专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义以角平分线模型为核心，通过框架图系统梳理4个经典子模型，结合角平分线定义、性质及全等判定等知识储备，构建“模型提炼-证明-运用”的递进知识脉络，突出辅助线构造这一重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如通过“邻等对补型”典例培养推理能力，总结“遇角分，四套路”口诀强化几何直观，A组基础题、B组提升题、C组压轴题满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学，提升学生自主复习效率。

专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线模型是依托角平分线定义，结合全等三角形判定构造辅助线的一类基础几何模型，核心思路：见到角平分线，利用角相等，通过作垂线、截等长、作平行线构造全等三角形，实现线段、角度的转化。 模型包含 4 个经典子模型：①角平分线上的点向两边作垂线；②截长补短（角平分线截等线段）；③角平分线 + 垂直（三线合一，延长构造全等）；④角平分线 + 平行线出等腰（此模型再前面的倒角模型已总结）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 6 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 29 角平分线的性质早在欧几里得《几何原本》中就有记载。古代工匠在平分土地、修建城墙时，利用 “角平分线上任意一点到角两边距离相等”，来保证到两条边界距离相同。 这个模型是几何辅助线入门第一个 “条件触发式” 模型：看到某类条件，就固定做某条辅助线，是学生从单纯证明全等，进阶到主动构造全等的转折点。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 1）角平分线定义：平分一个角，分成两个相等的角； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3）全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 4）垂直定义、直角相等；对顶角相等；三角形外角定理。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 【典例3】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 【典例4】（25-26七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 【典例2】（25-26广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    【典例3】（25-26广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【典例4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）按要求解答下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【典例2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【典例4】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 模型常见易错点 1）直接默认 “角平分线上点到两边线段相等”，忽略必须是垂线段。 解决方案：审题看清楚，不是垂直的线段，不能直接相等；只有垂线段才满足性质。 2）分不清什么时候用截长、什么时候补短，辅助线画错。 解决方案：求证线段和差等式，角平分线在角上，长边截短边（截长）；短边向外延长（补短）。 3）角平分线 + 垂直，只看到直角，想不到延长线段构造全等。 解决方案：条件出现【角平分线 + 一条垂线，垂足在角平分线上】，优先延长垂线，构造对称全等。 解题方法总结 步骤 1：标记条件 找到题干中角平分线，标出相等两角； 步骤 2：匹配模型，做辅助线（四选一） ①有垂直求距离：向角两边作垂线； ②证明线段和差：角边上截取等长线段； ③角平分线 + 垂线：延长垂线，构造全等； ④ 有平行线：倒角，找等腰三角形； 步骤 3：写出全等条件，证明三角形全等； 步骤 4：转化线段 / 角度，代换，推导出结论； 步骤 5：检查：确认线段是否为垂线段，全等判定使用正确。 模型口诀：遇角分，四套路；作垂线，截等长；作平行，出等腰；角分垂，延长造。 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 2.（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 4.（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 5.（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 6.（25-26广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 7.（25-26八年级上·重庆·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 2．（25-26河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ． 4．（25-26·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    5.（25-26八年级上·山东·期末）如图，点为的中点，平分． (1)若．①求证：平分．②猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由． 6.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 1．（25-26八年级上·青海海西·期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·浙江·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 4．（25-26江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】（1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为与相交于点．若，则的面积为___________．（直接写出） 6．（2026·河南郑州·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究：该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用：如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线模型是依托角平分线定义，结合全等三角形判定构造辅助线的一类基础几何模型，核心思路：见到角平分线，利用角相等，通过作垂线、截等长、作平行线构造全等三角形，实现线段、角度的转化。 模型包含 4 个经典子模型：①角平分线上的点向两边作垂线；②截长补短（角平分线截等线段）；③角平分线 + 垂直（三线合一，延长构造全等）；④角平分线 + 平行线出等腰（此模型再前面的倒角模型已总结）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 6 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 29 角平分线的性质早在欧几里得《几何原本》中就有记载。古代工匠在平分土地、修建城墙时，利用 “角平分线上任意一点到角两边距离相等”，来保证到两条边界距离相同。 这个模型是几何辅助线入门第一个 “条件触发式” 模型：看到某类条件，就固定做某条辅助线，是学生从单纯证明全等，进阶到主动构造全等的转折点。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 1）角平分线定义：平分一个角，分成两个相等的角； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3）全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 4）垂直定义、直角相等；对顶角相等；三角形外角定理。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于，， 在和中，，，， 在和中，，， ，， ，，． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 【答案】C 【详解】解：A．过点作于，∵平分，，∴， 又平分，，，∴，∴， 又，，∴平分，故A正确； B．由①知，，故B正确； C．∵平分平分，∴，， ∴ ∴；∵平分，∴，故C错误； D．∵，∴ ，， 又∵，，，， 在 和中，，，， ， ，故D正确．故选：C． 【典例3】（25-26八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴， 又∵，∴平分； （2）证明：在和中，，∴， ∴，， 在和中，，∴， ∴，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 【典例4】（25-26七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）如图1，∵，，∴，∴，， ∵平分，∴；故答案为：； （2），如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，，， ，，， 在和中，，．∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F，∵平分，∴ 在和中，，∴， ∴，∴． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】/0.6 【详解】解：延长交于点E， 在中，，，∴， ∵平分，且，∴，， ∴，∴，∴，， ∴，∴，∴，故答案为：． 【典例2】（25-26广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    【答案】 【详解】解：延长、交于点，如图，∵，∴．    ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∵中，，，∴， ∴÷，，∴， ∵在和中，，∴（）， ∴，∴，故答案为：． 【典例3】（25-26广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分，，，， 在和中，，，，； ，，即；  ，， 当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：． 【典例4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）按要求解答下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 【答案】(1)证明：平分，， ，， 在和中，，，； （2）解：如图，延长交于点，同理（1）得，， ， ，； (3)，证明如下：如图，延长、交于点，则， ，， ，， 又，，， 同理（1）得，，； （4）解：如图，延长交于E， 同理（1）得，，米，∴， ∵，∴ ∴；答：的面积是． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵，∴， ∵和的平分线、相交于点O，∴，， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴， 又∵，，∴， ∴，∴，∵，∴设，， ∵周长为20，，∴， 即，解得，∴， 【典例2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（  ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，，， ， ∵平分，，， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，在上截取，连接， 在和中，，，， ，∴，， 在和中，，， ，，，故D结论正确，不符合题意； ∵，，， ，∴，故C结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故无法得到，故B结论错误，符合题意；故选：B． 【典例3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ，，又， ，；故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接，平分，， 在和中，，， ，，，， 又，， ，； （3），证明如下：如图，在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，， ，， ，，， ，． 【典例4】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【答案】(1)证明：∵是的角平分线，，，∴，， ∵，∴，∴； (2)证明：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，又∵，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米． 模型常见易错点 1）直接默认 “角平分线上点到两边线段相等”，忽略必须是垂线段。 解决方案：审题看清楚，不是垂直的线段，不能直接相等；只有垂线段才满足性质。 2）分不清什么时候用截长、什么时候补短，辅助线画错。 解决方案：求证线段和差等式，角平分线在角上，长边截短边（截长）；短边向外延长（补短）。 3）角平分线 + 垂直，只看到直角，想不到延长线段构造全等。 解决方案：条件出现【角平分线 + 一条垂线，垂足在角平分线上】，优先延长垂线，构造对称全等。 解题方法总结 步骤 1：标记条件 找到题干中角平分线，标出相等两角； 步骤 2：匹配模型，做辅助线（四选一） ①有垂直求距离：向角两边作垂线； ②证明线段和差：角边上截取等长线段； ③角平分线 + 垂线：延长垂线，构造全等； ④ 有平行线：倒角，找等腰三角形； 步骤 3：写出全等条件，证明三角形全等； 步骤 4：转化线段 / 角度，代换，推导出结论； 步骤 5：检查：确认线段是否为垂线段，全等判定使用正确。 模型口诀：遇角分，四套路；作垂线，截等长；作平行，出等腰；角分垂，延长造。 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，，， 是的平分线，，，， 是的平分线， ，，， 点到的距离与到的距离之和为．故选：C． 2.（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，，， 在和中，，，， ，，故A正确，不符合题意；， ，， 在和中，，，， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于，不一定等于，故B错误，符合题意．故选：B． 3.（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P， ∵，，∴， 在和中， ，∴，∴， 在和中， ，∴， ∴，∴，设，则，解得：， ∴，故选：A． 4.（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：过作于，如图， ，平分，，， 在和中，，，，，； 而点是的中点，，所以③错误，不符合题意； ，，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意；故选：A． 5.（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴．故答案为：3． 6.（25-26广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】证明：如图所示： （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D， 在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD， 7.（25-26八年级上·重庆·期末）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】[问题情境]；[类比解答]；[拓展延伸]，证明见解析 【详解】解：[问题情境]∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，，故答案为：； [类比解答]延长交于点，如图， 由问题情境可知，，∴， ∵，∴，故答案为：； [拓展延伸]，证明如下：延长、交于点，如图，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由问题情境可知，，∴； 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可得，为的角平分线，∴平分，故A正确，不符合题意； ∵，，∴， ∵平分，∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，∴，∵，，∴， ∴，故C正确，不符合题意；∴，故D错误，符合题意．故选：D． 2．（25-26河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°，故选A． 3．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P，，又知，， ∴在与中，，∴， ∴，，∴和等底同高，∴， 设的面积为m，∴， ∴．故答案为：4． 4．（25-26·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，分别平分， ，. （2）证明：如图，在上截取，连接.    平分，. 在和中，，. 由（1）知，，. 平分，.在和中， ，，. 5.（25-26八年级上·山东·期末）如图，点为的中点，平分． (1)若．①求证：平分．②猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由． 【答案】(1)①证明：过点作交于， 平分，，，点为的中点，，， ，，平分； ②，证明：，， （），，同理可证，； (2)，理由如下：在上截取，连接，过点作交于，作交于， ，平分，， ，（），，，， ，，点为的中点，，， （），，平分，， ，（），， ．故时，能使得（1）中结论依然成立． 6.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 1．（25-26八年级上·青海海西·期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，平分，， 在和中，，， 平分，故正确； 在中，，， ，，，，故正确； 若平分，则有，只有当时，平分， 若，则不平分，故不正确； 由可知，， ，，故正确；综上所述，错误的是．故选：C． 2．（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴ ∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 3.（25-26八年级上·浙江·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D， ①∵平分，平分，∴，， ∴，∴点P在的角平分线上，故①正确； ②∵，，∴， ∴，由图可知，∴错误，故②错误； ③在与中，，∴，∴， 同理可得，∴，∴，故③正确； ④∵平分，平分，∴，， ∴，故④正确．综上所述，①③④正确．故选：B． 4．（25-26江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】（1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为与相交于点．若，则的面积为___________．（直接写出） 【详解】[问题情境]：解：∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，，故答案为：； [类比解答]：解：延长交于点F，如图， 由问题情境可知，，∴， ∵，∴，故答案为：； [拓展延伸]（1），证明如下：延长、交于点F，如图， 则，∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 由问题情境可知，，∴； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵，∴，，∵，∴， ∵，∴，，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，则， 在和中∴， ∴，∴． 6．（2026·河南郑州·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究：该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用：如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 【详解】（1）解：由，设， ∵四边形是对补四边形，∴， 即，解得，∴，∴． (2)①证明：过点分别作于点，交的延长线于点，如图2所示． 对角线平分，，，，． 四边形是对补四边形，．，． 在和中，，． ②解：过点A分别作于点交的延长线于点，如图3所示，则． ，，． 又，，， ．∴点A在的平分线上，∴． （3）解：①当点在线段上时，如图4，连接，作于，于， ∵是等边三角形，∴．根据折叠得， ∴，∴， ∴四边形是对补四边形，则平分，，． ∵，∴，∴． 在中，，∴， 当时，，，，． ②当点在射线上时，如图5． 当点在的延长线上时，如图5，连接，作于，于， ∵是等边三角形，∴．根据折叠得， ∴，∴， ∴四边形是对补四边形，则平分，，． ∵，∴，∴． 在中，，∴， 当时，，，， ．故答案为：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $