第1章特殊平行四边形单元同步练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形单元同步练习，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层，覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，通过梯度化题型培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一图形性质与判定|单选1-5直接考查平行四边形与特殊平行四边形转化条件，填空8-10聚焦折叠、坐标等基础计算，强化概念理解| |综合应用|多性质综合与计算|单选6-7结合正方形对角线与折叠，填空11-13需菱形性质与中位线定理，培养运算能力与空间观念| |拓展探究|动态与多图形结合|解答17-20涉及菱形与矩形构造、正方形动点问题，如折叠后全等证明、多正方形嵌套计算，发展创新意识与逻辑推理|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形 单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 2．如图，菱形中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 5．如图，矩形的对角线相交于点O，且，，于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D．2 6．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，将正方形沿折叠，对应点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D．3 二、填空题 8．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为___________． 9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B 的坐标为__________． 10．如图，在矩形中，，，R和P分别是，上的点，E和F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，时，线段的长是________．    11．如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是___________． 12．如图，在中，，点在边上（不与点，重合），于点，于点，连接．若，，则的最小值为______． 13．如图，正方形中，，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）的长为__________； （2）的长为__________． 14．如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ______． 三、解答题 15．如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 16．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 18．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，过点作，，交于点，，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 19．如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 20．已知四边形是菱形，连接，点为上一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点． (1)如图，若四边形、四边形是正方形，再连接、，得图，请判断线段与之间的关系（位置与数量），并证明； (2)如图，在菱形中，，当，时，连接，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A．当时，四边形是矩形，不一定是菱形，原说法错误； B．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误； C．当时，四边形是菱形，不一定是矩形，原说法错误； D．当时，四边形是矩形，说法正确． 2．B 【分析】先根据菱形的性质得出，，再利用等腰三角形性质通过计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 3．A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握菱形的性质是解题的关键．首先求出，然后求出，得到即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 4．A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 5．D 【分析】先根据矩形性质证明是等边三角形，得出，再根据直角三角形中所对直角边是斜边的一半，得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由直角三角形中所对直角边是斜边的一半，知． 6．B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．C 【分析】过点作于，构造矩形和全等三角形，利用勾股定理求出相关线段长度，进而求得． 【详解】解：过点作于， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∴ ，． 由折叠可知，， ∵ ， ∴ ． 设，则， 在中，， 即， 解得，即． 在中，． ∵ 正方形沿折叠，点对应点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 8． 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点N可得，所以，；在中由勾股定理求得的长，在中由勾股定理列出方程求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 9． 【分析】先作轴，作轴，于点F，点B作，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∴． ∵点A， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．/ 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据勾股定理可求出，再根据中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    在矩形中，， ， ， 在中，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，为中点，． ， 在中，， ． ． 故答案为：． 12． 【分析】如图：连接，先利用勾股定理列式求出，再判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，，即, 解得：， ∴． 13． 【分析】（1）正方形的性质结合勾股定理进行求解即可. （2）连接并延长，交于点M，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴； （2）连接并延长，交于点M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵Q是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵P，Q分别是的中点， ∴． 14．13 【分析】证明得，过点C作并延长交于M，则四边形是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C作并延长交于M，则四边形是矩形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：13． 15． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得到，再证明得到，则，再根据矩形周长计算公式得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 17．(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 18．(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，，证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可证明平行四边形是菱形； （2）在中，根据，，求出，，由（1）知四边形是菱形，则，，延长交于，证明四边形是矩形，得出，，，根据三角形中位线定理求出，根据四边形是菱形，求出，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：矩形中，，， 在中，，， ∴， ∴，， 由（1）知四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， 延长交于， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 19．(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． ． ， ． ． 即． (2)证明：如图2，延长，交于点，             四边形是正方形， ． 是的中点， ．     在和中， ． ． ， ． ， ．     是直角三角形． ． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，得到，证明，即可证明； （2）如图，延长交于点H，证明，得到，则，由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． 【详解】（1）略． （2）略． 20．(1)，， 证明如下：∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，令交于点， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，证明四边形为矩形，得出，从而可得，再证明，得出，，令交于点，再结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）由菱形的性质可得，，，，由等角对等边得出，证明四边形为平行四边形，得出，作交的延长线于点，则，求出，从而可得，，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 如图，作交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． $