中，当时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 在中，当时， 设，此时， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②对于，当为底角，时， （Ⅰ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ， ∵， ∴， ∴，不符合题意； （Ⅱ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， ∵ ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴解得， ∴； ③对于，当为底角，时, （Ⅰ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，不符合题意； 若在中，时， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，不符合题意； （Ⅱ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 若在中，当时， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，不符合题意； 若在中，时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上：的度数为或或或或． 【变式33-1】（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①②③ 【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题． 【详解】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC， ∵是等边三角形 ∴AB=BC=CA，∠A=∠C=∠B=60° ∴AB-AM=BC-BN=CA-CP ∴AP=CN=BM 又∠A=∠C=∠B=60° ∴△AMP≌△CNP≌△BMN ∴MP=PN=MN ∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个． 如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）． 故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式33-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻是以为其中一个底角的等腰三角形，则此时与的数量关系为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，灵活运用相关知识并正确分类是解题的关键． 依题意有以下两种情况：①当时，则，由三角形内角定理得，再根据即可得出与的数量关系；②当时，则、，由三角形内角和定理得，再根据即可得出与的数量关系即可解答． 【详解】解：当是以为其中一个底角的等腰三角形，有以下两种情况： ①如图1所示：当时， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； ②如图2所示：当时， ∴， 在中，， 在中，， ∵在中，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与的数量关系为或． 故答案为：或． 【变式33-3】（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $