2.2&2.3分式的运算（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 这份同步练习以分式运算为核心，通过基础运算、混合运算到实际应用的三层递进设计，实现从单一知识点巩固到综合能力提升，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式乘除、同分母加减、最简公分母、通分|以选择填空为主，聚焦概念理解与基本运算，培养运算能力| |进阶层|乘除混合、含乘方混合运算、异分母加减、整式与分式加减|以解答题为主，强化多知识点综合运用，发展推理意识| |综合层|化简求值、实际应用、分式最值|结合生活情境与探究题，提升模型意识与创新意识，适配阶段测评|

2.2&2.3分式的运算 题型一   分式乘法 1．【答案】A 2．【答案】/0.5 3．【答案】 4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型二   分式除法 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】 6． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）两个分式相乘，直接进行约分即可； （2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查分式的运算； （1）同分母分式相加，分母不变，分子相加即可； （2）将分式除法转化为分式乘法来计算，对分子、分母进行因式分解，先约分，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型三   分式乘除混合运算 1．【答案】 2．【答案】 3． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型四   分式乘方 1．【答案】B 2．【答案】 1 / / 3．【答案】 4．【答案】 1 5．【答案】 6． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 7． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的计算和分式乘方法则，对分子、分母分别进行乘方，即可得到结果． （1）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （2）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （3）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 8． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五   含乘方的分式乘除混合运算 1． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 2． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 3． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 5． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六   同分母分式加减法 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】/ 7．【答案】 8．【答案】 9． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型七   最简公分母 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】/ 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 题型一 通分 1．【答案】A 2．【答案】 3．【答案】 分式的基本性质 等式的性质 4．【答案】 5． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 6． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 7． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 题型二   异分母分式加减法 1．【答案】B 2．【答案】 3．【答案】 4． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 . 5． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式． 【详解】解： ． 6． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法． 先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 7． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型三   整式与分式相加减 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】2 4．【答案】 5． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 7． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键 （1）利用作差法比较与的大小关系即可； （2）先根据分式的加减运算法则计算，得出，再根据为大于0的整数，为整数，即可确定的值，从而求出整数的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 为大于0的整数，为整数， 或， 或或或， ， ， ． 题型四   已知分式恒等式，确定分子或分母 1．【答案】B 2．【答案】2 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】2 6． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 题型五   分式加减混合运算 1．【答案】 2． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】（1）解： （2） ． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 6． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 7． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型六   分式加减乘除混合运算 1．【答案】 2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可． （3）先计算分式乘法，再计算分式加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 3． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算分式乘法，接着通分并化简即可得到答案． 【详解】解： ． 4． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、去括号法则和合并同类项法则，几种常见的分解因式的方法． （1）根据多项式乘多项式法则、去括号法则和合并同类项法则进行计算即可； （2）先把能够分解因式的分子和分母分解因式，再把除法化成乘法，然后先算乘法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 5． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握分式的计算顺序和法则，是解题的关键．先算括号内减法，再算除法． 【详解】解： ． 6． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：原式 ． 7． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】解： 8． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式、分式的混合运算． （1）根据平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式除法法则计算即可得答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 9． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的综合化简，涉及分式的乘法、除法以及因式分解与约分技巧．首先应将原式中的除法转化为乘法，统一为乘法运算，然后对各个分式进行因式分解，寻找可以约去的公因式，最后化简得到最简形式． 【详解】解： ． 10． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型七   分式化简求值 1． 【答案】（1）；（2），8 【分析】本题主要考查了因式分解，分式的混合运算及化简求值．熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）先化简分式，然后代入计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 2． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解、分式的乘除运算法则是解题的关键．先对各分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式完成化简，最后代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 3． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算减法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 4． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6． 【答案】；2 【分析】本题考查了分式的加法及乘除法运算，分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键； 先利用通分计算括号里的分式加法运算，再计算分式的乘除法，最后将的值代入求解即可； 【详解】解： ； 把代入得：； 7． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先将括号内通分后相减，括号外因式分解，然后除法转化为乘法，然后约分化简到最简，最后将m的值代入即可． 【详解】解：原式      ， 当时，原式． 9． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型八   分式加减的实际应用 1．【答案】甲 2． 【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可． 【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，； 实验结论：， ∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少， ∴方案二的漂洗效果最好． 故答案为：二； 推广证明：方案A结果： 方案B结果： 方案更好 3． 【答案】(1)， (2)时，两人同时到；时，乙先到． 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： （2）解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 4． 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 5． 【答案】小时 【分析】本题考查分式加减的应用，先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间． 【详解】 解：依题意有 小时. 答：顺流航行比逆流航行少用 小时． 【点睛】 6． 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 7． 【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打千字；小华在计算机上平均每小时打千字 (2)千字 (3)千字 【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键； （1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度； （2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可； （3）将（1）所求的相减即可． 【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打千字，小华在计算机上平均每小时打千字； 答：小明和小华在计算机上平均每小时各打千字和千字； （2）解：千字， 答：两人共打文稿千字； （3）解：千字， 答：小明比小华平均每小时多打千字． 8． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，通过计算原来和现在用500元能购买的盒数之差，得到多买的盒数．利用分式的通分和化简求解． 【详解】解：原来每盒售价p元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买（盒） 答：现在可比原来多买盒． 9． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 题型一   分式的最值 1．【答案】 2． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 3． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 4． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 【详解】（1）解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； （2）解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为11； （3）解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为25． 5． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2&2.3分式的运算 题型一   分式乘法 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算 ． 3．（25-26八年级上·天津·月考）计算： ．（在分式有意义的条件下） 4．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1) (2) 5．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 题型二   分式除法 1．（25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A．1 B．a C． D． 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算： ． 5．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： = ． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·河北唐山·月考）计算 (1) (2) 题型三   分式乘除混合运算 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）化简：＝ ． 2．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：= ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算： (1) (2) 5．（24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 6．（25-26八年级上·北京·期中）化简：． 题型四   分式乘方 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算： （结果不含负指数幂）． 4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算 ． 6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五   含乘方的分式乘除混合运算 1．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 4．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 5．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： (1) (2) 6．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算 (1) (2) 题型六   同分母分式加减法 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若，则□中的数是（    ） A． B． C． D．任意实数 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 3．（20-21八年级下·甘肃天水·期末）计算 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 5．（25-26八年级上·广西桂林·月考）计算： ． 6．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 7．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 10．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 题型七   最简公分母 1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分式 和 的最简公分母是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）分式，，的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·青海海东·期末）分式与的最简公分母是 ． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分式，的最简公分母是 ． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为 ． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）分式的最简公分母是 ． 7．（25-26七年级上·上海宝山·月考）分式，的最简公分母是 ． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是 ． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）分式：的最简公分母是 题型一 通分 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 3．（25-26八年级上·北京房山·期中）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 6．（25-26八年级上·山东·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 题型二   异分母分式加减法 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·月考）计算 ． 3．（25-26八年级上·北京·月考）计算的结果是 ． 4．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 7．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 题型三   整式与分式相加减 1．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）计算的结果是 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是 ． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，其中． (1)判断A与B的大小关系，并说明理由． (2)若a为整数时，设，求整数y的值． 题型四   已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（25-26八年级上·全国·期末）在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 2．（25-26八年级上·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则 ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）若，且A，B均为常数，则 ． 4．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）若，则 ． 5．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为 ． 6．（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，求的值． 题型五   分式加减混合运算 1．（24-25八年级下·重庆·期中）化简： 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 5．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型六   分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简的值为 ． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算 (1) (2) (3) 3．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 5．（2025八年级上·北京·专题练习）计算： 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 7．（22-23八年级上·北京丰台·期末）计算：． 8．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 9．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 10．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 题型七   分式化简求值 1．（25-26八年级上·广西柳州·月考）（1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 2．（北京市朝阳区2025--2026学年八年级上学期数学期末试卷）先化简，再求值：，其中． 3．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）化简并求值：，其中． 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）先化简，再求值 已知，求的值． 5．（25-26八年级上·河北张家口·月考）先化简再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26九年级上·福建厦门·月考）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 题型八   分式加减的实际应用 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 2．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 3．（25-26八年级上·北京昌平·期末）甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 5．（2025八年级上·全国·专题练习）一条小船顺流航行后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为，水流的速度为，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 6．（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元．那么同样用500元钱购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？ 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 题型一   分式的最值 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 4．（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 5．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2&2.3分式的运算 题型一   分式乘法 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，需将分子与分母分别相乘后约分简化． 【详解】解：， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查分式的乘法运算． 通过分子相乘、分母相乘后约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·天津·月考）计算： ．（在分式有意义的条件下） 【答案】 【分析】该题考查了分式乘法，通过观察分式乘法，直接约分，简化表达式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型二   分式除法 1．（25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即必须包含因子，即可求解． 【详解】解： 要求结果为整式，即为整式， ∴必须能被整除. 只有选项C符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了分式的除法．根据分式除法的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法运算，将除法转换为乘法，再将分子与分母分别相乘后约分简化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： = ． 【答案】 【分析】本题主要考查分数除法的运算法则，即除以一个分数等于乘以它的倒数． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）两个分式相乘，直接进行约分即可； （2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级上·河北唐山·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查分式的运算； （1）同分母分式相加，分母不变，分子相加即可； （2）将分式除法转化为分式乘法来计算，对分子、分母进行因式分解，先约分，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型三   分式乘除混合运算 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 2．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，单项式乘以单项式，根据同级运算从左到右的顺序，先计算乘法，再将除法运算转化为乘法运算，然后通过约分简化表达式即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·北京·期中）化简：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型四   分式乘方 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）计算： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 1 / / 【分析】本题考查零指数幂，积的乘方，单项式乘以多项式，分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据任何非零数的0次幂等于1，即可求解； （2）根据积的乘方法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则计算即可； （4）根据分式的乘方法则，分子和分母分别乘方计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算： （结果不含负指数幂）． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和分式的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，据此求解即可； （2）任何非零数的零次幂等于1，据此求解即可； （3）分式的乘方法则，分式的乘方等于分子和分母分别乘方，据此求解即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：1； （3）根据分式的乘方法则，． 故答案为： 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算 ． 【答案】 【分析】该题考查了分式的乘方运算，负整数指数幂，先运用负整数指数幂法则，将原式变形，再对分子和分母分别进行平方运算即可． 【详解】解：  ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的计算和分式乘方法则，对分子、分母分别进行乘方，即可得到结果． （1）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （2）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （3）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五   含乘方的分式乘除混合运算 1．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 5．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六   同分母分式加减法 1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若，则□中的数是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将左边分式拆解，化为一个常数与一个分式的和，即可确定□中的数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴□中的数为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算，再对分子进行因式分解并化简即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 3．（20-21八年级下·甘肃天水·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接进行分子相减，再化简即可． 【详解】原式=， 由于， 所以． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式的减法运算法则计算即可，掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广西桂林·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算．由于两个分式的分母相同，直接合并分子进行运算． 【详解】解：（其中）． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键；通过观察分母 和互为相反数的关系，将第二个分式变形，然后合并分式，再因式分解分母并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查分式的加减运算，明确同分母分式相加减的方法是解题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分．分式运算时，默认字母的取值范围使分式有意义（即）． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算． 两个分式分母相同，分母不变，把分子相加即可. 【详解】解：， 故答案为：1． 9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型七   最简公分母 1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分式 和 的最简公分母是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是对分母分解因式．各分式的分母分别为和，因此最简公分母是它们的乘积． 【详解】∵ 分式 和 的分母不同的因式有和， ∴ 最简公分母为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）分式，，的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简公分母．最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分母分别为， ， ， ∴系数的最小公倍数为6，各字母因式的最高次幂为， ∴分式，，的最简公分母为， 故选：B 3．（25-26八年级上·青海海东·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简公分母，两个分式的分母分别为和，它们互质，因此最简公分母为它们的乘积． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查确定最简公分母；确定最简公分母，需取各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积. 【详解】解：∵分式的分母为，分式的分母为，系数的最小公倍数为2，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， ∴最简公分母为. 故答案为：. 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：分式的分母分别为，，；系数的最小公倍数为6，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， 故最简公分母为， 故答案为： 7．（25-26七年级上·上海宝山·月考）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）分式：的最简公分母是 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 最简公分母由各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积组成． 【详解】解：分母系数分别为3、2、5，其最小公倍数为30， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 题型一 通分 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京房山·期中）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 6．（25-26八年级上·山东·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 7．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 题型二   异分母分式加减法 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海金山·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查异分母分式加法，通过找到公分母，将两个分式通分后合并，化简分子得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 . 5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法． 先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 7．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型三   整式与分式相加减 1．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 2．（2025·山西·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将分式部分化简，再与后面的项合并即可． 【详解】解：原式   ． 故答案为：2． 4．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，其中． (1)判断A与B的大小关系，并说明理由． (2)若a为整数时，设，求整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键 （1）利用作差法比较与的大小关系即可； （2）先根据分式的加减运算法则计算，得出，再根据为大于0的整数，为整数，即可确定的值，从而求出整数的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 为大于0的整数，为整数， 或， 或或或， ， ， ． 题型四   已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（25-26八年级上·全国·期末）在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 2．（25-26八年级上·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 3．（25-26七年级上·上海·月考）若，且A，B均为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 题型五   分式加减混合运算 1．（24-25八年级下·重庆·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．（25-26八年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】（1）解： （2） ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型六   分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，将分子和分母因式分解后约分，然后计算括号内减法，然后计算括号外除法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可． （3）先计算分式乘法，再计算分式加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 3．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算分式乘法，接着通分并化简即可得到答案． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、去括号法则和合并同类项法则，几种常见的分解因式的方法． （1）根据多项式乘多项式法则、去括号法则和合并同类项法则进行计算即可； （2）先把能够分解因式的分子和分母分解因式，再把除法化成乘法，然后先算乘法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 5．（2025八年级上·北京·专题练习）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握分式的计算顺序和法则，是解题的关键．先算括号内减法，再算除法． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：原式 ． 7．（22-23八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】解： 8．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式、分式的混合运算． （1）根据平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式除法法则计算即可得答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的综合化简，涉及分式的乘法、除法以及因式分解与约分技巧．首先应将原式中的除法转化为乘法，统一为乘法运算，然后对各个分式进行因式分解，寻找可以约去的公因式，最后化简得到最简形式． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 11．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型七   分式化简求值 1．（25-26八年级上·广西柳州·月考）（1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），8 【分析】本题主要考查了因式分解，分式的混合运算及化简求值．熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）先化简分式，然后代入计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 2．（北京市朝阳区2025--2026学年八年级上学期数学期末试卷）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解、分式的乘除运算法则是解题的关键．先对各分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式完成化简，最后代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）化简并求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算减法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）先化简，再求值 已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（25-26八年级上·河北张家口·月考）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】本题考查了分式的加法及乘除法运算，分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键； 先利用通分计算括号里的分式加法运算，再计算分式的乘除法，最后将的值代入求解即可； 【详解】解： ； 把代入得：； 7．（25-26九年级上·福建厦门·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先将括号内通分后相减，括号外因式分解，然后除法转化为乘法，然后约分化简到最简，最后将m的值代入即可． 【详解】解：原式      ， 当时，原式． 9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型八   分式加减的实际应用 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 2．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可． 【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，； 实验结论：， ∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少， ∴方案二的漂洗效果最好． 故答案为：二； 推广证明：方案A结果： 方案B结果： 方案更好 3．（25-26八年级上·北京昌平·期末）甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 【答案】(1)， (2)时，两人同时到；时，乙先到． 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： （2）解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）一条小船顺流航行后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为，水流的速度为，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 【答案】小时 【分析】本题考查分式加减的应用，先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间． 【详解】 解：依题意有 小时. 答：顺流航行比逆流航行少用 小时． 【点睛】 6．（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打千字；小华在计算机上平均每小时打千字 (2)千字 (3)千字 【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键； （1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度； （2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可； （3）将（1）所求的相减即可． 【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打千字，小华在计算机上平均每小时打千字； 答：小明和小华在计算机上平均每小时各打千字和千字； （2）解：千字， 答：两人共打文稿千字； （3）解：千字， 答：小明比小华平均每小时多打千字． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元．那么同样用500元钱购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，通过计算原来和现在用500元能购买的盒数之差，得到多买的盒数．利用分式的通分和化简求解． 【详解】解：原来每盒售价p元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买（盒） 答：现在可比原来多买盒． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 题型一   分式的最值 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式 ； ②若，则交换对称式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 4．（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 【详解】（1）解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； （2）解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为11； （3）解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为25． 5．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $