第03讲 线段垂直平分线与角平分线与全等三角形模型 几何讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦线段垂直平分线、角平分线及全等三角形综合模型，系统梳理垂直平分线（定义、性质、判定、外心）与角平分线（性质、判定、内心）基础知识点，构建从核心概念到三大综合模型（中垂线+全等、角平分线+全等、两者结合）及倍长中线、一线三等角模型的学习支架。 资料以9大易错辨析（如垂直平分线需“垂直+平分”双条件）和10个典例精讲（如物流园选址体现角平分线性质应用）为特色，通过具体实例培养学生推理意识与模型观念，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第03讲 线段垂直平分线与角平分线与全等三角形模型几何 （核心知识+9易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】线段垂直平分线（轴对称核心考点） 1. 定义 垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。线段的垂直平分线是轴对称图形的对称轴。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 4. 拓展结论 三角形三边的垂直平分线交于一点，该点为三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等。 【知识点02】角平分线（几何测距核心） 1. 性质定理 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等（距离特指垂线段长度）。几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。 2. 判定定理（逆定理） 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。几何语言：若PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。 3. 拓展结论 三角形三条角平分线交于一点，该点为三角形的内心，到三角形三边的距离相等。 【知识点03】三大模块综合解题模型（压轴必考） 1.中垂线+全等综合模型：利用中垂线得线段相等（PA=PB），作为全等判定的边条件，结合SAS/SSS证明三角形全等，进而推导角度、线段关系。 2.角平分线+全等综合模型：角平分线得等角或等垂线段，搭配公共边、垂直条件，用AAS/ASA证全等，是几何证明题高频考法。 3.中垂线+角平分线综合模型：一点同时在中垂线和角平分线上，兼具“到线段两端等距”“到角两边等距”双重性质，多用于复杂线段、角度推导。 【知识点04】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点05】一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 易错点1：概念混淆：误以为“垂直于线段的直线”就是垂直平分线，必须同时满足垂直+平分两个条件。 易错点2：性质适用条件遗漏：只有点在垂直平分线上，才能推出线段相等，无垂直平分线条件不可直接用PA=PB。 易错点3：周长计算误区：求含中垂线的三角形周长时，不会利用PA=PB进行线段等量代换，导致计算繁琐或出错。 易错点4：判定定理误用：单点PA=PB只能证明点P在中垂线上，不能直接判定直线是中垂线，需两点确定一条直线。 易错点5：混淆“边长”与“距离”：角平分线性质是垂线段相等，不是角平分线上的点到顶点的线段相等，无垂直条件不能用。 易错点6：判定条件缺失：用逆定理时，遗漏“在角内部”“垂直两边”两个关键条件，直接由线段相等推角平分线。 易错点7：角度计算错误：多个角平分线叠加时，不会拆分角度，忽略角平分线平分的是完整角，非局部角。 易错点8：全等滥用：可直接用角平分线性质解题的题型，刻意证明全等，浪费解题时间。 易错点9：三大必考综合模型 易错点：截取线段后找不到对应角，无法锁定全等条件，辅助线做法不规范。 易错点：不会主动连接垂直平分线上的点与线段端点，错失全等条件。 混用错误：角平分线上的点到角顶点距离相等；垂直平分线上的点到线段两边距离相等。 【题型一】线段垂直平分线的性质 【例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【例2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接.若，，则的长为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【变式2】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【题型二】线段垂直平分线的判定 【例3】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）纸片上有一点P，量得，则点P一定是（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型三】角平分线的性质定理 【例4】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点．根据刻度可知，则点M到的距离是 __cm． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 【题型四】角平分线的判定定理 【例5】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【例6】等，连接，若，则的度数为_______ 【变式1】．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 【变式2】．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则___________°． 【变式3】．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知中，平分交于点E，平分交于点D，与交于点O，连接．求证：平分． 【题型五】角平分线性质的实际应用 【例7】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【例8】．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【变式1】．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是_____． 【变式2】．已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【题型六】中垂线+全等综合模型 【例9】．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)连接，若，图中和有怎样的关系？试证明你的结论． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系，并说明你的理由． 【题型七】角平分线+全等综合模型 【例10】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【例11】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【例12】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两点分别在射线上，点在的内部且，，垂足分别为，且． (1)求证：平分； (2)如果，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【题型八】中垂线+角平分线综合模型 【例13】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【例14】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【例15】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：直平分； (2)已知，，求的面积． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型九】倍长中线模型 【例16】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例17】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【变式3】．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【题型十】一线三等角模型 【例18】．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【变式1】．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【变式2】．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【变式3】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 1. 定理简化全等：能用垂直平分线、角平分线性质定理直接得出的边角关系，无需反复证明全等，缩短解题步骤、减少出错。 2. 模型嵌套解题：复杂题型常多模型嵌套，优先找角平分线、垂直平分线，作对应辅助线，构造全等三角形，完成边角转化与推理证明。 3. 双向推理思维：正向推导（由已知条件推边角关系）+ 逆向倒推（由求证结论找所需条件），双向结合突破几何难题。 本节课核心是“一线一模型，全等为核心”：线段垂直平分线、角平分线是几何转化的工具，四大经典模型是解题套路，全等三角形是推理根本。学习中需熟记定理、熟练辅助线作法，学会模型化解题、规范化书写，为后续等腰三角形、几何综合大题筑牢基础。 一、单选题 1．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 3．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 4．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 5．如图，在中，，，中线，则BD长为（   ） A．3．5 B． C． D．4 6．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 8．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 9．如图，，平分，平分，若，则____．    10．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 11．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ___．（填序号）①平分；②；③；④． 三、解答题 12．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)写出与之间的数量关系，并给出证明． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为上一点，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线． (1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：； (2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 18．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】（1）如图①，在中，，，为上一点，当的长为________时，与为偏等积三角形． 【理解应用】（2）如图②，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为奇数，过点作，交的延长线于点，则的长为________． 【综合应用】（3）如图③，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，且，为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①与的数量关系为________； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． ③与是偏等积三角形吗？请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 线段垂直平分线与角平分线与全等三角形模型几何 （核心知识+9易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】线段垂直平分线（轴对称核心考点） 1. 定义 垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。线段的垂直平分线是轴对称图形的对称轴。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 4. 拓展结论 三角形三边的垂直平分线交于一点，该点为三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等。 【知识点02】角平分线（几何测距核心） 1. 性质定理 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等（距离特指垂线段长度）。几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。 2. 判定定理（逆定理） 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。几何语言：若PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。 3. 拓展结论 三角形三条角平分线交于一点，该点为三角形的内心，到三角形三边的距离相等。 【知识点03】三大模块综合解题模型（压轴必考） 1.中垂线+全等综合模型：利用中垂线得线段相等（PA=PB），作为全等判定的边条件，结合SAS/SSS证明三角形全等，进而推导角度、线段关系。 2.角平分线+全等综合模型：角平分线得等角或等垂线段，搭配公共边、垂直条件，用AAS/ASA证全等，是几何证明题高频考法。 3.中垂线+角平分线综合模型：一点同时在中垂线和角平分线上，兼具“到线段两端等距”“到角两边等距”双重性质，多用于复杂线段、角度推导。 【知识点04】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点05】一线三等角模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 如图，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 易错点1：概念混淆：误以为“垂直于线段的直线”就是垂直平分线，必须同时满足垂直+平分两个条件。 易错点2：性质适用条件遗漏：只有点在垂直平分线上，才能推出线段相等，无垂直平分线条件不可直接用PA=PB。 易错点3：周长计算误区：求含中垂线的三角形周长时，不会利用PA=PB进行线段等量代换，导致计算繁琐或出错。 易错点4：判定定理误用：单点PA=PB只能证明点P在中垂线上，不能直接判定直线是中垂线，需两点确定一条直线。 易错点5：混淆“边长”与“距离”：角平分线性质是垂线段相等，不是角平分线上的点到顶点的线段相等，无垂直条件不能用。 易错点6：判定条件缺失：用逆定理时，遗漏“在角内部”“垂直两边”两个关键条件，直接由线段相等推角平分线。 易错点7：角度计算错误：多个角平分线叠加时，不会拆分角度，忽略角平分线平分的是完整角，非局部角。 易错点8：全等滥用：可直接用角平分线性质解题的题型，刻意证明全等，浪费解题时间。 易错点9：三大必考综合模型 易错点：截取线段后找不到对应角，无法锁定全等条件，辅助线做法不规范。 易错点：不会主动连接垂直平分线上的点与线段端点，错失全等条件。 混用错误：角平分线上的点到角顶点距离相等；垂直平分线上的点到线段两边距离相等。 【题型一】线段垂直平分线的性质 【例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 【例2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，；故的值为7或13． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接.若，，则的长为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，线段的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． 根据线段垂直平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 【题型二】线段垂直平分线的判定 【例3】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）纸片上有一点P，量得，则点P一定是（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定定理．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点P一定是三条边垂直平分线的交点， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 【答案】各边垂直平分线的交点 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故答案为：各边垂直平分线的交点． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【题型三】角平分线的性质定理 【例4】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，关键是利用角平分线的性质得到点到和的距离相等，再求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点．根据刻度可知，则点M到的距离是 __cm． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要是考查了角平分线的性质，能够熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 先利用直角三角板性质求得，根据角平分线性质可得点M到的距离等于点M到的距离． 【详解】解：由题意可得：,, ∵， ∴， ∴点M到的距离等于点M到的距离， ∵,， ∴点M到的距离为， ∴点M到的距离等于的长为． 故答案为：5． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：是的角平分线，，， ， 故选：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的平分线，于， ∴， ∵的面积是， ∴， 即 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型四】角平分线的判定定理 【例5】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 【例6】等，连接，若，则的度数为_______ 【答案】/21度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（   ） A．等腰三角形两底角相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角平分线上的点到角的两边距离相等 D．三线合一 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：B． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则___________°． 【答案】15°/15度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的判定可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∴， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【变式3】．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知中，平分交于点E，平分交于点D，与交于点O，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理． 过点O作于点N，于点M，于点K．则有和，即，即可得到点O在的平分线上． 【详解】证明：如图，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分． 【题型五】角平分线性质的实际应用 【例7】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 【例8】．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______． 【答案】三条角平分线的交点处 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 【变式1】．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是_____． 【答案】26 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答． 【详解】 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD，OD=OF， 即OE=OF=OD=2， ∴△ABC的面积=S△AOB+S△AOC+S△OBC=26， ∴×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=26， ∴×2×（AB+AC+BC）=26， ∴AB+AC+BC=26， 故答案为26． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式2】．已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【答案】(1)4处 (2)见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案； （2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图： 、、、，共4处． （2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 【题型六】中垂线+全等综合模型 【例9】．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【答案】(1) 证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ (2) 证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【变式1】．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)连接，若，图中和有怎样的关系？试证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是线段的垂直平分线．理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可； （2）根据线段垂直平分线的判定即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是线段的垂直平分线．理由如下， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴ 点C在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 【变式2】．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据证明，即可得； （2）由可得，，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及线段垂直平分线的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：是线段的垂直平分线，理由如下： ， ，， 和都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线． 【题型七】角平分线+全等综合模型 【例10】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 【例11】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 【例12】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两点分别在射线上，点在的内部且，，垂足分别为，且． (1)求证：平分； (2)如果，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（）证明，得，再根据角平分线的判定即可求证； （）证明，得到，即得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； （2）∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】(1) 证明：在与中， ， ． （2）如图所示： 过点作于， ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【题型八】中垂线+角平分线综合模型 【例13】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 【例14】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【知识点】线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】(1)证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【例15】．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：直平分； (2)已知，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)19 【知识点】线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识． （1）由角平分线性质得到，证明，则，即可证明直平分； （2）由（1）可知．根据，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分； （2）解：由（1）可知． ∵，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； (2)10 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 【题型九】倍长中线模型 【例16】．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 【例17】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长 至E，使，连接，易证得，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长 至E，使， 连接，    ∵为 边上的中线，   ∴，   在和中， ∴ ， ∴，   ∵，，   ∴ ∴ ，   ∴的取值范围是．   故答案为． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）可延长到，使，连接，则得，进而在中利用三角形三边关系证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可． 【详解】证明：延长到，使，连接， 是边上的中线， 在和中， （） 在中，则， 即， （2）解：在中，， 由（1）知，，， ，， ， 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型十】一线三等角模型 【例18】．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2) 证明：作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． (3)或6． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）略 （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 【变式2】．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【变式3】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 1. 定理简化全等：能用垂直平分线、角平分线性质定理直接得出的边角关系，无需反复证明全等，缩短解题步骤、减少出错。 2. 模型嵌套解题：复杂题型常多模型嵌套，优先找角平分线、垂直平分线，作对应辅助线，构造全等三角形，完成边角转化与推理证明。 3. 双向推理思维：正向推导（由已知条件推边角关系）+ 逆向倒推（由求证结论找所需条件），双向结合突破几何难题。 本节课核心是“一线一模型，全等为核心”：线段垂直平分线、角平分线是几何转化的工具，四大经典模型是解题套路，全等三角形是推理根本。学习中需熟记定理、熟练辅助线作法，学会模型化解题、规范化书写，为后续等腰三角形、几何综合大题筑牢基础。 一、单选题 1．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处， 故这个集贸市场可选的位置只有1处， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 3．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识点，是做题的关键．根据线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，则， ∴ A正确，故不符合题意； ∵点P到线段两个端点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上， ∴ B正确，故不符合题意； ∵ 角平分线的判定要求点到和的垂直距离相等，但选项C中和是点到和上点M、N的距离，不一定垂直， ∴ 不能推出是的平分线， ∴ C错误，故符合题意； ∵是的平分线，P是上一点，则点P到、的距离相等， ∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 4．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 5．如图，在中，，，中线，则BD长为（   ） A．3．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理．延长至点E，使得，连接，证明，为直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题. 【详解】解：如图，延长至点E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 6．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题 7．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 【答案】相等或互补 【分析】当时，可证明，得到；当时，过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果． 【详解】解：如图所示，当时， ∵为的平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作，，垂足分别为G，H， ∵为的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，与的关系是相等或互补． 8．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 9．如图，，平分，平分，若，则____．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 10．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 11．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ___．（填序号）①平分；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题 12．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． (1)连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，即可得证； (2)证明，得到，由(1)得，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明∶如图，连接， ∵G是的中点，， ∴， ∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)写出与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证和是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，即可得到结论； （2）由于E，于F，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵是角平分线，于E，于F， ∴， 在和中， ∴； （2）解：， 证明：∵于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为上一点，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点F，由角平分线得到，证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：过点D作于点F，    ∵， ∴ ∵平分， ∴ 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）可知： ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∴ ∴． 16．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线． (1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：； (2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识点．解题的关键是： （1）先证明，然后根据角平分线的性质即可证明； （2）过点P作，，分别交，于点M，N，推出，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 又平分， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，过点P作，，分别交，于点M，N， 则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵，，， ∴， 又∵， 则， 在和中， ， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1)①见解析；②1 (2)①；② (3)2或6． 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 18．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】（1）如图①，在中，，，为上一点，当的长为________时，与为偏等积三角形． 【理解应用】（2）如图②，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为奇数，过点作，交的延长线于点，则的长为________． 【综合应用】（3）如图③，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，且，为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①与的数量关系为________； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． ③与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）①；②，理由见解析；③与是偏等积三角形，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为奇数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ③证明，且与不是全等三角形，即可得到与是偏等积三角形． 【详解】解：（1）如图，连接， 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：2； （2）与为偏等积三角形， ． ∵， ． ， ， ，， ， ， ． 为奇数， ， ； （3）①∵， ∴； ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，且则与不是全等三角形， ∴与是偏等积三角形． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $