1.2菱形的性质与判定 同步练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练，初中数学新授课用，聚焦菱形的性质与判定。分层设计清晰，从基础计算到综合证明递进，强化抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（对角线、面积）、判定基本条件|单选1直接考查面积公式，填空8结合周长计算，强化概念直接应用| |提升层|性质与判定综合、坐标系应用|单选6结合坐标求顶点，填空13涉及中点与勾股定理，培养空间观念| |综合层|复杂证明、动态问题|解答题20含证明、等边三角形判定及最值探究，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册《1.2菱形的性质与判定》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积是（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 2．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的两条对角线交于点，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 6．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为、，点D在y轴上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A．3 B．2 C． D． 二、填空题 8．小沛用一根长的绳子围成了一个菱形场地，则它的边长为____m． 9．已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 10．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 11．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______． 12．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的两条对角线分别为3和6，则阴影部分的面积为_________． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点分别是、的中点，连接．若，则的长为_______．    14．如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为________．      三、解答题 15．如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 16．如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 17．如图，在中，的垂直平分线分别与，交于点，．过点作，与交于点，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，则四边形的周长为 ． 18．如图，折叠平行四边形纸片，使得B落在对角线上的M处，得到折痕，使得D落在对角线上的N处，得到折痕． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，连接、，求证：四边形是菱形． 19．如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． (1)如图1，猜想四边形的形状并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 20．如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． (1)如图1，若E是的中点，，求证：； (2)如图2，若，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 参考答案 1．B 解：∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，该菱形两条对角线的长分别为6和8， ∴该菱形的面积． 2．B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 3．A 【分析】先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴． 4．C 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 5．D 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D符合题意； 而或或都不能得到四边形是菱形， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握性质是本题的关键． 利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：四边形是菱形， ∴，， ∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵点D在y轴上， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：A 7．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8． 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可求出边长． 【详解】解：设菱形的边长为，由题意得菱形周长为，可得： 解得． 9．或 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴互相垂直平分，， ∴， 当点P在上时： ∵互相垂直平分， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时： 同理： ∴；    综上：的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 10．10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 11． 【分析】由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 12．4.5// 【分析】本题考查了中心对称，菱形的性质，根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：标注字母如图所示： ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 13．3 【分析】由菱形，可知，由点分别是、的中点，可得，，，由勾股定理得，求的值，由，求的值即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，，， 由勾股定理得，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 14． 【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，由平移性质知，，则，，当点、、三点共线时，的值最小，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接与交于点，延长到，使得，连接，   四边形是菱形， ，，， ， 由平移性质知，， ，， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 的最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 15．四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，先证明，得出，同理，得出，，再根据菱形的判定方法，证明即可． 【详解】解：四边形是菱形． 理由：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， 同理得：， ∴，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 16．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)18 【分析】（1）先利用等边对等角、平行线的性质证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）如图：过点F作交于G，则，由菱形的性质以及等边对等角可得、；利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点F作交于G，则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 17．(1)∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形 (2) 【分析】（1）利用平行线性质得内错角相等，结合垂直平分线得，证，得出；由一组对边平行且相等判定平行四边形，再根据对角线互相垂直判定菱形； （2）由垂直与直角推出，结合判定四边形为平行四边形，得；结合（1）中推出为中点，求得菱形边长，进而计算周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，由折叠的性质可知，，进而得到，由内错角相等两直线平行可知，以此即可证明； （2）根据题意和折叠的性质可得，由平行线的性质可得，以此得到，则，进而得到四边形是菱形，，再通过证明，，即可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 根据折叠的性质可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟知菱形和平行四边形的判定方法是解题关键．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 19．(1)四边形为菱形 由折叠得，，， 在中， ． ∴四边形为菱形． (2)5 【分析】（1）本题主要考查菱形的判定，根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合由即可求解． 【详解】（1）（1）略； （2）（2）连结交于点 由题意得，，设，则． 由（1）得，四边形为菱形． ， ， 由 即，解得，（舍去） ． 20．(1)证明：如图1所示，连接， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：如图2所示，连接， 由（1）知，是等边三角形，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形 (3)存在，周长的最小值为 【分析】（1）证明为等腰三角形即可解答； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）根据垂线段最短，可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由垂线段最短可知：当时，有最小值， ，， ， ， ， 根据（2）中可得为等边三角形， 周长的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $