专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：．②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)①见解析；②(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：①如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； ②由①可知，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】如解图，过点D作于点E，由作图步骤知，平分， ， ，， 设，由，得，解得，即．故答案为：6． 例2（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：过点P作PG⊥AB，连接,如图： ∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB， ∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确； ，， ，， ，， 又，∴；故（3）错误； ,， ，， ， ， ∴正确的选项有3个；故选C． 例3（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：过作于，如图， ，平分，，， 在和中，，，，，； 而点是的中点，，所以③错误，不符合题意； ，，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意；故选：A． 例4（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1），理由如下：∵，∴，∴， ∵平分，∴；故答案为：； （2），理由如下：过D作于点E，作交延长线于点F， ∵平分，∴，∵， ∴，∴， 在和中，，∴，∴ （3）过D作交延长线于点M，作于点N， ∴，又∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，∴． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于Q，∵是的平分线，， ∴，，又，∴， ∴,∴，， ∴，∴ ∵的面积为，∴．故选：B． 例2（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，平分，于点，，，．则的长 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分，∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分，，，， 在和中，，，，； ，，即；  ，， 当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：． 例4（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【详解】解：（1）∵平分，∴ ∵∴; 又∵∴； （2）同（1）可得，∴ ∵∴∴ ∴∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得，; ∴， ∵∴∴∴ ∵的面积为30∴∴ ∵∴的面积； （4），理由如下：如图：延长交延长线于F， ∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】证明：如图所示： （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D， 在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD， 例3（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD． （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．      【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析． 【详解】（1）猜想：．证明：如图②，在上截取，连结， ∵为的角平分线时，∴，∵， ∴，∴，，∵，∴． ∵，∴，∴，∴． （2）猜想：．证明：在的延长线上截取，连结． ∵平分，∴．在与中，，，， ∴．∴，．∴． 又，，． ∴．∴．∴． 例4（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)18 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1），∵平分，∴． 在和中，，∴，∴，． ∵C是边的中点．∴，∴． ∵，∴，，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴；故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点，∴．∵平分，∴． 在和中，，∴， ∴，．同理可证：，． ∵，∴，∵，∴． ∴．∴，∴是等边三角形．∴， ∵，∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点，∴，∴ ∵，由（2）可得是等边三角形，∴． ∵当A，F，G，E共线时，有最大值．故答案为：18． 1．（24-25·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，作，，，设， 平分，，， 平分，，，， ，， ，， 在和中，，，．故选：C．    2.（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E，∴，， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故①正确； 在和中，，∴，∴，，故③正确； ∵，∴，∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个．故选：D． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，则的长为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【详解】解：如图，延长，交于点， 平分，，，， 在和中，，，，， ，， 点是的中点，是的中位线，，故选：A 5．（24-25·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①作于点， 平分，，， 平分，，，， 点在的角平分线上，平分，①结论正确； ②平分，平分，，， ，，， ，，，②结论正确； ③，，，， ， ，在和中，，， 同理可证，，，， ，故③结论正确； ④，，， ，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A． 6．（24-25·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，平分，如图，过点作于点． ∵平分，，，∴， ∵，，∴在中，， ∵，又∵，， ∴∴．故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 【答案】5 【详解】解：作于，如图， 为的平分线，，，， ，，．故答案为：5． 10．（24-25·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，分别平分， ，. （2）证明：如图，在上截取，连接.    平分，. 在和中，，. 由（1）知，，. 平分，.在和中， ，，. 11．（24-25绵阳市·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE． 【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， ∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF． （2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G， ∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE， ∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA， 又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H， ∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH， ∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC， ∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN， ∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE， 又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE． 12．（24-25·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，详见解析. 【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； 故答案为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； ②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；故答案为AF＝2CE． 证明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE； 问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示： ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中，， ∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°， ∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD． 13．（24-25·八年级下·广东深圳·期末）【知识再现】如图1， 已知等腰中， ，平分，D点在上．则与的位置关系是 ， 　　　　，当，时， ． 【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且 求的周长． 【知识拓展】如图3， 中，，，是的角平分线，求 的值． 【答案】[知识再现] ，1，；[知识应用]12；[知识拓展] ． 【详解】解：[知识再现]∵，平分，∴，，∴， ∵，，∴， 在中，；故答案为：，1，； [知识应用]延长，交于点F，如图， ∵平分交于E，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵∴，则的周长， [知识拓展]作于点E，于点F，如图，∵是的角平分线，∴， ∵，， ，，∴． 14．（24-25·八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ． 【答案】（1）>，见解析；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）， 证明：如图1，在上截取，连接，则， ，，，，故答案为：； （2）， 证明：如图2，延长到点，使，连接，则， ，，平分，， 在和中，，，，； （3）如图3，在上截取，连接， ，的角平分线，交于点， ，， ，， 在和中，，， ，，， ，，，， 作于点，于点，平分，， ，，故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考： 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： ①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2；（3）米 【详解】（1）证明：∵平分，∴ ∵，∴∵∴，∴． （2）①∵平分，， ∴由（1）可得： ∵，∴，∴ ∵∴； ②延长交于点，如图所示： ∵平分，，∴由（1）可得： ∵∴ ∵为得中点，∴∴当时，最大，最大， 此时：∴ （3）延长交于点，延长交于点，如图所示： ∵分别平分和，， ∴由（1）可得： ∵∴∴， ∵，米，米，∴米， 设∴ ∵∴ ∴ ∴需要围挡米 16．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ；(2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：若，则，，∴，， ∵平分，∴，故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分，∴∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，由（）可得，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴，即． 17．（24-25浙江·八年级专题练习）在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析 【详解】（1） ①如图1，在上取一点，使， ⅰ）是的平分线，， 在和中，，； ⅱ），是的两条角平分线，，， 在中，，，， ， ；故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；      ②由①知，，，， ∵，，，， 是的平分线，， 在和中，， ，； （2）如图2，在中，，，， ，是的两条角平分线，，， ，，， 在的边左侧作，交的延长线于，． ，，， ，，在和中，，，． 18．（24-25重庆·八年级专题练习）阅读与思考：下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．          该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分，．，． 在和中，，（依据1） （依据2），，，．…… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：……，，； 应用：延长、交于点，    平分，，，， 在和中，，，， ，，， 在和中，，． 19．（24-25·成都市·八年级期中）四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， 平分， ，在与中 （HL） 即 （2）如图，过点作交的延长线于点，过点作， ， 即 （3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， ，四边形是矩形 在与中 ，四边形是正方形 设 在中 在中， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：．②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 例2（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3）；（4）若，则，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 例4（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，平分，于点，，，．则的长 ． 例3（24-25广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    例4（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25·广西·八年级专题练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD． 例3（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD． （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．      例4（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 1．（24-25·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，则的长为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（24-25·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 6．（24-25·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·河南·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 9．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 10．（24-25·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    11．（24-25绵阳市·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 12．（24-25·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 13．（24-25·八年级下·广东深圳·期末）【知识再现】如图1， 已知等腰中， ，平分，D点在上．则与的位置关系是 ， 　　　　，当，时， ． 【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且 求的周长． 【知识拓展】如图3， 中，，，是的角平分线，求 的值． 14．（24-25·八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考： 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： ①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计） 16．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ；(2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 17．（24-25浙江·八年级专题练习）在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 18．（24-25重庆·八年级专题练习）阅读与思考：下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．          该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分，．，． 在和中，，（依据1） （依据2），，，．…… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 19．（24-25·成都市·八年级期中）四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $