分层练65 抛物线-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖抛物线核心考点，从基础概念到综合应用逻辑递进，通过典型题培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|聚焦定义应用、焦点准线关系、简单弦长计算|从抛物线定义出发，逐步延伸至标准方程、中点弦性质，构建概念-性质-计算的基础逻辑链| |B级能力提升|5题|含多选与综合解答，涉及焦点弦、切线、垂直直线综合问题|深化定义与几何性质的综合应用，通过多知识点交汇题培养运算能力与模型观念，形成从基础到复杂情境的认知进阶|

分层练65抛物线 【A级基础巩固】 x-1y 1. 抛物线2的焦点到准线的距离是() 1 1 A.2 B.1 c2 D.4 2. 过抛物线y=2x(p>O)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点，若线段PO中点的横 坐标为3，P=10,则抛物线方程是() A.y2=8x B.y2=2x C.y2=6x D.y2=4x 3. 已跳物线C广商生点为R,是CE点.a- 0,则=() A.1 B.2 C.4 D.8 4. 已知抛物线C:y=2px(p>O)的焦点为F,直线I与抛物线C相交于A,B两点，且 与y轴相交于点P,若PA=3PB,AF=8,BF=4,则P=(O A.1 B.2 C.3 D.4 5.己知抛物线C:y=4x的焦点为F,过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切 点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则FB·FM的取值范围是() A.(1,2] B(42) C.[1+) D.(1,+o) 6.(多选)设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，A为C上一点，以F为 圆心，FA为半径的圆交1于B,D两点若△ABF的面积为3，则() ABF=3 B.△ABF是等边三角形 C.点F到准线的距离为3 D抛物线C的方程为y=6x 7.设抛物线E:y=8x的焦点为F,过点M(4,O)的直线与E相交于AB两点，与E 的准线相交于点C,点B在线段AC上，|BF=3,记△BCF与△4CF的面积分别为 SABCE= SBCr,S.ACF,则S4cF() A.4 B.5 c.6 D.7 8. 动圆过点(，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 9. 抛物线y=2x上两点A,B与坐标原点O构成等边三角形的三个顶点，则该三角形 的边长为 10.过抛物线C:y=6x的焦点的直线I交C于A,B两点，若AB=9, 则线段AB的中 点的横坐标为 11.过抛物线C:x=2py(p>O)的焦点F作直线I与抛物线C交于A,B两点，当点A的 纵坐标为1时，AF=2 (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(-2,),使得MA1MB,求直线I的方程 12.已知F为抛物线T:x=4y的焦点，直线：y=a+2与T相交于A,B两点 ①)若k=L,求F4+FB的值； (②点C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线I的方程 【B级能力提升】 13.(多选)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为V3且经过点F, 直线I与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D,若 |4F=8,则以下结论正确的是() A.p=4 B.DF=FA C.BD=2 BFD BF=4 14.(多选)已知直线 y--号)与能线C:产=2p>0扣交11B阿点点4 在x轴上方，F为抛物线C的焦点，点M(1,-)是抛物线C的淮线与以AB为直 径的圆的公共点，则下列结论正确的是（) FA 2 A.p=2 B.k=-2 C.MF⊥AB D.FB5 15.己知点P在抛物线=8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6,3)，则 △PAF周长的最小值为 16.已知抛物线C:x=2pp>0)的焦点为F,点A(2,)在C上，4F=2 (1)求P: (2)过点F作两条互相垂直的直线，人，4与C交于M,N两点，12与直线y=-1 交于点P,判断∠PMN+∠PNM是否为定值若是，求出该定值；若不是，说 明理由 参考答案 1.D[抛物线标准方程r=2D>0)中P的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由 x=Iy p= 1 2,得4 X+龙=3 2ATP,）,),g2=3,即+西=6，又 P四=x+x+p=10,即P=4,·抛物线方程为广=8x] 1 3A[抛物线y=2pr,则2p=1,P= +卫、5 4.根据抛物线的定义可知 24 ,即 =号日 =28,=1J 4.D[过点AB分别作抛物线准线的垂线AD,BM 垂足分别为D,M,且AD,BM与y PA AE 轴分别交于E,V,则△PAE6PBN,得PB BN .由抛物线的定义知 PA AE D- -2_8-2 2=3 AF=AD,BF=BM,则 PB BN aM-号BF-号p-号 2 解得卫=4」 5.D[由题意可设切线AB的方程为x=少+m>0,m<0),则(，m）,由 y2=4x, x=少+m得y-40-4m=0,△=(-42+4×4m=0,得m=-2, A(-,0)B(,2）M(0,1）.FB=(（-1,2）,Fm=(-1,） :.FB.FM=-2+(2)t=2r+1>l 6BCD[由FA为半径的圆1交于B,D丙点，所以FA=FA,又FA=MB,可得 △ABF为等边三角形，B正确；过F作FC⊥AB交C,则C为AB的中点，C的横 P -卫 3p 坐标为2，B的横坐标为2，所以A的横坐标为2，代入抛物线可得听=3p y=5p,y=5py=V5p,AB=6,解得p=3,所以抛物线的方程 3 ×2=3 为y=6x,D正确；焦点坐标为 所以焦点到准线的距离为2 所-调-号号-6A不对 ,C正 9 确；此时点A的横坐标为2，所以 7.C[弛物线E的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2设4(，H),B(x,乃） C(2,),直线4B的外李一定存在且不为0，设直线1B的方程为y=k(x-4), y=k(x-4), ≠0，联立广=8x消去y得r-(82+8)x+162=0 显然△>0，所 以=16时=+号=5+2=16 x+5- 16 ”+x2=3 X2 Xx=16设点F到直线AB的距离为d,则 &w=ca-54cd-5i-e5-(2创- 8广=4抓[改动园的国心坐标为化，），剥圆心到点（，0）的距离与直线x=-1的距离相 等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y=4x] 51 A 9.4W3[由地物线的对称性知，要使△OAB为等边三角形，不坊取 2 代入 2=2x 1)2 -a 抛物线方程，得2 2“,解得a=4W5] 10.3[如图， 直线'：x=-1为抛物线C的准线， 为抛物线C的焦点设线 段AB的中点为M(,%),分别过A,B作垂线，垂足分别为A,B,M',由地物线的定 8=41+aF=H82w1=2+- 义，得 ，解得=3 故线段 AB的中点的横坐标为3] y、卫 1.解①地物线C:r=2pp>0)的准线方程为2，焦点 F0,2 （”2当点A 的纵坐标为1时，AF=21+=2 2,解得P=2，·地物线C的方程为 x2=4y】 ②：点M(2,%）在抛物线C上， %=2y=1 41.又F(0,) 设直线I的方程为y=r+1。 [y=kx+1 由x=4y得x2-4-4=0. 设A(G,)B(:) 则x+52=4k,x2=-4 MA=(x+2,y-1),MB=(x2+2,y2-1) MA⊥MB.MA-MB=0 ∴.(x+2)(x2+2)+(y-1)y2-1)=0 .-4+8k+4-4k2=0。解得k=2或k=0。 当k=0时，1过点M,舍去，k=2。 直线1的方程为y=2x+1。 12解由已知可得F(0,) 小》到 y=kx+2 由x=4y得x2-4-8=0, 所以￥+名=4，① xx=-8。② F4+1+1 4 4 国+5》-2五+2 4 当k=1时，@g得FA+FB=10 (2)由题意可知 历=草-小=(3) 由∠CFA=∠CFB COS<FA,FC>=Cos<FB,FC> FA.FC FB.FC FAFC FE FC 又F4=于+1FB=空+1 FA-FC FB.FC 所以由 FA FC FE FC ，所以 32年+1 3+ 可得4+2（名+x)-x,=0 、3 即4+8k+8=0。解得2」 所以所求直线1的方程为3x+2y-4=0 13.ABC[如图， 分别过点A,B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E,M,连接EF。 设抛物线C的准线交x轴于点P,则PF=P, 由直线的斜率为V5, 可得其倾斜角为60°。 AE‖x轴，.∠EAF=60。 由范物线的定义可知，A=1,则△AEF为等边三角形， ∠AFE=∠AEF=60°，.∠PEF=30°， .AF=EF=2PF=2p=8 得P=4,A正确。 AE=2PF,PFI‖AE F为AD的中点，则DF=FA,B正确。 又∠DAE=60,∠ADE=30°， BD=2BM=2BF,C正确。 由C知 D错误。] 14.ABC[直线 即过抛物线C的焦点F, 抛物线C的准线方程为 2 点M(1-)在抛物线C的准线上， -2=-1 2 得卫=2 故A正确； 直线1的方程为y=k(x-),易知k≠0 y=k(x-1) 由(y2=4x ,消去少， 整理得r-(22+4)x+=0 设A(,)B(G) 则>0,3>0，片>0,2<0，xx21 戈+5=2弘2+4 k2；① y2=-4Vxx3=-4 片+⅓=(G+x-2)= 。② 由题意得MA·MB=0 即(+1y+)(+1+1)=0 禁理得+(：+)+1++(+乃)+1=0 1+22+4 将0@代入上式可得1+A24+1-4+4 +1=0 ,解得k=-2,故B正确； 由k=-2易知<x2,X+为3=3 +y2=-2.F(1,0),M(-1,-1) .Mp.AB=(2,1)(x2-,y2-) =2(x2-x)+(y2-) =2+x}-4x%-V0+2P-4以=25-25=0，故C正确； 由以上分折可得片=V5-山，⅓=-V5-1 FA 5-1 3-5 FB -5-1 则 ,故D错误。 15.13[由题意可知，点A在拋物线的内部， 地物线的焦点 F(2,0) 抛物线的准线方程为X=一2」 aPAF的周长为P4+PF+AFl 4F=V(6-2)2+(3-0)2=5 如图， 过点P作准线的垂线，交准线于点D, 由抛物线的定义可知， PF=PD 要使得PA+PF最小， 即俊得PA+PD最小， 则当D,P,A三点共线时，PA+PD取得最小位， 即(PA+IPFD=6+2=8 △PAF周长的最小值为8+5=13。] 16解四：点42.)在=2p四上， 2 22=2pyo,得 y0= 0p。 AF=2,准线方程 、卫 2 2+P=2 根据抛物线的定义得卫2 解得p=2。 ②由0流抛物线C:r=4y,F0,1)由题意知，直线的针率一定存在14，当直 y=1, x=±2， 线的斜率为0时，由于1,4y=1,:x=0由r=4得y=山，不坊令 -1-1x-1-1=-1 (-2,N2,5P0-)到w-0司*02 ,.PM⊥PN 得∠PMN+∠PNM=180-90,=90.当直线的斜率不为0时，候题意，设4：y=+1 6= x+1 [y=kx+1, +,由r=4得2-4-4=0，△=(4)+16=16k+小>0 x+1, k x=2k, +=4,西=4由=4得y=-山则P(2,-) w =-2-在x-2-2=k2x西+2k(G++4 2k-x2k-x24k2-2k(x+x2)+xx2 =4k2+8k2+4=-1 4k2-8k2-4 ∴PM⊥PN,得∠PMN+∠PNM=180°-90°=90°.综上，∠PMN+∠PWM是定值， 该定值为90°