第1章二次函数易错精练卷-2026-2027学年浙教版 数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心概念与易错点，通过分层题型构建“概念辨析-性质应用-综合建模”的方法体系，强化数形结合与逻辑推理 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2|定义辨析/配方法|系数与顶点关系生成| |图象性质|单选3-9、填空10-16|平移规律/数形结合|图象与性质推导链| |几何综合|解答19-21|交点问题/图形变换|函数与几何综合应用| |实际应用|解答17、22|函数建模/最值求解|实际问题数学化表达|

第1章二次函数易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册浙教版（2024） 一、单选题 1．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 3．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 4．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 9．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 二、填空题 10．抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 11．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 12．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 13．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 14．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 16．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 三、解答题 17．某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 18．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 19．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的取值． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点A为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将线段向左平移一个单位得对应线段，点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，请依据图形直接写出点F的纵坐标的取值范围． 21．已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 22．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章二次函数易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册浙教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A C C C D C D 1．D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2．D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 3．A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 4．C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 5．C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 6．C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 7．D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 8．C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 9．D 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 10．下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 11． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 12． 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 13．5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 14． 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 15．5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 16．③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 17．(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 18．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 19．(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得，， 故抛物线表达式为． （2）解：联立， 得， 因直线与抛物线只有一个交点， 故， 整理得， 解得． 20．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再运用配方法即可得出顶点坐标； （2）由平移可得，设，且，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线，与x轴的一个交点A为， ∴抛物线与x轴的另一个交点B为， 把、分别代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：如图， ∵将线段向左平移一个单位得对应线段， ∴， ∵点E为线段上一动点， ∴设，且， 当时，， 当时，， 当时，为最小值， ∴点F的纵坐标的取值范围． 21．(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 22．(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $