单元复习讲义：专题01 运算关系与运算律（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学四年级上册（沪教版·新教材）

该小学数学讲义以“运算关系与运算律”为核心，通过结构化框架梳理六大考点，涵盖加减乘除逆运算关系及五大运算律，以核心概念、关系式、验算方法等层级呈现知识脉络，突出逆运算逻辑与运算律的内在联系。 讲义亮点在于“考点-例题-提升”三阶练习设计，如题型六用101×87拆分法讲解分配律，变式训练结合购物场景强化应用，培养运算能力与推理意识。易错点提示（如分配律漏乘）和分层练习（基础题与解决问题），助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题01 运算关系与运算律 内容导航 考点梳理 1 考点一、加法与减法的关系 1 考点二、乘法与除法的关系 2 考点三、加法交换律和乘法交换律 2 考点四、加法结合律 3 考点五、乘法结合律 3 考点六、乘法对加法的分配律 4 例题讲解 5 题型一、加法与减法的关系 5 题型二、乘法与除法的关系 6 题型三、加法交换律和乘法交换律 7 题型四、加法结合律 8 题型五、乘法结合律 11 题型六、乘法对加法的分配律 13 提升练习 15 考点梳理 考点一、加法与减法的关系 1. 核心概念 加法和减法互为逆运算。减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 2. 各部分名称及关系式 (1) 加法各部分关系： 1　 2　 (2) 减法各部分关系： 1　 2　 3　 3. 验算方法 (1) 加法验算： 用“和”减去“一个加数”，看是否等于“另一个加数”。 (2) 减法验算： 1　 用“被减数”减去“差”，看是否等于“减数”。 2　 用“差”加上“减数”，看是否等于“被减数”。 考点二、乘法与除法的关系 1. 核心概念 乘法和除法互为逆运算。除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2. 各部分名称及关系式 (1) 乘法各部分关系： 1　 2　 (2) 除法各部分关系： 1　 （整除情况下） 2　 3　 4　 注：若有余数， 3. 验算方法 (1) 乘法验算： 用“积”除以“一个因数”，看是否等于“另一个因数”。 (2) 除法验算： 1　 无余数：用“商”乘以“除数”，看是否等于“被除数”。 2　 有余数：用“商 除数 + 余数”，看是否等于“被除数”。 4. 特殊规定 (1) 0不能作除数。 (2) 除以任何非 的数都得 。 考点三、加法交换律和乘法交换律 1. 加法交换律 (1) 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 (2) 字母公式： (3) 应用示例： 2. 乘法交换律 (1) 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (2) 字母公式： (3) 应用示例： （常用于凑整计算） 3. 易错点提示 (1) 交换律只改变位置，不改变运算符号。 (2) 在连加或连乘算式中，可以任意交换加数或因数的位置，但必须带着前面的符号一起移动（针对混合运算）。 考点四、加法结合律 1. 定义 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2. 字母公式 3. 应用场景 用于凑整计算。当算式中某两个加数相加能得到整十、整百、整千数时，优先结合这两个数。 4. 典型示例 考点五、乘法结合律 1. 定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2. 字母公式 3. 应用场景 用于凑整计算。常见组合： ， ， 。 4. 典型示例 考点六、乘法对加法的分配律 1. 定义 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 2. 字母公式 (1) 正向运用： (2) 逆向运用（提取公因数）： 3. 应用场景 (1) 拆分法： 当一个因数接近整十、整百时（如 ），将其拆分为 或 。 (2) 提取法： 当算式中有相同的因数时，提取公因数简化计算。 4. 典型示例 (1) 拆分： (2) 提取： 5. 易错警示 (1) 分配律必须每一项都参与运算，不可漏乘。 (2) 注意区分乘法结合律 与分配律 的结构差异。 例题讲解 题型一、加法与减法的关系 【典型例题】根据800－369＝431，直接写出下面两道算式的结果。 800－431＝( )          431＋369＝( ) 【答案】 369 800 【分析】被减数－减数＝差，被减数－差＝减数，减数＋差＝被减数，据此解答。 【详解】根据800－369＝431可知，800是被减数，369是减数，431是差，则 800－431＝369 431＋369＝800 举一反三 【变式训练1】已知△＋□＝☆，下列选项正确的是（    ）。 A．☆－△＝□ B．☆＋□＝△ C．△＋☆＝□ D．□－☆＝△ 【答案】A 【分析】根据加法各部分之间的关系判断，和减去其中一个加数等于另一个加数。 【详解】已知△＋□＝☆，其中☆是和，△和□是加数，根据加法各部分的关系：和减一个加数等于另一个加数，可得☆－△＝□，其余选项均不符合加法运算的基本关系。 【变式训练2】根据加法算式728＋1812＝2540，可以得到2540－728＝( )，还可以写出另一道减法算式是( )。 【答案】 1812 2540－1812＝728 【分析】加法各部分的关系是：加数＋加数＝和，因此和－一个加数＝另一个加数。 已知加法算式728＋1812＝2540，和是2540，两个加数分别是728和1812，所以2540－728＝1812，另一道减法是2540－1812＝728。 【详解】根据加法算式728＋1812＝2540，可以得到2540－728＝1812，还可以写出另一道减法算式是2540－1812＝728。 【变式训练3】看图列式计算。 【答案】 【分析】根据总数减去一部分等于另一部分，已知总数和一部分，求另一部分，用减法。 【详解】 题型二、乘法与除法的关系 【典型例题】根据12×35＝420，直接写出得数：420÷12＝( )，420÷35＝( )。 【答案】 35 12 【分析】由“乘数×乘数＝积”可得“乘数＝积÷另一个乘数”，据此解决。 【详解】由分析得： 根据12×35＝420，直接写出得数：420÷12＝35，420÷35＝12。 举一反三 【变式训练1】已知☆÷13＝○，下列算式中正确的是（    ）。 A．☆×○＝13 B．○÷☆＝13 C．13×○＝☆ D．13÷○＝☆ 【答案】C 【分析】除法中，被除数÷除数＝商，被除数÷商＝除数，除数×商＝被除数。☆÷13＝○中，☆是被除数，13是除数，○是商。据此分析解答。 【详解】已知☆÷13＝○，其中☆是被除数，13是除数，○是商，根据除法各部分关系可得：☆÷○＝13，13×○＝☆，选项C正确。 【变式训练2】根据650÷13＝50，写一道乘法算式是( )，写一道除法算式是( )。 【答案】 13×50＝650/50×13＝650 650÷50＝13 【分析】根据除法各部分之间的关系，除数×商＝被除数，被除数÷商＝除数，据此填空即可。 【详解】根据650÷13＝50，写一道乘法算式13×50＝650或50×13＝650，写一道除法算式650÷50＝13。 【变式训练3】直接写出括号里的数。 ( )－215＝215            57×( )＝798             540÷( )＝12 439＋( )＝624             ( )÷14＝57             ( )×23＝483 【答案】 430 14 45 185 798 21 【分析】减数加差等于被减数，和减一个加数等于另一个加数，积除以一个乘数等于另一个乘数，除数乘商等于被除数，被除数除以商等于除数。据此进行计算。 【详解】（430）－215＝215          57×（14）＝798          540÷（45）＝12 439＋（185）＝624          （798）÷14＝57          （21）×23＝483 题型三、加法交换律和乘法交换律 【典型例题】 ( )×36 ；125× ( ) 。 【答案】 28 49 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换位置积不变‌，据此解答。 【详解】两个数相乘，交换位置积不变， 所以 举一反三 【变式训练1】如果算式，那么当( )时，( )。 【答案】 36 45 【分析】依据加法交换律：，交换两个加数的位置，和不变。 【详解】对照算式，当时，算式变为，完全符合加法交换律形式。（答案不唯一） 【变式训练2】计算时，优先算，依据( )，最后的乘积是( )。 【答案】 乘法交换律 7000 【分析】 因为125和8相乘能得到整千的数，使计算简便，所以需把×7和×8交换位置，是乘法交换律的应用，所以先计算，再与7相乘，求得最后的积即可。 【详解】 所以括号里依次填入：乘法交换律、7000。 【变式训练3】小明读书，第一天看182页，第二天看135页，第三天看118页，三天合计看书多少页？ 【答案】435页 【分析】求三天合计看书多少页，就是把三天看的页数合起来，用加法计算。观察算式中的数据，第一天看的182页和第三天看的118页相加能凑成整百数，可以运用加法交换律进行简便计算。 【详解】182＋135＋118 ＝182＋118＋135 ＝300＋135 ＝435（页） 答：三天合计看书435页。 题型四、加法结合律 【典型例题】用简便方法计算。 185＋342＋215       267＋139＋133＋261       328＋456＋144       194＋206＋371＋229 【答案】 742；800；928；1000 【分析】观察算式中各个加数的特征，利用加法交换律和加法结合律，将能够凑成整百数的加数先结合在一起进行计算，从而使运算过程更加简便。 【详解】185＋342＋215 ＝185＋215＋342 ＝400＋342 ＝742 267＋139＋133＋261 ＝（267＋133）＋（139＋261） ＝400＋400 ＝800 328＋456＋144 ＝328＋（456＋144） ＝328＋600 ＝928 194＋206＋371＋229 ＝（194＋206）＋（371＋229） ＝400＋600 ＝1000 举一反三 【变式训练1】在计算时，运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．加法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】观察算式可知，该算式只涉及加法运算。对比等号左右两边，加数的排列顺序没有改变，改变的是运算的顺序，即改变了加法的结合方式。根据加法运算定律的定义进行辨析。 【详解】算式中，运算符号均为加号，属于加法运算。 等号左边表示按照从左往右的顺序依次计算；等号右边表示先计算后两个数的和，再与第一个数相加。 在此变形过程中，三个加数、、的位置没有发生交换，只是改变了运算的结合顺序，符合加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 所以，运用了加法结合律。 【变式训练2】用简便方法计算下面各题。 154＋77＋23     124＋（76＋88）     126＋57＋74 142＋68＋132＋58     254＋56＋144     247＋187＋153 【答案】254；288；257； 400；454；587 【分析】加法交换律：两个加数交换位置，和不变。 加法结合律：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 154＋77＋23利用加法结合律，先计算77＋23，最后再和154相加； 124＋（76＋88）利用加法结合律，先计算124＋76，最后再和88相加； 126＋57＋74利用加法交换律，把57和74的位置互换，再按从左到右的顺序进行计算； 142＋68＋132＋58利用加法交换律和加法结合律，先计算142＋58和68＋132，最后再相加； 254＋56＋144利用加法结合律，先计算56＋144，最后再和254相加； 247＋187＋153利用加法交换律，把187和153的位置互换，再按从左到右的顺序进行计算。 【详解】154＋77＋23 ＝154＋（77＋23） ＝154＋100 ＝254 124＋（76＋88） ＝（124＋76）＋88 ＝200＋88 ＝288 126＋57＋74 ＝126＋74＋57 ＝200＋57 ＝257 142＋68＋132＋58 ＝142＋58＋68＋132 ＝（142＋58）＋（68＋132） ＝200＋200 ＝400 254＋56＋144 ＝254＋（56＋144） ＝254＋200 ＝454 247＋187＋153 ＝247＋153＋187 ＝400＋187 ＝587 【变式训练3】超市购进四种零食，薯片139元、饼干261元、糖果154元、果冻246元，采购一共花费多少钱？ 【答案】800元 【分析】求采购一共花费多少钱，需要将四种零食的价格相加。观察数据发现，139与261相加能凑成整百数，154与246相加也能凑成整百数，因此可以利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【详解】139＋261＋154＋246 ＝（139＋261）＋（154＋246） ＝400＋400 ＝800（元） 答：采购一共花费800元。 题型五、乘法结合律 【典型例题】用简便方法计算。 32×25         72×125×3 【答案】800；27000 【分析】（1）把32拆成8×4，根据乘法结合律，先算4×25，再乘8即可； （2）把72拆成9×8，根据乘法结合律，式子可写为；（9×3）×（8×125），据此计算。 【详解】32×25 ＝（8×4）×25 ＝8×（4×25） ＝8×100 ＝800 72×125×3 ＝（9×8）×125×3 ＝（9×3）×（8×125） ＝27×1000 ＝27000 举一反三 【变式训练1】计算：，运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 【答案】B 【分析】明确各运算律的特征，结合算式的变化判断对应的运算律即可。 【详解】乘法交换律形式为，特征是交换乘数的位置，本题中乘数位置没有变化，不符合；乘法结合律形式为，特征是三个数相乘时可调整运算顺序，本题将的运算顺序从先算调整为先算，符合乘法结合律的特征；乘法分配律包含加法运算，加法交换律仅适用于加法运算，均和本题算式结构不符。 【变式训练2】用简便方法计算。 125×（9×8）         25×64×125 【答案】9000；200000 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律，先算125×8，再乘9即可； （2）64＝8×8，根据乘法结合律，式子可写为：（25×8）×（8×125），然后计算。 【详解】125×（9×8） ＝125×（8×9） ＝（125×8）×9 ＝1000×9 ＝9000 25×64×125 ＝25×（8×8）×125 ＝（25×8）×（8×125） ＝200×1000 ＝200000 【变式训练3】商店运来8箱保温杯，每箱15个，每个售价25元，这批保温杯全部卖完一共收入多少钱？ 【答案】3000元 【分析】根据“总价＝数量×单价”的数量关系，可以先用15乘8求出保温杯的总数量，再乘25求出总收入；计算时，可利用乘法结合律计算更简便。 【详解】 （元） 答：这批保温杯全部卖完一共收入3000元。 题型六、乘法对加法的分配律 【典型例题】用简便方法计算下面各题。 101×87         25×33×4         312×8＋188×8 【答案】8787；3300；4000 【分析】乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，拆分（101＝100＋1）接近整百的数； 乘法交换律：a×b×c＝a×c×b，凑整（25×4＝100）简化计算； 乘法分配律逆用：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，提取相同因数（提取公因数8）合并计算。 【详解】101×87 ＝（100＋1）×87 ＝100×87＋1×87 ＝8700＋87 ＝8787 25×33×4 ＝25×4×33 ＝100×33 ＝3300 312×8＋188×8 ＝（312＋188）×8 ＝500×8 ＝4000 举一反三 【变式训练1】125×5＋125×3＝125×（5＋3），这里运用了乘法( )律：如果△＋□＝40，那么25×△＋25×□＝( )。 【答案】 分配 1000 【分析】乘法分配律：两个数之和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘再相加，即。 【详解】观察算式，左边为125分别与5和3相乘再求和，右边为125与5与3的和相乘，符合乘法分配律的逆运算，所以运用了乘法分配律。 ，因为△＋□＝40，所以原算式等于。 【变式训练2】下面各题怎样算简便就怎样算。 34×29＋29×66     （100－8）×125     48×25×50 【答案】2900；11500；60000 【分析】运用乘法分配律逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把29提取出来，剩余34和66相加凑整100，简化运算； 运用乘法分配律：（a－b）×c＝a×c－b×c，把括号里100和8分别同125相乘，100×125、8×125凑整计算，再相减，简便计算。 运用乘法拆分凑整，把48拆分为4×12，再利用乘法交换律、结合律 ，即 25×4、50×12，相乘凑整，方便计算。 【详解】34×29＋29×66 ＝29×（34＋66） ＝29×100 ＝2900 （100−8）×125 ＝100×125 －8×125 ＝12500 －1000 ＝11500 48×25×50 ＝（4×12）×25×50 ＝（4×25）×（12×50） ＝100×600 ＝60000 【变式训练3】温州队要给队员买球服，上衣每件55元，裤子每条35元。全队一共买40套，需要多少钱？ 【答案】 3600元 【分析】用每件上衣（裤子）的价钱乘购买的套数，分别求出40件上衣和40条裤子需要的总钱数，再相加求和即可得出一共需要的钱数，计算过程中，可以利用乘法分配律简算。 【详解】55×40＋35×40 ＝（55＋35）×40 ＝90×40 ＝3600（元） 答：全队一共买40套，需要3600元。 提升练习 1．已知○＋＝☆，☆×□＝◎，下面算式错误的是（    ）。 A．☆－○＝ B．◎÷□＝☆ C．（○＋）×□＝◎ D．□×◎＝☆ 【答案】D 【分析】加法各部分关系，和减一个加数等于另一个加数；乘法各部分关系，积除以一个因数等于另一个因数；利用加法和乘法各部分之间的关系，结合等量代换，判断各选项正误。 【详解】A．根据○＋＝☆，得☆－○＝，算式正确。 B．根据☆×□＝◎，得◎÷□＝☆，算式正确。 C．把○＋＝☆，代入☆×□＝◎，得（○＋）×□＝◎，算式正确。 D．由☆×□＝◎，可知◎÷□＝☆，与□×◎＝☆不符，算式错误。 2．下列不能说明24×（10＋5）＝24×10＋24×5的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法分配律，对每个选项先推导其两种计算方式，再和题干的等式形式做匹配据此解答。 【详解】A．大长方形长为24，总宽是10和5相加，总面积可表示为24×（10＋5）；分成两个小长方形后面积和为24×10＋24×5，符合题意； B．1套总价是（10＋5）元，24套总价是24×（10＋5），分开算：24×10＋24×5，和题目等式一致符合题意； C．图形是两个长方形，总面积为24×5＋5×10＝5×（24＋10），和题目24×（10＋5）的结构完全不同，不符合题意； D．竖式计算24×15时，把15拆成10和5，计算过程就是24×5＋24×10＝24×（10＋5），符合乘法分配律，符合题意。 3．下面算式中，和101×56结果相等的是（）。 A．100×56＋1 B．100×56＋56 C．100＋1×56 D．100×56×1 【答案】B 【分析】观察算式，可以将拆分为，然后利用乘法分配律进行变形，最后与选项进行对比即可得出答案。 【详解】 A．，原式中也应乘，此选项错误； B．，与变形后的算式一致，此选项正确； C．，根据运算顺序应先算乘法，结果为，与原式不符，此选项错误； D．，结果为，与原式不符，此选项错误。 4．下列算式在计算时，（    ）与其它算式所用运算律不同。 A．117×（3＋7）＝117×3＋117×7 B．125×5＋125×3＝125×（5＋3） C．4×a＋a×5＝（4＋5）×a D．36×（4×6）＝36×6×4 【答案】D 【分析】观察每个算式左右两边的结构变化，判断其运用的运算律。乘法分配律涉及乘法和加法两种运算，特征是两个数的和与一个数相乘；乘法交换律和结合律只涉及乘法运算，特征是改变因数的位置或运算顺序。通过逐项分析每个选项运用的运算律，找出与其他三项不同的选项。 【详解】A．算式结构为 ，呈现了一个数乘两个数的和等于这个数分别乘这两个数再相加的形式，运用了乘法分配律； B．算式 ，呈现了两个数分别乘同一个数再相加等于这两个数的和乘这个数的形式，是乘法分配律的逆运用； C．算式 ，同样呈现了两个数分别乘同一个数再相加等于这两个数的和乘这个数的形式，运用了乘法分配律； D．算式 ，只涉及乘法运算，改变了因数 和 的位置以及运算顺序，运用了乘法交换律和乘法结合律，与其他三项运用的运算律不同。 5．根据670－460＝210和18×24＝432，直接写出下面各题的得数。 670－210＝( )     460＋210＝( ) ( )×18＝432     432÷18＝( ) 【答案】 【分析】在减法中，已知被减数、减数和差中的任意两个量，可以利用“被减数－差减数”或“减数差被减数”求出第三个量；在乘法中，已知两个因数和积中的任意两个量，可以利用“积一个因数另一个因数”求出第三个量。根据题干给出的算式，直接运用这些关系即可得出结果。 【详解】 6．在括号里填上合适的数。 387＋( )＝804           ( )－345＝960          35×( )＝840        ( )÷18＝12……15 628÷( )＝13……43       225÷5＋( )＝135       4×( )－300＝600    25＋3×( )＝43 【答案】 417 1305 24 231 45 90 225 6 【分析】加法算式中，一个加数＝和－另一个加数。 减法算式中，被减数＝差＋减数。 乘法算式中，一个因数＝积÷另一个因数。 有余数的除法算式中，被除数＝商×除数＋余数。 有余数的除法算式中，除数＝ （被除数－余数）÷商。 混合运算中，先算乘除，后算加减，利用逆运算求解括号内的数。 【详解】（1）804－387＝417，所以387＋417＝804。 　　　　　　 （2）345＋960＝1305，所以1305－345＝960。 （3）840÷35＝24，所以35×24＝840。 　　　　　　 （4）18×12＋15 ＝216＋15 ＝231 所以231÷18＝12……15。 （5）（628－43）÷13 ＝585÷13 ＝45 所以628÷45＝13……43。 （6）135－225÷5 ＝135－45 ＝90 所以225÷5＋90＝135。 （7）（600＋300）÷4 ＝900÷4 ＝225 所以4×225－300＝600。 （8）（43－25）÷3 ＝18÷3 ＝6 所以25＋3×6＝43。 7．计算12×25，小兵这样算：12×25＝（3×4）×25＝3×（4×25），他运用了( )，小丽这样算：12×25＝（10＋2）×25＝10×25＋2×25，她运用了( )，102.34－☆－△＝( )。 【答案】 乘法结合律 乘法分配律 【分析】乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变；（a×b）×c＝a×（b×c）。小兵计算时，把12转化成4×3，12×25＝3×（4×25），所以小兵运用了乘法结合律。 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；a×（b＋c）＝a×b＋a×c。小丽计算时，把12转化为10＋2，然后用10和2分别去乘上25，最后把它们的积加起来，所以小丽运用了乘法分配律。 减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，用字母公式表示为abc＝a（b＋c）。根据减法的性质，102.34－☆－△＝102.34−（☆＋△）。 【详解】计算12×25，小兵这样算：12×25＝（3×4）×25＝3×（4×25），他运用了乘法结合律，小丽这样算：12×25＝（10＋2）×25＝10×25＋2×25，她运用了乘法分配律，102.34－☆－△＝102.34−（☆＋△）。 8．根据运算定律，在横线填上合适的数。 （( )( )）    （( )( )） 【答案】 25 4 99 1 【分析】（1）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变； （2）乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 【详解】根据分析可知： 25×（4×17）＝（25×4）×17； 99×36＋36＝99×36＋36×1＝36×（99＋1）＝（99＋1）×36 9．125×24×8＝125×8×24中，运用了( )律；在计算99×34＋34时，可以运用( )律进行简算。 【答案】 乘法交换 乘法分配 【分析】计算125×24×8时，利用乘法交换律：a×b＝b×a，据此简化计算；在计算99×34＋34时，先将34写成34×1的形式，然后根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式写成（99＋1）×34，据此简化计算。 【详解】125×24×8 ＝125×8×24 ＝1000×24 ＝24000 99×34＋34 ＝99×34＋34×1 ＝（99＋1）×34 ＝100×34 ＝3400 125×24×8＝125×8×24中，运用了乘法交换律；在计算99×34＋34时，可以运用乘法分配律进行简算。 10．小马虎在计算时，错算成了。请你帮忙算一算，他得到的结果比正确结果少( )。 【答案】87 【分析】通过乘法分配律展开正确的算式和错误的算式作比较，得到差值即可。 【详解】，算错的式子是，有共同的部分，作差时已经减没了，所以差值就是。 11．用竖式计算，并用加减法或乘除法各部分间的关系进行验算。 （1）426－189＝        （2）134×77＝        （3）736÷16＝ 【答案】 （1）237；（2）10318；（3）46 【分析】减法竖式：相同数位对齐，从个位减起。哪一位上的数不够减，要从前一位退1当10再减，验算利用“差＋减数＝被减数”的关系。乘法竖式：数位对齐，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，再用十位上的数去乘，最后把两次乘得的积相加。验算利用“积÷一个因数＝另一个因数”的关系。除法竖式：从被除数的高位除起，除数是两位数，先看被除数的前两位。除到哪一位，商就写在那一位的上面。验算利用“商×除数＝被除数”的关系。 【详解】（1）426－189＝237                （2）134×77＝10318                                        （3）736÷16＝46 验算：                  验算：          验算： 12．脱式计算，怎样算简便就怎样算。 618＋127＋82＋473     36×101－36     125×32×25      【答案】 1300；3600；100000；65 【分析】618＋127＋82＋473，利用加法交换律和结合律，可得：（618＋82）＋（127＋473），进一步计算即可简算； 36×101－36，把36看成36与1的积，可得：36×101－36×1；再利用乘法分配律，可得：36×（101－1），进一步计算即可简算； 125×32×25，把32看成8与4的积，可得：125×8×4×25； 利用乘法结合律可得：（125×8）×（4×25），进一步计算即可简算； 118－（35＋18），利用减法的性质，先算118－18，再减去35，即可解题。 【详解】618＋127＋82＋473 ＝618＋82＋127＋473 ＝（618＋82）＋（127＋473） ＝700＋600 ＝1300 36×101－36 ＝36×101－36×1 ＝36×（101－1） ＝36×100 ＝3600 125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝125×8×4×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 118－（35＋18） ＝118－35－18 ＝118－18－35 ＝100－35 ＝65 13．为满足师生学习人工智能知识的需求，学校图书馆购进一批AI主题图书。将这些书全部摆放在4个书架上，每个书架有7层，每层放25本，这批图书一共有多少本？ 【答案】700 本 【分析】根据题意，求图书总本数，需用书架个数乘每个书架的层数，再乘每层放的本数。观察算式中的数据，与相乘能得到整百数，运用乘法交换律交换和的位置，先算，可以使计算简便。 【详解】 （本） 答：这批图书一共有本。 14．服装店购进4款上衣，价格分别为：186元、275元、214元、325元，商场满800元减免120元，采购这些上衣实际付款多少元？ 【答案】880元 【分析】先将4款上衣价格相加求出4款上衣的总价，判断总价是否满足满减条件。在计算总价时，观察数据特点，利用加法交换律和加法结合律将能凑成整百数的项结合，进行简便计算。确认总价大于800元后，再减去减免的120元，即为实际付款金额。 【详解】 （元） ，满足减免条件。 (元) 答：采购这些上衣实际付款880元。 15．四年级一班捐书227本，二班捐书173本，三班捐书259本，三个班级合计捐书多少本？ 【答案】659本 【分析】求三个班级合计捐书多少本，就是把三个班捐书的数量合并起来，用加法计算。 【详解】 （本） 答：三个班级合计捐书659本。 16．黄石矿博园汇聚了众多珍贵矿石展品，园区内A展馆设有95个参观展位，B展馆设有105个参观展位。如果每个展位的参观门票定价为18元，当A、B展馆的门票全部卖出时，这两个展馆的门票总收入是多少元？ 【答案】 3600元 【分析】分别用A、B 两个展馆的展位数，乘每个展位的门票定价，把结果相加就是这两个展馆的门票总收入。观察发现95与105相加能凑成整百数，先算加法求出A、B 两个展馆的展位总数，再乘每个展位的门票定价。符合四年级运算定律及简便计算的学习要求。 【详解】95×18＋105×18 ＝（95＋105）×18 ＝200×18 ＝3600（元） 答：这两个展馆的门票总收入是3600元。 17．希望小学准备新建一栋教学楼，教学楼的占地面积如下图。这栋教学楼的占地面积是多少平方米？ 【答案】2600平方米 【分析】可以用分割法把它分成两个长方形，分别计算面积再相加。 【详解】26×63＋26×37 ＝26×（63＋37） ＝26×100 ＝2600（平方米） 答：这栋教学楼的占地面积是2600平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 运算关系与运算律 内容导航 考点梳理 1 考点一、加法与减法的关系 1 考点二、乘法与除法的关系 2 考点三、加法交换律和乘法交换律 2 考点四、加法结合律 3 考点五、乘法结合律 3 考点六、乘法对加法的分配律 4 例题讲解 5 题型一、加法与减法的关系 5 题型二、乘法与除法的关系 5 题型三、加法交换律和乘法交换律 5 题型四、加法结合律 6 题型五、乘法结合律 7 题型六、乘法对加法的分配律 8 提升练习 8 考点梳理 考点一、加法与减法的关系 1. 核心概念 加法和减法互为逆运算。减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 2. 各部分名称及关系式 (1) 加法各部分关系： 1　 2　 (2) 减法各部分关系： 1　 2　 3　 3. 验算方法 (1) 加法验算： 用“和”减去“一个加数”，看是否等于“另一个加数”。 (2) 减法验算： 1　 用“被减数”减去“差”，看是否等于“减数”。 2　 用“差”加上“减数”，看是否等于“被减数”。 考点二、乘法与除法的关系 1. 核心概念 乘法和除法互为逆运算。除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2. 各部分名称及关系式 (1) 乘法各部分关系： 1　 2　 (2) 除法各部分关系： 1　 （整除情况下） 2　 3　 4　 注：若有余数， 3. 验算方法 (1) 乘法验算： 用“积”除以“一个因数”，看是否等于“另一个因数”。 (2) 除法验算： 1　 无余数：用“商”乘以“除数”，看是否等于“被除数”。 2　 有余数：用“商 除数 + 余数”，看是否等于“被除数”。 4. 特殊规定 (1) 0不能作除数。 (2) 除以任何非 的数都得 。 考点三、加法交换律和乘法交换律 1. 加法交换律 (1) 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 (2) 字母公式： (3) 应用示例： 2. 乘法交换律 (1) 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (2) 字母公式： (3) 应用示例： （常用于凑整计算） 3. 易错点提示 (1) 交换律只改变位置，不改变运算符号。 (2) 在连加或连乘算式中，可以任意交换加数或因数的位置，但必须带着前面的符号一起移动（针对混合运算）。 考点四、加法结合律 1. 定义 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2. 字母公式 3. 应用场景 用于凑整计算。当算式中某两个加数相加能得到整十、整百、整千数时，优先结合这两个数。 4. 典型示例 考点五、乘法结合律 1. 定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2. 字母公式 3. 应用场景 用于凑整计算。常见组合： ， ， 。 4. 典型示例 考点六、乘法对加法的分配律 1. 定义 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 2. 字母公式 (1) 正向运用： (2) 逆向运用（提取公因数）： 3. 应用场景 (1) 拆分法： 当一个因数接近整十、整百时（如 ），将其拆分为 或 。 (2) 提取法： 当算式中有相同的因数时，提取公因数简化计算。 4. 典型示例 (1) 拆分： (2) 提取： 5. 易错警示 (1) 分配律必须每一项都参与运算，不可漏乘。 (2) 注意区分乘法结合律 与分配律 的结构差异。 例题讲解 题型一、加法与减法的关系 【典型例题】根据800－369＝431，直接写出下面两道算式的结果。 800－431＝( )          431＋369＝( ) 举一反三 【变式训练1】已知△＋□＝☆，下列选项正确的是（    ）。 A．☆－△＝□ B．☆＋□＝△ C．△＋☆＝□ D．□－☆＝△ 【变式训练2】根据加法算式728＋1812＝2540，可以得到2540－728＝( )，还可以写出另一道减法算式是( )。 【变式训练3】看图列式计算。 题型二、乘法与除法的关系 【典型例题】根据12×35＝420，直接写出得数：420÷12＝( )，420÷35＝( )。 举一反三 【变式训练1】已知☆÷13＝○，下列算式中正确的是（    ）。 A．☆×○＝13 B．○÷☆＝13 C．13×○＝☆ D．13÷○＝☆ 【变式训练2】根据650÷13＝50，写一道乘法算式是( )，写一道除法算式是( )。 【变式训练3】直接写出括号里的数。 ( )－215＝215            57×( )＝798             540÷( )＝12 439＋( )＝624             ( )÷14＝57             ( )×23＝483 题型三、加法交换律和乘法交换律 【典型例题】 ( )×36 ；125× ( ) 。 举一反三 【变式训练1】如果算式，那么当( )时，( )。 【变式训练2】计算时，优先算，依据( )，最后的乘积是( )。 【变式训练3】小明读书，第一天看182页，第二天看135页，第三天看118页，三天合计看书多少页？ 题型四、加法结合律 【典型例题】用简便方法计算。 185＋342＋215       267＋139＋133＋261       328＋456＋144       194＋206＋371＋229 举一反三 【变式训练1】在计算时，运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．加法交换律 C．加法结合律 D．乘法结合律 【变式训练2】用简便方法计算下面各题。 154＋77＋23     124＋（76＋88）     126＋57＋74 142＋68＋132＋58     254＋56＋144     247＋187＋153 【变式训练3】超市购进四种零食，薯片139元、饼干261元、糖果154元、果冻246元，采购一共花费多少钱？ 题型五、乘法结合律 【典型例题】用简便方法计算。 32×25         72×125×3 举一反三 【变式训练1】计算：，运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 【变式训练2】用简便方法计算。 125×（9×8）         25×64×125 【变式训练3】商店运来8箱保温杯，每箱15个，每个售价25元，这批保温杯全部卖完一共收入多少钱？ 题型六、乘法对加法的分配律 【典型例题】用简便方法计算下面各题。 101×87         25×33×4         312×8＋188×8 举一反三 【变式训练1】125×5＋125×3＝125×（5＋3），这里运用了乘法( )律：如果△＋□＝40，那么25×△＋25×□＝( )。 【变式训练2】下面各题怎样算简便就怎样算。 34×29＋29×66     （100－8）×125     48×25×50 【变式训练3】温州队要给队员买球服，上衣每件55元，裤子每条35元。全队一共买40套，需要多少钱？ 提升练习 1．已知○＋＝☆，☆×□＝◎，下面算式错误的是（    ）。 A．☆－○＝ B．◎÷□＝☆ C．（○＋）×□＝◎ D．□×◎＝☆ 2．下列不能说明24×（10＋5）＝24×10＋24×5的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面算式中，和101×56结果相等的是（）。 A．100×56＋1 B．100×56＋56 C．100＋1×56 D．100×56×1 4．下列算式在计算时，（    ）与其它算式所用运算律不同。 A．117×（3＋7）＝117×3＋117×7 B．125×5＋125×3＝125×（5＋3） C．4×a＋a×5＝（4＋5）×a D．36×（4×6）＝36×6×4 5．根据670－460＝210和18×24＝432，直接写出下面各题的得数。 670－210＝( )     460＋210＝( ) ( )×18＝432     432÷18＝( ) 6．在括号里填上合适的数。 387＋( )＝804           ( )－345＝960          35×( )＝840        ( )÷18＝12……15 628÷( )＝13……43       225÷5＋( )＝135       4×( )－300＝600    25＋3×( )＝43 7．计算12×25，小兵这样算：12×25＝（3×4）×25＝3×（4×25），他运用了( )，小丽这样算：12×25＝（10＋2）×25＝10×25＋2×25，她运用了( )，102.34－☆－△＝( )。 8．根据运算定律，在横线填上合适的数。 （( )( )）    （( )( )） 9．125×24×8＝125×8×24中，运用了( )律；在计算99×34＋34时，可以运用( )律进行简算。 10．小马虎在计算时，错算成了。请你帮忙算一算，他得到的结果比正确结果少( )。 11．用竖式计算，并用加减法或乘除法各部分间的关系进行验算。 （1）426－189＝        （2）134×77＝        （3）736÷16＝ 12．脱式计算，怎样算简便就怎样算。 618＋127＋82＋473     36×101－36     125×32×25      13．为满足师生学习人工智能知识的需求，学校图书馆购进一批AI主题图书。将这些书全部摆放在4个书架上，每个书架有7层，每层放25本，这批图书一共有多少本？ 14．服装店购进4款上衣，价格分别为：186元、275元、214元、325元，商场满800元减免120元，采购这些上衣实际付款多少元？ 15．四年级一班捐书227本，二班捐书173本，三班捐书259本，三个班级合计捐书多少本？ 16．黄石矿博园汇聚了众多珍贵矿石展品，园区内A展馆设有95个参观展位，B展馆设有105个参观展位。如果每个展位的参观门票定价为18元，当A、B展馆的门票全部卖出时，这两个展馆的门票总收入是多少元？ 17．希望小学准备新建一栋教学楼，教学楼的占地面积如下图。这栋教学楼的占地面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $