专题06 分式的运算（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 以分式运算为核心，按“概念辨析-法则应用-综合提升”逻辑分层，覆盖约分、最简分式、混合运算等核心题型，突出高频考点突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的乘法与除法|约16题|含约分、最简分式、乘除混合运算（重）、乘方题型，基础辨析与运算结合|从分式基本性质（约分）到乘除法则，再到混合运算，层层递进| |分式的加法与减法|约20题|含最简公分母、通分、恒等式分子分母确定、加减混合运算（重）、化简求值（高频），突出运算应用|从通分（公分母）到加减法则，结合恒等变形，落脚于化简求值| |综合攻坚|约10题|综合考查分式运算与推理，含解题过程纠错等题型|整合乘除与加减运算，提升运算能力与推理意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06分式的运算 内容概览 目常考题型精准突破 考点一 分式的乘法与除法 题型1约分 题型2最简分式 题型3分式乘除混合运算（重） 题型4分式乘方 考点二分式的加法与减法 题型1最筒公分母 题型2通分 题型3已知分式恒等式，确定分子或分母 题型4分式加减混合运算（重） 题型5分式化简求值（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 。考点一分式的乘法与除法 ●】 ◆题型1约分 1.下列约分正确的是（) A ab2 a2 a+b 1 abb B. a2+b2 a+b C.+3、3 D (a-b)2 =b-a x2-9x-3 -a+b 【答案】D ab2 aa 【详解】解：对选项A: a6=行≠，错误： 对选项B:a+b无法分解出因式a+b,无公因式可约，错误； 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+3 x+3 1 3 对选项C: x2-9(x+3)x-3)x-3x-3,错误： (a-b)2_(a-b)2 对选项D: -a+ba-)-(a-b)=6-a,正确。 2.下面四个式子的约分运算中，正确的是() aa A.-6 m+d_m C. a+b 1 B. x-y=-1 nta n an+bn 2n D.y-x 【答案】D 【详解】解：选项A中， 子无公因式可约，不能直接约去指数，运算错误： 选项B中，是分子分母的项而非公因式，不能直接约分，运算错误： a+b=1 选项C中，由am+bn=n(a+b)得am+bmn,运算错误： x一y=-1,运算正确， 选项D中，由y-x=(x-y)得y-x= 1-2x 3.化简： 4x-2 【答案】-2-0.5 1-2x 2x-11 【详解】解：4x-2= 2(2x-1）2 3x'y 4.化简： 9x 【答案】3 3x'y xy 【详解】解： 9x3 ◆题型2最简分式 5.下列分式中，属于最简分式的是() 4 1-x x2+x 2-x A.2x B. x+1 C. x+1 D.x-2 【答案】B 【详解】解：A选项，2元分子分母有公因式2，不是最简分式。 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B选项，分子1-x与分母x+1无公因式，是最简分式. C选项， x+x x+i分子因式分解为x(x+),与分母有公因式x+1,不是最简分式. 2-x D选项，x一2分子可变形为-(x-2),与分母有公因式x-2:不是最简分式。 6.下列分式中，最简分式是() A.-1 2x x2-2xy+y2 B. x2+1 x+1 x+1 C.Ay x-y 【答案】B 【详解】解：选项A:x-1=(x+x-),分子分母有公因式x+1, x+1 =x-1,不是最简分式 选项B:,x+1无法在有理数范围内分解因式，分子分母没有公因式， x2+1 x+1是最简分式。 2x 选项C::4)的分子分母有公因式2？ ·4y2y,不是最简分式. 选项D::x-2y+y=(x-,分子分母有公因式x-y, 2-2y+少=x-y,不是最简分式， x-y 7.下列分式：①2： 2n 3y2 a+b x2-y2 m2-4 Q 96m:③2ry:国。-F:⑤F+了：@m+4m+4:其中是最简分式的为 (填序号) 【答案】①⑤ 6 【详解】解：①。是最简分式： ② 2n=n 6m3m,不是最简分式： 3y-3y ③2x)2x，不是最简分式： a+b a+b 1 ④d2-bB(a+b)(a-ba-b,不是最简分式： 3122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-y2 ⑤？+y少是最简分式： m2-4 (m-2)(m+2）_m-2 ⑥m2+4m+4 (m+2)月 m+2,不是最简分式： 综上，是最简分式的有①⑤. 4xyz 8.要将12y化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为 【答案】4 【详解】解：分子4xyz与分母12xy中， 系数4和12的最大公约数为4， 两个式子共有的字母为x和少， 相同字母的最低次幂分别为x和y, z仅出现在分子中，不属于公因式的组成部分， 因此可得公因式为4y. ◆题型3分式乘除混合运算 2a a-b 9.化简6-a26的结果是(） A.a B.-a C. a a D.一b 【答案】D 2a a-b 2a a-b a 【详解】解： 6-a2b-(a-b2b=-6 )2 10.计算m 的结果是() 9 6 A.m B.m C.m 9 D.m 【答案】B 31 【详解】解 a2-16.a-4 11.计算： a+4 a 【答案】a 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： 4-16a-4_(a+4)(a-4xa a+4 a a+4 a-4=a. x2-1÷x+1.1-x 12,下面是小明计算x一2x中产x一1+x的过程. -1÷x+1.1-8=11@ 解答：x-2x+1x-11+xX-2x+1 (x-1)(x+1) (x-1)2 ② x+1 x-回 (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程。 【答案】(1)不正确，错在第①步，错误的原因是：小明在计算时，违反运算顺序先计算后两个分式的乘积， 且计算乘法时结果不对，应该为-1； (2)正确的解答过程如下： x2-1,x+11-x x2-2x+1x-11+x (x-1)(x+1)x-11-x (x-1)2x+11+x 1-x x+1 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型4分式乘方 -2 3n 13.计算： 2m 4m2 【答案】 9n2 3n -2 1 4m2 【详解】解： 2m 3n 9n2 2m 4m2 故答案为： 9n2· 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.计算： -g ()3 4x4 【答案】2x23y'9y 2),y2,2x2 &r9 【详解】(1)解： 2x_2x4 3y(3y7 y2: ( y (2)解： (2x月 15.计算 al). a(9 【答案】(1) x (2) 8a3 【详解】(1)解： (-2x2, 4x2 (2)解： 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2aj° () -8a c6. x-1.x2-1 16.计算：-4x+4x-4 x+2 【答案】2-x-2 x-1x2-4x-1(x+2)(x-2)x+2 x+2 【详解】解：原式x-4r+4-(x-2}(x+1(x-)(x-2x+)7-x-2· 一●考点二分式的加法与减法。— ◆题型1最筒公分母 351 17.分式4b,6ab,3a的最简公分母是（） A.12ab2 B.24a3b3 C.12a2b2 D.36a3b2 【答案】A 【详解】三个分母的系数分别为4,6，3，它们的最小公倍数是12， 相同字母a的最高次幂为a,相同字母b的最高次幂为b, .三个分式的最简公分母为12ab2 1 1 18.分式ab,2ab的最简公分母为（) A.2a2b2 B.a'b C.2ab2 D.ab 【答案】A 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为a和b, ,a的最高次为2，b的最高次为2， ∴.最简公分母为2a2b2 2x2y x2 19.分式(+少与+x-刀的最简公分母是（） A.(x+y)3 B.(x+y)3(x-y) C.(x+y)(x-y)2 D.(x+y)2(x-y) 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：最简公分母是(x+y)(x-y)」 a a 20.分式36和6的最简公分母是 【答案】 36b2 【详解】解：：两个分式的分母分别为36和6b,36和6的最小公倍数是36，字母b的最高次幂为b2, ·两个分式的最简公分母是3662 ◆题型2通分 yy I 21.将分式2x,3少，40通分，第二个分式分母所乘的单项式为 【答案】4x 【详解】解：：三个分式的分母分别为2x,3y2,4y, 最简公分母为12y2, 计算得12xy2÷3y2=4x 1 22.把1 -2’(x-2)(x+3),(x+32通分过程中，不正确的是() 1 A.最简公分母是(x-2)(x+3} (x+3)2 B. x-2(x-2)(x+3)月 x+3 2x-2 C.(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)月 D.(x+3(x-2(x+3 【答案】D 【详解】解：：三个分式的分母分别为x-2,(x-2)(x+3),(x+3)2, :最简公分母为(x-2)(x+3,故4选项正确： 1 (x+3) 小x-2(c-2x+3,故B选项正确： x+3 六(x-2x+3)(x-2)(x+3,故C选项正确： x-2 2x-2 (x+3)}(x-2)(x+3(c-2)x+3},故D选项错误. 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 23.通分： 15 (1)3x2'12xy 11 (2)2+xx-x 4y 5x 【答案】(1)12x2y'12xy x-1 x+1 2)x(x+1x-)'x(x+)(x-) 【详解】(1)解：两个分式的最简公分母为12xy, 1 4y 4y5 5x 5x 3x3x.4y12xy'12xy1xyx12xy: (2)解：x+x=x(x+1）,x2-x=x(x-). 故两个分式的最简公分母为x(x+1)(x-1), 1 1 x-1 1 1 x+1 故x2+xx(x+)x(x+1)(x-)'x2-xx(x-1)x(x+(x-) 24.通分： c a b (1)ab'be'aci 1 -1 2)2+x'2+2x+1 c2 a2 b2 【答案】(1) abc'abc'abe x+1 -x 2)xx+1'x(x+ 【详解】(1)解：分式的最简公分母为abc, c cc d a aa a bb.bb ab ab.c abe'be be.a abe'ac ac.b abe: (2)解：x2+x=x(x+l),x2+2x+1=(x+12, ∴分式的最简公分母为x(x+1), 9122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1(x+1) x+1 -1 -1x -x ·+xx(x+1)-x+x(x+;x2+2x+1(x+xx(x+1. ◆题型3已知分式恒等式，确定分子或分母 3a-2_M,N 25.若常数M?N满足a-a-+a+1:则M2-N2=（） A.-6 B.-4 C.4 D.6 【答案】A 【详解1解：从+X-Ma++Na-)_(M+N)a+M-) a-1a+1(a-1)(a+1) a2-1 3a-2(M+N)a+(M-N) 又 a2-1 a2-1 M+N=3 ·1M-N=-2' ∴.M2-N2=(M+N)(M-N)=3x(-2)=-6. 3x+4 A B 26.己知(x-2)x+0x-2x+7'其中A,B为常数，则4A-B的值为（） A.7 B.9 C.13 D.5 【答案】C 3x+4 A B 【详解】解：：(x-2)(x+1)x-2x+1 3x+4 A(x+1） B(x-2) ÷(x-2)(x+(x-2)(x+1)(x-2(x+1) 3x+4 Ax+A-Bx+2B (x-2)(x+1)(x-2)(x+1) 3x+4（A-B)x+A+2B (x-2x+1)(x-2)(x+1· .A-B=3,且A+2B=4, 3 .4A-B=4× 101 333 x+3 27.已知(x-2x+2)x-2+x+2（其中AB 均为常数)，则 A+B= 10/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1 x+3 A,BA(x+2)+B(x-2) 【详解】解：· (x-2)(x+2)x-2'x+2(x-2)(x+2）’ x+3=A(x+2)+B(x-2). 整理得：x+3=(A+B)x+2(A-B), ,两个多项式相等，则对应项系数相等， .x的一次项系数相等， 可得：A+B=1. 3x-4 28.。已知(-1(x-2)x-x-2,则实数A+2B= 【答案】5 A B A(x-2)+B(x-1) 【详解】解：x-一+x-2( x-1)(x-2) 3x-4=A+B (x-10x-2)x-1x-2' 3x-4A(x-2)+B(x-1) ∴x-10x-2)(x-10(x-2） 即3x-4=A(x-2)+B(x-1), 整理得3x-4=(A+B)x-(2A+B), A+B=3 可知2A+B=4' 「A=1 解得：1B=2' ∴.A+2B=1+2×2=5 ◆题型4分式加减混合运算 29.化简： 8a+16= a-22-a 【答案】8 8a16 【详解】解：原式=。-2a-2 8a-16 a-2 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8(a-2) a-2 =8, 故答案为：8 (2a-1)2-a23 30.计算： 2a2-22 【谷】 a+1 (2a-1+a(2a-1-ad_3 【详解】解：原式 2(a2-1) 2 (3a-1)(a-1)3 2(a+1)(a-1)2 3a-13 2(a+1)2 3a-1-3(a+1) 2(a+1) 3a-1-3a-3 2(a+1) -4 2(a+1) 2 =一 a+1 31.计算： 36 1)2x+44-x22 1 1 (2)2-4x+4x2-42x+4 6 【答案】()x-2 x 2)2(x-2 3 6 9 【详解】(1)解：原式2(x+2)(x+2)(x-2)2(x-2) 3(x-2)+12+9(x+2) 2(x+2)(x-2) 12/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12(x+2) 2(x+2)(x-2) 、6 x-2 (2)解：原式=(x-2y(x+2x-2)2(x+2) =-2(x+2)-2x(x-2)+(x-2)月 2(x-2)'(x+2) -x(x+2) 2(x-2}2(x+2) 2(x-22 1 1 32.若。，对作变化，得到= k>0 k 两，将“：丙， =-1 1 1 kn=- -+1:依次变化下去，…， +1:在此变化过程中，记d 1 kn- =k- k 1 M.=-d千1-d干+1-d(n为正整数1 -+.…+ 国当长号，此时大的值为—， 1 2填空：化简并猜想k,=一一·d,=一，1-d,一：（用只含n和k的代数式表示） M, (3)当M为整数时，求此时k的值. 【答案】(1)1 k nk (2 nk+1’nk+1:nk+1 1 (3)k=2或k=2 1kk3= 1。k 【详解】（④解：由已知得东k+1, 1 +1k+1, k 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将。k代入可得飞=人+山=，太 k k1= +12k+1 +1 k+1 k1 2k+13 解得：k=1: (2)解： k=1= +1k+1, k 1 k k2=1 +1k+1, k 1k k21 +13k+1 …, kn= k nk+1: -州-叫 k>0, .d =nk nk+1' 将d,-n 1 +代入1-d得， 1 1 nk+1 1-d.1-k =nk+1 nk+1-nk nk+1 k nk 故答案为：k+:nk+’k+1 1 -=nk+1 3)解：由(2)知，1-d 1 M-1-d =k+1 14/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=1-d+-d+1-4=k+)+2k++Bk+D=6+3 4-6+36k+0-3-6-3 六M,k+1 k+1 :M为整数，且k>0 .k+1=1.5或k+1=3, .k 2或k=2 ◆题型5分式化简求值 m-3 33.先化简，再求值： m+2-5）》 m-2 2m-4,其中m=5 【答案】2m+6,16 m+2- 5 ÷m-3 【详解】解： m-2 2m-4 (m+2)(m-2) 51.m-3 m-2 m-22m-4 m2-4-5,m-3 m-22(m-2) (m+3)(m-3)2(m-2) m-2 m-3 =2m+6, 当m=5时，原式=2×5+6=16 a-3 34.化简求值： 品 2-2a+1,其中a=-2 【答案】化简结果：a-1,值为：-3 a-1-2).a-3 【详解】解：原式 a-1(a-1)2 a-3(a-1)2 乡1 a-1a-3 =a-1: 当a=-2, 原式=-2-1=-3 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-1÷x+1.1-x 35.先化简，再求值：一2x+11+x,其中x=2 【答案】 1-x1 x+13 x2-1.x+11-x 【详解】解：2-2x+1x-11+x (x+)(x-D)xx-1x1-* （x-1)2 x+1x+1 =1x x+1 1-21 当x=2时，原式2+-3 x-1 36.先化简，再求值 2+2x+1,从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为的值代入 求值. 2x 【答案】+少，取x=0时，原式的值为0（答案不唯一，取x=1时值为） x-1 【详解】解： [-可小 x2-(2-x-1 x+1 (x+1 1 +x-1 Γx+1(x+1 x+1 x-1 (x+2(x+2 2x (x+102, -2<x<2, 整数x的值为-1,0,1， 又x≠1， 16122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2×0 取x=0时，原式0+ =0 《答案不唯一，取x=1时值为). 2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.下列分式中，最简分式的是() 12 2-a x2 x2-y2 A.3xy B. a-2 C.y 0. x+y 【答案】C 1 4 【详解】A选项 3,:分子分母有公因数3，约分后得罗，不是最简分式. 2-a B选项。a-2,“2-a=-(a-2),分子分母有公因式a-2,约分后得-1”不是最简分式. x2 C选项子+少，分子x与分母：+y没有公因式，不能约分，是最简分式. x2-y2 D选项 x+y x2-y2=(x+y)(x-y分子分母有公因式x+y’约分后得x-y’不是最简分式. 2.计算 a c 的结果正确的是(，) A. Q1 4a2 B -4a4 4a2 c2 D 2c2 【答案】C -2a 【详解】解 -2a2_4a c2. 3.分式x2-4与2x-4的最简公分母是（) A.(x+2)(x-2) B.2(x+2)(x-2) c.2(x-2) D.x2-4 【答案】B 【详解】解：x2-4=(x+2)(x-2),2x-4=2(x-2), “系数的最小公倍数为2，所有不同因式为(x+2)和(x-2),各因式最高次幂均为1次： 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .最简公分母为2(x+2)(x-2). 3(a-2b)+3b 4.化简。-2ab+6的结果等于（） 3 3 A.3 B.3a-3b C. a-b D. atb 【答案】C 3a-6b+3b3a-3b3(a-b)3 【详解】解：原式=(a-b}(a-b (a-b)2a-b 二、填空题 2x-3 5. 已知(x-1)(x+2)x-+x+2,则A —’B= 【答案】 3 【详解】解： 一十 x-1x+2 A(x+2)+B(x-I) (x-1)(x+2) Ax+2A+Bx-B (x-1)(x+2) (A+B)x+24-B （x-1)(x+2) 2x-3 =A+B (x-1(x+2)x-1x+2' .(A+B)x+2A-B=2x-3, 「A+B=2 12A-B=-3 A=- 解得： B= 3 6（〔 【答案】4x 18/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： ( y =4x3 三、解答题 7.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 解：原式--+。x (x+1)(x-1) x一1…第一步 =x2-2x+1-x2+2x+1x-1 (x+1)(x-1) x…第二步 2 x(x+1)…第三步 2 x2+x·…第四步 = 任务一： (1)以上化简步骤中，第_一步是进行分式的通分，其依据是 (2)第 步开始出现错误，出现错误的原因是」 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果： 【答案】(1) 一，分式的基本性质 (2) 二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号 (3) 、4 x+1 【详解】(1)解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质： (2)解：第二步中，分子去括号出现错误， 19/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； (3)解： (x-12-(x+12,x (x+)(x-1)x-1 x2-2x+1-x2-2x-1x-1 (x+1)(x-1) x -4xx-1 Γ(x+1)(x-1)x 、4 x+1 8.先化简，再求值： 【答案】a-’2 -a-1d-2a+1 a a a-1 a a(a-, 1 a-1' 1=2 当a=3时，原式-1 2 9.计算： a9ry÷ a2-1a+2 a2-4a+4 2a-4a2-2a+1 a+1 2x3 【答案】() a-2 2a-1 20/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：原式=9xy2 2x.y 3y63 =-6r.y y43 2xs (a+1)(a-1a+2(a-2)}2 (2)解：原式a+2(a-2^(a-a+1 -0-2 a-1 10.通分： 11 (db'abi 11 (2)x-y'x+y: 1 3)x2-y’x2+xy 【答案】(1) b a'b2,a'b2 (2) x+y x-y x2-y,x2-y7 (3) x-y x(x-y)(x+y)'x(x-y)(x+y) 【详解】(1)解：两个分式的分母分别为4b,ab,可得最简公分母为a2b2, 1 1-b b 1 1.aa 故abab-ba,ab=b-aa6: (2)解：两个分式的分母分别为x-y,x+y,可得最简公分母为(c-yx+)=x2-y2, 11(x+y)x+y11(-y)x-y 故x-yx-yx+)x2-y，x+yx+yx-)x2-y: (3)解：先对分母因式分解，得x-y=(x-y)x+),x+y=x(x+),可得最简公分母为 x(x-y)(x+y): 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1.x (x-y)(x+)x(x-y)(x+y)x(x-y)(x+y)' 1 11(x-y) x-y x2+xy x(x+y)x(x-y)(x+y)x(x-y)(x+y) 22/22 专题06 分式的运算 常考题型·精准突破 考点一 分式的乘法与除法 题型1 约分 题型2 最简分式 题型3 分式乘除混合运算（重） 题型4 分式乘方 考点二 分式的加法与减法 题型1 最简公分母 题型2通分 题型3 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型4 分式加减混合运算（重） 题型5 分式化简求值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式的乘法与除法 ◆题型1 约分 1．下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下面四个式子的约分运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．化简：_________． 4．化简：__________． ◆题型2 最简分式 5．下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 6．下列分式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 7．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 8．要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． ◆题型3 分式乘除混合运算 9．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 10．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 11．计算：=________． 12．下面是小明计算的过程． 解答：① ＝② ＝③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程． ◆题型4 分式乘方 13．计算：_______． 14．计算： (1)____________； (2)________________________． 15．计算 (1)； (2)． 16．计算：． 考点二 分式的加法与减法 ◆题型1 最简公分母通分 17．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 18．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 19．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 20．分式和的最简公分母是_________． ◆题型2 通分 21．将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 22．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 23．通分： (1)； (2)． 24．通分： (1)； (2)． ◆题型3 已知分式恒等式，确定分子或分母 25．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 26．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 27．已知（其中、均为常数），则_________． 28．已知，则实数______． ◆题型4 分式加减混合运算 29．化简：______ 30．计算：． 31．计算： (1)． (2)． 32．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． ◆题型5 分式化简求值 33．先化简，再求值：，其中． 34．化简求值：，其中． 35．先化简，再求值：，其中． 36．先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列分式中，最简分式的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 二、填空题 5．已知，则______， ______． 6．_________． 三、解答题 7．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： (1)以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． (2)第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 8．先化简，再求值：，其中． 9．计算： (1)； (2)． 10．通分： (1)； (2)； (3)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题06分式的运算 常考题型精准突破 ·考点一分式的乘法与除法 ● ◆题型1约分 1.下列约分正确的是() ab2 a2 a+b_1 A.b=6 B.a+ba+b x+33 (a-b}2 C.x2-9x-3 D.-a+b =b-a 2.下面四个式子的约分运算中，正确的是() aa A.6=6 m+d_m a+b 1 x-y=-1 B.n+a2 n C.an+bn 2n D y-x 1-2x 3.化简：4x-2 wy- 4.化简：9x ◆题型2最简分式 5.下列分式中，属于最简分式的是() 4 1-x x+x 2-x A.2x B.x+1 C.x+1 D.x-2 6.下列分式中，最简分式是() x2-1 x2+1 2x x2-2xy+y2 A.x+1 B.x+1 C.4y D.x-y b 2n 3y2 a+b x2-y2 m2-4 7.下列分式：①a;②6m;③2x2y;④a2-b2;⑤x2+y2;⑥m2+4m+4.其中是最简分式的为 (填序号) 试卷第1页（共3页） 4xyz 8.要将12xy化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为一· ◆题型3分式乘除混合运算 2a a-b 9.化简6-a2b的结果是() b b a A.a B- a C.b D.-b 32 10.计算m)的结果是() 9 A.m 9 9 B.m C.m 0.m a2-16.a-4 11.计算：a+4a=一 x2-1.x+11-x 12.下面是小明计算x2-2x+1x-11+x的过程. x2-1÷x+1.1-x=2-11 解答：x2-2x+1x-11+xx2-2x+1① (x-I)(x+I) =(x-1)2② x+1 -x-i③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程. ◆题型4分式乘方 3n 一2 13.计算： 2m 14.计算： 试卷第2页（共3页） ()3 15.计算 a x-1.x2-1 16.计算：x2-4x+4x2-4】 考点二分式的加法与减法●— ◆题型1最简公分母 3 5 1 17.分式4a6,6ab,3a的最简公分母是（) A.12a3b2 B.24a3b3 C.12a2b2 D.36a3b2 1 18.分式6：2ab的最简公分母为（) A.2a2b2 B.a'b C.2ab2 D.ab 2x2y x2 19.分式(x+y)2与(x+y)x-y)的最简公分母是() A.(x+) B.x+少(x-y) C.(x+y)(x-y) D.(x+6x-の a 20.分式36和而的最简公分母是 ◆题型2通分 yy I 21.将分式2x,3y，4y通分，第二个分式分母所乘的单项式为 试卷第3页（共3页） 22.把x-2,(x-2)(x+3),(x+3)'通分过程中，不正确的是(） 1(x+3)2 A.最简公分母是(x-2)(x+3) B.x-2(x-2)(x+3}2 1 x+3 1 2x-2 c.(x-2(x+3)(x-2)(x+32 D.(x+3}(x-2)x+32 23.通分： 15 (1)3x212y: 11 2)x2+x'x-x· 24.通分： c a b (1)ab'be'aci 1 -1 (2)x2+xX+2x+1 ◆题型3已知分式恒等式，确定分子或分母 3a-2 M N 25.若常数M’N满足-1a-1a+1,则M2-N2=（) A.6 B.-4 C.4 D.6 3x+4 A B 26.已知(x-2)(x+)x-2x+1其中A,B为常数，则4A-B的值为() A.7 B.9 C.13 D.5 x+3 A B 一十 27.已知(x-2)(x+2)x-2'x+2(其中A、B均为常数)，则A+B= 3x-4 A B 28.已知(x-1(x-2)x-1x-2,则实数4+2B= ◆题型4分式加减混合运算 试卷第4页（共3页） 8a+16= 29.化简：a-22-a (2a-12-a2_3 30.计算：2a2-22. 31.计算： 36.9 1)2x+44-x+2x-4: 1 、1 (2)x2-4x+4X2-42x+4: 1 1 32.若、。·对，作变化，得到= k2= k>0 k 1三再寸作变化，俱刊， 1+1:再对，作变化，得到 1 1 :依次变化下去，… kn = k :在此变化过程中，记d一长一 1 k 1+1t+ 1 M,--d-d,+1-d,(n为正整数) 1 1)当=3，此时k的值为—一 1 2填空：化简并猪想k,=一，4，=一一，1一d。一一；（用只含n和k的代数式表示） M3 (3)当M为整数时，求此时k的值. ◆题型4分式化简求值 m+2-5）点m-3 33.先化简，再求值： m-22m-4,其中m=5. 1、2） a-3 34.化简求值： a-1a2-2a+1,其中a=-2. x2-1.x+11-x 35.先化简，再求值：x2-2x+1x-11+x,其中x=2. 试卷第5页（共3页） x-1 36.先化简，再求值： x2+2x+1,从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为x的值代 入求值. 试卷第6页（共3页） 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《2026年9月13日初中数学作业》参考答案 可绿职互薄 动弱 高断 题号 2 勺 6 9 10 17 18 19 22 答案 0 D B D B A 0 D 题号 25 26 答案 A 1.D ab2 aa 【详解】解：对选项A: a6-6,错误： 对选项B:a+b无法分解出因式a+b,无公因式可约，错误； x+3 x+3 1 ×、3 对选项C:2-9(x+3)(x-3)x-3x-3,错误： (a-b)2_(a-b)2 对选项D:-a+b(a-b =-(a-b)=b-a,正确. 2.D a 【详解】解：选项A中， 2无公因式可约，不能直接约去指数，运算错误： 选项B中，是分子分母的项而非公因式，不能直接约分，运算错误； a+b=I 选项C中，由am+bn=n(a+b)得an+bmn,运算错误： 选项D中，由y-x=(x-y)得y-x -y=1,运算正确： 1 3.-20.5 1-2x2x-11 【详解】解：4x-22(2x-可2 4.3 3x'y_ 【详解】解：9x=3 5.B 4 【详解】解：A选项，2x分子分母有公因式2：不是最简分式. 7120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B选项，分子1-x与分母x+1无公因式，是最简分式. C选项， x2+x x+i分子因式分解为x(x+少，与分母有公因式x+1?不是最简分式. 2-x D选项，x-2分子可变形为-(x-2),与分母有公因式x-2,不是最简分式. 6.B 【详解】解：选项A:t-1=(x+(x-),分子分母有公因式x+1, x2-1 +1=x-l,不是最简分式. 选项B:,x+1无法在有理数范围内分解因式，分子分母没有公因式， x2+1 ·x+1是最简分式. 2x 选项C::4y的分子分母有公因式2： 2xx 4y2y,不是最简分式. 选项D:x-2y+y=(x-)2,分子分母有公因式x-y, x2-2xy+y2 x-y =x-y,不是最简分式. 7.①⑤ b 【详解】解：①。是最简分式： 2n n ②6m3m,不是最简分式： 3y23y ③227，不是最简分式： a+b a+b 1 ④d-6(a+b)(a-ba-b,不是最简分式： x2-y2 ⑤平+少是最简分式： m2-4_(m-2(m+2）_m-2 ⑥m2+4m+4（m+2)1 m+2,不是最简分式： 综上，是最简分式的有①⑤. 8120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.4xy 【详解】解：分子4yz与分母12xy中， 系数4和12的最大公约数为4， 两个式子共有的字母为x和y, 相同字母的最低次幂分别为x和少， 2仅出现在分子中，不属于公因式的组成部分， 因此可得公因式为4y. 9.D 2a a-b 2a a-b a 【详解】解：6-a2b-(a-b26=-6: 10.B 【详解】解： 3)2 m m=m. 11.a 【详解】解： d2-16a-4_a+4)a-×a a+4 a at4 a-4a 12.(1)不正确，错在第①步，错误的原因是：小明在计算时，违反运算顺序先计算后两个分式的乘积，且计 算乘法时结果不对，应该为-1： (2)正确的解答过程如下： x2-14x+1.1-x x2-2x+1'x-11+x （x-1)(x+1)x-11-x (x-1)2x+11+x 1-x -x+1 【详解】(1)略 (2)略 4m2 13. 9n2 一2 3n 1 4m2 【详解】解： 2m 3n 9n2 2m 9120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4m2 故答案为： 9n2· 4x4 14.(1)2x23y'9y y 2)_,y2,2x2,8 (2x2}2 4x4 【详解】 (1)解： 2x2）2 3y (3y2 9y2: (2)解： (2x2 &to 15.(1) y2 4r2 (2) 8a3 【详解】(1)解： _y2 （-2x)2, 、2 4x2· (2)解： ( =（-2a)j° (c) =-8a3 c6 x+2 16.x2-x-2 x-1x2-4x-1(x+2)(x-2)x+2x+2 【详解】解：原式X-4x+4-(x-2}(x+1(x-)(x-2x+-x-2 17.A 10/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】三个分母的系数分别为4,6,3，它们的最小公倍数是12， 相同字母a的最高次幂为a,相同字母b的最高次幂为b2, .三个分式的最简公分母为12ab2. 18.A 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为a和b, a的最高次为2，b的最高次为2， ∴.最简公分母为2a2b2」 19.D 【详解】解：最简公分母是x+y)(x-y) 20. 36b2 【详解】解：两个分式的分母分别为36和6b2,36和6的最小公倍数是36，字母b的最高次幂为b2, ∴.两个分式的最简公分母是36b2 21.4x 【详解】解：：三个分式的分母分别为2x,3y2,4y, 最简公分母为12xy2, 计算得12xy2÷3y2=4x 22.D 【详解】解：：三个分式的分母分别为x-2,(x-2)(x+3),(x+3), ·最简公分母为(x-2)(x+3,故A选项正确： 1 (x+3)2 ·x-2(x-2(x+3),故B选项正确： x+3 六(x-2(x+3)（x-2)(x+3)，故C选项正确： 1 x-2 2x-2 六(x+3(x-2)(x+3(x-2)(x+3，故D选项错误. 故选：D 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4y 5x 23.(112x2y'12x2y x-1 x+1 2)x(x+1)x-)'x(x+1(x-) 【详解】(1)解：两个分式的最简公分母为12x2y, 14y4y55x5x 故3x3x2.4y12.x2y'12.y12.xy-x12x2y (2)解：x2+x=x(x+1),x2-x=x(x-), 故两个分式的最简公分母为(x+1)(x-), 1 1 x-1 1 x+1 故2+xx(x+)x(x+10(x-)）'x2-xx(x-)）x(x+1(x-) c2 a2 b2 24.(1) abe'abe'abc x+1-x 2)xx+12'x(x+ 【详解】(1)解：分式的最简公分母为abc, 品品底是品流是燕 (2)解：：x2+x=x(x+),x2+2x+1=(x+1, “分式的最简公分母为x(x+), 11(x+1)x+1-1 -1x x+xx(x+1)-(x+1)x(x+1,x2+2x+1(x+2xx(x+12. 25.A 【详解】解：”+X-M++Na-)_(M+Na+M-M `a-1'a+1（a-1)(a+1) a2-1 又3a-2_M+Wa+M-N) a2-1 a2-1 M+N=3 1M-N=-2' .M2-N2=(M+N)(M-N)=3×(-2)=6 26.C 12/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x+4 A B 【详解】解：(x-2)(x+)x-2x+1’ 3x+4 A(x+1）B(x-2) (x-2)(x+)(x-2)x+1)(x-2(x+1)' 3x+4 Ax+A-Bx+2B ∴(x-2)(x+1)(x-2(x+1)’ 3x+4(A-B)x+A+2B ÷(x-2(x+1)(x-2)(x+1)· ∴.A-B=3,且A+2B=4, 4=号B 1 4A-B=4 10_1=13 33 27.1 x+3 A,BA(x+2)+B(x-2) 【详解】解：“(x-2)x+2x-2x+2(x-2x+2) x+3=A(x+2)+B(x-2), 整理得：x+3=(A+B)x+2(A-B), 两个多项式相等，则对应项系数相等， …x的一次项系数相等， 可得：A+B=1. 28.5 【洲品 3x-4 “(x-100x-2x+x-2, 3x-4A(x-2)+B(x-1) ·(x-10x-2)(x-1(x-2) 即3x-4=A(x-2)+B(x-I), 整理得3x-4=(A+B)x-(2A+B), A+B=3 可知2A+B=4' 13/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [A=1 解得：1B=2' ∴.A+2B=1+2×2=5. 29.8 8a16 【详解】解：原式= a-2a-2 =8a-16 a-2 8(a-2) a-2 =8, 故答案为：8。 2 30.- a+1 (2a-1+a(2a-1-a3 【详解】解：原式 2a2-1 2 =(3a-10a-1）3 2(a+1)(a-1)2 3a-13 2(a+1)2 3a-1-3(a+1) 2(a+1) -3a-1-3a-3 2(a+1) -4 2(a+l) 2 a+1 31.(1)x-2 6 (2)2(x-2} 3 6 9 【详解】(1)解：原式2(x+2)(x+2)(x-2)2(x-2) 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3(x-2)+12+9(x+2) 2(x+2)(x-2) 12(x+2) 2(x+2)(x-2) 6 x-2 x (2)解：原式(x-2(x+2x-2)2(x+2) =-2(x+2）-2x(x-2)+x-2 2(x-2)2(x+2) -x(x+2) 2(x-2)2(x+2) 2(x-22· 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键， 32.(1)1 k nk 2)nk+1,nk+1'nk+1 3)k=2或k=2 1 【详解】(1)解：由已知得4 1三kk= 1=k +1+1， 1 +1k+1 1 k 将 =飞代入可得名=+1三 k k=k+l +1+12张+1， k 1 :k3 k1 ·2k+13 解得：k=1: 1=k (2)解： k二1 1k+1, k 15/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 k k2二1 1k+1, 61+1+, , nk+1: 44- k>0. .d =nk nk+1, 将4，- 1 k+代入1-d得， 1 1 nk+1 1一d.1冰k+1 =nk+1 nk+1 k nk 故答案为：k+,k+1’nk+1 1 (3)解：由(2)知，1-d =nk+1. =k+1, M1-1-d 1 1 1 Mi-d+1-d+1-dk+0+2k++6k+0=6+3 .M3-6k+3_6(k+)-3 M,k+1k+1 6-3 k+1” M为整数，且k>0 .k+1=1.5或k+1=3, k=2或k=2· 33.2m+6:16 16/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： m+2 5）.m-3 m-2°2m-4 「(m+2)(m-2）51.m-3 m-2 m-2'2m-4 =m2-4-5 m-3 m-22(m-2) =(m+3m-3）.2m-2) m-2 m-3 =2m+6, 当m=5时，原式=2×5+6=16. 34.化简结果：a-1,值为：-3 a-1-2.a-3 【详解】解：原式气a-1(a- =a-3.(a-12 a-1a-3 =a-1; 当a=-2, 原式=-2-1=-3」 1-x1 35.x+i,3 x2-1.x+11-x 【详解】解：x2-2x+1x-11+x -(+)(x-Dxx-1x1-x (x- x+1x+1 =1x x+1 1-21 当x=2时，原式2+13 2x 36。x+,取x=0时，原式的值为0（答案不唯一，取x=1时值为2） x-1 【详解】解： [品- 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+1( x+) -(2-) x-1 x+1 (x+1)2 s、1 x-1 x+1'(x+1)2 =x+1+x-1 (x+1)2(x+1)2 =2x (x+1)2, -2<x<2, 整数x的值为-1,0,1， 又x≠1， 2×0 取：0时凉式0+-0答奖不唯，取g=1时位为· 2 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.C 3.B 4.C 二、填空题 1 7 5. 3 6.4x3 三、解答题 7. 【详解】(1)解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； (2)解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号： 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解： ( (x-2-(x+12.x (x+1)(x-1)x-1 =x2-2x+1-x2-2x-1x-1 (x+1)(x-1) -4xx-1 (x+1)(x-1)x 4 = x+1 8. 【详1解。-2） a =a-1.d2-2a+1 a a a-l a a(a-12, 1 = a-1, =2 当a=3时，原式 2 21 9 【详解1山解：原式=9y()月 6x3 y y43 = 2x5 (a+1(a-1）,a+2(a-2}2 (2)解：原式a+2)(a-2(a-la+1 =a-2 a-1 10. 【详解】(1)解：两个分式的分母分别为ab,ab,可得最简公分母为a2b2, 19/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1.bb 1 1-a a 故a6a6-6a6，aab-aaB (2)解：两个分式的分母分别为x-x+y,可得最简公分母为(c-yx+)=x2-y2, 1_1(x+y)x+y11(x-y)x-y x-y(x-y)x+y)x-y,x+y(x+y)x-y)x-y2: (3)解：先对分母因式分解，得x2-y=(c-x+),x+y=x(x+),可得最简公分母为 x(x-y)(x+y): 1 1 1.x (x-)(x+y)x(x-y)(x+y)x(x-y)(x+y)' 1 1 1(x-y) x-y x2+xy x(x+y)x(x-y)(x+y)x(x-y)(x+y) 20/20