期末复习二 第15章轴对称 期末复习讲义典例＋变式+课后作业2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

期末复习二 第15章轴对称 知识点一 线段垂直平分线的性质 1．（2025春•清苑区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．12 2．（2024秋•嘉祥县期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 3．（2025秋•连云港校级月考）如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为21，则AC的长为　 　 ． 知识点二 轴对称的性质 4．（2024秋•南京月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025秋•广州校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 6．（2024春•长安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关于CD对称的点是点E，则∠ACE+∠BAC的度数大小为 　 ． 7．（2024春•盐都区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、B分别落在点C'、B'的位置，G为C'B'和AB的交点，再沿AB边将∠B'折叠到∠H处，最后将∠D折叠到∠D'处，恰好点D'在直线CF上（折痕是FM），已知∠AMD'＝32°，则∠HEF＝　 　 ． 8．（2024春•胶州市月考）如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝27，则△PMN的周长为 　 ． 知识点三 轴对称图形 9．（2025春•道里区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 知识点四 关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2024春•景县期中）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1） 11．（2025秋•宝安区校级期末）已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．（2025•港北区校级模拟）若点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣7 13．（2024•谷城县模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．﹣1＜a C．a＜1 D．a 知识点五 作图-轴对称变换 14．（2025春•宁化县期末）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF． 15．（2024秋•云龙区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）在图中的点上标出相应字母A，B，C，并求出△ABC的面积； （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标． 知识点六 轴对称-最短路线问题 16．（2024秋•景县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小值是（　　） A．15 B．16 C．17 D．15.5 17．（2024秋•泽州县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E，F分别为AD和AB上的动点，连接CE，EF．若AB＝5，BC＝6，则CE+EF的最小值为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 18．（2024春•揭西县期末）如图，△ABC的面积是6，∠C＝90°，AB＝5，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则AD+DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 19．（2024春•扶沟县期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（　　） A．（BM垂直于a） B．（AM与BN不平行） C．（AN垂直于b） D．（AM平行于BN） 20．（2025春•桥西区期末）在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝3，AC＝4，点E是边AB的中点，∠CAB的角平分线交BC于点D．作直线AD，在直线AD上有一点F，连结FC、FE，则|FE﹣FC|的最大值是　 　 ． 21．（2024春•永丰县期末）已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　 ； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 知识点七 翻折变换（折叠问题） 22．（2025春•长安区校级月考）在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°，求∠MGE的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习二 第15章轴对称 知识点一 线段垂直平分线的性质 1．（2025春•清苑区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．12 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D， ∴DB＝DA， ∵线段AC的垂直平分线交BC于点E， ∴EA＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．（2024秋•嘉祥县期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可． 【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 3．（2025秋•连云港校级月考）如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为21，则AC的长为　12　 ． 【分析】由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，可得AE＝BE，又由△BCE的周长等于21，即可求得AC+BC＝21，然后由BC＝9，求得AC的长． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵△BCE的周长等于21， ∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝21． ∵BC＝9， ∴AC＝21﹣9＝12． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 知识点二 轴对称的性质 4．（2024秋•南京月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2， ∵P1是P关于直线l的对称点， ∴直线l是PP1的垂直平分线， ∴OP1＝OP＝2.8， ∵P2是P关于直线m的对称点， ∴直线m是PP2的垂直平分线， ∴OP2＝OP＝2.8， 当P1，O，P2不在同一条直线上时， OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2， 即 0＜P1P2＜5.6， 当P1，O，P2在同一条直线上时， P1P2＝OP1+OP2＝5.6， ∴P1，P2之间的距离可能是5， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键． 5．（2025秋•广州校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 　12　 ． 【分析】整体思想就是把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法．本题中，利用轴对称的性质将分散的阴影部分的图形看成整体来处理，体现了数学中的整体思想． 【解答】解：因为△ABC关于直线AD对称，所以B，C关于直线AD对称， 所以△CEF和△BEF关于直线AD对称， 所以 S△BEF＝S△CEF． 因为△ABC的面积是BC×AD6×8＝24， 所以图中阴影部分的面积是12． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正确记忆轴对称的性质是解题关键． 6．（2024春•长安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关于CD对称的点是点E，则∠ACE+∠BAC的度数大小为 　60°　 ． 【分析】根据轴对称的性质可知∠BCD＝∠ECD，根据CD⊥AB，∠BCD＝50°，得∠DCA的度数，再根据∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BAC＝50°从而求得答案． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝50°， ∵B关于CD对称点是E， ∴∠BCD＝∠ECD＝50°， ∴∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°， ∠B＝90°﹣∠BCD＝40° ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°， ∠BAC＝90°﹣∠B＝50°， ∴∠ACE+∠BAC＝10°+50°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形性质，数形结合是解题的关键． 7．（2024春•盐都区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、B分别落在点C'、B'的位置，G为C'B'和AB的交点，再沿AB边将∠B'折叠到∠H处，最后将∠D折叠到∠D'处，恰好点D'在直线CF上（折痕是FM），已知∠AMD'＝32°，则∠HEF＝　42°　 ． 【分析】沿MF折叠，由∠AMD'＝32°，可得∠DMF＝∠D'MF＝74°，同时可得∠DFM＝∠D'FM＝16°，则∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°再沿EF折叠，则∠FEB'＝106°，则∠B'EG＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°，沿AB折叠可得∠B'EG＝∠HEG＝32°，所以∠HEF＝∠FEG﹣∠HEG＝74°﹣32°＝42°． 【解答】解：由题可得：沿MF折叠，∠AMD'＝32°， ∴∠DMF＝∠D'MF＝74°， ∴∠DFM＝∠D'FM＝16°， ∴∠CFE＝∠C'FE＝74°，∠FEB＝106°，∠FEG＝74°， ∵沿EF折叠， ∴∠FEB'＝106°， ∴∠B'EG＝∠FEB'﹣∠FEG＝106°﹣74°＝32°， ∵沿AB折叠， ∴∠B'EG＝∠HEG＝32°， ∴∠HEF＝∠FEG﹣∠HEG＝74°﹣32°＝42°． 故答案为：42°． 【点睛】本题考查图形折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应角相等是解此题的关键． 8．（2024春•胶州市月考）如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝27，则△PMN的周长为 　27　 ． 【分析】证明△PMN的周长＝P1P2，可得结论． 【解答】解：如图：连接OP1，OP2，OP， ∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N， ∴NP＝NP2，MP＝MP1， ∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 知识点三 轴对称图形 9．（2025春•道里区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、矩形是轴对称图形，本选项错误； B、菱形是轴对称图形，本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，本选项正确； D、正方形是轴对称图形，本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 知识点四 关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2024春•景县期中）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1） 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2）， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 11．（2025秋•宝安区校级期末）已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律，列等式求a、b，再计算（a+b）2025的值． 【解答】解：由条件可知a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， 则（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征及有理数的乘方，解题的关键是利用“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”求出a、b的值． 12．（2025•港北区校级模拟）若点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣7 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标规律可知：m与4互为相反数，n等于3，即可求得m+n的值． 【解答】解：∵点A与点B关于y轴对称，且A（m，3），B（4，n）， ∴m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x，y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，熟知关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键． 13．（2024•谷城县模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．﹣1＜a C．a＜1 D．a 【分析】首先根据关于x轴对称的点的坐标的关系得到点P关于x轴对称的点的坐标为（a+1，3﹣2a）；根据点（a+1，3﹣2a）在第一象限可得不等式组；然后解不等式组即可解决问题． 【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点为（a+1，3﹣2a）在第一象限， ∴ 解得﹣1＜a． 故选：B． 【点睛】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，此题利用关于x轴对称的坐标之间的关系以及第一象限内点的坐标的特征，借助于不等式组来解决． 知识点五 作图-轴对称变换 14．（2025春•宁化县期末）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE＝AF． 【分析】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可； （2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AE＝PE，再证明△AOF≌△AOE，得到AF＝AE，即可证明PE＝AF． 【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形； （2）∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP， 由（1）可知：EF垂直平分AP， ∴EF⊥AP，AE＝PE， 在△AOF和△AOE中， ∠OAF＝∠OAE，AO＝AO，∠AOF＝∠AOE＝90°， ∴△AOF≌△AOE（ASA）， ∴AF＝AE， ∴AF＝PE． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等． 15．（2024秋•云龙区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）在图中的点上标出相应字母A，B，C，并求出△ABC的面积； （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标． 【分析】（1）根据点的坐标画出三角形，再利用三角形面积公式求解； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （3）根据点位置写出坐标． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC的面积5×3＝7.5； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 知识点六 轴对称-最短路线问题 16．（2024秋•景县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小值是（　　） A．15 B．16 C．17 D．15.5 【分析】根据垂直平分线的性质BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9． 【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP＝PC， ∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP， ∵两点之间线段最短， ∴AP+BP≥AB， ∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB， ∵AC＝7，AB＝8， ∴△APC周长最小为AC+AB＝15， 故选：A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出AP+BP≥AB． 17．（2024秋•泽州县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E，F分别为AD和AB上的动点，连接CE，EF．若AB＝5，BC＝6，则CE+EF的最小值为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【分析】过C作CF⊥AB于F交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BDBC＝3，根据勾股定理得到AD4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：过C作CF⊥AB于F交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小， ∵AB＝AC，AD是边BC上的中线， ∴AD⊥BC，BDBC＝3， ∴AD4， ∴S△ABC， ∴CF， ∴CE+EF的最小值为4.8， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题． 18．（2024春•揭西县期末）如图，△ABC的面积是6，∠C＝90°，AB＝5，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则AD+DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D．则AD＝A'D，所以AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E． 【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D． 则AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E． 即AD+DE的最小值为A'E． ∵S△AA'B2S△ABC＝2×6＝12， ∴A'E， 即AD+DE的最小值为． 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解本题的关键． 19．（2024春•扶沟县校级期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（　　） A．（BM垂直于a） B．（AM与BN不平行） C．（AN垂直于b） D．（AM平行于BN） 【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可． 【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b）， 只要AM+BN最短就行， 即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求． 故选：D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，平行线的性质，关键是如何找出M、N点的位置． 20．（2025春•桥西区期末）在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝3，AC＝4，点E是边AB的中点，∠CAB的角平分线交BC于点D．作直线AD，在直线AD上有一点F，连结FC、FE，则|FE﹣FC|的最大值是　2.5　 ． 【分析】先根据转化思想确定最大值，再根据线段的和差求解． 【解答】解：∵点E是边AB的中点， ∴AEAB， 在AC上取点P，使得AP＝AE， ∵∠CAB的角平分线交BC于点D， ∴∠FAP＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△APF≌△AEF（SAS）， ∴PF＝FE， ∴|FE﹣FC|＝|PF﹣FC|≤CP＝AC﹣AP＝4﹣1.5＝2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，连接转化思想和线段的和差是解题的关键． 21．（2024春•永丰县期末）已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　 ； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； （2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10； （2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ∴OG＝OP，OM⊥GP， ∴OM平分∠POG， 同理可得ON平分∠POH， ∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°， 故答案为：100°； ②∵PO＝5， ∴GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°， ∴点G，O，H在同一直线上， ∴GH＝GO+HO＝10； （2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B， 连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP″，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠OPA＝∠OP'A＝30°， 同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°， ∴∠APB＝30°+30°＝60°． 【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 知识点七 翻折变换（折叠问题） 22．（2025春•长安区校级月考）在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°，求∠MGE的度数． 【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解． 【解答】解：∵线段MN、EF为折痕， ∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC， ∵∠A＝80°， ∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°， ∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°， ∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $