专题09 线段的垂直平分线与角平分线（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线，以“性质-判定-作图-应用”逻辑链构建专项训练，覆盖核心考点与高频考法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段的垂直平分线|3题型（性质/判定/作图）|性质题聚焦距离转化，判定题强调对称点应用，作图题结合尺规操作|从性质定理推导到判定应用，再到作图实践，形成完整认知链| |角的平分线|4题型（性质/判定/作图/应用）|性质题突出距离相等，判定题注重角平分线识别，应用题联系实际场景（如加油站选址）|以角平分线性质为核心，延伸至判定、作图及实际问题解决，体现应用意识|

专题09 线段的垂直平分线与角平分线 常考题型·精准突破 考点一 线段的垂直平分线 题型1 线段垂直平分线的性质（重） 题型2 线段垂直平分线的判定 题型3 作已知线段的垂直平分线 考点二 角的平分线 题型1角平分线的性质定理（重） 题型2角平分线的判定定理 题型3作角平分线 题型4角平分线性质的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 线段的垂直平分线 ◆题型1 线段垂直平分线的性质 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，垂足为点，．求证：． ◆题型2 线段垂直平分线的判定 5．如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 6．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 7．已知：如图，，与相交于点P． (1)求证：． (2)连接，求证：． 8．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． ◆题型3 作已知线段的垂直平分线 9．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 10．如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 11．尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 12．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 考点二 角的平分线 ◆题型1角平分线的性质定理 13．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 14．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 15．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 16．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． ◆题型2角平分线的判定定理 17．如图，平分，平分，求证：平分． 18．如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？ 19．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 20．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． ◆题型3作角平分线 21．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 22．如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 23．如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 24．如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） ◆题型4角平分线性质的实际应用 25．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 26．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 27．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 28．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 5．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 6．如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 三、解答题 7．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 8．如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 9．解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 10．如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，试说明； (2)如图2，若平分，平分，且，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09线段的垂直平分线与角平分线 常考题型精准突破 ·考点一线段的垂直平分线 ● ◆题型1线段垂直平分线的性质 1.D 【详解】解：，点P在线段AB的垂直平分线上， .'PB=PA, PA=3, .PB=3. 2.D 【详解】解：，DE垂直平分AB, .AE=BE=5,AD=BD, .'AB=AE+BE=10 △ABC的周长为26 .AB+BC+AC=10+BC+AC=26. ..BC+AC=16 ∴.△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=16 3.D 【详解】解：根据题意可知，FH为AC的垂直平分线， 则AE=CE,AD=CD, AE=4, .AC=2AE=8, △ABD的周长为15， .AB BD AD 15. ∴.AB+BD+CD=15,即AB+BC=15, .AB+BC+AC=15+8=23. 故△ABC的周长为23 4.证明：BD⊥AC,垂足为点E,AE=CE, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD垂直平分AC, .AD=CD,AB=CB. ∴.AB+CD=AD+CB ◆题型2线段垂直平分线的判定 5.15 【详解】解：如图，设AB与CD相交于点M, 由题意知，AC=AD,BC=BD, .AB是CD的垂直平分线， ∴CD⊥AB、 ∴.S四边形ADC=SACB+S,AD8 4Bcw +DM AB(CM+DM) 2 n ,AB=8,四边形ADBC的面积为60， “2x8×CD=60, 1 解得CD=15, 故答案为：15 6. 证明：，AB⊥BP,AC⊥PC, ∴∠ABP=∠ACP=90° 在Rt△ABP和Rt△ACP中， AP=AP,AB=AC, .RtAABPS≌RtAACP(HL)」 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.BP=CP ∴点P在线段BC的垂直平分线上 AB=AC, ∴.点A在线段BC的垂直平分线上. .AP垂直平分BC」 7.(1) 证明：，△ADC≌△AEB .AD=AE,AC=AB,∠C=∠B .AC-AE=AB-AD 即CE=BD .∠CPE=∠BPD, .△PEC≌△PDB. (2) 证明：连接BC,延长AP,交BC于点F, D .△PEC≌△PDB .PC=PB, ∴.点P在线段BC的垂直平分线上 .AC=AB ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴AP是线段BC的垂直平分线， 即AP⊥BC 8.(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°. 在Rt△OEP和RtAOFP中， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE=OF OP=OP .RtAOEP≌RtAOFP(HL) .∠EOP=∠FOP .OC平分∠AOB (2)由(1)知Rt△OEP≌Rt△OFP, .PE=PF. 又OE=OF, ∴点O、P都在EF的垂直平分线上 .EF⊥OC ◆题型3作已知线段的垂直平分线 9.B 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线MW是线段AC的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， .AD=DC ~点D为BC的中点，BC=8, .:.DC=IBC=1x8=4. 1 21 2 .AD=DC=4. 10. 线段AD的垂直平分线与直线I的交点即为所求点C. 11.如图所示，点D为所求点： 米 12.(1) 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，点D,AD即为所求： (2)如图，点E,AE即为所求， 一·考点二角的平分线 ● ◆题型1角平分线的性质定理 13.B 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： D B .∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， ∴.DE=CD BC=5,BD=3, .DE =CD=BC-BD=2 ∴点D到AB的距离是2. 14.A 【详解】解：如图所示，作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F,连接AO, D :点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D,且OD=2, .'.OD=OE=2,OD=OF=2. AB+BC+AC=12.m.+.=AB-OEBC-OD C.OF 2 2 2， 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2AB 2BC 2AC .S.AOB+S.Boc+S40C= 22 =AB+BC+AC=12, 2 :SAABC=SAAOB+S△B0c+S△A0C, .S.ABC=12 15. 证明：~DE⊥AB,DF⊥AC,∠ADE=∠ADF, .AE=AF .BE=CF, .AE+BE=AF+CF .AB=AC 16.证明：，BD是∠ABC的平分线， :.∠ABD=∠CBD AB=BC,BD=BD, .△ABD≌aCBD(SAS), ∴.∠ADB=∠CDB, .DB平分∠ADC, PM⊥AD,PN⊥CD, .PM=PN ◆题型2角平分线的判定定理 17.过点0作 A W OM⊥BD,ON⊥BE,OP⊥AC, :AO平分∠DAC,CO平分∠ACE, ..OM=OP,ON=OP. ..OM=ON, ∴BO平分∠EBD 18.解：当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线； 理由如下：，AD垂直平分EF, 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE DF, ·DE⊥AB,DF⊥AC .AD是△ABC的角平分线. 19.(1)证明：如图1，过点C作CF L AD交AD的延长线于点F, 图1 :△ADC的面积为14，AD=7, 4D-p=4, CF=2×1428 AD 7 4, CE=4. ∴.CF=CE=4, 又：CE⊥AB,CF⊥AD,点C在∠BAD的内部， ∴.点C在∠BAD的平分线上， .AC是∠BAD的平分线： (2)证明：如图2，在AB上截取AH=AD=7,连接CH, D H E B 图2 AB=13 .BH=AB-AH AB-AD=13-7=6, AB-AD=2BE, 2BE=6, .BE=3, :.EH=BH-BE=6-3=3, .'EH BE=3, 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE⊥AB,垂足为E, ∴，CE是线段BH的垂直平分线， .HC=BC, 由(1)可知：AC是∠BAD的平分线， .∠HAC=∠DAC, 在△HAC和△DAC中， AH=AD ∠HAC=∠DAC AC=AC .△HAC≌aDAC(SAS) .HC=CD .'CD=BC 20.(1)△PEF的周长=12： (2证明：PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PW, 0P-M.PR-IN. ..PO=PR .OP平分∠AOB 【详解】(1)解：如图，连接PE,PF, R B .OA垂直平分MP, .ME =PE, 同理：FN=PF, :∴.△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=I2. (2)略 ◆题型3作角平分线 21.B 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意得AP为∠CAB的平分线， ∠C=90°，∠B=38°」 .∠CAB=90°-∠B=90°-38°=52°， ·∠CAD=1∠CAB=26°. .∠CAD≠∠B,故C不正确； ∠ADC=90°-∠CAD=90°-26°=64°，故B正确： 如图，过点D作DG⊥AB,垂足为G, D E 由角平分线定理可得DC=DG=3,无法推出AC=BD,B到AD的距离是3，故A、D不正确. 22.解：如图，点P即为所求. 23.如图，点M即为所求 24.如图，点P即为所求： P ◆题型4角平分线性质的实际应用 25.D 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形： ,角平分线上的点到角两边的距离相等， 9114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :,到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角 形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点，，； P ∴共有1+3=4处可供选择的地址. 26.D 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的 交点处 27.(1)如图， 点，B,B,P即为所求 (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 28. 点P如图所示 D 【详解】解：作∠ABC的角平分线，再作∠BCD的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点P. 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：，点P在∠ABC的平分线上， ∴P到AB、BC距离相等： 又：点P同时在∠BCD的平分线上， .P到BC、CD距离相等； ∴P到AB、BC、CD距离相等； 最终就是点P到三面墙的距离都相等，符合要求， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 3.B 二、填空题 4.16 5.5 4 6.5 三、解答题 7. M 【答案】 P B 8 【答案】证明：，BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中， 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD .△ABD≌aCBD(SAS). ∴.∠ADB=∠CDB 又：PM⊥AD,PW⊥CD ∴.PM=PN 9. 【答案】(1) 证明：连接OP,如图1， 图1 :PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, .∠PEO=∠PFO=90°， 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF' .RtAPEORtAPFO(HL). .∠POE=∠POF. 点P在∠AOB的平分线上： (2) ①证明：，DF⊥AC, ∴∠DFC=90° 在RtADBE和RtADFC中， DE=DC BE=FC .RtADBES≌RtADFC(HL), ∴.DB=DF, 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而DB⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC: ②15 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：，S△Mm+Sa4n=S△AC, “2AB:BD+)AC-DF=54, 1 .DF=BD=4,AB=12, 12x4+4Cx4=4, 2 解得AC=15 即线段AC的长为15. 10. 【答案】(1)证明：已知EM⊥CE, ∴.∠CEM=90°， .∠CME+∠ECM=90°. 即2∠CME+2∠ECM=180°， :CE平分∠ACD, .∠ACD=2∠ECM, 得2∠CME+∠ACD=180° 又：ABIICD ∴.∠A+∠ACD=180° ∴∠A=2∠CME」 (2)40° 【详解】(1)略 (2)解：过F作FNI‖AB E B 图2 .·ABICD 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FNICD ∴.∠NFA=∠FAB,∠NFC=∠DCF, ∴.∠AFC=∠FAB+∠DCF 设∠CAF=∠FAB=x,∠DCF=∠FCE=y, :AF平分∠CAB,CF平分∠DCE, .∠CAB=2x,∠DCE=2y :∠F=70°， x+y=70°， ∴.2x+2y=140° 又：ABIICD, ∴.∠CAB+∠ACD=180° :∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠ACE+2y, .2x+∠ACE+2y=180° ∴.∠ACE=180°-(2x+2y)=180°-140°=40° 14/14函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09线段的垂直平分线与角平分线 内容概览 目常考题型精准突破 考点一线段的垂直平分线 题型1线段垂直平分线的性质（重） 题型2线段垂直平分线的判定 题型3作已知线段的垂直平分线 考点二角的平分线 题型1角平分线的性质定理（重） 题型2角平分线的判定定理 题型3作角平分线 题型4角平分线性质的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一线段的垂直平分线 ● ◆题型1线段垂直平分线的性质 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为() A.4 B.2 C.5 D.3 【答案】D 【详解】解：，点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PB=PA, PA=3, .PB=3 2.如图，△ABC中，DE垂直平分AB,DE分别交AC、AB于点D、E,连接BD,△ABC的周长为26， BE=5,则△BCD的周长为() 1/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【详解】解：，DE垂直平分AB, .AE=BE=5,AD=BD, .'AB=AE+BE=10 △ABC的周长为26 ...AB+BC+AC=10+BC+AC=26. .BC+AC=16, ∴.△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=16 3.如图，在A4BC中，分别以点A和点C为圆心，以大于2AC的长为半径作弧，两弧相交于点F、H, 作直线FH.若AE=4,△ABD的周长为15，则△ABC的周长为() B A.19 B.20 C.22 D.23 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，FH为AC的垂直平分线， 则AE=CE,AD=CD AE=4, .AC=2AE=8, △ABD的周长为15， .AB BD AD 15, ∴.AB+BD+CD=15,即AB+BC=15, .AB+BC+AC=15+8=23. 2/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故△ABC的周长为23 4.如图，BD⊥AC,垂足为点E,AE=CE,求证：AB+CD=AD+CB D B 【答案】证明：：BD⊥AC,垂足为点E,AE=CE, ∴BD垂直平分AC, AD=CD,AB=CB、 ..AB+CD=AD+CB ◆题型2线段垂直平分线的判定 5.如图，己知线段AB与线段AB外一点C,分别以点A,B为圆心，AC,BC长为半径画弧，两弧分别交 于点C,D,连接AC,BC,AD,BD,CD,若AB=8,四边形ADBC的面积为60，则CD的长为 B 【答案】15 【详解】解：如图，设AB与CD相交于点M, M B 由题意知，AC=AD,BC=BD, ∴，AB是CD的垂直平分线， .CD⊥AB, .S四边形ADBC=S。ACB+SADB 3/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1 BCM+2ABDM 1 AB(CM+DM) 2 1 =-ABCD 2 :AB=8,四边形ADBC的面积为60， 2x8×CD=60. 解得CD=15, 故答案为：15 6.如图，在△ABC中，AB=AC,过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点P,作直 线AP.求证：AP垂直平分BC: 【答案】 证明：，AB⊥BP,AC⊥PC .∠ABP=∠ACP=90°. 在Rt△ABP和Rt△ACP中， AP=AP,AB=AC. .RtAABPS≌RtAACP(HL). ∴.BP=CP ∴点P在线段BC的垂直平分线上： .AB=AC, .点A在线段BC的垂直平分线上 ∴.AP垂直平分BC 【详解】略 7.己知：如图，△ADC≌△AEB,BE与CD相交于点P. 4/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△PEC≌△PDB (2)连接BC,求证：AP⊥BC 【答案】(1) 证明：，△ADC≌△AEB, .AD=AE,AC=AB,∠C=∠B .AC-AE=AB-AD. 即CE=BD .∠CPE=∠BPD, .△PEC≌△PDB: (2) 证明：连接BC,延长AP,交BC于点F, D ·△PEC≌△PDB ∴.PC=PB ∴点P在线段BC的垂直平分线上 .AC=AB ∴，点A在线段BC的垂直平分线上， ∴.AP是线段BC的垂直平分线， 即AP⊥BC 【详解】(1)略 (2)略 8.如图，射线OC在∠AOB内，点P为射线OC上一点，过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,且OE=OF 5/26 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：OC是∠AOB的平分线： (2)连接EF,求证：EF⊥OC. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90° 在Rt△OEP和RtAOFP中， 「OE=OF OP=OP ∴.RtaOEP≌RtAOFP(HL) ∴.∠EOP=∠FOP, ∴.OC平分∠AOB (2)由(1)知Rt△OEP≌Rt△OFP, :PE=PF. 又：OE=OF, ∴点O、P都在EF的垂直平分线上. .EF⊥OC ◆题型3作已知线段的垂直平分线 1 9.如图，在。4BC中，分别以点4和点C为圆心，大于24C的长为半径作弧，两弧相交于MN两点， 作直线MN分别与边BC、AC相交于点D,E,连接AD,若点D为BC的中点，BC=8,则AD的长为 (). 6/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 c.5 D.7 【答案】B 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线MW是线段AC的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ∴.AD=DC 点D为BC的中点，BC=8, .DC-2BC-8-4. ..AD=DC=4 10.如图，某学校A与公交车站D在小路AD上，现要在公路上建一个小商店C,使得小商店C在AD的 垂直平分线上，请用尺规作图法作出点C,(不写作法，保留作图痕迹) D A 【答案】 线段AD的垂直平分线与直线I的交点即为所求点C. 【详解】略 11.尺规作图：如图，己知△ABC,请在AC边上找一点D,使得点D到B、C两点的距离相等.（保留 作图痕迹，不写作法) B 【答案】如图所示，点D为所求点： 7126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【详解】略 12.尺规作图： B (1)作边AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD: (2)作边AC的垂直平分线交BC于点E,连接AE(要求：保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1) 如图，点D,AD即为所求； D (2)如图，点E,AE即为所求。 【详解】(1)略 (2)略 一·考点二角的平分线 ◆题型1角平分线的性质定理 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是 () 8/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： C D B :∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， ∴.DE=CD :BC=5,BD=3 ∴.DE=CD=BC-BD=2 ∴点D到AB的距离是2」 14.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC 于点D,且OD=2,则△ABC的面积是() D A.12 B.16 C.24 D.30 【答案】A 【详解】解：如图所示，作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F,连接AO, 9126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D,且OD=2, ∴OD=OE=2,OD=OF=2, AB+BC+4C=2..AB-OE BC-OD C-OF 2 2 2 .S.o+S.moc+S.40c= 2AB 2BC 2AC 22 =AB+BC+AC=12. 2 :S△MABc=S△MO+S△Boc+S△Moc, .'S.AnC =12 15.如图，己知∠ADE=∠ADF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E和点F,BE=CF.求证：AB=AC, 【答案】 证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∠ADE=∠ADF, .AE=AF BE =CF, ∴.AE+BE=AF+CF, ..AB=AC 【详解】略 16.己知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 MN.求证：PM=PW B C 【答案】证明：：BD是∠ABC的平分线， 、∠ABD=∠CBD .AB=BC,BD=BD. 10/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△ABD≌aCBD(SAS), ·∠ADB=∠CDB, ∴.DB平分∠ADC, PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM=PW 【详解】略 ◆题型2角平分线的判定定理 17.如图，AO平分∠DAC,CO平分∠ACE,求证：BO平分∠EBD D 【答案】过点O作 B A W OM⊥BD,ON⊥BE,OP⊥AC :AO平分∠DAC,CO平分∠ACE, ..OM =OP,ON =OP. ..OM =ON. .BO平分∠EBD 【详解】解：略 18.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,P,连接AD,EF.当 AD与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？ B 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】解：当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线： 理由如下：AD垂直平分EF, ∴DE=DF, ·DE⊥AB,DF⊥AC ∴.AD是△ABC的角平分线， 【详解】略 19.如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE1AB,垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13 ,△ADC的面积为14， B E (1)求证：AC是∠BAD的平分线： (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC 【答案】()证明：如图1，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F, D 图1 E ,△ADC的面积为14，AD=7, 2DCF=14, C℉=2×1428 AD 7 4, CE=4, ∴.CF=CE=4, 又：CE⊥AB,CF⊥AD,点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， .AC是∠BAD的平分线： (2)证明：如图2，在AB上截取AH=AD=7,连接CH, 12/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A H E B 图2 AB=13, .BH AB-AH=AB-AD=13-7=6. AB-AD=2BE, .2BE=6, .BE=3, .EH=BH-BE=6-3=3. ∴.EH=BE=3, :CE⊥AB,垂足为E, ∴CE是线段BH的垂直平分线， ..HC=BC. 由(1)可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC=∠DAC, 在△HAC和△DAC中， AH=AD ∠HAC=∠DAC AC=AC .△HAC≌aDAC(SAS). .HC=CD .CD=BC. 【详解】(1)略 (2)略 20.如图，已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点O,OB垂直平分PN,交MN于 点F,交PN于点R,连接OP. 13/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R B (1)连接PE,PF,若MN=12,求△PEF的周长： (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 【答案】(1)△PEF的周长=12； (2证明：：PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PW, QP-PM PR-PN, 2 ∴PQ=PR OP平分∠AOB 【详解】(1)解：如图，连接PE,PF, B ,OA垂直平分MP, .ME PE, 同理：FN=PF, ∴aPEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=I2 (2)略 ◆题型3作角平分线 21.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交 AC于点F,再分别以点E'F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 ∠BAC的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D,CD=3,下列结论正确的是() 14126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.AC=BD B.∠ADC=64° C.∠CAD=∠B D.B到AD的距离是3 【答案】B 【详解】解：由题意得AP为∠CAB的平分线， ∠C=90°，∠B=38°， .∠CAB=90°-∠B=90°-38°=52°， CA4D=号∠CAB=26° .∠CAD≠∠B,故C不正确： ∠ADC=90°-∠CAD=90°-26°=64°，故B正确； 如图，过点D作DG⊥AB,垂足为G, E 由角平分线定理可得DC=DG=3,无法推出AC=BD,B到AD的距离是3，故A、D不正确， 22.如图，在△ABC中，点D在边BC上，请用尺规作图法在△ABC内部作一点P,使得点P到边AB、BC 的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） D 【答案】解：如图，点P即为所求。 【详解】略 15/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，已知△ABC(AC<AB<BC),请用尺规作图法在AB上求作一点M,使得点M到AC,BC的距 离相等.（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点M即为所求 【详解】略 24.如图，己知在△ABC中，AB=3,AC=2.请用尺规作图法，在BC上求作一点P,使得 S△Mm:SAM=3:2.(保留作图痕迹，不写作法) B C 【答案】如图，点P即为所求： 【详解】略 ◆题型4角平分线性质的实际应用 25.如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的 地址有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 16126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形： ,角平分线上的点到角两边的距离相等， ·到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点乃；三角 形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点B,,P: P ∴共有1+3=4处可供选择的地址. 26.如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花 坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在() A.三角形最长的边的中点处 B.三角形三条中线的交点处 C,三角形三条高线的交点处 D.三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的 交点处 27.如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P,要求加油站P的位置到三 条公路的距离都相等， 17/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)： (2)你的作图依据是_。 【答案】(1如图，点R,B,乃，P即为所求。 (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【详解】(1)略 (2)略 28.校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点P,使得点P到 三面墙的距离都相等，请确定点P的位置. B 【答案】 点P如图所示. D 【详解】解：作∠ABC的角平分线，再作∠BCD的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点P. 理由：，点P在∠ABC的平分线上， ∴.P到AB、BC距离相等； 18/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，点P同时在∠BCD的平分线上， :.P到BC、CD距离相等； ·.P到AB、BC、CD距离相等： 最终就是点P到三面墙的距离都相等，符合要求。 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.到三角形三个顶点的距离相等的点是() A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三边上高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点， 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交 AC于点F:再分别以点E:F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 ∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为() E A.60 B.65° C.70° D.75 【答案】B 【详解】解：，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°， ∴.∠BAC=50° 由作图可知：AP平分∠BAC, ∠DAB=7∠BAC=250 .∠ADC=∠DAB+∠B=65° 3.如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12cm,C恰好是AB的中点. 19/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是() B D E 图1 图2 A.4cm B 6cm C.8cm D.12cm 【答案】B 【详解】解：如图：过点B作BF⊥DE,垂足为点F, A B C是 的中点， F E AB AB=12cm ..BC=4B-6em 2 :CD⊥AB,BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线， ∴.BF=BC=6cm, 故选：B 二、填空题 4.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD垂直BC于点D,且D为CE的中点，BD=8,则 △AEC的周长是 ED C 【答案】16 【详解】解：：EF是AB的垂直平分线， .BE=AE, ∴.AE+DE=BE+DE=BD=8 :AD垂直BC于点D,且D为CE的中点， ·AD是CE的垂直平分线，CE=2DE=2CD 20126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AE=AC, ·△AEC的周长是AE+AC+CE=2AE+2DE-2(AE+DE)=16 5.如图，在四边形ACBD中，AC=BC,AD=BD,连接AB、CD,若AB=5,CD=4,则△ACD的面 积为 一 D 【答案】5 【详解】解：设AB,CD交点为O, ..AC=BC, ∴.点C在线段AB的垂直平分线上， AD=BD, ∴点D在线段AB的垂直平分线上， ∴CD垂直平分AB, AB=5. 5 ..OA=OB= 2 .5.-zCDO4-x4x5-5 21 2 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D、E分别是BC、AB上的动点，连 接AD、DE,则AD+DE的最小值为 E B 21/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【答案】5 【详解】解：如图，延长AC至点F,使得CF=AC,连接BF,DF,EF, E ■ .∠ACB=90° .BC⊥AF, 又CF=AC=3, ·.BC垂直平分AF,AF=AC+CF=6, .AD=DF,BF=AB=5. ∴.AD+DE=DF+DE, 由两点之间线段最短可知，当E,D,F三点共线时，DF+DE的值最小，最小值为EF的长，即AD+DE的 最小值为EF的长， 由垂线段最短可知，当EF⊥AB时，EF的长最小， ∴此时有SAm=)ABEF=)AF·BC, 2 2 BC=4」 2*5EF 26x4, 解得EF=24 5， 24 即AD+DE的最小值为5， 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最 短和垂线段最短确定最小值 三、解答题 7.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知∠AOB和点M,N,画一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN. 22/26 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N A M B N M 【答案】 【详解】略 8.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD于点 M,PN⊥CD于点N.试说明：PM=PN. 【答案】证明：：BD平分∠ABC, .∠ABD=LCBD, 在△ABD和△CBD中， AB=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ·.△ABD≌aCBD(SAS), .∠ADB=∠CDB 又：PM⊥AD,PW⊥CD ∴PM=PN 【详解】略 9.解答下列各题 (L)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证： 点P在∠AOB的平分线上； 23/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F, BE=FC B E 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 【答案】(1) 证明：连接OP,如图1， 4 B 图1 ,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, .∠PE0=∠PF0=90°， 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF' .RtAPEOSRtAPFO(HL). .∠POE=∠POF, ∴点P在∠AOB的平分线上： (2) ①证明：：DF⊥AC, .∠DFC=90°， 在RtADBE和Rt△DFC中， 24126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=DC BE=FC ·.RtADBES≌RtADFC(HL), .DB=DF, 而DB⊥AB,DF⊥AC .AD平分LBAC: ②15 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：S△n+SAACD=S△Bc, D+4C.DF54. ,DF=BD=4,AB=12, 1 1 2 ×12×4+5AC×4=54. 解得AC=15 即线段AC的长为15 10.如图，AB∥CD,点E是AB上一点，连结CE. MD D E B H 图1 图2 AB∥CD (1)如图1，若CE平分∠ACD,过点E作EM⊥CE交CD于点M,试说明∠A=2∠CME; (2)如图2，若AF平分∠CAB,CF平分∠DCE,且∠F=70°，求∠ACE的度数 【答案】(1)证明：已知EM⊥CE, ∴.∠CEM=90°. .∠CME+∠ECM=90°， 即2∠CME+2∠ECM=180°， CE平分∠ACD, ∴.∠ACD=2∠ECM. 得2∠CME+∠ACD=180°， 又ABIICD 25/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A+∠ACD=180°， ∴.∠A=2∠CME. (2)40° 【详解】(1)略 (2)解：过F作FN‖AB, D E B 图2 .ABIICD ∴FN ICD .∠NFA=∠FAB,∠NFC=∠DCF, ∴.∠AFC=∠FAB+∠DCF 设∠CAF=∠FAB=x,∠DCF=∠FCE=y, :AF平分∠CAB,CF平分∠DCE, .∠CAB=2x,∠DCE=2y. :∠F=70°， ∴x+y=70°， .2x+2y=140° 又ABIICD ∴.∠CAB+∠ACD=180° ∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠ACE+2y, .2x+∠ACE+2y=180°」 .∠ACE=180°-(2x+2y)=180°-140°=40°， 26/26