专题10 等腰三角形（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 以等腰三角形性质与判定为核心，通过9类题型系统构建"性质应用-判定推理-动态探究-综合拓展"的方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三线合一|4题|利用底边上的高、中线、角平分线三线合一性质转化线段与角|衔接等腰三角形定义，为性质应用基础| |等角对等边证明|4题|通过角相等推导边相等，结合三角形内角和转化角关系|判定定理的直接应用，培养推理意识| |动态找点构成等腰三角形|8题|分类讨论两定一动中腰与底边的不同情况|结合几何直观，提升空间观念与分类思想| |等边三角形性质与判定|4题|特殊等腰三角形的边角关系及含30°角的直角三角形性质|从一般到特殊的知识延伸，强化模型意识|

专题10 等腰三角形 常考题型·精准突破 考点一 等腰三角形 题型1三线合一（重） 题型2根据等角对等边证明等腰三角形 题型3根据等角对等边求边长 题型4直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型5求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型6等腰三角形的性质和判定（高频） 题型7等边三角形的判定和性质（难） 题型8等边对等角 题型9大(小)边对大(小)角定理 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等腰三角形 ◆题型1三线合一 1．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 2．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 3．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 4．如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． ◆题型2根据等角对等边证明等腰三角形 5．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 6．中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 7．如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 8．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． ◆题型3根据等角对等边求边长 9．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 11．中，，，的平分线交于D，，则_______． 12．如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． ◆题型4直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，点是直线上一点，线段与直线的夹角为，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．2个或4个 B．3个或4个 C．4个 D．2个或3个或4个 15．如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． ◆题型5求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 17．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． ◆题型6等腰三角形的性质和判定 21．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 22．如图，，，，延长交于F，若，则________． 23．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 24．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． ◆题型7等边三角形的判定和性质 25．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 27．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 28．如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． ◆题型8等边对等角 29．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 30．如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 31．如图，点在上，，．求证：． 32．如图，，，．求证：． ◆题型9大(小)边对大(小)角定理 33．“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 34．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 35．在中，已知，，则应满足的条件是________． 36．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 3．如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 4．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 5．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 6．点是等边三角形所在平面上一点，若和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点的个数为________________ 三、解答题 7．如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 8．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 9．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 10．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10等腰三角形 内容概览 目常考题型精推突破 考点一等腰三角形 题型1三线合一（重） 题型2根据等角对等边证明等腰三角形 题型3根据等角对等边求边长 题型4直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型5求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型6等腰三角形的性质和判定（高频） 题型7等边三角形的判定和性质（难） 题型8等边对等角 题型9大（小）边对大（小）角定理 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一等腰三角形● ◆题型1三线合一 1.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则 BF= cm 【答案】6 【详解】解：：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, AD是△ABC的中线， 1/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S△MDB=S△Mc, ∴S.4m=2Sm=2x54B-DE 2 =LAC.BF.AB=AC' BF=DE =3cm ∴.BF=6cm 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,点D是△ABC内一点，连接AD,BD,CD,AC=AD, 若CD=8,则△BCD的面积为一· A 【答案】16 【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD延长线于点F, A F D B ∴.∠F=∠AEC=90° .∠BCF+∠CBF=90°， ·∠ACB=90°， ∴.∠BCF+∠ACE=90°， ∴.LCBF=∠ACE, 在△BCF和ACAE中， ∠F=∠AEC=90° ∠CBF=∠ACE, BC=CA .△BCF≌aCAE(AAS), .BF =CE, 2/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AC=AD,AE⊥CD,CD=8, 1 .CE=5CD=4」 2 .BF=4, aBCD的面积为)CD-BF=)x8x4=16 2 3.在如图所示的三角测平架中，AB=AC,在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点 A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ 【答案】BC正好处于水平位置，理由如下： :在三角测平架中，AB=AC,D是BC的中点， ·AD⊥BC(三线合)， 又：AD自然下垂，即AD与水平线垂直， .BC处于水平位置 【详解】解：略 4.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E，,点F在ED上，AC=AD,∠BAF=∠EAD, ∠ACB=∠ADB (1)求证：AB=AF: (2)若AC⊥BD,求证：∠BAF=2LDAF. 【答案】(1)证明：∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAC+∠CAF=∠CAF+∠FAD, 即∠BAC=∠FAD, 3/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC和△AFD中， ∠BAC=∠FAD AC=AD ∠ACB=∠ADF △ABC≌aAFD(ASA). ..AB=AF: (2),AB=AF,AC⊥BD ∴.∠BAC=∠FAC ∠BAC=∠FAD ∴.∠BAC=∠FAD=∠FAC ·∠BAF=∠BAC+∠FAC :∠BAF=2∠DAF ◆题型2根据等角对等边证明等腰三角形 5.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M.求证：△ABC是等腰 三角形. B M 【答案】证明：：BD与CE是△ABC的高， .∠BEC=∠BDC=90°， 在△OBE和△OCD中， [∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90° OE=OD ·.△OBE≌aOCD(AAS), .BE=CD. 在RtABCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC ..RtABCERtACBD(HL), 4/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠ACB, .AB=AC, ∴，△ABC是等腰三角形 6.△ABC中，D是BC中点，BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足E、F.判断△ABC形状并证明. E B D 【答案】△ABC是等腰三角形，见解析 【详解】解：△ABC是等腰三角形，证明如下： ,DE⊥AB,DF⊥AC .∠DEB=∠DFC=90° 在RIADEB和RtADFC中： .BD=CD,BE=CF ·.RtADEBS≌RtADFC(HL), .∠B=∠C .AB=AC. ∴.△ABC是等腰三角形， 7.如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD,过点D分别作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点 F,DGI‖AC交AB于点G,且DE=DF, (1)求证：△ADG是等腰三角形： (2)若∠ADE=67.5°，求∠GDF的度数. 【答案】(L)证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,且DE=DF, .AD平分∠BAC, 5/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=∠CAD, DG‖lAC ∴.∠ADG=∠CAD, .∠ADG=∠BAD, ..AG=DG. .△ADG是等腰三角形： (2)450 【详解】(1)略 (2)解：，DE⊥AC,DF⊥AB .∠AED=∠AFD=90°， 又：DE=DF,AD=AD, :.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). ∠ADF=∠ADE=67.5°， ∴.∠DAF=90°-∠ADF=22.5° 由(1)得∠ADG=∠DAF=22.5° ∠GDF=∠ADF-∠ADG=45° 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，边BC的垂直平分线与边AB交于点M,点E在线段 AM上，连接CE,CM,且∠ACE=30° B (1)求∠ECM的度数： (2)求证：△ECM是等腰三角形. 【答案】(1)20 (2)证明：∠A=50°，∠ACE=30° ∴.∠CEM=∠A+∠ACE=80°， .·∠MCB=∠B=40° ∴.∠CME=∠MCB+∠B=80°， ∴.∠CEM=∠CME, 6135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE=CM, .△ECM是等腰三角形 【详解】(1)解：~在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴.∠B=90°-∠A=90°-50°=40°， 点M在边BC的垂直平分线上， ∴.MB=MC ∴.∠MCB=∠B=40°， ∴∠ACM=90°-∠MCB=50°、 ·∠ACE=30°， ∴.∠ECM=∠ACM-∠ACE=50°-30°=20°， 则∠ECM的度数为20°， (2)略 ◆题型3根据等角对等边求边长 9.如图，在△ABC中，点E是△ABC内一点，连接EB,EC,ED垂直平分AB,若∠EBC=∠ECB, EC=4,则点A,E之间的距离为() A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】B 【详解】解：连接AE,如图 B ,∠EBC=LECB .EB=EC=4, ,ED垂直平分AB, ∴.EA=EB=4, 7/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即点A,E之间的距离为4 10.如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC分别 交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为() M B A.12 B.10 C.8 D.不确定 【答案】B 【详解】解：，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, .∠MBE=∠CBE,又MN∥BC, .∠MEB=∠CBE, ∴.∠MBE=∠MEB, .'MB=ME, 同理可得：WE=NC, △AMN的周长=AM+MN+AN=AM+ME+NE+AN AM+MB+AN+NC =6+4 =10 11.△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠B的平分线交AC于D,BD=10,则AD= 【答案】10 【详解】解：如图， B D :∠ABC=60°，BD平分∠ABC, A∠ABD=∠ABC=30, 2 :∠C=90°，∠ABC=60°， .∠A=90°-∠ABC=30°， .∠A=∠ABD 8/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=BD=10 12.如图，△ABC中，CD平分∠ACB,DE∥AC交BC于点E,若BC=7,DE=3,则BE长度为 D 【答案】 4 【详解】解：：CD平分∠ACB ∴.∠ACD=∠ECD .DEllAC, .∠CDE=∠ACD ∴.∠CDE=∠ECD」 ∴.CE=DE DE=3, .CE=3 :BC=7, ∴.BE=BC-CE=7-3=4 ◆题型4直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13.如图，直线a,b相交于点O,点A在直线a上，直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形 是等腰三角形，这样的点B有() A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：如图所示， 9135 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b iB3 B2 O 当OA=OB时，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个： 当OA=AB时，以点A为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个： 当OB=AB时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个： ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D 14.如图，点P是直线1上一点，线段4P与直线I的夹角为a(0°<a≤90)，点C在直线1上，若以A,P, C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有() A P A.2个或4个 B.3个或4个 C.4个 D.2个或3个或4个 【答案】A 【详解】解：如图所示，当0<a<90(a≠60）满足条件的点有4个 a入 0 B a a入 C D 当α=90°，满足条件的点有2个 10/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0=90° ad P 当a=60°，满足条件的点有2个 48=30 =60 XB=60 a=60 a=60 B=30 C 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=3,若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形， 则符合条件的点P有() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：：∠C=90°，BC=4,AC=3, ∴.AB=VBC2+AC2=5, 如图所示，分别以B,A为圆心，5为半径作圆，交1于点乃，B,,作AB的垂直平分线，交I于点P, 为等腰三角形，则符合条件的点P有4个. △ABP 故选：D 16.如图，直线a,b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O,点A在直线a上，直线b上存在点B,使 以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有 _个 11/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】4 【详解】解：要使△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B,此时有1个： b e ②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个： b B 0 ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个： b B B 这样的点B有1+1+2=4（个）， 故答案为：4 ◆题型5求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 17.如图，点A、B都在正方形网格的格点上，若等腰△ABC的三个顶点都在格点上，则满足条件的C点 的个数是() A B A.10个 B.8个 c.6个 D.4个 12/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 由图可知，点A、B在同一条竖直格线上，且AB=2, 网格横向有6个格，纵向有3个格， 分三种情况讨论：①当AC=AB=2时，点C在以A为圆心，2为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点A的左侧和右侧，与点A在同一水平线上， B ②当BC=AB=2时，点C在以B为圆心，2为半径的圆上. 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点B的左侧和右侧，与点B在同一水平线上， 4 C B ③当AC=BC时，点C在线段AB的垂直平分线上.线段AB的垂直平分线是经过AB中点的水平格线， 该直线上共有7个格点，除去与A、B共线的1个点（即AB中点），剩余6个点满足条件， A ℃，℃.℃ B 综上所述，满足条件的点C的个数是2+2+6=10 18.己知一条直线I和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画 出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形ABC,除此之外还能画出符合条件的()个等腰三角形 B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：如图， 13/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 则除此之外还能画出符合条件的点C共有4个， 故选：C 19.如图，∠MAN<90°，B是射线AN上的定点，P是射线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则 满足条件的点P共有() M B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：如图， M P P P B 当AB为底时，△ABP为等腰三角形， 当AB为腰时，△ABB,△ABS,均是以AB为腰的等腰三角形， ∴满足条件的点P共有3个. 故选：C 20.如图，以点A,B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个 A B 【答案】6 【详解】解：如图，以AB为直角边有四个，以AB为斜边有两个，共6个： 14/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (C) (C) (C) (C) (C) 故答案为：6. ◆题型6等腰三角形的性质和判定 21.如图，AB=AC,∠BAC=90°，BE⊥AD于点E,CD⊥AD于点D.若BE=8,CD=3,则DE的长 是 【答案】5 【详解】解：：∠BAC=90°，CD⊥AD,BE⊥AD, ∴.∠BEA=∠ADC=90°，∠BAE+∠DAC=90°，∠BAE+∠EBA=90°， ∴.∠EBA=∠DAC. 在△ADC和△BEA中 [∠ADC=∠BEA ∠DAC=∠EBA AC=BA △ADC≌aBEA(AAS). ·AD=BE,AE=CD BE=8,CD=3, .AD=8AE=3, .DE=AD-AE=8-3=5」 15/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°，延长DE交AB于F,若EF=V3,则DF= B 【答案】35 【详解】解：，AB=AC,∠A=60°， ,△ABC是等边三角形， 又：AE=EC, ·∠AEB=90,∠ABE=∠DBE=30°. ,∠ACB=60°，EC=CD, ∠CED=∠CDE=30°， ∴.∠AEF=30°」 ∴.∠FEB=60°， ∠BFE=90°， EF=3, .BE=2N3, :∠DBE=∠CDE=30° .ED=BE=23, ·.DF=ED+EF=3V5 23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别是BC边、AB边、AC边上的动点， 连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形，那么∠BED的度数为 【答案】75°或52.5°或30° 【详解】解：：∠C=90°，∠A=30°， :.∠B=60° 分三种情况：当FA=FE时， 16/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FEA=∠A=30°， ∴.∠BEF=180°-∠FEA=150° ,△BDE≌△FDE, 1 .∠BED=∠FED=5∠BEF=75°： 2 B C(D)4 当AF=AE时， :∠ABF=AFE=180,4=75 2 .∠BEF=180°-∠AEF=105°. ,△BDE≌△FDE, &∠BED=∠DEF=)∠BBF=52.5 2 B 当EA=EF时， ∠A=∠EFA=30°， .∠AEF=180°-∠AFE-∠A=120°， ∴.∠BEF=180°-∠AEF=60° ,△BDE≌△FDE, :∠BED=∠DEF=∠BEF=30. 所以∠BED的度数为75°或52.5°或30° B D E C- A 24.如图，在△ABF中，点D、C在BF上，连接AD、AC,∠I=∠2，∠3=∠4，过点F作EF⊥AD于 17/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E X 3 B14 D (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)求证：AE=DE 【答案】(1)证明：：∠ADF是△ABD的外角， .∠ADF=∠1+∠4， ∠DAF=∠2+∠3，I=∠2，∠3=∠4， .∠ADF=∠DAF, :AF DF, ,∴△ADF是等腰三角形. (2)证明：由(1)得AF=DF, :EF⊥AD, .AE=DE ◆题型7等边三角形的判定和性质 25.如图(1)是一把折叠椅实物图，如图(2)是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架 AB与CD交于点O,OD=OB.椅面MN与地面水平线1平行(ACI‖DB),BD=2AC,∠CA0=60°， BD=20cm,则支架AB的长度为() CN 凳面水平线 D B 地面水平线 (1) (2) A.25cm B.20cm C.15cm D.30cm 【答案】D 【详解】解：：ACIIDB,∠CA0=60°， .∠OBD=∠CAO=60°，∠AC0=∠ODB, ..OD=OB 18/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BOD为等边三角形， ∴OB=BD=20cm,∠ODB=∠BOD=60°， .∠A0C=∠BOD=60°，∠AC0=60°， :.△ACO为等边三角形， ∴OA=AC, ..BD=2AC.BD =20cm. ..04=AC=10cm, .AB=04+OB=30(cm) 26.如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC,DE垂直平分AB,垂足为点D,连接CE, ∠B=50°，则∠BCE的度数为() A.10° B.15o c.20° D.25 【答案】A 【详解】解：连接BE, C.AB=AC∠ABC=50° .∠ACB=∠ABC=50°，∠BAC=180°-50°-50°=80°， :AE平分∠BAC, 1 ∴.∠BAE=5∠BAC=40°， 2 DE垂直平分AB, .EA=EB, ∴.∠ABE=∠BAE=40°， :AB=AC,AE平分∠BAC, ∴AE垂直平分BC, ∴EB=EC, 19/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCE=∠CBE :∠CBE=∠ABC-∠ABE=50°-40°=10°」 ∴.∠BCE=10° 27.如图，△ABC是等边三角形，AB=3,点P是BC上一动点，BP=m,PD∥AC,交AB于点D,连 接CD.过点P作PE∥AB交AC于E,连接BE,交CD于F.当BE+CD的值最小时，m的值为一 3 【答案】 【详解】解：“△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=3, .PD∥AC,PE∥AB ∴.∠DPB=∠ACB=60°，∠BDP=∠A=60°，∠PEC=∠A=60°，∠EPC=∠ABC=60° ∴△BDP和△CEP为等边三角形，∠BPE=∠CPD=120°， .PB=PD,PE=PC, ∴ABPE≌aDPC(SAS). :.BE=CD, ∴.BE+CD=2BE ∴当BE⊥AC时，BE+CD最短，此时点E是AC中点， .CE-8- 3 2 :PC=CE= 3 .m=BP=BC-PC=> 28.如图，己知在AABC中，AB=AC,D为AABC外一点，∠ABD=60, ZADB90°2BDC,求证 AB=BD+DC 20/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 【答案】证明：作点B关于AD的对称点E,连接AE、DE, A -,E 则BD=ED°AB=AB=AC:∠ABD=∠ABD=60:∠ADE=∠ADB=90P-∠BDC, :∠ADE+∠ADB+∠BDC=90°-)∠BDC+90-)∠BDC+∠BDC=180, 21 2 ∴C、D、E在同一条直线上， △ACE是等边三角形， .AC=CE=CD+DE .AB=CD+BD ◆题型8等边对等角 29.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D,以C为圆 心，BC长为半径作弧，与AC交于点E,连结BD,BE,则∠DBE的度数为() A.30° B.45o C.60° D.与∠A的大小有关 【答案】B 【详解】解：设∠A=a,∠C=B,则在Rt△ABC中，∠A+∠C=a+B=90°， 由题意可知AB=AD,CB=CE」 .△ABD和△CBE是等腰三角形， 21/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则24D8-080-4)=90-0,2cEB=080p-∠0)-=90-A, 在BDs中，白∠D85+2DE+∠BD=1w可得<DE=10-(o-0Pa+)-s 30.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，点D在点E左侧，BD=CE,连接AD,AE,试 说明：AD=AE」 【答案】解：因为AB=AC, 所以∠B=∠C 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠B=∠C BD=CE 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以AD=AE 【详解】略 31.如图，点E在BC上，AE‖DC,AB=AE.求证：∠B=∠C, B E 【答案】证明：：AEDC, .∠C=∠AEB, .AB=AE, ∴.∠B=∠AEB, ∴.∠B=∠C. 【详解】证明：略 32.如图，∠ABD=∠CBD,DA⊥BA,DC⊥BC.求证：∠DAC=∠DCA, 22/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】证明：：∠ABD=∠CBD .BD是∠ABC的平分线， :DA⊥BA,DC⊥BC, .DA=DC. .∠DAC=∠DCA ◆题型9大（小）边对大（小）角定理 33.“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结 论，判断下列说法： ①在△ABC中，如果AB>AC>BC,那么∠C>∠B>∠A ②在△ABC中，如果AB>AC>BC,且∠B=60°，那么△ABC是锐角三角形 ③在△ABC中，如果AB=AC>BC,那么∠C=∠B>∠A ④在△ABC中，如果AB=AC=BC,那么△ABC是锐角三角形 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：在△ABC中，AB>AC>BC, ∴根据大边对大角，AB对∠C,AC对∠B,BC对∠A, .∠C>∠B>∠A,故①正确， ,AB>AC>BC且∠B=60°， ∠C>60°且∠A<60°. 又：∠A+∠B+∠C=180°， .∠A+∠C=120° 若∠C>90°，则△ABC为钝角三角形，故②错误. ..AB=AC>BC. .∠C=∠B 又：BC最小，对应对角∠A最小， 23/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠B>∠A,故③正确. .AB=AC=BC. ∴，△ABC为等边三角形，所有角均为60°，为锐角三角形，故④正确， 正确的个数为3。 故选C. 34.在△ABC中，已知AB>AC,则∠B ∠C(填“>”、“<”或“=”) 【答案】< 【详解】解：在△ABC中，AB对∠C,AC对∠B,AB>AC, .∠C>∠B,即∠B<LC 35.在△ABC中，已知AB>AC,∠B=40°，则∠C应满足的条件是 【答案】 40°<∠C<140° 【详解】解：在△ABC中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边AB所对的内角为∠C,边AC所对的内角为∠B, AB>AC ∴.∠C>∠B 又~∠B=40° .∠C>40°. 根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180° 可得∠A=180°-40°-∠C=140°-∠C :三角形的内角大于0°，即∠A>0° .140°-∠C>0° 解得∠C<140° 综上可得40°<∠C<140°40°<∠C<140° 36.如图，已知：在△ABC中，AC<AB,AD是BC边上的中线.求证：∠BAD<∠CAD A 【答案】证明：把△ABD绕点D顺时针旋转18O°到△ECD的位置，如图， 24/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E ·∠E=∠BAD,CE=AB,而AB>AC, ..CE>AC, ∴.∠CAD>∠E, 所以∠BAD<∠CAD 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，已知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() D A,AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 【答案】A 【详解】解：在△ABD中，∠ADB>∠B, .AB>AD. 在△ABC中，∠B>∠C, ..AC>AB .AC>AB>AD. 故选：A 2.如图，在△ABC中，E为边AC上一点，连接BE,过点C作CD⊥BE,垂足为D,且BD=ED, ∠A=∠ABE,若AC=8,BC=5,则BD的长为() 25/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.3 B.2 C.1.5 D.1.2 【答案】C 【详解】解：，CD⊥BE,且BD=ED, ..CE=BC=5. AC=8, .'AE=AC-CE=3, ∠A=∠ABE, .'BE=AE=3. :.BD=IBE=3 3.如图，己知平面直角坐标系中有A(1,),B(3,0)两点，若在y轴上取点C,使△ABC为等腰三角形，则 满足条件的点C的个数是() y外 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：当AB=AC,以A为圆心，AB为半径作圆，与y轴有2个交点，点C,C2,故有2个等腰三 角形： 当CA=CB时，作出AB的垂直平分线，与V轴有1个交点，故有1个等腰三角形： 261/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，满足条件的点C的个数是3个 二、填空题 4.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点.若LBEC=∠AED,DE=2,则BE的长为 D B 【答案】4 【详解】解：：点D,E分别是边AB,AC的中点， ..BC=2DE =4,DEll BC. ∴.∠C=∠AED, ∠BEC=∠AED. ∠BEC=∠C, .BE=BC=4 5.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心， 大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交AB于点E:若AB=10:AC=6: 则△ADE的周长为. 27135 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E 冬N 【答案】16 【详解】解：由作图可知，AD=AC, :AC=6, .AD=6, 由作图可知，直线MN是BD的垂直平分线， :点E在直线MN上， .EB=ED CAADE AD+AE+DE 将DE=EB代入得，C=AD+AE+EB=AD+AB, AB=10,AD=6, .C.MDe=6+10=16 6.点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都 是等腰三角形，则这样的点P的个数为 【答案】10 【详解】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点，B两点；以B为圆心，AB为半 径弧交BC的垂直平分线于点乃，这样在AB的垂直平分线上有三点， ②同样在AC,BC的垂直平分线上也分别有三点： ③还有一点就是AB,BC,AC三条边的垂直平分线的交点P; 共3+3+3+1=10点. ◆P1 ● ● B ◆P2 P3 28/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：10 三、解答题 7.如图，在△ABC中，AB=AC,过点B、C分别作BD⊥AB,CE⊥AC,连接AD、AE、DE, ∠ADE=∠AED.求证：BD=CE. D E 【答案】证明：~BD⊥AB,CE⊥AC, ∴.∠ABD=∠ACE=90°. ·∠ADE=∠AED, .AD=AE. 又：AB=AC, :RtABDS≌Rt△ACE(HL), ∴.BD=CE 【详解】略 8.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，点E在AB上，∠BDE=90°，DB=DE=AE E D C (1)若BC=5,求AD的长. (2)∠A的度数为 【答案】(1)10 (2)22.5° 【详解】(1)解：如图所示，过点E作EF⊥AD交AD于点F, 29/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F D B C .∴.∠EFD=90° :∠DEF+∠EDF=90°， 又：∠BDE=90°， ∴.∠EDF+∠BDC=180°-∠BDE=90°， ∴.∠DEF=∠BDC, 在△DEF和△BDC中， [∠DEF=∠BDC ∠EFD=∠C DE=BD ∴.△DEF≌aBDC(AAS). ∴.DF=BC=5 :EA=ED,EF⊥AD, .AD=2DF=10 (2)解：设∠A的度数为x, EA=ED, ∴∠EDF=∠A=x, 又aDEF≌aBDC, ∴.∠DBC=∠EDF=x DB=DE,∠BDE=90°， :∴△BDE为等腰直角三角形， ∴.∠EBD=45°. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°， ∠A+∠EBD+∠DBC+∠C=I8O° 即x+45°+x+90°=180°， 解得x=22.5°， 30/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=22.5°. 9.综合与探究 问题情境：在等边三角形ABC中，E是折线B-A-C上的动点，D为射线BC上任意一点，且ED=EB, ① ② ③ 备用图 (1)初步探究：如图O,当动点E在边BA上时，连接CE，AD,求证：△AED≌△CDE; (2)如图②，当动点E是边AC的中点时，则AE CD(选填“>”，“=”或“<”)； (3)深入探究：如图③，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD (4)连接AD,若AB=12cm,△BAD是直角三角形，直接写出AE的长. 【答案】(1)证明：：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠B=60° EB=ED. ,∴△EBD为等边三角形， .EB=BD,∠BED=∠EDB=6O°， ∴AB-EB=BC-BD,即AE=CD. :∠AED=180°-∠BED=120°， ∠CDE=180°-∠BDE=120°， ∴.∠AED=∠CDE 在△AED和△CDE中， AE=CD ∠AED=∠CDE ED=DE .AAEDACDE (SAS). (2)= (B)证明：过点E作EF∥BC,交AB于F, 是等边三角形， D:△ABC EF∥BC 31/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEF=∠ACB=60°，∠AFE=∠ABC=60° ∴.AE=EF=AF,∠BFE=120°， AB-AF=AC-AE,即BF=CE①. ∠BFE=∠ECD=180°-60°=120°②，EB=ED③， 由①②③知，△FBE≌aCED(SAS), .EF=CD AE=EF, ∴AE=CD (4)AE的长为6cm或12cm 【详解】(1)略 (2)解：：△ABC为等边三角形，E是AC中点， BE14c∠BC-Bc=30 :EB=ED」 ∴.∠CDE=∠EBC=30° :∠ACB=∠CDE+∠CED,∠ACB=6O°， ∴.∠CED=30° ∴.CD=CE :E为AC中点，AE=CE, ∴AE=CD (3)略 (4)解：已知AB=12cm,△BAD为直角三角形，分情况讨论： ①当∠ADB=90°时，如图， 是 的中线， ∴.AD△ABC .BD=CD-24B=6. 由(1)知，AE=CD, .AE=6cm 32/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当∠BAD=90°时，如图， C(E) ≥D.∠ADB=90°-∠ABC=30° ∴.BD=2AB=24, ∴.CD=BD-BC=24-12=12, 由(3)知，CD=AE, ∴.AE=12cm: 综上，AE的长为6cm或12cm 10.已知△ABC中，∠BAC=&,点D在BC上，连接AD. 图1 图2 图3 (1)设a=120°，AD平分∠BAC,点E在射线AD上，连接BE. ①如图1，若AB=BE,试说明BE∥AC: ②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC: (2)如图3，若a=90°，AB=AC,作点C关于射线AD的对称点C,连接BC并延长交射线AD于点F, 连接CF,若CF=3,△ACF的面积为7，求BF的长. 【答案】(1)证明：①：∠BAC=a,a=120°，AD平分∠BAC, ∠BME=∠BaC-=2BMC=60. AB=BE, ∴.△ABE是等边三角形， ∴.∠E=60° ∴.∠E=∠EAC, .BE∥AC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, 33/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 由(1)知∠BAE=60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴.BH=BA=AH,∠BHA=60°， ∴.∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC. :∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=60° .180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， [∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA .△BHE≌aBAC(AAS), .HE=AC, ∴.AE=AH+HE=AB+AC: 19 24 【详解】(1)①略.②略. (2)解：如图，连接AC',作AM L BF-于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, M 点与 关于射线 对称， 图3 .CC AD CC rC-FC-FAC-CAC 1 C.AM=1FC.AN=7. .2 2 34/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4M=AN=2S4c=2x7_14 FC 33 .AB=AC,AC"=AC, .AC'=AB, AM⊥BF, :MC=MB,∠MC'=∠MAB=;∠BAC, 2 ∠wc+∠Ac-Bac+号C4c-1c-o0=45. 2 ∴.△AMF是等腰直角三角形， AM =MF MC=MF-FC=14-3=5 5 3 3 MB=MC=5 3 BF=BM+Mr=5+14_19 3+3=3 35/35学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10等腰三角形 常考题型精准突破 。考点一等腰三角形●一 ◆题型1三线合一 1.6 【详解】解：：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, .AD是△ABC的中线， .SAAB=S△AC, :Sx=28m=2×4B-DE SAABC= 1 AC.BF,AB=AC' 2 BF=DE=3cm, :.2 ∴.BF=6cm. 2.16 【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD延长线于点F, D B ∴.∠F=∠AEC=90° .∠BCF+∠CBF=90° .∠ACB=90°， .LBCF+∠ACE=90°， ∴.∠CBF=ACE, 在△BCF和△CAE中， 1/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠AEC=90° ∠CBF=∠ACE, BC=CA .△BCF≌aCAE(AAS), ∴BF=CE, :AC=AD,AE⊥CD,CD=8, :.CE-1CD-4, .BF=4, 六aBCD的面积为2CD-BF=)x8x4=16 3.BC正好处于水平位置，理由如下： :在三角测平架中，AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC(三线合一)， 又，AD自然下垂，即AD与水平线垂直， .BC处于水平位置 4.(1)证明：∠BAF=∠EAD, .∠BAC+∠CAF=∠CAF+∠FAD, 即∠BAC=∠FAD 在△ABC和△AFD中， [∠BAC=∠FAD AC=AD ∠ACB=∠ADF ∴△ABC≌AAFD(ASA). .AB=AF: (2)AB=AF,AC⊥BD ∴.∠BAC=∠FAC .'∠BAC=∠FAD ∴.∠BAC=∠FAD=∠FAC .'∠BAF=∠BAC+∠FAC ,∠BAF=2∠DAF ◆题型2根据等角对等边证明等腰三角形 2/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.证明：：BD与CE是△ABC的高， .∠BEC=∠BDC=90°， 在△OBE和△OCD中， ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90° OE=OD .OBESOCD(AAS). .BE=CD, 在RABCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC' .RtABCES≌RtACBD(H), ∴.∠ABC=∠ACB. .AB=AC, .△ABC是等腰三角形. 6.△ABC是等腰三角形，见解析 【详解】解：△ABC是等腰三角形，证明如下： :DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠DEB=∠DFC=90° 在RIADEB和RtADFC中： .BD=CD,BE=CF ..RtADEBRtADFC(HL), ∠B=∠C. .AB=AC. .△ABC是等腰三角形. 7.(1)证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,且DE=DF, .AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD ,·DGIAC .∠ADG=∠CAD, 3/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADG=∠BAD, .AG=DG. ∴△ADG是等腰三角形： (2)45° 【详解】(1)略 (2)解：：DE⊥AC,DF⊥AB .∠AED=∠AFD=90°」 又，DE=DF,AD=AD, :.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). .∠ADF=∠ADE=67.5° .∠DAF=90°-∠ADF=22.5°， 由(1)得∠ADG=∠DAF=22.5° .∠GDF=∠ADF-∠ADG=45°， 8.(1)20° (2)证明：∠A=50°，∠ACE=30°， ∴.∠CEM=∠A+∠ACE=80°， :∠MCB=∠B=40°， ∴.∠CME=∠MCB+∠B=80°， ∴.∠CEM=∠CME. .CE=CM, .△ECM是等腰三角形， 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°， :点M在边BC的垂直平分线上， .MB=MC .∠MCB=∠B=40°， ∴.∠ACM=90°-∠MCB=50°， ·∠ACE=30°」 .∠ECM=∠ACM-∠ACE=50°-30°=20°、 则∠ECM的度数为20°. 4/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 ◆题型3根据等角对等边求边长 9.B 【详解】解：连接AE,如图 B .∠EBC=∠ECB .'EB=EC=4, ,ED垂直平分AB, .'EA=EB=4, 即点A,E之间的距离为4. 10.B 【详解】解：∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, ∴.∠MBE=LCBE,又MN∥BC, ∴.∠MEB=∠CBE, .∠MBE=∠MEB, .MB=ME, 同理可得：NE=WC, △AMN的周长=AM+MN+AN=AM+ME+NE+AW =AM+MB+AN+NC =6+4 =10. 11.10 【详解】解：如图， B :∠ABC=60°，BD平分∠ABC, 5123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A∠ABD=∠ABC=30e、 :∠C=90°，∠ABC=60°， .∠A=90°-∠ABC=30°， ∴.∠A=∠ABD .AD=BD=10 12. 4 【详解】解：CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠ECD DEI∥AC, .∠CDE=∠ACD .∠CDE=∠ECD. .CE=DE DE=3, .CE=3. :BC=7, ∴.BE=BC-CE=7-3=4」 ◆题型4直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13.D 【详解】解：如图所示， iB y B O a B 当OA=OB时，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个： 当OA=AB时，以点A为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个： 当OB=AB时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D 14.A 【详解】解：如图所示，当0<α<90°(a≠60)满足条件的点有4个 A A a A a入 P C 当α=90°，满足条件的点有2个 A a=90° ■ 当a=60°， 满足条件的点有2个 Aδ=30° 60 B=60° a=60 u=60 f=30 C 15.D 【详解】解：：∠C=90,BC=4,AC=3 ∴.AB=VBC2+AC2=5, 如图所示，分别以B,A为圆心，5为半径作圆，交I于点，，，作AB的垂直平分线，交1于点P, 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为等腰三角形，则符合条件的点P有4个. P △ABP 故选：D, 16.4 【详解】解：要使△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B,此时有1个： b B d ②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个： b -a ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个； b B: ∴这样的点B有1+1+2=4（个）， 故答案为：4. ◆题型5求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 17.A 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 由图可知，点A、B在同一条竖直格线上，且AB=2, 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 网格横向有6个格，纵向有3个格， 分三种情况讨论：①当AC=AB=2时，点C在以A为圆心，2为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点A的左侧和右侧，与点A在同一水平线上， C B ②当BC=AB=2时，点C在以B为圆心，2为半径的圆上. 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点B的左侧和右侧，与点B在同一水平线上， B CA ③当AC=BC时，点C在线段AB的垂直平分线上.线段AB的垂直平分线是经过AB中点的水平格线， 该直线上共有7个格点，除去与A、B共线的1个点（即AB中点），剩余6个点满足条件， A c,C。C B 综上所述，满足条件的点C的个数是2+2+6=10 18.C 【详解】解：如图， C ℃4 则除此之外还能画出符合条件的点C共有4个， 故选：C 19.C 【详解】解：如图， 9123 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M P P A B N 当AB为底时，△ABR为等腰三角形， 当AB为腰时，△AB,△ABE,均是以AB为腰的等腰三角形， 满足条件的点P共有3个. 故选：C 20.6 【详解】解：如图，以AB为直角边有四个，以AB为斜边有两个，共6个： (C) (C) B (C) (C) (C) 故答案为：6. ◆题型6等腰三角形的性质和判定 21.5 【详解】解：，∠BAC=90°，CD⊥AD,BE⊥AD .∠BEA=∠ADC=90°，∠BAE+∠DAC=90°，∠BAE+∠EBA=90°， .∠EBA=∠DAC、 在△ADC和△BEA中 ∠ADC=∠BEA ∠DAC=∠EBA AC=BA 10/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADC≌aBEA(AAS). .AD=BE,AE=CD」 BE=8,CD=3, .AD=8,AE=3, .DE=AD-AE=8-3=5」 22.3V5 【详解】解：：AB=AC,∠A=60°， :.△ABC是等边三角形， 又，AE=EC, .∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°， .∠ACB=60°，EC=CD, .∠CED=∠CDE=30°， .∠AEF=30° .∠FEB=60° .∠BFE=90°. EF=3. .BE=25. .∠DBE=∠CDE=30°. .ED=BE=23 .'DF ED+EF=33 23.75°或52.5°或30° 【详解】解：∠C=90°，∠A=30° .∠B=60° 分三种情况：当FA=FE时， .∠FEA=∠A=30°， ∴.∠BEF=180°-∠FEA=150° .'△BDE≌△FDE, A.∠BED=∠FED=)∠BBF=75°； 2 11/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C(D) 当AF=AE时， :∠ABF=aFE-180,4=75, 2 ∠BEF=180°-∠AEF=105° ,△BDE≌△FDE, A∠BBD=∠DEF=)∠BBF=52.5°， E 当EA=EF时， .∠A=∠EFA=30° .∠AEF=180°-∠AFE-∠A=120°， .∠BEF=180°-∠AEF=60°」 △BDE≌△FDE, .∠BED=∠DEF= 1∠BEF=30° 所以∠BED的度数为75°或52.5°或30°. D E C(F) A 24.(1)证明：：∠ADF是△ABD的外角， .∠ADF=∠1+∠4， :∠DAF=∠2+∠3，I=∠2，∠3=∠4， .∠ADF=∠DAF, ∴.AF=DF, ,△ADF是等腰三角形， 12/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：由(1)得AF=DF, :EF⊥AD! .AE=DE. ◆题型7等边三角形的判定和性质 25.D 【详解】解：：AC‖DB,∠CAO=60°， ∴.∠OBD=∠CAO=60°，∠ACO=LODB, OD =OB. ∴.△BOD为等边三角形， .OB=BD=20cm,∠ODB=∠BOD=60°， :.∠AOC=∠BOD=60°，∠AC0=60°， ∴.△ACO为等边三角形， ..OA=AC, BD=2AC,BD=20cm, ∴.OA=AC=10cm. .AB=04+OB=30(cm) 26.A 【详解】解：连接BE, D C.'AB=AC∠ABC=50° ∴.∠ACB=∠ABC=50°，∠BAC=180°-50°-50°=80°， :AE平分∠BAC, ∠BAE=∠BAC=40, 2 DE垂直平分AB, ·.EA=EB, .∠ABE=∠BAE=40° :AB=AC,AE平分∠BAC, ∴·AE垂直平分BC, 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EB=EC, .∠BCE=∠CBE :∠CBE=∠ABC-∠ABE=50°-40°=10°， ∴.∠BCE=10° 3 27.2 【详解】解：△ABC为等边三角形， ∠A=∠ABC=∠ACB=6O°，AB=BC=AC=3, :PD∥AC,PE∥AB ∴.∠DPB=∠ACB=60,∠BDP=∠A=60°，∠PEC=∠A=60°，∠EPC=∠ABC=60°， :aBDP和△CEP为等边三角形，∠BPE=∠CPD=120°， ∴PB=PD,PE=PC, ∴.aBPE≌aDPC(SAS). ∴BE=CD, ∴.BE+CD=2BE. ∴当BE⊥AC时，BE+CD最短，此时点E是AC中点， .CE=1AB=3 2 2 .PC-CE- m=BP=BC-PC=3 28.证明：作点B关于AD的对称点E,连接AE、DE, A D 则BD=BD'AB=AE=4AC:∠ABD=∠ABD=60,∠ADE=∠ADB=90-∠BDC, A0E+AD8+∠0C=90r-BDC+0-号BnC+∠BDC=18C, 2 .C、D、E在同一条直线上， 14123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ACE是等边三角形， .AC=CE=CD+DE, ∴.AB=CD+BD ◆题型8等边对等角 29.B 【详解】解：设∠A=a,∠C=P,则在Rt△ABC中，∠A+∠C=a+B=90°， 由题意可知AB=AD,CB=CE, :△ABD和△CBE是等腰三角形， 则4D8=080-0-=90-a.∠CEB-080-∠C)-0-P, 在Bn6,由☑D8E+DE+∠BED=18w可得2D8E-=10-0-小00-P-e+=8 30.解：因为AB=AC, 所以∠B=C」 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠B=∠C BD=CE 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以AD=AE 【详解】略 31.证明：AEDC, .∠C=∠AEB, AB=AE, ∴.∠B=∠AEB, .∠B=∠C. 32.证明：：∠ABD=∠CBD, .BD是∠ABC的平分线， :DA⊥BA,DC⊥BC, .DA=DC, .∠DAC=∠DCA 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9大（小）边对大（小）角定理 33.C 【详解】解：，在△ABC中，AB>AC>BC ∴根据大边对大角，AB对∠C,AC对∠B,BC对∠A, .∠C>∠B>∠A,故①正确： .AB>AC>BC且∠B=60°， .∠C>60°且∠A<60°， 又.∠A+∠B+∠C=180°， .∠A+∠C=120°， 若∠C>90°，则△ABC为钝角三角形，故②错误. ..AB=AC>BC. .∠C=∠B 又BC最小，对应对角∠A最小， ∴∠C=∠B>∠A,故③正确、 AB=AC=BC, ∴.△ABC为等边三角形，所有角均为60°，为锐角三角形，故④正确. .正确的个数为3. 故选C 34.< 【详解】解：在△ABC中，AB对∠C,AC对∠B,AB>AC, ∴∠C>∠B,即∠B<∠C. 35. 40°<∠C<140° 【详解】解：在△ABC中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边AB所对的内角为∠C,边AC所对的内角为∠B, .·AB>AC .∠C>∠B 又∠B=40° ∴.∠C>40°」 根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180° 可得∠A=180°-40°-∠C=140°-∠C 16/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :三角形的内角大于0°，即∠A>0° .140°-∠C>0 解得∠C<140° 综上可得40°<∠C<140°40°<∠C<140° 36.证明：把△ABD绕点D顺时针旋转180°到△ECD的位置，如图， A B D E ∠E=∠BAD,CE=AB,而AB>AC, .CE>AC, ∠CAD>∠E, 所以∠BAD<∠CAD 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.A 2.C 3.B 二、填空题 4.4 5.16 6.10 三、解答题 7. 【答案】证明：：BD⊥AB,CE⊥AC, ∴.∠ABD=∠ACE=90°， .∠ADE=∠AED 17/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=AE, 又'AB=AC, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACE(HL) ∴.BD=CE 8. 【答案】(1)10 (2)22.5° 【详解】(1)解：如图所示，过点E作EF⊥AD交AD于点F, A E F d ∴.∠EFD=90° :∠DEF+∠EDF=90°， 又：∠BDE=90° .∠EDF+∠BDC=180°-∠BDE=90°， .∠DEF=∠BDC, 在△DEF和△BDC中， [∠DEF=∠BDC ∠EFD=∠C DE=BD ∴ADEF≌ABDC(AAS) ..DF=BC=5 EA=ED,EF⊥AD, ∴.AD=2DF=10 (2)解：设∠A的度数为x, EA=ED, .∠EDF=∠A=x, 又：aDEF≌△BDC, 18/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBC=∠EDF=x. DB=DE,∠BDE=90°， ∴△BDE为等腰直角三角形， .∠EBD=45° 在△ABC中，根据三角形内角和为180°， ∠A+∠EBD+∠DBC+∠C=180° 即x+45°+x+90°=180°， 解得x=22.5°， .∠A=22.5° 9. 【答案】(1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠B=60° EB=ED, ∴△EBD为等边三角形， ∴.EB=BD,∠BED=∠EDB=6O° .AB-EB=BC-BD,即AE=CD」 .∠AED=180°-∠BED=120° ∠CDE=180°-∠BDE=120°， ∴.∠AED=∠CDE 在△AED和△CDE中， AE=CD ∠AED=∠CDE ED=DE AAED≌ACDE(SAS): (2)= (3)证明：过点E作EF∥BC,交AB于F, 是等边三角形， D△ABC EFI∥BC :.∠AEF=∠ACB=60°，∠AFE=∠ABC=60° 19/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=EF=AF,∠BFE=120, ∴.AB-AF=AC-AE,即BF=CE①. :∠BFE=∠ECD=180°-60°=120°②，EB=ED③， 由①②③知， AFBE≌ACED(SAS). ..EF=CD :AE =EF, .AE=CD (4)AE的长为6cm或12cm 【详解】(1)略 (2)解：：△ABC为等边三角形，E是AC中点， :BE⊥AC,∠EBC=∠ABC=30°， 2 EB=ED, ∴.∠CDE=∠EBC=30° ∠ACB=∠CDE+∠CED,∠ACB=6O°， .∠CED=30° ∴.CD=CE E为AC中点，AE=CE, ∴.AE=CD (3)略 (4)解：已知AB=12cm,△BAD为直角三角形，分情况讨论： ①当∠ADB=90°时，如图， 是 的中线， D ∴.AD△ABC BD=CD 2B=6 由(1)知，AE=CD. ∴.AE=6cm; ②当∠BAD=90°时，如图， 20/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PD C(E) .∠ADB=90°-∠ABC=30° BD=2AB=24, ∴.CD=BD-BC=24-12=12, 由(3)知，CD=AE, .AE =12cm: 综上，AE的长为6cm或12cm. 10. 【答案】(1)证明：①∠BAC=au,a=120°，AD平分∠BAC, ∠BAE=∠EAC=)∠BAC=60°， ·AB=BE ∴.△ABE是等边三角形， .∠E=60° .∠E=∠EAC, .BE∥AC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, 图2 由(1)知∠BAE=60°， ∴，△ABH是等边三角形， ∴.BH=BA=AH,∠BHA=60°、 ∴.∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, :∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=6O°. .180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， 21/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA .△BHE≌aBAC(AAS), .HE=AC .AE=AH+HE=AB+AC; 19 2)3 【详解】(1)①略.②略. (2)解：如图，连接AC',作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, M C D 点与关于射线 对称， 图3 .CC AD :AC'=AC'FC=FC=3 ∠RPac=FM-CC,S=Se=7- C.AM=1FC.AN=7. ∴.2 AM=4AN=2S4e=2x7_14 FC33 .AB=AC,AC'=AC, .AC'=AB. :AM⊥BF, :MC=MB'∠MMC=∠MMB=)∠BAC. 2 ∠MMC+∠FAC=∠BAC+∠C4C=∠BAC=x90°=45°， 2 2 ∴.△AMF是等腰直角三角形， AM-AF ,MC'=MF-FC=14-3=5 3 3 22/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MB-MC=5 BF=BM+MF=+14_19 333· 23/23