第15章 轴对称 章节复习 讲义2025-2026 学年人教版 八年级数学上册

第十五章 轴对称 一、轴对称 1、轴对称图形：沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形； 这条直线是它的对称轴. 注意：对称轴是直线，不是射线或线段； 平行四边形不是轴对称图形 2、两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠，能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称；这条直线是它们的对称轴. 【例】从平面镜里看到墙上电子钟的示数为20:15，这时的正确时间是（A） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 方法：翻到背面（正向） 3、垂直平分线(中垂线)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 4、对称轴的性质：对称轴垂直平分对应点所连线段 二、垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 符号（3种都可） ∵P在AB的垂直平分线上 ∴PA=PB ∵PC垂直平分AB ∴ PA =PB． ∵PC⊥AB，AC=BC ∴ PA =PB． 【例】如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝　8.5cm　，AC＝　5.5cm　． 【例】如图，ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥ACF (1)说明BE=CF的理由； (2)如果AB=9，AC=5，求AE、BE的长． 【详解】（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD=CD， 在RtBED与RtCFD中， ， ∴RtBEDRtCFD（HL）， ∴BE=CF； （2）解：在RtAED和RtAFD中， ， ∴RtAEDRtAFD（HL）， ∴AE=AF， 设BE=x，则CF=x， ∵AB=9，AC=5，AE=ABBE，AF=AC+CF， ∴9x=5+x， 解得：x=2， ∴BE=2，AE=ABBE=92=7． 三、线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 （判断点在垂直平分线上） 符号：∵PA =PB ∴点P在AB的垂直平分线上 判断直线是线段的垂直平分线➩在直线上找两点，都到线段两端距离相等 【例】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，；求证：点在的垂直平分线上． 证明：在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 【例】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O．求证：垂直平分； 证明：∵为的角平分线，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上 ∴垂直平分． 重要结论：到三角形三个顶点距离相等的点：三边垂直平分线的交点 四、画一个图形的轴对称图形 1、步骤：过顶点作对称轴的垂线，等长截取；依次连接 2、图形折叠问题：对应边相等，对应角相等 五、点关于坐标轴对称的规律：关于谁对称谁相同，其他相反 【例】1、点P(-2,-3)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__(-2 , 3 )__. 2、点P(4,-1)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_(-4 , -1 )__. 3、点A(3, 1-a)与点B(2+b, -3)关于x轴对称，则a= -2 , b = 1 . 4、已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围是 0.5＜m＜1 ． 5、点A（a，﹣3）向左平移3个单位得点A′，若点A和A′关于y轴对称，则a＝ 1.5 ． 六、 等腰三角形性质： 1、等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 符号：∵AB=AC ∴∠B=∠C 【例】若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　40°或100°　 等腰三角形没有图，且未说明已知角类型，需要分类讨论(钝角只能为顶角) 图中含有多个等腰三角形，且未知角度➩假设未知数 【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠C的度数 解：设∠A=x.∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x； ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=∠ABD+∠A=2x； ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x, ∵x+2x+2x=180°，解得x=36°， ∴∠C=2x=72°． 射影＋角平分线模型➩等腰三角形 【例】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，BE平分∠ABC，交AD于点F，求证：AE＝AF． 证明：∵AD⊥CB， ∴∠ADB=∠BAC=90° ∵BE平分∠ABC 设∠ABE=∠CBE=x ∴∠BFD=∠AEB=90°-x ∵∠AFE=∠BFD=90°-x ∴∠AFE=∠AEB ∴AE＝AF 2、三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一) 即：等腰△中，出现其中1个，也产生其他2个（三线合一为易忘考点） 注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高也是底边上的垂直平分线 符号：①∵AB=AC，∠1=∠2； ∴BD=CD，AD⊥BC ②∵AB=AC，BD=CD； ∴∠1=∠2，AD⊥BC ③∵AB=AC，AD⊥BC； ∴BD=CD, ∠1=∠2 【例】如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AD上一点，求证：EB＝EC 证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC ∴AD垂直平分BC ∵E是AD上一点 ∴EB＝EC 【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC边上一点D作DEAC交AB于点E，且AE＝DE，求证：AD⊥BC 证明：∵DEAC， ∴∠ADE=∠DAC， ∵AE=DE， ∴∠ADE=∠DAE， ∴∠CAD=∠DAE， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC． 【例】如图，已知中，，，，分别在，和边上，且，，过作于．求证：． 证明：连接DE、DF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△EBD和△DCF中， ， ∴△EBD≌△DCF（SAS） ∴DE=DF， ∵DG⊥EF， ∴EG=EF． 【例】如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，是上一点，且，连接并延长交于点，证明：． 证明：， 是等腰三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， 即， ， ． 七、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形 符号：∵∠B=∠C ∴ AC=AB(△ABC是等腰三角形) ※模型：平行+平分➩等腰 条件：DE∥OB，OC平分∠AOB 结论：△ODE为等腰三角形 【例1】如图，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB ∴∠1=∠2，∠5=∠4. ∵EF∥BC ∴∠2=∠3，∠5=∠6. ∴∠1=∠3，∠4=∠6. ∴BE=DE，CF=DF ∴EF=ED+DF=BE+CF 【例2】如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点． 证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD=x ∵DE∥AC ∴∠EAD=∠CAD=x ∴∠EAD=∠EDA=x ∴AE=ED ∵BD⊥AD ∴∠BDE=90°-x，∠EBD=90°-x ∴∠BDE=∠EBD ∴BE=ED ∴AE=BE ∴E是AB中点 【例3】如图，在中，，，与相交于点，求证：是等腰三角形． 证明：在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即 ∴是等腰三角形． 八、等边△（正三角形）：三条边都相等的三角形 2、性质：①三边相等 ②三个内角都相等，每个内角60° ③每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一（三个三线合一） 符号：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC（∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°） ∵△ABC是等边三角形，AD是中线 ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30° 典型例题 等腰三角形腰高和差定值模型 【例】如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为， （1）求证： 连接，∵， 即：， ∵ ． （2）为等边三角形，P为在三角形内任一点，到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明 连接，，， ， 等边三角形+边上等线段 【例】如图，M，N分别在正三角形ABC的BC，CA 边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证： ∠BQM＝60°. 证明：∵是等边三角形 ∴BC＝AC，AB＝AC，∠BAN＝∠ACM=60°， ∵BM＝CN， ∴CM＝AN， 在和中， ∴△AMC≌△BNA， ∴∠BNA＝∠AMC， ∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180° ∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°， ∴∠AQN＝∠ACB， ∵∠BQM＝∠AQN， ∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60° 九、等边三角形的判定 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形 符号：∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形 符号：∵ ∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 符号：∵ AB=AC，∠B=60° ∴△ABC是等边三角形 注意：两个内角是60°的三角形是等边三角形，但不可直接使用 【例】如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 证明∵是等边三角形， ∴， ． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 同理可得， ∴， ∴是等边三角形． 【例】如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、、、、，其中，试判断的形状 解：为等边三角形． 证明：是等边三角形， ，． 在和中， ， (SAS)． ，， ， ． 即． 是等边三角形． 十、含30°角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半 符号：∵∠C=90°，∠A =30° ∴ 【例】在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝15°，则△ABC的面积是　 4　． （提示：作高，高在外部） 【例】如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE． 连接AD， ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠C=（180°-120°）=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°， ∴∠ADE=∠C=30°， 在Rt△ADE中，AD=2AE， 在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE， ∴CE=AC- AE=4AE-AE=3AE， 即CE=3AE． 【例】如图，∠AOB=30 度，OC 平分∠AOB，P 为 OC 上一点，PD∥OA 交OB 于 D，PE 垂直 OA 于 E，若 OD=4cm，求 PE 的长． 如图，过P作PF⊥OB于F， ∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD∥OA， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴PD=OD=4cm， ∵∠AOB=30°，PD∥OA， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt△PDF中，PF= PD=2cm， ∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF， ∴PE=PF=2cm． 与等腰有关的常见模型 射影＋角平分线模型 条件：∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB 结论：∠AEF=∠AFE（AE=AF） 等腰直角三角形斜边中点模型 条件：△ABC为等腰Rt△，D为斜边BC中点 辅助线：连接AD 结论：①∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45° ②AD=BD=CD； ③AD⊥BC 截长补短法：条件或结论含a+b=c(a-b=c)，需添辅助线时多考虑截长补短 辅助线写法：①截长法：在**上取点*，使得**＝**，连接** ②补短法：延长**至*，使**＝**，连接** 半角模型 【例】如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，，探究，，的数量关系 延长到G，使，连接 在正方形中，有， ， 即有， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 补短法典例 【例】如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠BPC=120°，求证：PB+PC=PA 延长BP到D，使PD=PC，连接CD ∵∠BPC=120°， ∴∠CPD=180°-∠BPC=60°， 又∵PD=PC， ∴△PCD是等边三角形  ∴PC= DC=PD，  ∠PCD＝60° ∵△ABC是等边三角形， ∴AC =BC ，∠ACB=60°， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCD +∠BCP 即∠ACP=∠BCD， 在△ACP和△BCD中， ， ∴△ACP≌△BCD， ∴AP=BD， ∵BD=BP+PD且PC=PD， ∴BP+PC=AP． 十一、最短路线问题 异侧型（2定点） 假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到C点，使得CA+CB最小？ 最小值：AB的长 同侧型（2定点）：将军饮马 直线l 的同侧有A,B两个定点，如何在l上找到一个点P，使得PA+PB最小 最小值：AB’的长 角内部（1定点） 点P是∠AOB内一定点，在∠AOB的OA，OB边上有两动点M，N，当PM+MN+PN最小时，求此时M，N两点的位置 最小值：P1P2的长 同侧型（1定点，1动点） 如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABC.如果点M，N 分别为BD，BC上的动点，求CM+MN 的最小值 过C点作CE⊥AB于E点， 最小值：CE的长 【例】如图，∠AOB＝30°，OA表示草地边，OB表示河边，点P表示家且在∠AOB内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里． （1）请用在图上画出此人行走的最短路线图 （2）若OP＝40米，则最短路线长为 40 米 【答案】（1）如图所示 （2）提示：OP1＝OP＝OP2， △P1OP2是等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 一、轴对称 1、轴对称图形：沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形； 这条直线是它的对称轴. 注意：对称轴是直线，不是射线或线段； 平行四边形不是轴对称图形 2、两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠，能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称；这条直线是它们的对称轴. 【例】从平面镜里看到墙上电子钟的示数为20:15，这时的正确时间是（A） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 方法：翻到背面（正向） 3、垂直平分线(中垂线)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 4、对称轴的性质：对称轴垂直平分对应点所连线段 二、垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 符号（3种都可） ∵P在AB的垂直平分线上 ∴PA=PB ∵PC垂直平分AB ∴ PA =PB． ∵PC⊥AB，AC=BC ∴ PA =PB． 【例】如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝　8.5cm　，AC＝　5.5cm　． 【例】如图，ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥ACF (1)说明BE=CF的理由； (2)如果AB=9，AC=5，求AE、BE的长． 三、线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 （判断点在垂直平分线上） 符号：∵PA =PB ∴点P在AB的垂直平分线上 判断直线是线段的垂直平分线➩在直线上找两点，都到线段两端距离相等 【例】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，；求证：点在的垂直平分线上． 【例】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O．求证：垂直平分； 重要结论：到三角形三个顶点距离相等的点：三边垂直平分线的交点 四、画一个图形的轴对称图形 1、步骤：过顶点作对称轴的垂线，等长截取；依次连接 2、图形折叠问题：对应边相等，对应角相等 五、点关于坐标轴对称的规律：关于谁对称谁相同，其他相反 【例】1、点P(-2,-3)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__(-2 , 3 )__. 2、点P(4,-1)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_(-4 , -1 )__. 3、点A(3, 1-a)与点B(2+b, -3)关于x轴对称，则a= -2 , b = 1 . 4、已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围是 0.5＜m＜1 ． 5、点A（a，﹣3）向左平移3个单位得点A′，若点A和A′关于y轴对称，则a＝ 1.5 ． 六、 等腰三角形性质： 1、等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 符号：∵AB=AC ∴∠B=∠C 【例】若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　40°或100°　 等腰三角形没有图，且未说明已知角类型，需要分类讨论(钝角只能为顶角) 图中含有多个等腰三角形，且未知角度➩假设未知数 【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠C的度数 射影＋角平分线模型➩等腰三角形 【例】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，BE平分∠ABC，交AD于点F，求证：AE＝AF． 2、三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一) 即：等腰△中，出现其中1个，也产生其他2个（三线合一为易忘考点） 注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高也是底边上的垂直平分线 符号：①∵AB=AC，∠1=∠2； ∴BD=CD，AD⊥BC ②∵AB=AC，BD=CD； ∴∠1=∠2，AD⊥BC ③∵AB=AC，AD⊥BC； ∴BD=CD, ∠1=∠2 【例】如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AD上一点，求证：EB＝EC 【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC边上一点D作DEAC交AB于点E，且AE＝DE，求证：AD⊥BC 【例】如图，已知中，，，，分别在，和边上，且，，过作于．求证：． 【例】如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，是上一点，且，连接并延长交于点，证明：． 七、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形 符号：∵∠B=∠C ∴ AC=AB(△ABC是等腰三角形) ※模型：平行+平分➩等腰 条件：DE∥OB，OC平分∠AOB 结论：△ODE为等腰三角形 【例1】如图，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF 【例2】如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点． 【例3】如图，在中，，，与相交于点，求证：是等腰三角形． 八、等边△（正三角形）：三条边都相等的三角形 2、性质：①三边相等 ②三个内角都相等，每个内角60° ③每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一（三个三线合一） 符号：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC（∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°） ∵△ABC是等边三角形，AD是中线 ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30° 典型例题 等腰三角形腰高和差定值模型 【例】如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为， （1）求证： （2）为等边三角形，P为在三角形内任一点，到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明 等边三角形+边上等线段 【例】如图，M，N分别在正三角形ABC的BC，CA 边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证： ∠BQM＝60°. 九、等边三角形的判定 判定1：三边都相等的三角形是等边三角形 符号：∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形 符号：∵ ∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 符号：∵ AB=AC，∠B=60° ∴△ABC是等边三角形 注意：两个内角是60°的三角形是等边三角形，但不可直接使用 【例】如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 【例】如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、、、、，其中，试判断的形状 十、含30°角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半 符号：∵∠C=90°，∠A =30° ∴ 【例】在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝15°，则△ABC的面积是　 4　． （提示：作高，高在外部） 【例】如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE． 【例】如图，∠AOB=30 度，OC 平分∠AOB，P 为 OC 上一点，PD∥OA 交OB 于 D，PE 垂直 OA 于 E，若 OD=4cm，求 PE 的长． 与等腰有关的常见模型 射影＋角平分线模型 条件：∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB 结论：∠AEF=∠AFE（AE=AF） 等腰直角三角形斜边中点模型 条件：△ABC为等腰Rt△，D为斜边BC中点 辅助线：连接AD 结论：①∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45° ②AD=BD=CD； ③AD⊥BC 截长补短法：条件或结论含a+b=c(a-b=c)，需添辅助线时多考虑截长补短 辅助线写法：①截长法：在**上取点*，使得**＝**，连接** ②补短法：延长**至*，使**＝**，连接** 半角模型 【例】如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，，探究，，的数量关系 补短法典例 【例】如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠BPC=120°，求证：PB+PC=PA 十一、最短路线问题 异侧型（2定点） 假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到C点，使得CA+CB最小？ 最小值：AB的长 同侧型（2定点）：将军饮马 直线l 的同侧有A,B两个定点，如何在l上找到一个点P，使得PA+PB最小 最小值：AB’的长 角内部（1定点） 点P是∠AOB内一定点，在∠AOB的OA，OB边上有两动点M，N，当PM+MN+PN最小时，求此时M，N两点的位置 最小值：P1P2的长 同侧型（1定点，1动点） 如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABC.如果点M，N 分别为BD，BC上的动点，求CM+MN 的最小值 过C点作CE⊥AB于E点， 最小值：CE的长 【例】如图，∠AOB＝30°，OA表示草地边，OB表示河边，点P表示家且在∠AOB内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里． （1）请用在图上画出此人行走的最短路线图 （2）若OP＝40米，则最短路线长为 40 米 学科网（北京）股份有限公司 $