第4章 图形的轴对称 重点例题与习题 2025－2026学年青岛版数学八年级上册

回归教材系列 2025～2026学年青岛版八年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版八年级上册数学第4章 图形的轴对称 1.如图，请画出与关于直线成轴对称的图形。 2.如图，与关于直线成轴对称。请指出它们的对应顶点，并找出相等的边和相等的角。 3.如图，设和是镜面平行且相对的两平面镜，把一个小球放在两镜之间，小球在镜中的像为，在镜中的像为。若，的距离为。求的长。 4.如图，与关于直线成轴对称。已知，，。求的长和的度数。 5.图是一个轴对称图形在对称轴左侧的部分。 设点，关于直线的对称点分别为，，将图形补充完整； 连接，。直接写出与，与的数量关系。 6. 如图，与关于直线成轴对称。已知，。求的度数。 7.如图，将沿直线折叠后，点与点重合。已知，的周长为。求的长。 8.如图，，，点在上。求证：。 9.海伦，生卒年不详是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请教过一个问题：“我每天策马往返于河岸同侧的两个边防站之间，途中要到河边让马饮水。怎样走才能使路径最短呢？”此问题也叫“将军饮马问题”，抽象成数学问题可表达为：如图，已知，两点在直线的同侧，在直线上求作一点，使的值最小。 10.如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为点，交于点，连接。求的周长。 11.如图，已知，。 求证：垂直平分。 12.如图，，，，垂足分别是点，，。求的度数。 13.如图，在四边形中，，，，对角线平分。求的面积。 14.如图，在中，，，，垂足分别是点，，且。求证：点在的平分线上。 15.如图，，是的中点，平分。求。 16.已知，平分，点，分别在射线，上。 如图，，当为何值时？请说明理由； 如图，当与有何关系时？请说明理由。 17. 如图，是内部的一点，，，垂足分别是点，，且。是射线上的任意一点，，，垂足分别是点，。与相等吗？为什么？ 18.如图，点是的平分线上一点，，垂足为点，。求点到直线的距离。 19.如图，在等边三角形中，，垂足是点。求的度数。 20.如图，，平分。求证：。 21.如图，为等边三角形，。求证：是等边三角形。 22.“三等分角问题”是古希腊几何三大问题之一。借助如左下图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个锐角。这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，则。请说明其中的原理。 23.如图，在中，，为的中点，，。求的度数。 24.如图，在等边三角形中，，垂足为点。点在的延长线上，。求证：。 25.如图，在中，，为上一点，且，。求的度数。 26.如图，在锐角三角形中，，是的角平分线，是上一点，连接，，，。求的面积。 27.如图，，的垂直平分线交于点，连接，。求的度数。 28.如图，等边三角形的边长为。，分别是，上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部。求阴影部分图形的周长。 29.如图，在中，，点在上，，垂足是点，，垂足是点，且。求证：点是的中点。 30.如图，在等边三角形中，边上的中线与边上的中线相交于点。若，求的长。 31.如图，。若和分别垂直平分和，求的度数。 32.如图，直线与直线相交，，点在内。用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，，如此继续，得到一系列点，，，，，。若与重合，探索的最小值。 33.如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点。当时，求周长的最小值。 答案和解析 1.【答案】解：如图所示，与关于直线成轴对称。   2.【答案】解：对应顶点：点与，点与，点与。 相等的边：，，。 相等的角：，，。   3.【答案】解：设到镜的距离为，则到镜的距离为。到镜的距离为，到镜的距离为，，。  4.【答案】解：因为与关于直线成轴对称， 所以≌。 所以，。 又因为，， 所以。   5.【答案】【小题】 解：如图，画出点，关于直线的对称点，；连接，，。 五边形就是所要画的完整图形。 【小题】 ，。   6.【答案】解：因为与关于直线成轴对称， 所以，。 因为，， 所以，解得， 所以。   7.【答案】解：因为沿直线折叠后，点与点重合， 所以。 因为的周长为，所以。 因为，所以。 所以。 因为，所以。   8.【答案】证明：如图所示，连接。 因为，， 所以是的垂直平分线，所以。   9.【答案】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点。点就是所求作的点。理由如下： 因为点，关于直线对称， 所以是的垂直平分线。 所以线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 所以。 在直线上另外任取一点，连接，，。 同理。 因为， 所以。 所以的值最小。   10.【答案】解：因为直线垂直平分，所以。 所以。 因为， 所以的周长。   11.【答案】证明：如图所示，设与相交于点。 在和中， 所以≌， 所以。 在和中， 所以≌， 所以，。 因为，所以， 所以，所以，即， 所以垂直平分。   12.【答案】解：因为，，， 所以是的平分线， 所以。   13.【答案】解：如图所示，过点作，垂足为点。 因为，所以。 因为平分，， 所以。 因为， 所以的面积。   14.【答案】证明：因为，， 所以。 在和中， 所以≌， 所以。所以点在的平分线上。   15.【答案】解：如图所示，过点作，垂足为点，所以。 因为， 所以，。 因为平分， 所以，。 因为是的中点， 所以，所以。 在和中， 所以≌， 所以。 因为， 所以，所以， 即， 所以，所以。 在中，因为， 所以。   16.【答案】【小题】 解：当时，。 理由：如图所示， 因为，所以。 因为平分，， 所以角平分线的性质定理。 所以当时，。 【小题】 当与互补时，。 理由：如图所示，过点分别作，，垂足分别为，， 所以。 因为平分， 所以角平分线的性质定理。 因为，， 所以，即。 在和中， 所以≌，所以。 所以当或与互补时，。   17.【答案】解：。理由如下： 因为，，， 所以是的平分线角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 因为点在射线上，，， 所以角平分线的性质定理。   18.【答案】解：如图所示，过点作，垂足为。因为点是的平分线上一点， ，，，所以。 所以点到直线的距离是。   19.【答案】解：因为是等边三角形，， 所以，平分， 所以。   20.【答案】证明：因为，所以。 因为平分，所以， 所以，所以。   21.【答案】证明：因为为等边三角形，所以。 因为，所以。 所以。 同理，。 所以。 所以是等边三角形。   22.【答案】解：因为，所以。 因为，所以。 因为， 所以。 因为， 所以。   23.【答案】解：因为，为的中点， 所以，。 因为，所以。 又因为， 所以。 所以。   24.【答案】证明：因为为等边三角形， 所以。 因为，所以平分， 所以。 因为，所以。 因为， 所以， 所以，所以。 在中，， 所以，所以。   25.【答案】解：设。 因为，所以。 因为，所以， 所以。 因为是的一个外角， 所以。 因为，所以， 所以， 即，解得， 所以。   26.【答案】解：因为，所以是等腰三角形。 又因为是的角平分线，， 所以，，。 在中，， 所以， 所以， 所以。 所以的面积。   27.【答案】解：因为，，所以。 所以。 因为是的垂直平分线，所以， 所以。 所以。   28.【答案】解：由折叠的性质可知，。 因为等边三角形的边长为， 所以。 因为，所以。 同理， 所以阴影部分图形的周长 。   29.【答案】证明：因为，，且， 所以平分。 因为，所以是等腰三角形， 所以是边上的中线， 所以点是的中点。   30.【答案】解：在等边三角形中，，。 因为是边上的中线， 所以，。 因为是边上的中线， 所以平分，，， 所以，，。 在中，因为，所以。 因为，所以。 在和中， 所以≌，所以， 所以。   31.【答案】解：因为是的垂直平分线， 所以，所以。 又因为是的垂直平分线， 所以，所以。 因为，， 所以， 所以。 因为， 所以，所以。   32.【答案】解：的最小值是。  33.【答案】解：如图所示， 分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接分别交于点，交于点，连接，， 所以，， ，，，， 所以， ， 所以是等边三角形， 所以。 所以周长， 所以周长的最小值是。   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$