第一章 2 菱形的性质与判定-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

参考答案与提示 参考答案与提示 第一章特殊平行四边形 90°。EF∥BD。.四边形BDEF是平行四边形。BF= 1认识特殊的平行四边形 DE。E是AD的中点，，AE=DE=BF。AD∥FC, 1.15°2.48°3.C4.D ∠F=∠AEG。又：∠AGE=∠FGB,∴.△AEG≌△BFG 5.证明：：∠A=90°，△ABE和△ADF是直角三 (AAS)。AG=BG,EG=FG,即AB与EF互相平分。 角形。在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,BE=DF, 9.解：：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD= Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)。.∠AEB=∠AFD。.180° AD。又AC=AC,.△ABC≌△ADC。.∠ACB= ∠AEB=180°-∠AFD。.∠BED=∠BFD。 ∠ACD。∠B=∠EAF=6O°，.AC=AB=BC。.∠ACD= 6.证明：四边形ABCD是矩形，AB=DC, ∠BAC=∠ACB=∠B=60°。∠BCD=120°。∠FAC+ AB∥DC。∠ABC=90°，.∠DCB=180°-∠ABC=90°。 ∠CAE=∠BAE+∠CAE=6O°，.∠FAC=∠BAE。∴ ,PB=PC,.∠PBC=∠PCB。∠ABP=∠ABC-∠PBC, △ABE≌△ACF(ASA)。AE=AF。.∠AEF=∠AFE= ∠DCP=∠DCB-∠PCB,.∠ABP-=∠DCP。在△ABP和 ∠EAF=60°。.∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=120°。 △DCP中，AB=DC,∠ABP∠DCP,PB=PC,..△ABP≌ ∠CEF=∠BAE=18°。.∠CFE=18O°-∠CEF-∠BCD= △DCP。∴PA=PD。 180°-120°-18=42°。 7.解：四边形ABCD是菱形，AB=BC,∠BAC= 10.证明：(1)，四边形ABCD是菱形，AC⊥ 30°，∠ACB=∠BAC=30°。EF垂直平分BC,.BF= BD,即∠A0D=90°。AC⊥CQ,.∠0CQ=90°。 ∠AOD=∠OCQ。∴.BD∥CQ。∴∠BDC=∠DCQ。AD∥ CF=)BC。在Rt△CEF中，∠EFC=90,∠ACB=30, PQ,.∠ADP=∠DPQ。∠DPQ=∠DCQ+∠PQC,. CE=4,EF=CE-2。CF=VCE-EP=2V3。 ∠ADB+∠BDC=∠DCQ+∠PQC。.∠ADB=∠PQC。: 四边形ABCD是菱形，AD=CD,AO=CO。∴.∠ADB= .AB=BC=4V3。 ∠BDC。又∠BDC=∠DCQ,∴.∠PQC=∠DCQ。.PC= 8.证明：0是边AB的中点，.OA=OB。在 PQ。 △AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC,OA=OB,∠A= (2)如图，连接 ∠B,.△AOD≌△B0C(ASA)。AD=BC。:∠A= CE,四边形ABCD ∠B=90°，.∠A+∠B=180°。AD∥BC。.四边形 是菱形，AC⊥BD ABCD是平行四边形。又∠A=90°，.四边形ABCD OA=OC。.BD是线段 是矩形（矩形的定义）。 AC的垂直平分线。 第10题答图 2菱形的性质与判定（第1课时） AE=CE。∠EAC=∠ECA。又AC⊥CQ,∴.∠ACQ= 1.96cm22.C3.2V34.D5.B6.C 90°。.∠EAC+∠CQA=90°，∠ECA+LECQ=90°。 7.证明：四边形ABCD是菱形，.AD=AB,BO= ∠CQA=∠ECQ。.EC=EQ。由(1)可知，PC=PQ, DO。∠EB0=∠FDO。E,F分别是AB,AD的中 .EM是CQ的垂直平分线，即EM⊥CQ。 点，BE=号AB,DF=号AD。BE=DF。△B0E≌ 11.112.V1313.V7 14.证明：·四边形ABCD是菱形，.AB=BC。 △DOF。.OE=OF。 AE=CF,.AB-AE=BC-CF,即BE=BF。在△ABF和 8.证明：如图，连接 △CBE中，AB=CB,∠B=∠B,BF=BE,.△ABF≌ BD,交AC于点O。四 △CBE(SAS)。.∴AF=CE。 边形ABCD是菱形，.AC⊥ 2菱形的性质与判定（第2课时） BD,AD∥BC。又EF⊥ AC,.∠AOB=∠AHG= 第8题答图 1.AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一)2.AB=AC 209 数学 九年级上册（北师大版） (或∠B=∠C或AE=AF)3.B4.D ∠AOB=90°。AC⊥BD。.□ABCD是菱形。 5.证明：，AB=AD,BC=DC,AC是BD的垂直 13.(1)证明：∠ABC+∠BAD=180°，AD∥ 平分线。AC⊥BD,OB=OD。OE=OA,四边形 BC。AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形。 ABED是平行四边形。又·.AE⊥BD,.·.四边形ABED AD∥BC,∠ADB=∠CBD。BD平分∠ABC, 是菱形。 ∠ABD=∠CBD。∴.∠ABD=∠ADB。AB=AD。.平行 6.证明：BF∥DE,EF∥DB,.四边形BDEF是 四边形ABCD是菱形。(2)解：由(1)可知，四 平行四边形。D,E分别是AB,BC的中点，BD= 边形ABCD是菱形，∴.∠BCD=∠BAD,BC=DC,AC⊥ AB,BD是△MBC的中位线。BD=AC。AB= BD。∠ACE=∠ACD=号∠BCD,∠ABC+∠BAD=I80, AC,BD=ED。.四边形BDEF是菱形。 ∠BAD=2∠ABC,.∠ABC=60。.∠BAD=120°。：四 7.证明：∠ACB=90°，DE⊥AB,AD平分∠BAC, 边形ABCD是菱形，.∠BCD=∠BAD=120°。.∠ACB= .CD=DE,∠CAD=∠DAB。CM⊥AB,.∠DAB+ ∠BCD=60°。 2 ∠AFM=90°。.∠CAD+∠ADC=90°，.∠ADC=∠AFM '∠AFM=∠CFD,.∠CFD=∠ADC。.CF=CD=DE。又 14.(1)证明：.E为对角线AC的中点，BE⊥ CM⊥AB,DE⊥AB,.CF∥DE。.四边形CDEF是 AC,∴.BE垂直平分AC。AB=BC。又四边形ABCD 平行四边形。CD=DE,.四边形CDEF是菱形。 是平行四边形，四边形ABCD是菱形。(2)解： 8.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， BE=EF,.∠EBF=∠EFB。CF=CE,.∠CEF= AD∥BC。.∠2=∠ACB。又∠1=∠2，.∠1= ∠CFE。..∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF。. ∠ACB。AB=BC。.四边形ABCD是菱形。(2) ∠BEC=90°，.∠CBE=30°，∠ACB=60°。由(1)知 .AD∥BC,..∠AFE=∠EBC。又.AF=AE,.AFE= AB=BC,.∠ABC=60°。四边形ABCD是菱形， ∠AEF=∠BEC。.∠EBC=∠BEC。BC=CE。AC= .BC=CD,AB∥CD。∴∠DCF=∠ABC=∠ACB=60°。又 CE=CF,△BCE≌△DCF(SAS)。.∠DFC=∠BEC= 20A=AE+CE,201=AF4BC。0A=7AFBC)。又 90°。CF=CE=4,DF=V3CF=4V3。∴.△DCF的面 AB=BC,A0=(F+AB。 积=DF-CF24V3x48V3。 9.证明：(1)如图，延长A0到点E。OA= 3矩形的性质与判定（第1课时） OB,∠ABO=∠BAO。又∠BOE=∠ABO+∠BAO, 1.12,62.8cm3.304.C5.D ∠BOE=2∠BAO。同理，∠D0E=2∠DAO。∴.∠BOE+ 6.证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD, ∠DOE=2∠BA0+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即 AB∥DC。BE∥DC。CE∥DB,.四边形BDCE是平 ∠BOD=2∠BAD。又.：∠C=2∠BAD,.∠BOD=∠C 行四边形。BD=CE。AC=CE。△ACE是等腰三 (2)如图，连接0C, 角形。 .OB=OD,CB-CD,OC=OC, 7.证明：BF∥CE,CF∥BE,.四边形BFCE ∴.△OBC≌△0DC。.∴.∠BOC= 是平行四边形。：四边形ABCD是矩形，.AB= ∠DOC,∠BCO=∠DCO。. CD,∠A=∠D=90°。E是AD的中点，AE=DE。 ∠BOD=∠BOC+∠DOC, 在△ABE和△DCE中，AE=DE,∠A=∠D,AB= ∠BCD=∠BCO+∠DCO,. CD,.△ABE≌△DCE(SAS)。.BE=CE。又·四 ∠BOC=1∠BOD,∠BCO= 第9题答图 2 边形BFCE是平行四边形，.四边形BFCE是菱形。 8.(1)证明：如图，连接 3∠BGD。又∠B0D=∠BGD.∠BOC=∠BC0, BM,DM,∠ABC=∠ADC=90°， BO=BC。又OB=OD,BC=CD,.OB=BC=CD=DO。 M,N分别是AC,BD的中点， .四边形OBCD是菱形。 :BM=DM=1AC。.△BMD为等 2 10.C11.D 12.证明：在△A0B中，AB=5,OA=4,0B=3, 腰三角形。又：N是BD的中点， 0A2+0B2=9+16=25,AB2=25,.0A2+0B2=AB2。 MN⊥BD。 (2)解：由(1) 第8题答图数学 九年级上册（北师大版） 菱形的性质与判定（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是 AB,BC边上的中点，连接EF。若EFV3,BD=4,求菱形ABCD的周长。 【分析】首先利用三角形的中位线定理求得AC的长，再利用菱形的 性质和勾股定理求得边长，从而得出周长。 【解答】：E,F分别是AB,BC边上的中点，EF=V3,AC=2EF=2V3。例题图 :四边形ABCD是菱形，MC1BD,OA=AC=V3,OB=)BD=2。 .由勾股定理，得AB=VOA+OB=V7。.菱形ABCD的周长为4V7。 【点拔】此题考查菱形的性质、三角形的中位线定理和勾股定理，掌握菱形的性质是解 决本题的关键。注意：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，求菱形边长时经常 借助勾股定理。 基础巩固达标闯关 1.已知菱形的周长是40cm,一条对角线长是12cm,那么这个菱形的面积是 2.如图，两个全等菱形的边长为1cm,一个AI探测机器人由点A 出发，沿A→8→C→D→E→F→C→G→A的路线循环运动，行走2026cm 后停下，则这个探测机器人停在点 处。 >l 3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，CM平分∠DCE,过点D作 第2题图 DF⊥CM,DF=1,则对角线BD的长是 4.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线平分一组对角 第3题图 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中 点，且OE=a,则菱形ABCD的周长为() A.4a B.8a C.12a D.16a 6.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为 第5题图 垂足，连接DF。若∠BAD=,则∠CDF为(） A.a B.3 C.180°-3 a D.180°-2a 第6题图 特殊平行四边形 第一章 7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,E,F分别是AB,AD的中点。求证：OE=OF。 第7题图 能力提升睡综合拓展 一 8.如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于点H,交CB的延长线于点F,交 AB于点G。求证：AB与EF互相平分。 B 第8题图 9.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE= 18°，求∠CFE的度数。 D 第9题图 10.如图，在菱形ABCD中，P是边CD上的一点，过点P作AD的平行线PQ,过点C 作AC的垂线CQ,两线相交于点Q。连接AQ,交BD于点E,连接EP并延长，交CQ于点 M。求证： (1)PC=PQ。 (2)EMLCO。 第10题图 口数学 九年级上册（北师大版） 中考链接⊙真题演练 11.(2025·福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分 别相交于点E,F。若OA=2,OD=1,则△AOE与△D0F的面积之和为 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2025·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD= 12,点E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点， 连接FG,则FG的长为 13.(2025·无锡)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于 点M。过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N,连接MN,则MW的长为 14.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF。 求证：AF=CE。 第14题图 特殊平行四边形 第一章 菱形的性质与判定（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在口ABCD中，AB=AD,对角线BD与AC交于点O,E,F是对角线BD 上的点，且BE=DF,连接AE,CE,CF,AF。求证：四边形AECF是菱形。 【分析】首先依据题中四边形ABCD是平行四边形，以及AB=AD的条件证得四边形 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,即AC⊥EF,结合BE=DF, 证得EO=FO,进而问题得证。 【解答】证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形。AC⊥BD,AO=CO,BO=DO。 .BE=DF,∴.OB-BE=OD-DF,即EO=FO。 例题图 ·.四边形AECF是平行四边形。 又AC⊥EF,.平行四边形AECF是菱形。 【点拨】证明一个四边形是菱形有两种路径：第一，从任意四边形出发，可证这个四边 形的四条边相等；第二，从平行四边形出发，可证这个平行四边形有一组邻边相等或者这个 平行四边形的对角线互相垂直。 基础巩固达标闯关 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,若添加一个适 当的条件，使四边形ABCD是菱形，则你添加的条件是 。(只需添加一个即可) 2.如图，已知AD是△ABC的角平分线，E,F分别是边AB,AC的中点，连接DE, DF,在不作其他辅助线的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，那 么这个条件可以是 第1题图 第2题图 第3题图 3.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形 ABCD是菱形的依据是() A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 数学 九年级上册（北师大版） 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上， 将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的 数是3，则点A表示的数是() A.1 B.1-V3 第4题图 C.0 D.3-2V3 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC,BD相交于点O。在OC上截取 OE=OA,连接BE,DE。求证：四边形ABED是菱形。 第5题图 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,BC的中点，BF∥DE,EF∥DB。求 证：四边形BDEF是菱形。 D 第6题图 能力提升坤综合拓展 一卡多多多 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,CM⊥AB于点 M,交AD于点F,DELAB于点E,连接EF。求证：四边形CDEF是菱形。 第7题图 8.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,且∠1=∠2。 (I)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)F为AD上一点，连接BF交AC于点E,且AE=AF。求证： AO=2(AFAB). 第8题图 特殊平行四边形 第一章 9.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠C=2∠BAD。O是四边形ABCD内一点，且OA= OB=OD。求证： (1)∠BOD=∠C。 (2)四边形OBCD是菱形。 第9题图 中考链接⊙真题演练 10.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互 相垂直平分，AB=3,则四边形ABCD的周长为() A.6 B.9 C.12 D.18 第10题图 11.(2024·通辽)如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O,以 下条件不能证明口ABCD是菱形的是() A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD 第11题图 C.0A2+0B2=AD2 D.AD2+0A2OD2 12.(2025·长春)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，AB=5,OA=4,OB=3。 求证：□ABCD是菱形。 D 0 B 第12题图 口数学 九年级上册（北师大版） 13.(2026·云南)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,AD=BC,∠ABC+ ∠BAD=180°，BD平分∠ABC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)若∠BAD=2∠ABC,求∠ACB的度数。 第13题图 14.(2025·贵州)如图，在□ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE,且BE⊥AC, 垂足为E。延长BC至点F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G。 (1)求证：□ABCD是菱形。 (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积。 第14题图 西