专题06 奔驰模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义通过模型分类系统构建“奔驰模型”知识体系，按“内点（等边/等腰直角三角形）-外点（鸡爪模型）”分层梳理，用框架图呈现旋转构造全等与勾股定理的内在联系，突出旋转方向、角度拼接等重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与模型口诀指导，A组基础题巩固旋转全等证明，C组压轴题拓展正六边形等复杂情境，如典例1通过旋转构造等边三角形证角度，培养几何直观与推理能力，助力学生掌握“聚散思想”，教师可据此实施精准分层教学。

专题06 奔驰模型 奔驰模型（也叫鸡爪模型）：等边/等腰直角三角形内部有一点P，连接P与三个顶点，得到三条线段 PA、PB、PC，图形形似奔驰三叉星标志。 核心思路：利用旋转构造手拉手全等，将分散的 PA、PB、PC三条线段转移到同一个三角形内，结合等边三角形或等腰 Rt△、勾股定理求解线段长度或角度。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 2 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 6 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 11 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 27 奔驰模型是教育工作者根据图形外形起的俗称，正式叫法是内点旋转模型（鸡爪模型）。图形中从P 点伸出三条线段，三叉形态酷似奔驰车标，因此在初中培优圈广为流传。 模型本质就是手拉手旋转全等，属于手拉手模型的衍生模型，核心思想是几何变换里的 “聚散思想”—— 把分散在不同位置的线段，通过旋转收拢到同一个三角形，方便用勾股计算。 1）全等判定 SAS；旋转的性质：旋转前后线段相等、对应角相等；手拉手全等模型； 2）等边三角形性质：三边相等，内角 60°；有一个角 60° 的等腰三角形是等边三角形； 3）等腰直角三角形性质，勾股定理与勾股逆定理； 4）三角形内角和、外角定理。 模型1.奔驰模型1（动点在等边三角形内） 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图：∵是等边三角形，∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：A. 【典例2】（25-26八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】∵ 是等边三角形 ∵将绕点 逆时针旋转得到 即 ∴ 是等边三角形故选：A 【典例3】（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接．∵为等边三角形，∴，． ∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴． ∵，，∴． 在和中，∴，∴． 在中，∵，，，∴， ∴为直角三角形，， 过作于， ∴．故选A. 【典例4】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∴，且，∴，∴结论①正确；如图所示，连接， 根据结论①正确可得，，∴是等边三角形， ∴，∴结论②正确；∴， ∵，∴，且，， ∴，即是直角三角形，， ∴，故结论③正确； ∵是等边三角形，，如图所示，作， ∴，，∴， ∵是直角三角形，，∴， ∴，故结论④错误；综上所述，正确的有①②③，故选：A ． 模型2.奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC， ∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）等腰，，，，则__________，__________． 【答案】 /度 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ，， ，，， ，，， 在和中，，， ， ，， ，，， ，， ，，或（不符合题意，舍去）， 故答案为：，． 【典例2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：点A作AE的垂线交DE于点P，， 四边形是正方形，，，， ，，故①正确；，， ，，，，故③正确； 过点E作，交的延长线于点F， ，，， ，在中，由勾股定理得：， ，∴在中，由勾股定理得：， ，故②错误，如图：连接，在中， ，，，由勾股定理可求得，，， ，，故④错误； ，在中，由勾股定理得：， ，故⑤正确；综上所述：其中正确结论有①③⑤；故选：A． 【典例3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．∴， 又∵，∴∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【详解】解：（1）解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是等边三角形，∴，；又∵，，∴， ∴是直角三角形，即，∴； （2）如图，把绕点B顺时针旋转得到，∴， ∵旋转角是，∴，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，； （3）∵六边形是正六边形，∴，， 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴； 如图所示，过点A作于M，则，∴， 又∵，，∴， ∴是直角三角形，即 ，∴； 如图所示，过点B作交延长线与H，则， ∴，∴，∴， ∴，∴正六边形的边长为． 【典例4】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明如下：根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形，∴，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴由勾股定理得，； (2)证明：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴，由勾股定理得，， ∵，∴，又∵，∴，∴， ∵，∴， 由勾股定理得，∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形，∴， 同（1）可得，∴，， ∴，∴点在同一条直线上， ∴，∵， ∴，∵，，，∴， 由勾股定理得，∴，即． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等边三角形，， 在中，，，，，， ，，， ，． 【典例2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（   ）    A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得，连接，    ∴，，，∴是等边三角形， ∴，，∵，∴， ∴在中，，∴，故选：A． 【典例3】（25-26八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′， ∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=＝4， ∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′===6，故选A. 【典例4】（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ，， 是 三角形，，是等边三角形，， ，，， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)等边，4(2)(3)的最大值为 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ，， 是等边三角形，，是等边三角形，， ，，，． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∵，∴，∵，∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4，∴，∴， ∴，∴，∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵，∴，∴，∴的最大值为． 模型常见易错点 1）分不清初中奔驰模型和高中向量奔驰定理，混淆知识点。 解决方案：初中培优题里奔驰模型 = 鸡爪旋转模型；看到向量面积等式才是高中奔驰定理，中考不考。 2）旋转时选错旋转顶点与旋转方向，辅助线画错，三角形对应边找错。 解决方案：旋转中心一定是等边 / 等腰直角三角形的顶点；等边三角形固定旋转 60°，等腰直角旋转 90°；旋转目标：让等边三角形两条等边重合。 3）旋转全等之后，不会识别新构造的等边 / 等腰直角三角形，无法得到 PP' 的长度。 解决方案：记住规律：旋转角度 = 原等腰顶角，旋转后得到新等腰三角形；旋转 60° 直接得到等边。 4）算出△PP'C 直角后，角度直接当成所求角，忽略角度拼接（60°+90°），漏加等边三角形的 60° 角。 解决方案：所求角=新等腰三角形底角+直角三角形内角；一定要利用全等，把所求角转移到旋转后的角。 5）点在三角形外部时强行套用奔驰模型，模型适用条件判断错误。 解决方案：奔驰模型优先是三角形内部一点；点在外部属于鸡爪模型拓展，旋转思路不变，但角度关系会改变，不能直接套用 150° 结论。 解题方法总结 步骤 1：识别模型 看到等边/等腰直角三角形内有一点，连接三个顶点，已知 PA、PB、PC三条线段，判定奔驰（鸡爪）模型。 步骤 2：做旋转辅助线。等边三角形：绕顶点旋转60°，使等边两边重合；等腰直角三角形：绕直角顶点旋转 90°，使两直角边重合； 步骤 3：连接旋转后对应点，证明旋转全等，得到对应线段相等； 步骤 4：判定新生成的等腰三角形（等边/等腰直角），写出 PP'的长度； 步骤 5：在新△PP'C中，用勾股/勾股逆定理，求角度； 步骤 6：角度拼接，利用全等转化回原三角形，得到目标角度/边长； 步骤 7：作垂线构造直角三角形，求原三角形边长、面积。 模型口诀： 内点三叉奔驰图，旋转全等聚线段；等边转 60，等腰直转 90；转出特殊三角形，勾股求解角度边。 1.（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，由题意可知，则，，， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， 又∵，，，∴，∴， ∵为等边三角形，∴，∴ ∴，故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAB＋∠CAP=60°， ∵∠PAB=∠QAC，∴∠QAC＋∠PAC=60°， ∵AP=AQ，∴△AQP为等边三角形，∴PQ=AP=6，故选：A． 3.（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    【答案】105° 【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，    在△APB和△APD中∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∴PH=AH, ∵PA=1，在中，由勾股定理可得：， ∵PB=，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°故答案为：105° 4.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 【答案】3.2 【详解】解：是等边三角形 如图，将绕点顺时针旋转，点为点的对应点，连接 点为点旋转后的对应点；由旋转的性质得：， 是等边三角形 则在中故答案为：3.2 5.（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：将绕着点顺时针旋转得到，连接， 则是等腰直角三角形，，，，， ，，，故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． （2）类比探究：如图2，点P是正方形内一点，，，．你能求出．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，，则_____．（接写出答案） 【答案】（1）6；150；（2）；过程见解析（3） 【详解】解：（1）由旋转可知：，，， 又，， 是等边三角形，，， ，，是直角三角形，， ，故答案为：6；150； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，，，， ，； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，，，， 在中，，，，，，， ，，故答案为． 1.（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，， 将绕点顺时针旋转到的位置，， ，，，， ，是等边三角形，， ，，， ，即是直角三角形，故B正确； 是等边三角形，，故A正确； ，故C正确；是等边三角形，， 是等边三角形，，在中，， 即，故选项D错误．故选：D． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 【答案】/ 【详解】∵为等边三角形，∴， 可将绕点B逆时针旋转得，连，且延长，作于点F．如图， ∴，∴为等边三角形，∴ 在中，，∴∴为直角三角形，且， ∴∴，∴在直角中，，， 在直角中，，∴， ∴的面积故答案为：． 3．（2026·广东广州·校考一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，∵为等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到，则 ∴，∴是等边三角形， ∵∴∴， 过点作于点∵∴ ∵，∴在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 4.（2026·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 【答案】（1）；（2）；． 【详解】解决问题：由旋转的性质可得，，，， ∴，，∵，，， ∴，∴，∴； （1）仿照【分析】中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，连接．如图5， ∴，∴，∴为等腰三角形， ∵，∴，作于G，∴． ∵，∴，∴∴， 在中，∵，，，∴，，， ∴ ∴是直角三角形，∴． ∴．故答案为： （2）延长，作于点G，如图6， 在中，，∴， ∴，，∴， 在中，根据勾股定理得．故答案为： 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：由旋转可知：， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴是直角三角形，∴； (2)解：， 理由：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴， ∴在中，，即，∴． 6.（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，连接，探究、、三边之间的数量关系，…，根据以上分析过程____________． (2)【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，，求度数． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且，若，，求的长． 【答案】(1)2(2) (3) 【详解】（1）解：已知将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴，∴，，， ∴是等腰直角三角形，则，∴在中，， ∵，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，即，故答案为：； （2）解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得， ∴，∴，，，， ∴是等边三角形，∴，， 在中，，，， ∴，∴是直角三角形，， ∴，∴； （3）解：∵是等腰三角形，，∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，得，连接， ∴，∴，， ∴，∴，∵， ∴，且，∴， 如图所示，过点作于点，在中，， ∴，，∴， 在中，，∴，∴． 1.（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 【答案】C 【详解】解：连接，如下图：∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵，∴ ∴ ∵为等边三角形∴ ∴，即③正确； ∵∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∵，，∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确；故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ，，， 由勾股定理得，， 在中，， ，则的最小值为，故答案为：． 3.（2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 4．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】(1)5(2)(3) 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形，∴， ∴，∴； （2）解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，，∴， ∵，∴，∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， 在中，∵，，， ∴，∴，， ∴  ∴． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． (1)小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； (2)【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 【答案】(1)证明：如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 则，，是等边三角形．， 由旋转的性质得：， ，， ，． （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， 是等边三角形，， ，，是直角三角形，即， ． （3）解：如图3：过作交的延长线于点，连接，则， ，为等腰直角三角形，， ，， 在和中，， ，， ，面积为． 6.（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】（1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为6或 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等边三角形∴， ∵，∴是等边三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴ ∵∴ 在中，∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，，∴是等腰直角三角形∴， ∵，∴是等腰直角三角形∴ ∴即∴∴， ∵，∴∵∴ 在中，∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴∵在中，， ∴，在中，∴ ∴由（1）②得，∴ 如答图4，过点C作，垂足为点F， ∵，，∴是等边三角形∴， ∵∴∵在中，， ∴，在中，; ∴ ∴由（1）②得，; ∴ 答：的长为6或． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 奔驰模型 奔驰模型（也叫鸡爪模型）：等边/等腰直角三角形内部有一点P，连接P与三个顶点，得到三条线段 PA、PB、PC，图形形似奔驰三叉星标志。 核心思路：利用旋转构造手拉手全等，将分散的 PA、PB、PC三条线段转移到同一个三角形内，结合等边三角形或等腰 Rt△、勾股定理求解线段长度或角度。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 2 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 6 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 11 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 27 奔驰模型是教育工作者根据图形外形起的俗称，正式叫法是内点旋转模型（鸡爪模型）。图形中从P 点伸出三条线段，三叉形态酷似奔驰车标，因此在初中培优圈广为流传。 模型本质就是手拉手旋转全等，属于手拉手模型的衍生模型，核心思想是几何变换里的 “聚散思想”—— 把分散在不同位置的线段，通过旋转收拢到同一个三角形，方便用勾股计算。 1）全等判定 SAS；旋转的性质：旋转前后线段相等、对应角相等；手拉手全等模型； 2）等边三角形性质：三边相等，内角 60°；有一个角 60° 的等腰三角形是等边三角形； 3）等腰直角三角形性质，勾股定理与勾股逆定理； 4）三角形内角和、外角定理。 模型1.奔驰模型1（动点在等边三角形内） 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 【典例3】（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 模型2.奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC， ∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）等腰，，，，则__________，__________． 【典例2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【典例3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．∴， 又∵，∴∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 【典例4】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为等边三角形外一点，，，．则的度数为 ． 【典例2】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（   ）    A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 【典例3】（25-26八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 【典例4】（25-26八年级下·江西抚州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ，， 是 三角形，，是等边三角形，， ，，， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 模型常见易错点 1）分不清初中奔驰模型和高中向量奔驰定理，混淆知识点。 解决方案：初中培优题里奔驰模型 = 鸡爪旋转模型；看到向量面积等式才是高中奔驰定理，中考不考。 2）旋转时选错旋转顶点与旋转方向，辅助线画错，三角形对应边找错。 解决方案：旋转中心一定是等边 / 等腰直角三角形的顶点；等边三角形固定旋转 60°，等腰直角旋转 90°；旋转目标：让等边三角形两条等边重合。 3）旋转全等之后，不会识别新构造的等边 / 等腰直角三角形，无法得到 PP' 的长度。 解决方案：记住规律：旋转角度 = 原等腰顶角，旋转后得到新等腰三角形；旋转 60° 直接得到等边。 4）算出△PP'C 直角后，角度直接当成所求角，忽略角度拼接（60°+90°），漏加等边三角形的 60° 角。 解决方案：所求角=新等腰三角形底角+直角三角形内角；一定要利用全等，把所求角转移到旋转后的角。 5）点在三角形外部时强行套用奔驰模型，模型适用条件判断错误。 解决方案：奔驰模型优先是三角形内部一点；点在外部属于鸡爪模型拓展，旋转思路不变，但角度关系会改变，不能直接套用 150° 结论。 解题方法总结 步骤 1：识别模型 看到等边/等腰直角三角形内有一点，连接三个顶点，已知 PA、PB、PC三条线段，判定奔驰（鸡爪）模型。 步骤 2：做旋转辅助线。等边三角形：绕顶点旋转60°，使等边两边重合；等腰直角三角形：绕直角顶点旋转 90°，使两直角边重合； 步骤 3：连接旋转后对应点，证明旋转全等，得到对应线段相等； 步骤 4：判定新生成的等腰三角形（等边/等腰直角），写出 PP'的长度； 步骤 5：在新△PP'C中，用勾股/勾股逆定理，求角度； 步骤 6：角度拼接，利用全等转化回原三角形，得到目标角度/边长； 步骤 7：作垂线构造直角三角形，求原三角形边长、面积。 模型口诀： 内点三叉奔驰图，旋转全等聚线段；等边转 60，等腰直转 90；转出特殊三角形，勾股求解角度边。 1.（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 3.（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    4.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 5.（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为 ． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． （2）类比探究：如图2，点P是正方形内一点，，，．你能求出．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，，则_____．（接写出答案） 1.（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 3．（2026·广东广州·校考一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 4.（2026·河北·校考一模）如图1，在正方形内有一点P，，，，求的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将绕点B逆时针旋转，得到了（如图2），然后连结． 【解决问题】请你通过计算求出图2中的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形内有一点P，且，，． （1）的度数为 ；（2）直接写出正六边形的边长为 ． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 6.（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，连接，探究、、三边之间的数量关系，…，根据以上分析过程____________． (2)【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，，求度数． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且，若，，求的长． 1.（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 3.（2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 4．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． (1)小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； (2)【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 6.（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】（1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时，①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $