第一单元 运算关系与运算律（思维拓展培优）-四年级上册数学从课本到奥数系列讲义（沪教版）

该小学数学讲义通过分点梳理与逻辑递进构建运算关系与运算律知识体系，以知识点框架呈现四则运算互逆关系、运算定律及性质，明确逆向思维基础、简便策略等重难点内在联系，帮助学生形成系统知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖逆向思维（如根据乘除关系求未知数）、简便计算（如125×880拆分应用）等题型，结合易错点警示培养运算能力与推理意识。基础题巩固方法，培优题（如比较a=998×453与b=997×454大小）提升思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

第一单元 运算关系与运算律（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：四则运算各部分间的关系（逆向思维基础） 1. 加法与减法的互逆关系 (1) 加数 + 加数 = 和 → 一个加数 = 和 - 另一个加数 (2) 被减数 - 减数 = 差 → 被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数 - 差 (3) 思维拓展：利用加减法关系求解未知数（如括号内的数）。注意区分“求加数”与“求被减数/减数”的逻辑差异。 2. 乘法与除法的互逆关系 (1) 因数 × 因数 = 积 → 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 (2) 被除数 ÷ 除数 = 商 → 被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商 (3) 思维拓展：在有余数的除法中，被除数 = 商 × 除数 + 余数。需注意余数必须小于除数这一隐含约束条件，常用于解决“最大/最小被除数”类问题。 知识点二：加法运算定律及其推广 1. 加法交换律 (1) 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 (2) 字母表示： (3) 应用核心：用于调整加数顺序，使能凑整的数相邻。 2. 加法结合律 (1) 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 (2) 字母表示： (3) 应用核心：用于改变运算顺序，优先计算能凑成整十、整百、整千的组合（如 , ）。 3. 连减的性质（减法的运算性质） (1) 定义：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个减数的和。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用： （去括号变号规则：括号前是减号，去掉括号后，括号内的加号变减号）。 (4) 带符号搬家：在加减混合运算中，数字前面的符号随数字移动，即 ，用于优化计算顺序。 知识点三：乘法运算定律及其深层应用 1. 乘法交换律 (1) 定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (2) 字母表示： (3) 常见凑整组合： , , 。 2. 乘法结合律 (1) 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (2) 字母表示： (3) 思维拓展：常与交换律配合使用，先将特殊的因数（如4、8、25、125）结合，再与其他数相乘。 3. 乘法对加法的分配律（重点与难点） (1) 正向定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用（提取公因数）： (4) 变形拓展： 1　 减法形式： 2　 接近整百/整千数的拆分：如 ； 。 知识点四：除法的运算性质 1. 连除的性质 (1) 定义：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的积。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用： （去括号变号规则：括号前是除号，去掉括号后，括号内的乘号变除号）。 (4) 适用场景：当两个除数的积是整十、整百数时，先算积再除更简便；或者当被除数依次除以两个数能整除时，分步除更简便。 知识点五：混合运算中的简便策略与易错点 1. “凑整”意识的培养 (1) 观察数字特征：寻找互补数（和为整十百）、互倍数（积为整十百）。 (2) 拆分法：将一个数拆分为两个数的和或差，以便利用分配律。例如将 拆分为 或 。 (3) 补数法：对于接近整百的数，看作整百数加减一个小数。 2. 易错点警示 (1) 分配律误用：严禁将乘法分配律套用到除法或乘法结合律场景中，如 ， （成立），但 （典型错误）。 (2) 符号处理：在去括号或添括号时，若括号前是减号或除号，括号内的运算符号必须改变（加变减，减变加；乘变除，除变乘）。 (3) 遗漏项：在使用乘法分配律提取公因数时，不要漏掉隐含的“1”，如 。 重难点题型精讲 题型一、四则运算各部分间的关系（逆向思维基础） 【例题1】根据58×94＝5452直接写出下面两题的得数。 5452÷94＝( )    5452÷58＝( ) 【答案】 58 94 【分析】根据乘法算式58×94＝5452，利用“积÷一个因数＝另一个因数”的关系可以直接写出除法算式的得数。 【详解】5452÷94＝58；5452÷58＝94 【跟踪训练1】已知○÷△＝☆，○＝80，那么△×☆＝( )；已知◎－△＝□，那么◎÷（△＋□）＝( )。（□不等于0） 【答案】 【分析】除法运算中，被除数除数商，可得到：除数商被除数。 减法运算中，被减数减数差，可得到：减数差被减数。 【详解】，是被除数，是除数，是商，因此，已知，所以。 ，是被减数，是减数，是差，因此。 将代入，可得，已知不等于，因此不等于，所以。 题型二、加法运算定律及其推广 【例题2】简便计算。 96＋544＋204             526－163－126             628－157－43 245＋168＋55＋232         742－（142＋326）         389－35－45－20 【答案】844；237；428 700；274；289 【分析】根据加法交换律a＋b＝b＋a，把原式变为96＋204＋544，再按照运算顺序计算即可。 把原式变为526－126－163，再按照运算顺序计算即可。 根据减法的运算性质a－b－c＝a－（b＋c），把原式变为628－（157＋43），再按照运算顺序计算即可。 根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把原式变为（245＋55）＋（168＋232），再按照运算顺序计算即可。 根据减法的运算性质a－b－c＝a－（b＋c），把原式变为742－142－326，再按照运算顺序计算即可。 根据减法的运算性质a－b－c＝a－（b＋c），把原式变为389－（35＋45＋20），再按照运算顺序计算即可。 【详解】96＋544＋204 ＝96＋204＋544 ＝300＋544 ＝844 526－163－126 ＝526－126－163 ＝400－163 ＝237 628－157－43 ＝628－（157＋43） ＝628－200 ＝428 245＋168＋55＋232 ＝（245＋55）＋（168＋232） ＝300＋400 ＝700 742－（142＋326） ＝742－142－326 ＝600－326 ＝274 389－35－45－20 ＝389－（35＋45＋20） ＝389－（80＋20） ＝389－100 ＝289 【跟踪训练2】用简便方法计算。 31＋67＋69                   638＋297－197              436－99 545＋211＋189＋155        962－（362＋139）           526－57－43－26 【答案】167；738；337； 1100；461；400 【分析】①根据加法交换律及结合律计算； ②根据加法结合律计算； ③把99写成100－1，再根据减法性质进行计算； ④根据加法交换律及结合律计算； ⑤根据减法性质进行计算； ⑥根据加法交换律及结合律计算和减法性质进行计算。 【详解】31＋67＋69 ＝（31＋69）＋67 ＝100＋67 ＝167 638＋297－197 ＝638＋（297－197） ＝638＋100 ＝738 436－99 ＝436－（100－1） ＝436－100＋1 ＝336＋1 ＝337 545＋211＋189＋155 ＝（545＋155）＋（211＋189） ＝700＋400 ＝1100 962－（362＋139） ＝962－362－139 ＝600－139 ＝461 526－57－43－26 ＝（526－26）－（57＋43） ＝500－100 ＝400 题型三、乘法运算定律及其深层应用 【例题3】用简便方法计算。 72×125     25×48     15×16×25×5 125×880     125×80×8     68×200＋254×32＋54×68 【答案】9000；1200；30000     110000；80000；25400 【分析】把72拆成9×8，再利用乘法结合律进行简算。 把48拆成4×12，再利用乘法结合律进行简算。 把16拆成2×2×4，再利用交换律和结合律进行简算。 把880拆成8×110，再利用乘法结合律进行简算。 利用乘法交换律进行简算。 利用加法交换律和乘法分配律进行简算。 【详解】72×125 ＝9×8×125 ＝9×（8×125） ＝9×1000 ＝9000     25×48 ＝25×（4×12） ＝25×4×12 ＝100×12 ＝1200    15×16×25×5 ＝15×（2×2×4）×25×5 ＝15×2×2×4×25×5 ＝15×2×4×25×2×5 ＝（15×2）×（4×25）×（2×5） ＝30×100×10 ＝30000 125×880 ＝125×（8×110） ＝125×8×110 ＝1000×110 ＝110000     125×80×8 ＝125×8×80 ＝1000×80 ＝80000     68×200＋254×32＋54×68 ＝68×200＋54×68＋254×32 ＝68×（200＋54）＋254×32 ＝68×254＋254×32 ＝（68＋32）×254 ＝100×254 ＝25400 【跟踪训练3】下面各题，怎样算简便就怎样算。 37＋128＋63＋272     32×12＋28×32     29×6×5 56×8＋32÷4     202×48     358×26－26×58 【答案】500；1280；870； 456；9696；7800 【分析】（1）用加法交换律和结合律分组计算，37与63相加，128与272相加。 （2）符合乘法分配律的形式，所以提取共同因数32，剩余部分相加后再与共同因数相乘。 （3）用乘法结合律先计算6与5的乘积，再与剩余因数相乘。 （4）先分别计算乘除部分，再计算加减部分。 （5）将202拆成200与2的和，再用乘法分配律分别相乘后求和。 （6）符合乘法分配律的拓展形式，所以提取共同因数26，剩余部分相减后再与共同因数相乘。 【详解】37＋128＋63＋272 ＝37＋63＋（128＋272） ＝100＋400 ＝500 32×12＋28×32 ＝32×（12＋28） ＝32×40 ＝1280 29×6×5 ＝29×（6×5） ＝29×30 ＝870 56×8＋32÷4 ＝448＋8 ＝456 202×48 ＝（200＋2）×48 ＝9600＋96 ＝9696 358×26－26×58 ＝26×（358－58） ＝26×300 ＝7800 题型四、除法的运算性质 【例题4】下面各题，可以怎样算？ 720÷（8×3）     210÷42     270÷15÷2 【答案】30；5；9 【分析】除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）。 （1）根据除法的性质，将算式变为720÷8÷3，从左向右依次计算即可； （2）将42拆分成7×6，将算式变为210÷（7×6），根据除法的性质，将算式变为210÷7÷6，从左向右依次计算即可； （3）根据除法的性质，将算式变为270÷（15×2），先计算15与2的乘积，再用270除以15与2的乘积即可。 【详解】720÷（8×3） ＝720÷8÷3 ＝90÷3 ＝30 210÷42 ＝210÷（7×6） ＝210÷7÷6 ＝30÷6 ＝5 270÷15÷2 ＝270÷（15×2） ＝270÷30 ＝9 【跟踪训练4】用你喜欢的方法计算。 320÷16÷5     560÷（7×4）     630÷42 【答案】4；20；15 【分析】320÷16÷5，利用除法的性质可得：320÷（16×5），进一步计算可以简算。 560÷（7×4），利用除法的性质可得：560÷7÷4，进一步计算可以简算。 630÷42，把42看成7和6的积可得：630÷（7×6），利用除法的性质可得：630÷7÷6，进一步计算可以简算。 【详解】320÷16÷5 ＝320÷（16×5）     ＝320÷80         ＝4     560÷（7×4） ＝560÷7÷4     ＝80÷4 ＝20     630÷42 ＝630÷（7×6） ＝630÷7÷6         ＝90÷6 ＝15 题型五、混合运算中的简便策略与易错点 【例题5】怎样算简便就怎样算。 127＋138＋173         264－（64＋58）         25×（40＋3）         37×43＋37×57         2800÷25÷4         36×98 【答案】438；142；1075； 3700；28；3528 【分析】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）根据加法交换律：a＋b＝b＋a，变算式为：127＋173＋138，再进行计算。 （2）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：264－64－58，再进行计算。 （3）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：25×40＋25×3，再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：37×（43＋57），再进行计算。   （5）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：2800÷（25×4），再进行计算。 （6）先把98改写成100－2，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为36×100－36×2，再进行计算。 【详解】127＋138＋173      ＝127＋173＋138 ＝300＋138 ＝438         264－（64＋58） ＝264－64－58 ＝200－58 ＝142              25×（40＋3） ＝25×40＋25×3 ＝1000＋75 ＝1075               37×43＋37×57      ＝37×（43＋57） ＝37×100 ＝3700         2800÷25÷4 ＝2800÷（25×4） ＝2800÷100 ＝28              36×98 ＝36×（100－2） ＝36×100－36×2 ＝3600－72 ＝3528 【跟踪训练5】怎样算简便就怎样算。 9＋99＋999＋9999＋4         400－36－122－42 202×35     99×36＋36     16×125×25 【答案】11110；200； 7070；3600；50000 【分析】（1）将每个数加1变成整十、整百等，各减1后变成10、100、1000、10000，总和为11110；减去4个1，但加上4后相互抵消，以此答题即可。 （2）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：400－（36＋122＋42），再进行计算。 （3）把202改写成200＋2，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：200×35＋2×35，再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（99＋1）×36，再进行计算。   （5）先把16改写成8×2，根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：8×125×（2×25），再进行计算。   【详解】9＋99＋999＋9999＋4   ＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋（10000－1）＋ 4 ＝10＋100＋1000＋10000－1－1－1－1＋ 4 ＝110＋1000＋10000－（1＋1＋1＋1）＋ 4         ＝1110＋10000－4＋4 ＝11110－（4－4） ＝11110－0 ＝11110 400－36－122－42   ＝400－（36＋122＋42） ＝400－（158＋42） ＝400－200 ＝200 202×35 ＝（200＋2）×35       ＝ 200×35＋2×35 ＝7000＋70 ＝7070 99×36＋36 ＝（99＋1）×36 ＝100×36 ＝3600       16×125×25 ＝8×125×（2×25） ＝1000×50 ＝50000 培优练习 1．已知a＝998×453，b＝997×454，下面结论正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【答案】B 【分析】运用乘法分配律将、转化为含有相同部分的算式，比较不同部分的大小即可判断二者的大小关系。 【详解】把中的看作，； 把中的看作，； 因为，所以。 2．下列算式中正确使用乘法分配律的是（    ）。 A．125×48＝125×6＋125×8 B．56×99＝56×100－1 C．79×（100＋1）＝79×100＋1 D．（25＋7）×40＝25×40＋7×40 【答案】D 【分析】判断依据是乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 【详解】A．48＝6×8，不是6＋8，所以125×48≠125×6＋125×8，没有正确使用乘法分配律。 B．56×99 ＝56×（100－1） ＝56×100－56×1 ＝56×100－56 所以56×99≠56×100－1，没有正确使用乘法分配律。 C．79×（100＋1） ＝79×100＋79×1 ＝79×100＋79 所以79×（100＋1）≠79×100＋1，没有正确使用乘法分配律。 D．（25＋7）×40＝25×40＋7×40 正确使用了乘法分配律。 3．已知＋＝，×＝，下面算式不正确的是（    ）。 A．－＝ B．×＝ C．×＝ D．－＝ 【答案】C 【分析】加数＋加数＝和，所以和减去其中一个加数等于另一个加数； 因数×因数＝积，所以积除以其中一个因数等于另一个因数，且乘法交换律表明交换两个因数的位置，积不变； 对比四个选项的运算逻辑，找出不符合上述关系的选项。 【详解】 A．已知＋＝，根据加法的关系：和减去其中一个加数，就等于另一个加数，所以－＝，算式是正确的； B．已知×＝，根据乘法交换律，两个数相乘交换位置，积不变，所以×＝，算式是正确的； C．乘除法的关系是：积÷一个乘数＝另一个乘数，正确的变形应该是÷＝，所以这个算式是错误的； D．已知＋＝，根据加法的关系：和减去其中一个加数，就等于另一个加数，所以－＝，这个算式是正确的； 4．已知a÷b＝c……d（b不为0），则下面正确的是（    ）。 A．b×d＋c＝a B．（c＋d）×b C．a÷c＝b……d D．b×c＋d＝a 【答案】D 【分析】根据有余数除法各部分之间的关系判断各选项正误。 【详解】有余数除法的核心关系为：除数×商＋余数＝被除数，对应本题可得b×c＋d＝a。 A．b×d＋c＝a不符合上述关系，错误。 B．式子无对应结果，且（c＋d）×b无法得到被除数a，错误。 C．仅a－d可被c整除得到b，a÷c的余数不是d，错误。 D．b×c＋d＝a符合有余数除法的各部分关系，正确。 5．根据276＋359＝635，在括号里直接填合适的数。 635－( )＝276        635－( )＝359 【答案】 359 276 【分析】两个加数相加得到和，和减去其中一个加数，就等于另一个加数。 已知276＋359＝635，和是635，两个加数分别是276和359，计算即可。 【详解】276＋359＝635 635－359＝276 635－276＝359 6．小巧在做一道三位数加两位数计算题时，由于粗心，把一个加数个位上的4看作7，把另一个加数十位上的8看作2，结果和是306。正确的答案应该是( )。 【答案】363 【分析】在错误结果上减去多加的，再加回少加的，就得到正确答案。 【详解】个位上把4看成7，多加了：7－4＝3，和变大3； 十位上把8看作2，十位的8代表80，2代表20，少加了：80－20＝60，和变小60； 306－3＋60 ＝303＋60 ＝363 7．如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝( )；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝( )。 【答案】 20 630 【分析】根据乘法分配律的逆运用，○×☆＋△×☆＝（○＋△）×☆，因为结果等于2000，○＋△＝100，所以用2000除以100即得到☆；利用乘法交换律和结合律，（□×3）×（★×3）＝（□×★）×（3×3），因为☐×★＝70，代入计算出结果即可。 【详解】2000÷100＝20 70×3×3 ＝210×3 ＝630 所以，如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝20；如果☐×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝630。 8．小明在计算25×（□＋4）时，错误地算成了25×□＋4，这样得到的结果与正确结果相差( )。 【答案】96 【分析】乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；利用乘法分配律把25×（□＋4）变成25×□＋25×4，然后计算25×□＋25×4与25×□＋4的差即可。据此解答。 【详解】25×（□＋4） ＝25×□＋25×4 ＝25×□＋100 25×□＋100－（25×□＋4） ＝25×□＋100－25×□－4 ＝100－4 ＝96 错误结果与正确结果相差96。 9．进入知识宫的密码是○□○□。已知98－○＝89，□×9＝45，这个密码是( )。 【答案】9595 【分析】98－○＝89，根据减数＝被减数－差，由此即可求出○是多少；□×9＝45，根据一个因数＝积÷另一个因数，由此即可求出□的值，据此解答即可。 【详解】98－○＝89 98－89＝9 所以○是9； □×9＝45 45÷9＝5 所以，□是5； 所以，这个密码是9595。 10．用简便方法计算。 347＋192＋453     （63＋381）＋（137＋119）     125×64×25 20×（49×50）     198×36     （400＋8）×25 139×65－39×65     78×36＋23×36－6×6 【答案】992；700；200000； 49000；7128；10200；     6500；3600 【分析】（1）利用加法交换律，先算能凑整的347＋453＝800，进行简便计算。 （2）去括号后用加法交换律和结合律，凑整计算. （3）先把64改写成8×4×2，利用乘法交换律和乘法结合律，凑整计算。 （4）用乘法交换律和结合律，进行计算。 （5）先把198改写成200－2，根据乘法分配律，进行简便计算。 （6）用乘法分配律展开计算。 （7） 用乘法分配律逆运算，进行简便计算。 （8）先计算6×6＝36，再把36改写成36×1，根据乘法分配律逆运算，进行简便计算。 【详解】347＋192＋453 ＝347＋453＋192 ＝800＋192 ＝992 （63＋381）＋（137＋119） ＝63＋137＋381＋119 ＝（63＋137）＋（381＋119） ＝200＋500 ＝700 125×64×25 ＝125×8×4×2×25 ＝（125×8）×（25×4）×2 ＝1000×100×2 ＝100000×2 ＝200000 20×（49×50） ＝20×50×49 ＝1000×49 ＝49000 198×36 ＝（200－2）×36 ＝200×36－2×36 ＝7200－72 ＝7128 （400＋8）×25 ＝400×25＋8×25 ＝10000＋200 ＝10200 139×65－39×65 ＝（139－39）×65 ＝100×65 ＝6500 78×36＋23×36－6×6 ＝78×36＋23×36－36×1 ＝（78＋23－1）×36 ＝（101－1）×36 ＝100×36 ＝3600 11．请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43         653－198             455－（155＋30） 999＋99＋9＋3              50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 【答案】166；455；270 1110；25 【分析】①根据加法交换律，计算即可； ②198＝200－2，根据减法的性质，计算即可； ③根据减法的性质，计算即可； ④3＝1＋1＋1，然后根据加法交换律和结合律，计算即可； ⑤50－49＝1，48－47＝1，…4－3＝1，2－1＝1，根据加法结合律，计算即可。 【详解】①57＋66＋43 ＝57＋43＋66 ＝100＋66 ＝166 ②653－198 ＝653－（200－2） ＝653－200＋2 ＝453＋2 ＝455 ③455－（155＋30） ＝455－155－30 ＝300－30 ＝270 ④999＋99＋9＋3 ＝999＋99＋9＋（1＋1＋1） ＝（999＋1）＋（99＋1）＋（9＋1） ＝1000＋100＋10 ＝1110 ⑤50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 ＝（50－49）＋（48－47）＋…＋（4－3）＋（2－1） ＝1＋1＋…＋1＋1 ＝1×（50÷2） ＝25 12．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9     333×125＋111×625     9999×2222＋3333×3334 【答案】11106；111000；33330000 【分析】（1）9999＝10000－1，999＝1000－1，99＝100－1，9＝10－1，然后计算即可。 （2）333＝111×3，3×125＝375，即333×125＝111×375，然后根据乘法分配律，计算即可。 （3）3333×3334＝3333×3333＋3333，9999×2222＝3333×3×2222＝3333×6666，然后根据乘法分配律，计算即可。 【详解】（1）9999＋999＋99＋9 ＝（10000－1）＋（1000－1）＋（100－1）＋（10－1） ＝10000－1＋1000－1＋100－1＋10－1 ＝10000＋1000＋100＋10－4 ＝11110－4 ＝11106 （2）333×125＋111×625 ＝（111×3）×125＋111×625 ＝111×（3×125）＋111×625 ＝111×375＋111×625 ＝111×（375＋625） ＝111×1000 ＝111000 （3）9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 13．传统文化进校园，玲玲开始读《弟子规》，第一天读了82句，第二天读了113句，第三天读了78句，还剩87句没有读。《弟子规》一共有多少句？ 【答案】句 【分析】求总句数需将三天读的句数与剩余未读的句数相加，可利用加法交换律和结合律简便运算。 【详解】 （句） 答：《弟子规》一共有句。 14．学校音乐社团本学期计划开设口琴和葫芦丝课程。共有42名学生报名，每人需配备1把口琴和1把葫芦丝。学校为所有学生采购这两种乐器，需要花费多少元？ 【答案】8400元 【分析】总价＝单价×数量，据此分别列乘法算式求出购买口琴和葫芦丝的钱数，再求和即可，列式为65×42＋135×42，观察算式可知，都有同一个乘数42，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把原式变为（65＋135）×42，再按照运算顺序计算即可。 【详解】65×42＋135×42 ＝（65＋135）×42 ＝200×42 ＝8400（元） 答：需要花费8400元。 15．学校扩建图书馆，需要把图书馆某个区域原有的图书用纸皮箱进行打包。这个区域有8个书架，每个书架有5层，每层平均摆放180本图书。假设每个纸皮箱可以装200本图书，准备40个纸皮箱，够装吗？ 【答案】够 【分析】用书架的个数×每个书架的层数×每层平均摆放图书的本数计算出图书的总数量，可以利用乘法结合律进行简算，然后再用每个纸皮箱可以装的图书本数×准备纸皮箱的个数计算出40个纸皮箱可以装图书的数量，然后再与图书的总数量比较即可。 【详解】8×5×180 ＝8×（5×180） ＝8×900 ＝7200（本） 200×40＝8000（本） 8000＞7200 答：准备40个纸皮箱，够装。 16．小东在计算“”和“”时都运用了乘法分配律，小东认为：既然、，那么这个运算规律也成立。你同意他的观点吗？请写出你的想法和理由。 【答案】 同意，可以举例验证，当，，时， 左边： 右边： 两边相等。 2. 当，，时， 左边： 右边： 两边相等。 因此，成立。 【分析】根据乘法分配律，有、。对于除法，当被除数是两个数的和（或差），除数相同时，可以把被除数分别除以除数，再把所得的商相加（或相减），用字母表示为：（），通过举例进行验证。 【详解】举例验证： 1. 当，，时， 左边： 右边： 两边相等。 2. 当，，时， 左边： 右边： 两边相等。 因此，成立，同意小东的观点。 17．小立和小芳做同一道乘法题，可结果却不一样，小立算得结果为47552，小芳算得结果为47872，他们马上查找原因，这才发现小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，正确的乘积是多少？ 【答案】47680 【分析】读题可知，两人的计算结果相差（47872－47552），小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，因此两人的计算结果相差（8－3）倍，两人计算结果的差÷倍数差＝一倍数，即那个正确的乘数。再根据积÷乘数＝另一个乘数，用47552÷64，计算出小立错算的乘数，错算的这个乘数的个位3换成5是正确的乘数，最后将两个正确的乘数相乘即可。 【详解】（47872－47552）÷（8－3） ＝320÷5 ＝64 47552÷64＝743 正确的应该是745。 745×64＝47680 答：正确的乘积是47680。 【点睛】关键是通过两人错算的乘数的个位数，确定积相差的倍数，从而先求出正确的乘数。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 运算关系与运算律（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：四则运算各部分间的关系（逆向思维基础） 1. 加法与减法的互逆关系 (1) 加数 + 加数 = 和 → 一个加数 = 和 - 另一个加数 (2) 被减数 - 减数 = 差 → 被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数 - 差 (3) 思维拓展：利用加减法关系求解未知数（如括号内的数）。注意区分“求加数”与“求被减数/减数”的逻辑差异。 2. 乘法与除法的互逆关系 (1) 因数 × 因数 = 积 → 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 (2) 被除数 ÷ 除数 = 商 → 被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商 (3) 思维拓展：在有余数的除法中，被除数 = 商 × 除数 + 余数。需注意余数必须小于除数这一隐含约束条件，常用于解决“最大/最小被除数”类问题。 知识点二：加法运算定律及其推广 1. 加法交换律 (1) 定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 (2) 字母表示： (3) 应用核心：用于调整加数顺序，使能凑整的数相邻。 2. 加法结合律 (1) 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 (2) 字母表示： (3) 应用核心：用于改变运算顺序，优先计算能凑成整十、整百、整千的组合（如 , ）。 3. 连减的性质（减法的运算性质） (1) 定义：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个减数的和。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用： （去括号变号规则：括号前是减号，去掉括号后，括号内的加号变减号）。 (4) 带符号搬家：在加减混合运算中，数字前面的符号随数字移动，即 ，用于优化计算顺序。 知识点三：乘法运算定律及其深层应用 1. 乘法交换律 (1) 定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (2) 字母表示： (3) 常见凑整组合： , , 。 2. 乘法结合律 (1) 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (2) 字母表示： (3) 思维拓展：常与交换律配合使用，先将特殊的因数（如4、8、25、125）结合，再与其他数相乘。 3. 乘法对加法的分配律（重点与难点） (1) 正向定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用（提取公因数）： (4) 变形拓展： 1　 减法形式： 2　 接近整百/整千数的拆分：如 ； 。 知识点四：除法的运算性质 1. 连除的性质 (1) 定义：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的积。 (2) 字母表示： (3) 逆向应用： （去括号变号规则：括号前是除号，去掉括号后，括号内的乘号变除号）。 (4) 适用场景：当两个除数的积是整十、整百数时，先算积再除更简便；或者当被除数依次除以两个数能整除时，分步除更简便。 知识点五：混合运算中的简便策略与易错点 1. “凑整”意识的培养 (1) 观察数字特征：寻找互补数（和为整十百）、互倍数（积为整十百）。 (2) 拆分法：将一个数拆分为两个数的和或差，以便利用分配律。例如将 拆分为 或 。 (3) 补数法：对于接近整百的数，看作整百数加减一个小数。 2. 易错点警示 (1) 分配律误用：严禁将乘法分配律套用到除法或乘法结合律场景中，如 ， （成立），但 （典型错误）。 (2) 符号处理：在去括号或添括号时，若括号前是减号或除号，括号内的运算符号必须改变（加变减，减变加；乘变除，除变乘）。 (3) 遗漏项：在使用乘法分配律提取公因数时，不要漏掉隐含的“1”，如 。 重难点题型精讲 题型一、四则运算各部分间的关系（逆向思维基础） 【例题1】根据58×94＝5452直接写出下面两题的得数。 5452÷94＝( )    5452÷58＝( ) 【跟踪训练1】已知○÷△＝☆，○＝80，那么△×☆＝( )；已知◎－△＝□，那么◎÷（△＋□）＝( )。（□不等于0） 题型二、加法运算定律及其推广 【例题2】简便计算。 96＋544＋204             526－163－126             628－157－43 245＋168＋55＋232         742－（142＋326）         389－35－45－20 【跟踪训练2】用简便方法计算。 31＋67＋69                   638＋297－197              436－99 545＋211＋189＋155        962－（362＋139）           526－57－43－26 题型三、乘法运算定律及其深层应用 【例题3】用简便方法计算。 72×125     25×48     15×16×25×5 125×880     125×80×8     68×200＋254×32＋54×68 【跟踪训练3】下面各题，怎样算简便就怎样算。 37＋128＋63＋272     32×12＋28×32     29×6×5 56×8＋32÷4     202×48     358×26－26×58 题型四、除法的运算性质 【例题4】下面各题，可以怎样算？ 720÷（8×3）     210÷42     270÷15÷2 【跟踪训练4】用你喜欢的方法计算。 320÷16÷5     560÷（7×4）     630÷42 题型五、混合运算中的简便策略与易错点 【例题5】怎样算简便就怎样算。 127＋138＋173         264－（64＋58）         25×（40＋3）         37×43＋37×57         2800÷25÷4         36×98 【跟踪训练5】怎样算简便就怎样算。 9＋99＋999＋9999＋4         400－36－122－42 202×35     99×36＋36     16×125×25 培优练习 1．已知a＝998×453，b＝997×454，下面结论正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 2．下列算式中正确使用乘法分配律的是（    ）。 A．125×48＝125×6＋125×8 B．56×99＝56×100－1 C．79×（100＋1）＝79×100＋1 D．（25＋7）×40＝25×40＋7×40 3．已知＋＝，×＝，下面算式不正确的是（    ）。 A．－＝ B．×＝ C．×＝ D．－＝ 4．已知a÷b＝c……d（b不为0），则下面正确的是（    ）。 A．b×d＋c＝a B．（c＋d）×b C．a÷c＝b……d D．b×c＋d＝a 5．根据276＋359＝635，在括号里直接填合适的数。 635－( )＝276        635－( )＝359 6．小巧在做一道三位数加两位数计算题时，由于粗心，把一个加数个位上的4看作7，把另一个加数十位上的8看作2，结果和是306。正确的答案应该是( )。 7．如果○＋△＝100，且○×☆＋△×☆＝2000，那么☆＝( )；如果□×★＝70，那么（□×3）×（★×3）＝( )。 8．小明在计算25×（□＋4）时，错误地算成了25×□＋4，这样得到的结果与正确结果相差( )。 9．进入知识宫的密码是○□○□。已知98－○＝89，□×9＝45，这个密码是( )。 10．用简便方法计算。 347＋192＋453     （63＋381）＋（137＋119）     125×64×25 20×（49×50）     198×36     （400＋8）×25 139×65－39×65     78×36＋23×36－6×6 11．请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43         653－198             455－（155＋30） 999＋99＋9＋3              50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 12．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9     333×125＋111×625     9999×2222＋3333×3334 13．传统文化进校园，玲玲开始读《弟子规》，第一天读了82句，第二天读了113句，第三天读了78句，还剩87句没有读。《弟子规》一共有多少句？ 14．学校音乐社团本学期计划开设口琴和葫芦丝课程。共有42名学生报名，每人需配备1把口琴和1把葫芦丝。学校为所有学生采购这两种乐器，需要花费多少元？ 15．学校扩建图书馆，需要把图书馆某个区域原有的图书用纸皮箱进行打包。这个区域有8个书架，每个书架有5层，每层平均摆放180本图书。假设每个纸皮箱可以装200本图书，准备40个纸皮箱，够装吗？ 16．小东在计算“”和“”时都运用了乘法分配律，小东认为：既然、，那么这个运算规律也成立。你同意他的观点吗？请写出你的想法和理由。 17．小立和小芳做同一道乘法题，可结果却不一样，小立算得结果为47552，小芳算得结果为47872，他们马上查找原因，这才发现小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，正确的乘积是多少？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $