3.1 列代数式表示数量关系 第 3 课时 反比例关系 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦反比例关系，通过基础概念识别、多情境应用到跨学科创新的三层设计，覆盖定义判断、定量计算及综合说理，适配新授课知识巩固与抽象能力、推理意识、模型意识的核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念识别与基础判断|选择题1-6直接考查定义，填空7-10结合行程等基础情境，强化抽象能力| |中档|情境应用与定量计算|填空11-12涉及物理公式计算，解答13-15需规范判断说理，发展推理意识| |提升|综合辨析与跨学科创新|解答17-18结合杠杆原理与圆柱体积，需构建数学模型，培养模型意识与创新思维|

3.1 列代数式表示数量关系 第 3 课时 反比例关系 （总分：50 分 建议用时：45 分钟） 一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1．【考点：反比例关系的定义识别】 如果 （ 均为正数），那么 和 （ ） A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．无法确定 2．【考点：几何情境中的反比例判断】 将 36L 水倒入一个长方体容器中，水面的高度与容器内部的底面积的关系是（ ） A．成反比例关系 B．成正比例关系 C．不成比例关系 D．无法确定 3．【考点：代数式形式的反比例辨析】 下列关系式中， 与 成反比例关系的是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：多情境比例关系辨析】 下列各种关系中，成反比例关系的是（ ） A．故事书总页数一定，未读页数与已读页数 B．大米每千克单价一定，购买总价与购买质量 C．铺一间教室地面，方砖的边长与所需块数 D．工作总量一定，每天的工作效率与工作天数 5．【考点：行程情境中的反比例判断】 下列生活实例中，体现反比例关系的是（ ） A．铅笔单价一定，购买数量与总费用 B．百米赛跑时，跑步的平均速度与所用时间 C．每分钟跳绳个数一定，跳绳总个数与时间 D．长方体底面积一定，长方体的高与体积 6．【考点：平面几何量的比例辨析】 下列各组中的两个量，成反比例关系的是（ ） A．正方形的周长与边长 B．圆的直径与半径 C．长方形面积一定，它的长与宽 D．正方形的面积与边长 二、填空题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 7．【考点：正反比例关系的基本概念】 在路程 、速度 、时间 三个量中，当 一定时， 与 成 比例关系；当 一定时， 与 成 比例关系。 8．【考点：反比例关系的开放举例】 请举出一个生活中两种量成反比例关系的例子： 。 9．【考点：反比例关系的填表计算】 下表中 和 两个量成反比例，请把表格填写完整。 3 6 4 0.2 10．【考点：生活情境的反比例判断】 用一批纸张装订同样的练习本，每本的页数与装订的本数成 比例关系。 11．【考点：物理公式中的反比例与计算】 已知压力 、压强 与受力面积 满足公式 。当压力 保持不变时，压强 与受力面积 成 比例关系；若 时 ，则当 时， 的值为 。 12．【考点：反比例关系的定值计算】 已知两个量 和 成反比例关系，当 时，，则当 时， 。 三、解答题（共 6 小题，共 26 分） 13．【考点：反比例关系的判断与说理】（4 分）判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由。 （1）三角形的面积一定，它的底和对应的高； （2）李老师带的钱数一定，购买笔记本的单价与购买的数量。 14．【考点：表格数据的反比例分析】（4 分）某工厂加工一批零件，每小时加工的数量与加工时间如下表： 每小时加工数量 / 个 40 30 20 15 加工时间 / 小时 6 8 12 16 （1）这批零件一共有多少个？ （2）用 表示每小时加工零件个数， 表示加工时间，写出 与 的关系式，并判断它们是否成反比例关系。 15．【考点：多组数量关系的比例辨析】（4 分）下列各题中均有两个变化的量： ①打完一份稿件，每分钟打字个数与所需的时间； ②工人每小时生产 25 个零件，生产的零件总数与生产时间； ③买笔的总费用一定，钢笔的费用与圆珠笔的费用。 其中成反比例关系的有几组？请分别说明理由。 16．【考点：数形结合的反比例判断】（5 分）下列各图中，两个量 和 成反比例关系的是哪一个？请说明理由。 A．线段总长为 1，分成两段长分别为 和 B．圆柱体积为 1，底面积为 ，高为 C．三角形周长为 1，两条边长分别为 和 D．长方体的高为 1，体积为 ，底面积为 17．【考点：跨学科杠杆原理应用】（5 分）同学们探究 “杠杆原理” 时发现：左边刻度 4 处挂 3 个相同的钩码，右边不同刻度处挂相同的钩码，杠杆保持平衡。 （1）请完成下表： 右边刻度 1 2 3 4 钩码个数 6 3 刻度 × 钩码个数 （2）右边的刻度数与钩码个数成什么比例关系？为什么？ 18．【考点：迁移创新与反比例辨析】（4 分）向三个底面积不同的圆柱形玻璃杯中注入体积为 的水。设玻璃杯底面半径为 ，水面高度为 。 请判断 与 是否成反比例关系，并说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1．答案：B 解析：两种相关联的量，若相对应两个数的乘积为定值，则成反比例关系。已知 （乘积固定不变），因此 和 成反比例关系。 核心知识点：反比例关系的核心定义：两种相关联的量，乘积一定。 2．答案：A 解析：长方体体积公式：体积 = 底面积 × 水面高度。水的体积 36L 是定值，即底面积与水面高度的乘积一定，因此二者成反比例关系。 易错点：易混淆正比例与反比例 —— 正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 核心知识点：几何情境中反比例的判断，抓住 “总量 = 分量 1× 分量 2” 的定量关系。 3．答案：C 解析：反比例关系可变形为 （ 为常数，）的形式，且两个变量的次数均为 1 次。 A 选项：，即 ，比值一定，成正比例关系； B 选项：，是和一定，不成比例关系； C 选项：，即 ，乘积一定，成反比例关系； D 选项：，是 与 成反比例，而非 与 成反比例。 易错点：反比例关系中两个变量均为一次，二次形式不属于两个量的反比例关系。 核心知识点：反比例关系的代数式形式识别。 4．答案：D 解析：判断反比例的核心是 “乘积一定”。 A 选项：未读页数 + 已读页数 = 总页数（和一定），不成比例关系； B 选项：总价 ÷ 质量 = 单价（比值一定），成正比例关系； C 选项：方砖边长 × 块数的结果不固定（实际是方砖面积 × 块数 = 铺地面积），不成反比例关系； D 选项：每天工作效率 × 工作天数 = 工作总量（一定），乘积一定，成反比例关系。 易错点：易将 “边长” 与 “面积” 混淆，误判 C 选项为反比例。 核心知识点：多情境下比例关系的辨析，区分和一定、比值一定、乘积一定。 5．答案：B 解析：A 选项：总费用 ÷ 数量 = 单价（比值一定），成正比例关系； B 选项：平均速度 × 时间 = 百米路程（一定），乘积一定，成反比例关系； C 选项：总个数 ÷ 时间 = 每分钟个数（比值一定），成正比例关系； D 选项：体积 ÷ 高 = 底面积（比值一定），成正比例关系。 核心知识点：行程情境中的反比例关系：路程一定时，速度与时间成反比例。 6．答案：C 解析：A 选项：正方形周长 ÷ 边长 = 4（比值一定），成正比例关系； B 选项：直径 ÷ 半径 = 2（比值一定），成正比例关系； C 选项：长 × 宽 = 长方形面积（一定），乘积一定，成反比例关系； D 选项：正方形面积 = 边长 × 边长，面积与边长的比值、乘积均不固定，不成比例关系。 易错点：正方形面积与边长既不成正比例，也不成反比例。 核心知识点：常见平面几何量的比例关系辨析。 二、填空题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 7．答案：反；正 解析：当路程 一定时，速度 × 时间 （乘积一定），因此 与 成反比例；当速度 一定时，路程 ÷ 时间 （比值一定），因此 与 成正比例。 核心知识点：路程、速度、时间三个量的比例关系，定量不同，比例关系不同。 8．答案示例：购物总价一定时，商品的单价与购买数量成反比例关系（答案不唯一，合理即可） 解析：满足 “两种相关联的量，乘积为定值” 的实例均可，例如：工作总量一定时，工作效率与工作时间；长方形面积一定时，长与宽等。 核心知识点：反比例关系在生活中的实际应用。 9．答案：2；60（从左到右，从上到下） 解析： 和 成反比例，则 的乘积为定值。由第一组数据得乘积为 。 当 时，； 当 时，。 核心知识点：反比例关系的乘积不变性，利用定值计算未知量。 10．答案：反 解析：纸张总页数是定值，即每本的页数 × 装订的本数 = 纸张总页数（乘积一定），因此二者成反比例关系。 核心知识点：生活情境中的反比例关系判断。 11．答案：反；30 解析：由 变形可得 ，当 不变时， 与 的乘积一定，成反比例关系。 已知 时 ，则压力 ；当 时，。 易错点：计算时需先求出定值 ，再代入新的条件求解。 核心知识点：跨学科公式中的反比例关系，结合公式推导比例关系。 12．答案：6 解析： 和 成反比例，则 的乘积为定值。乘积为 ，当 时，。 核心知识点：反比例关系的基本计算，利用乘积定值求解未知量。 三、解答题（共 6 小题，共 26 分） 13．答案：（1）成反比例关系。 理由：三角形面积 = 底 × 对应的高 ÷2，面积一定时，底 × 对应的高 = 2× 面积（乘积为定值），因此底和对应的高成反比例关系。 （2）成反比例关系。 理由：总钱数 = 笔记本单价 × 购买数量，总钱数一定时，单价与数量的乘积一定，因此二者成反比例关系。 解析：判断反比例关系的标准：① 两种量相关联，一种变化另一种也随之变化；② 相对应两个数的乘积为定值。写出数量关系式，确认乘积是否为定值即可。 易错点：第（1）题中的 “÷2” 是常数，不改变 “底 × 高乘积为定值” 的结论，不影响反比例判断。 核心知识点：反比例关系的判断方法与规范说理。 14．答案：（1）零件总数：（个） 答：这批零件一共有 240 个。 （2）关系式：； 与 成反比例关系。 理由：每小时加工个数 × 加工时间 = 零件总数（240 个，固定不变），乘积一定，因此 与 成反比例关系。 解析：（1）任选一组数据相乘即可得到零件总数，因总数不变，每组数据的乘积均相等； （2）根据反比例定义，乘积为定值则成反比例关系。 核心知识点：从表格数据中识别反比例关系，会写关系式并判断。 15．答案：成反比例关系的有 1 组，只有第①组成反比例关系。 理由：① 每分钟打字个数 × 所需时间 = 稿件总字数（一定），乘积一定，成反比例关系； ② 零件总数 ÷ 生产时间 = 每小时生产个数（25 个，一定），比值一定，成正比例关系； ③ 钢笔费用 + 圆珠笔费用 = 总费用（一定），是和一定，不成比例关系。 解析：分别分析每组两个量的数量关系，区分 “乘积一定”“比值一定”“和一定”，只有乘积一定才是反比例关系。 易错点：易将 “和一定” 误判为反比例，反比例必须是乘积一定，而非和、差一定。 核心知识点：多组数量关系的比例辨析，巩固反比例核心特征。 16．答案：成反比例关系的是 B 选项。 理由：A 选项：，和一定，不成比例关系； B 选项：圆柱体积 = 底面积 × 高，即 （乘积一定），因此 和 成反比例关系； C 选项：三角形周长为 1，则 第三边 = 1，和一定，不成比例关系； D 选项：体积 ÷ 底面积 = 高（1，一定），比值一定，成正比例关系。 解析：结合几何公式，将两个量的关系转化为乘除形式，判断乘积或比值是否为定值。乘积为定值则成反比例。 核心知识点：数形结合的反比例判断，结合几何公式深化概念理解。 17．答案：（1）表格填写如下： 右边刻度 1 2 3 4 钩码个数 12 6 4 3 刻度 × 钩码个数 12 12 12 12 （2）成反比例关系。 理由：刻度数 × 钩码个数 = 12（固定不变），乘积一定，因此右边的刻度数与钩码个数成反比例关系。 解析：（1）根据杠杆平衡原理：左边刻度 × 钩码数 = 右边刻度 × 钩码数。左边为 ，因此右边刻度与钩码数的乘积也为 12，据此计算填空； （2）两个量乘积为定值，符合反比例关系定义。 核心知识点：跨学科应用，结合杠杆原理理解反比例关系。 18．答案： 与 成反比例关系。 理由：圆柱体积公式为 ，已知水的体积 一定， 是常数，因此 （乘积为定值），所以 与 成反比例关系。 解析：先写出圆柱体积公式，变形得到 与 的乘积形式，判断乘积是否为定值。定值由体积 和圆周率 组成，固定不变，符合反比例关系特征。 易错点：易误认为 与 成反比例，实际是与 成反比例，注意变量的次数。 核心知识点：迁移创新，结合圆柱体积公式辨析反比例关系，深化对 “乘积一定” 的理解。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $