专题07 分式方程（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 以题型分类为框架，构建“概念理解-性质应用-实际建模”的递进式训练体系，突出分式方程解法与应用的逻辑关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程|3题型12题|含解分式方程（重）、解的情况求值、无解问题（高频），覆盖选择/填空/解答|从去分母解法到解的存在性分析，层层递进| |分式方程的应用|4题型16题|含行程、工程、经济（高频）、和差倍分问题，结合生活与传统文化情境|以实际问题为载体，强化模型意识与应用能力|

专题07 分式方程 常考题型·精准突破 考点一 分式方程 题型1解分式方程（重） 题型2根据分式方程解的情况求值 题型3分式方程无解问题（高频） 考点二 分式方程的应用 题型1分式方程的行程问题 题型2分式方程的工程问题 题型3分式方程的经济问题（高频） 题型4分式方程和差倍分问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式方程 ◆题型1解分式方程 1．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为________． 3．解方程：． 4．解分式方程： (1)． (2)． ◆题型2根据分式方程解的情况求值 5．______时，关于的方程的解为． 6．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 7．已知是分式方程的根，则实数的值为________． 8．若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． ◆题型3分式方程无解问题 9．若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 10．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 11．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 12．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 考点二 分式方程的应用 ◆题型1分式方程的行程问题 13．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 14．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 15．近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 16．小亮乘出租车去体育馆，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小亮走路线二时的平均速度． ◆题型2分式方程的工程问题 17．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 18．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 19．某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 20．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ ◆题型3分式方程的经济问题 21．某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 22．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍，求甲、乙两种头盔的销售单价． 23．年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 24．下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； (1)请你补全以上方法的过程； (2)请你列出方法的方程并解出该方程； (3)学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） ◆题型4分式方程和差倍分问题 25．为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中感悟劳动成果来之不易，并培养团结协作精神，某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的采摘课，计划八（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名学生调往其他劳动区域，这样剩余学生实际平均每人采摘的质量是全班学生计划平均每人要采摘质量的倍，设八（1）班共有x名学生，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 26．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 27．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 28．为了促进学生的身心健康全面发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈，合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵5元，已知用400元购买的A款呼啦圈的数量与用350元购买的B款呼啦圈的数量相等，A款、B款呼啦圈单价各多少元？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 2．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 3．若分式方程有增根，则a的值为（     ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 二、填空题 6．若方程无解，则的值为________． 三、解答题 7．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 8．小华解分式方程的过程如下： 解：∵分式中分母不能为零，∴，且， 方程的两边都乘，得，    ① 去括号，得，    ② 移项、合并同类项，得，    ③ 解得，    ④ 经检验，是原分式方程的增根，∴此分式方程无解． (1)以上步骤中，开始出错的步骤是____________（填序号即可），错误的原因是____________________________________________________________________________________________________________； (2)请写出正确的解分式方程的过程． 9．【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明：        小红： 根据以上信息，解答下列问题： (1)①小明同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； (2)请你在两个方程中任选一个，解答该题． 10．量子校园举办校内“公益小集市”，邀请全校师生参与公益售卖活动．八年级（1）班的同学决定售卖自制小蛋糕和鲜榨橙汁．已知一个小蛋糕的成本比一杯橙汁的成本多10元，用650元制作小蛋糕的数量和用150元制作的橙汁数量相等． (1)求一个小蛋糕、一杯橙汁分别的成本； (2)为了促销，除了单卖小蛋糕和橙汁，八年级（1）班的同学还将一个小蛋糕和一杯橙汁组成套餐出售．活动当天，三种商品的销售单价和销量情况如下表．若（1）班本次公益售卖活动共获得400元利润，问共销售了多少份套餐？ 小蛋糕 橙汁 套餐 单价（元） 15 5 18 销量占总销量的百分比 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式方程 常考题型·精准突破 考点一 分式方程 ◆题型1解分式方程 1．A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 2． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得：； 展开括号得：； 移项合并同类项得：； 系数化为得：； 检验：当时， 因此是原方程的解． 3． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 4．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验，时，， ∴分式方程的解为； （2）解：， 两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． ◆题型2根据分式方程解的情况求值 5． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 6．且 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 7． 【详解】解：把代入分式方程得， ， ． 8．1或3 【详解】解：， 等式两边都乘得， 整理得， 解得， ∵方程的解为正整数，且， ∴且， ∵k为正整数， ∴或3． ◆题型3分式方程无解问题 9．D 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 10．B 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 11．D 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 12．0或1 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 考点二 分式方程的应用 ◆题型1分式方程的行程问题 13．A 【详解】解：∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得． 14． 甲所用的时间为 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． 15．传统方式配送速度为 【详解】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，根据题意得： ， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义． 答：传统方式配送速度是． 16．90千米/小时 【详解】解：10分钟小时， 设小亮走路线一的平均速度是千米/小时，则走路线二的平均速度是千米/小时， 根据题意列方程得 ， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小亮走路线二的平均速度为（千米/小时）， 答：小亮走路线二的平均速度是90千米/小时． ◆题型2分式方程的工程问题 17．A 【详解】解：∵设单独处理需要小时，单独处理时间比少3小时， ∴单独处理需要小时， 将总工作量看作单位1，则的工作效率为，的工作效率为， ∵两模型合作2小时完成全部工作， ∴，整理得． 18．9吨货物 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 19．甲工程队每天修路100米 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 20．6 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． ◆题型3分式方程的经济问题 21．A 【详解】解：设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， 第二次购买数量比第一次多套，即多买了套， 是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程为， 第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元， 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，多买了套”． 22．甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元 【详解】解：设甲头盔的销售单价为元，则乙头盔的销售单价为元， 根据题意列方程得， 将分式方程化为整式方程得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 经检验是原分式方程的解， ， 甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元． 23．A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元 【详解】解：设每个A种挂件的单价为元，则每个B种挂件的单价为元， 由题意得：， 化简得：， ， 解得，经检验：是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元． 24．(1)英雄故事类书籍的单价为元；英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量； (2)解：所列方程为； 解得， 经检验是原方程的解； ∴，， 答：英雄故事类书籍单价为元，抗战纪实类书籍单价为元． (3)解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为，则该根为增根，需舍去．（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：设英雄故事类书籍的单价为元； 等量关系：英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量本； 可列方程为． （2）略 （3）略 ◆题型4分式方程和差倍分问题 25．C 【详解】解：计划平均每人采摘质量为千克， 调走10名学生后剩余人数为，实际平均每人采摘质量为千克； ∵实际平均每人采摘质量是计划的倍， ∴； 26．2 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 27．A型机器人每小时搬运90原料 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x原料． 根据题意，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 答：A型机器人每小时搬运90原料． 28．A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元. 【详解】解：设B款呼啦圈的单价为x元，则A款呼啦圈的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元） 答：A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 二、填空题 6． 三、解答题 7． 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 8． 【答案】(1) ①；去分母计算时符号错误，乘以的正确结果为，原题错误计算为 (2) 解：方程的两边都乘， 得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得 经检验，当时， 所以是原分式方程的解． 9． 【详解】（1）解：①表示A型号纪念品的单价， 等量关系式为：用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．　 ②表示用880元购买A型号纪念品的数量， 等量关系式为：A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 （2）解：用小明同学的方法： 设A型号纪念品的单价为，B型号纪念品的单价为，列方程得， 去分母得， 整理得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 用小红同学的方法： 设购买A型号纪念品的数量为，则购买B型号纪念品的数量为，列方程得， 去分母得， 解得， ， 经检验，是原分式方程的解， ，， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 10． 【详解】（1）解：设一杯橙汁的成本为x元，则一个小蛋糕的成本为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：一个小蛋糕的成本为13元，一杯橙汁的成本为3元． （2）解：设总销售量为份， 根据题意，得， 解得， 故， 答：一共销售了100份套餐． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式方程 常考题型·精准突破 考点一 分式方程 题型1解分式方程（重） 题型2根据分式方程解的情况求值 题型3分式方程无解问题（高频） 考点二 分式方程的应用 题型1分式方程的行程问题 题型2分式方程的工程问题 题型3分式方程的经济问题（高频） 题型4分式方程和差倍分问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式方程 ◆题型1解分式方程 1．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 2．方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得：； 展开括号得：； 移项合并同类项得：； 系数化为得：； 检验：当时， 因此是原方程的解． 3．解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 4．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验，时，， ∴分式方程的解为； （2）解：， 两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． ◆题型2根据分式方程解的情况求值 5．______时，关于的方程的解为． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 6．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 7．已知是分式方程的根，则实数的值为________． 【答案】 【详解】解：把代入分式方程得， ， ． 8．若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 【答案】1或3 【详解】解：， 等式两边都乘得， 整理得， 解得， ∵方程的解为正整数，且， ∴且， ∵k为正整数， ∴或3． ◆题型3分式方程无解问题 9．若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【答案】D 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 10．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 11．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 12．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 考点二 分式方程的应用 ◆题型1分式方程的行程问题 13．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得． 14．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 【答案】 甲所用的时间为 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． 15．近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 【答案】传统方式配送速度为 【详解】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，根据题意得： ， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义． 答：传统方式配送速度是． 16．小亮乘出租车去体育馆，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均速度比走路线一时的平均速度能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达．求小亮走路线二时的平均速度． 【答案】90千米/小时 【详解】解：10分钟小时， 设小亮走路线一的平均速度是千米/小时，则走路线二的平均速度是千米/小时， 根据题意列方程得 ， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小亮走路线二的平均速度为（千米/小时）， 答：小亮走路线二的平均速度是90千米/小时． ◆题型2分式方程的工程问题 17．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设单独处理需要小时，单独处理时间比少3小时， ∴单独处理需要小时， 将总工作量看作单位1，则的工作效率为，的工作效率为， ∵两模型合作2小时完成全部工作， ∴，整理得． 18．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】9吨货物 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 19．某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路100米 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 20．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 【答案】6 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． ◆题型3分式方程的经济问题 21．某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【答案】A 【详解】解：设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， 第二次购买数量比第一次多套，即多买了套， 是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程为， 第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元， 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，多买了套”． 22．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍，求甲、乙两种头盔的销售单价． 【答案】甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元 【详解】解：设甲头盔的销售单价为元，则乙头盔的销售单价为元， 根据题意列方程得， 将分式方程化为整式方程得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 经检验是原分式方程的解， ， 甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元． 23．年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 【答案】A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元 【详解】解：设每个A种挂件的单价为元，则每个B种挂件的单价为元， 由题意得：， 化简得：， ， 解得，经检验：是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元． 24．下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； (1)请你补全以上方法的过程； (2)请你列出方法的方程并解出该方程； (3)学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） 【答案】(1)英雄故事类书籍的单价为元；英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量； (2)解：所列方程为； 解得， 经检验是原方程的解； ∴，， 答：英雄故事类书籍单价为元，抗战纪实类书籍单价为元． (3)解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为，则该根为增根，需舍去．（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：设英雄故事类书籍的单价为元； 等量关系：英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量本； 可列方程为． （2）略 （3）略 ◆题型4分式方程和差倍分问题 25．为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中感悟劳动成果来之不易，并培养团结协作精神，某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的采摘课，计划八（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名学生调往其他劳动区域，这样剩余学生实际平均每人采摘的质量是全班学生计划平均每人要采摘质量的倍，设八（1）班共有x名学生，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：计划平均每人采摘质量为千克， 调走10名学生后剩余人数为，实际平均每人采摘质量为千克； ∵实际平均每人采摘质量是计划的倍， ∴； 26．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 27．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 【答案】A型机器人每小时搬运90原料 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x原料． 根据题意，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 答：A型机器人每小时搬运90原料． 28．为了促进学生的身心健康全面发展，体育组老师们准备购买一批呼啦圈，合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵5元，已知用400元购买的A款呼啦圈的数量与用350元购买的B款呼啦圈的数量相等，A款、B款呼啦圈单价各多少元？ 【答案】A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元. 【详解】解：设B款呼啦圈的单价为x元，则A款呼啦圈的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元） 答：A款呼啦圈单价为40元，B款呼啦圈单价为35元． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 方程两边同乘以去分母，得． 2．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 3．若分式方程有增根，则a的值为（     ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵ 分式方程有增根， ∴ 增根满足，即， 方程两边同乘去分母得： ， 整理得， 将代入得： 解得． 4．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为第一次人平分235元钱，所以第一次每人分得元；又因为第二次人平分550元钱，所以第二次每人分得元， ∵第二次每人所得比第一次多3元， ∴可列方程． 5．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【详解】解：原方程两边同乘去分母得 整理得 ∵方程的解为正数 ∴，即，解得 又∵分式方程分母不能为0 ∴，即，解得 综上，的取值范围为且． 二、填空题 6．若方程无解，则的值为________． 【答案】 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得整理得， ∵原分式方程无解， ∴原方程的分母为零，即增根为，解得， 把代入， 得， 解得． 三、解答题 7．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 【答案】(1) 10个零件 (2) 180个零件 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 8．小华解分式方程的过程如下： 解：∵分式中分母不能为零，∴，且， 方程的两边都乘，得，    ① 去括号，得，    ② 移项、合并同类项，得，    ③ 解得，    ④ 经检验，是原分式方程的增根，∴此分式方程无解． (1)以上步骤中，开始出错的步骤是____________（填序号即可），错误的原因是____________________________________________________________________________________________________________； (2)请写出正确的解分式方程的过程． 【答案】(1) ①；去分母计算时符号错误，乘以的正确结果为，原题错误计算为 (2) 解：方程的两边都乘， 得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得 经检验，当时， 所以是原分式方程的解． 【详解】（1） 略 （2）略 9．【新课标•应用意识】在学习“分式方程的应用”时，对于同一道题，小明和小红两名同学都列出了对应的方程． 例：某商店购进A，B两种型号的纪念品，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元． 小明：        小红： 根据以上信息，解答下列问题： (1)①小明同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； ②小红同学所列方程中的表示：____________，列方程所依据的等量关系是：____________； (2)请你在两个方程中任选一个，解答该题． 【答案】(1)①A型号纪念品的单价；用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍 ②用880元购买A型号纪念品的数量；A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 (2)A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元 【详解】（1）解：①表示A型号纪念品的单价， 等量关系式为：用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍．　 ②表示用880元购买A型号纪念品的数量， 等量关系式为：A型号纪念品的单价比B型号纪念品的单价多30元 （2）解：用小明同学的方法： 设A型号纪念品的单价为，B型号纪念品的单价为，列方程得， 去分母得， 整理得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 用小红同学的方法： 设购买A型号纪念品的数量为，则购买B型号纪念品的数量为，列方程得， 去分母得， 解得， ， 经检验，是原分式方程的解， ，， A，B两种型号纪念品的单价分别是88元，58元． 10．量子校园举办校内“公益小集市”，邀请全校师生参与公益售卖活动．八年级（1）班的同学决定售卖自制小蛋糕和鲜榨橙汁．已知一个小蛋糕的成本比一杯橙汁的成本多10元，用650元制作小蛋糕的数量和用150元制作的橙汁数量相等． (1)求一个小蛋糕、一杯橙汁分别的成本； (2)为了促销，除了单卖小蛋糕和橙汁，八年级（1）班的同学还将一个小蛋糕和一杯橙汁组成套餐出售．活动当天，三种商品的销售单价和销量情况如下表．若（1）班本次公益售卖活动共获得400元利润，问共销售了多少份套餐？ 小蛋糕 橙汁 套餐 单价（元） 15 5 18 销量占总销量的百分比 【答案】(1)一个小蛋糕的成本为13元，一杯橙汁的成本为3元 (2)共销售了100份套餐 【详解】（1）解：设一杯橙汁的成本为x元，则一个小蛋糕的成本为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：一个小蛋糕的成本为13元，一杯橙汁的成本为3元． （2）解：设总销售量为份， 根据题意，得， 解得， 故， 答：一共销售了100份套餐． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $