第一单元 小数的乘法与除法（思维拓展培优）-五年级上册数学从课本到奥数系列讲义（沪教版）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理了小数乘除法单元知识体系，涵盖算理本质、变化规律、运算定律、近似值估算等六个知识点，以层级列表呈现重难点分布，如因数与积的变化规律、商与被除数的大小关系等，清晰展现知识内在逻辑，培养学生抽象能力与数感。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，基础题型如竖式计算、比较大小夯实运算能力，培优题型如“错中求解”（琳琳错算4.14为41.4得1.2求正确结果）培养推理意识，特殊数值转化技巧（除以0.25相当于乘4）提升运算效率，支持不同学生进阶，助力教师实施精准分层教学。

第一单元 小数的乘法与除法（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数乘法的算理本质与因数变化规律 1. 算理核心：小数乘法转化为整数乘法进行计算。先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。若积的小数位数不够，需在前面用0补足；若积的末尾有0，通常先点小数点再去掉末尾的0。 2. 因数与积的变化规律（培优重点）： (1) 一个非零数乘以大于1的数，积大于原数；乘以小于1且大于0的数，积小于原数；乘以1，积等于原数。 (2) 在乘法算式中，一个因数扩大 倍，另一个因数扩大 倍，则积扩大 倍。 (3) 逆向思维：已知积和一个因数的变化，推导另一个因数的变化。例如：积不变，一个因数扩大10倍，另一个因数必须缩小10倍。 知识点二：小数除法的算理本质与商的变化规律 1. 算理核心：利用“商不变的性质”，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。 (1) 移动小数点：先看除数有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数。 (2) 位数处理：被除数位数不够时，在末尾用0补足。 2. 商与被除数的大小关系（培优重点）： (1) 当除数 时，商 被除数（被除数 ）。 (2) 当除数 且 时，商 被除数（被除数 ）。 (3) 当除数 时，商 被除数。 (4) 易错点辨析：比较商的大小时，需同时关注除数的大小和被除数的大小，常用“假设法”或“基准值法”进行快速判断。 知识点三：整数运算定律在小数运算中的推广与应用 1. 适用性确认：整数加、减、乘、除的运算定律和性质同样适用于小数。这是小数简便计算的理论基础。 2. 乘法运算定律的深度应用： (1) 乘法交换律： 。用于调整运算顺序，凑整（如 , ）。 (2) 乘法结合律： 。用于拆分因数，创造凑整条件。例如： 。 (3) 乘法分配律： 及其逆运算 。 1　 正向应用：拆分接近整十、整百的数。如 。 2　 逆向应用：提取公因数。注意隐含的“1”，如 ；又如 。 3. 除法性质的应用： (1) 。连续除以两个数，等于除以这两个数的积。常用于除数相乘能凑整的情况。 (2) 。去括号变符号。 知识点四：积与商的近似值及估算策略 1. “四舍五入”法的规范使用： (1) 求积或商的近似数时，需计算到保留位数的后一位，再进行四舍五入。 (2) 注意：在连乘或混合运算中，通常建议最后一步再取近似值，以减少中间过程误差累积（除非题目明确要求每一步都取近似值）。 2. 估算的思维方法（奥数衔接）： (1) 范围估计：确定结果的上限和下限。例如，判断 的积在 和 之间，且更接近 。 (2) 首位估算：通过最高位数字的运算快速判断数量级，用于选择题排除错误选项。 (3) 放缩法：在比较大小时，通过将其中一个数适当放大或缩小，转化为易于比较的形式。 知识点五：小数乘除法中的特殊数值关系与技巧 1. 特殊数的转化： (1) 除以0.5相当于乘以2； (2) 除以0.25相当于乘以4； (3) 除以0.125相当于乘以8； (4) 乘以0.5相当于除以2。 2. 小数点移动引起的数值变化： (1) 小数点向右移动一位、两位、三位……数值分别扩大10倍、100倍、1000倍…… (2) 小数点向左移动一位、两位、三位……数值分别缩小到原来的 …… (3) 培优考点：已知两个数的和（或差）及倍数关系（小数点移动关系），求这两个数。实质是“和倍问题”或“差倍问题”的小数形式。 3. 错中求解逻辑： (1) 典型题型：某同学在计算时看错了小数点位置，导致结果偏差。 (2) 解题思路：分析小数点移动导致的倍数变化，利用份数思想求解原数。 知识点六：复合运算中的顺序与括号处理 1. 运算顺序： (1) 同级运算从左往右。 (2) 两级运算先乘除后加减。 (3) 有括号先算小括号，再算中括号。 2. 括号的添与去： (1) 在简便计算中，灵活添加括号改变运算顺序。 (2) 注意：括号前是除号或减号时，去括号或添括号内部符号要变号（针对减法性质和除法性质）。 (3) 例如： ； 。 重难点题型精讲 题型一、小数乘法的算理本质与因数变化规律 【例题1】用竖式计算。 22.8×4.2＝            2.28×3.3＝            54.5×0.08＝ 4.3×1.3＝             4.28×0.55＝            33.6×1.9＝ 【跟踪训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.65×1.001( )3.65            2.47×0.99( )2.47     7.89×2.37( )78.9×0.237 4.5( )4.5×0.8             5.1×0.54( )0.54     0.78×1( )0.78÷1 题型二、小数除法的算理本质与商的变化规律 【例题2】用竖式计算。 4.32÷0.6＝     7.56÷0.9＝     12.48÷0.8＝ 17.38÷2.2＝     21.6÷9.6＝     8.17÷1.9＝ 【跟踪训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9.1÷1( )9.1     76.5÷17( )76.5 5.2÷0.4( )5.2     0.9×6.3( )0.9÷6.3 题型三、整数运算定律在小数运算中的推广与应用 【例题3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.6×8×1.5            0.159×99＋0.159            26.5−6.5×0.4 （1.25＋0.125＋12.5）×0.8                0.32×2.5×12.5 【跟踪训练3】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 6.05×21.7－6.05×11.7       2.5×（32×0.04）        1.58×101 2.5×17×4              1.25×3.2＋1.25×4.8          0.85×99＋0.85 题型四、积与商的近似值及估算策略 【例题4】竖式计算。（带※的题要验算，除不尽的得数保留三位小数） 3.64÷3.5          18.6÷24           19.85÷0.36          ※4.032÷2.4 【跟踪训练4】妈妈带了100元钱，买下面商品。买了10盒纯牛奶，4盒牙膏。估一估，余下的钱还够买一桶醋吗？ 题型五、小数乘除法中的特殊数值关系与技巧 【例题5】直接写出得数。 2.3×0.03＝           8.6÷4.3＝           8÷0.25＝           0.7×0.3＝ 20.8÷0.2＝           0.2×75＝           19÷0.1＝           164÷8.2＝ 【跟踪训练5】琳琳在计算4.14除以某一个数时，错算成41.4除以这个数，所得结果为1.2，这道题的正确结果是( )。 题型六、复合运算中的顺序与括号处理 【例题6】递等式计算。（能简算的用简便方法计算） 12.88－7.22－1.78＋6.12          7.9×12.5＋1.25         7.8÷（0.39÷0.5） 5.4×3.8－6.5×4.4＋2.7×5.4        2.5×（4－0.8）×12.5 【跟踪训练6】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 43.7－（5＋3.7）          7.35×9.9＋0.1×7.35 1.25×0.25×32            3.84÷[0.15×（3.2－1.6）] 培优练习 1．若a÷1.25＝b（a＞0），则a与b的关系是（    ）。 A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法确定 2．某电商平台推出“满减”活动，每满100元减20元，李叔叔买了4千克单价为39.65元/千克的坚果，应付（    ）元。 A．118.6 B．138.6 C．158.6 D．178.6 3．用简便方法计算4.8×9.9，下面正确的是（    ）。 A．4.8×10－4.8 B．4.8×10－0.1 C．4.8×10－4.8×0.1 D．4.8×（9＋0.9） 4．妈妈带60元去超市，买了两盒牙膏，每盒12.8元，还买了一把9.5元的牙刷，剩下的钱够买一袋24元的洗衣粉吗？下面三种思路正确的是（    ）。 ①把12.8元看作12元，把9.5元看作9元，12×2＋9＝33（元），60－33＝27（元），27＞24，所以够。 ②把12.8元看作13元，把9.5元看作10元，13×2＋10＝36（元），60－36＝24（元），24＝24，所以够。 ③12.8×2＋9.5＝35.1（元），剩下60－35.1＝24.9（元），24.9＞24，所以够。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．计算的积是( )位小数，商的最高位是( )位。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 14.8÷2.9( )14.8        3.5×0.78( )3.5        9.28( )0.99×9.28 0.47÷1( )0.47        68.4÷60( )1           12.56÷0.9( )12.56 7．如果a×5.21＝b×2.51＝c×1.52（a，b，c不等于0），则a、b、c三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 8．一个小数，如果把它的小数部分扩大到原来的6倍，这个数是10.8，如果把它的小数部分扩大到原来的9倍，这个数是13.2，这个小数原来是( )。 9．小丽在计算0.7×（▲＋0.7）时，错算成了0.7×▲＋0.7，所得结果与正确结果相差( )。 10．直接写出得数。 0.28÷1.4＝        2.4×0.5＝         1.25×8＝       1÷0.25＝        0÷0.25×4＝ 4.6÷0.2＝        0.09×1000＝       7.2÷10＝        15×0.4＝        3.5÷70＝ 11．用竖式计算，带△的得数保留两位小数。 0.064×5.9＝     13.33÷4.3＝     △0.742÷3.8≈ 1.435÷0.7＝     0.75×10.42＝     △4.92÷1.9≈ 12．计算下列各题，能简算的要简算。 5.72－3.12×0.6         0.4×9.67×2.5 98.3×1.5＋1.5×1.7         0.63×101 13．用简便方法计算。 0.99×0.81＋0.99×0.19＋0.99                （4.16＋4.16＋4.16＋4.16）×2.5 14．一套校服用布3.2米，现有70米布料，至少可以做多少套校服，还剩多少米？ 15．一只鸵鸟的身高是2.85米，一只长颈鹿的身高是这只鸵鸟的1.8倍。这只长颈鹿能吃到高度为5米的树顶端的叶子吗？ 16．妙想的爸爸在某软件上购买了一个1889.4元的电热水器，他选择了分期免息付款，6个月还清。妙想的爸爸平均每月应还多少元？ 17．小华去爬山，上山用了2.2小时，下山用了1.8小时。已知山路全长7.92千米，他往返的平均速度是多少？ 18．张老师周末去超市买了15个棒棒糖，准备奖励给发言积极的学生，这种棒棒糖原价每个0.8元，她扫码支付时优惠了1.8元，实际每个棒棒糖多少元？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 小数的乘法与除法（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数乘法的算理本质与因数变化规律 1. 算理核心：小数乘法转化为整数乘法进行计算。先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。若积的小数位数不够，需在前面用0补足；若积的末尾有0，通常先点小数点再去掉末尾的0。 2. 因数与积的变化规律（培优重点）： (1) 一个非零数乘以大于1的数，积大于原数；乘以小于1且大于0的数，积小于原数；乘以1，积等于原数。 (2) 在乘法算式中，一个因数扩大 倍，另一个因数扩大 倍，则积扩大 倍。 (3) 逆向思维：已知积和一个因数的变化，推导另一个因数的变化。例如：积不变，一个因数扩大10倍，另一个因数必须缩小10倍。 知识点二：小数除法的算理本质与商的变化规律 1. 算理核心：利用“商不变的性质”，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。 (1) 移动小数点：先看除数有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数。 (2) 位数处理：被除数位数不够时，在末尾用0补足。 2. 商与被除数的大小关系（培优重点）： (1) 当除数 时，商 被除数（被除数 ）。 (2) 当除数 且 时，商 被除数（被除数 ）。 (3) 当除数 时，商 被除数。 (4) 易错点辨析：比较商的大小时，需同时关注除数的大小和被除数的大小，常用“假设法”或“基准值法”进行快速判断。 知识点三：整数运算定律在小数运算中的推广与应用 1. 适用性确认：整数加、减、乘、除的运算定律和性质同样适用于小数。这是小数简便计算的理论基础。 2. 乘法运算定律的深度应用： (1) 乘法交换律： 。用于调整运算顺序，凑整（如 , ）。 (2) 乘法结合律： 。用于拆分因数，创造凑整条件。例如： 。 (3) 乘法分配律： 及其逆运算 。 1　 正向应用：拆分接近整十、整百的数。如 。 2　 逆向应用：提取公因数。注意隐含的“1”，如 ；又如 。 3. 除法性质的应用： (1) 。连续除以两个数，等于除以这两个数的积。常用于除数相乘能凑整的情况。 (2) 。去括号变符号。 知识点四：积与商的近似值及估算策略 1. “四舍五入”法的规范使用： (1) 求积或商的近似数时，需计算到保留位数的后一位，再进行四舍五入。 (2) 注意：在连乘或混合运算中，通常建议最后一步再取近似值，以减少中间过程误差累积（除非题目明确要求每一步都取近似值）。 2. 估算的思维方法（奥数衔接）： (1) 范围估计：确定结果的上限和下限。例如，判断 的积在 和 之间，且更接近 。 (2) 首位估算：通过最高位数字的运算快速判断数量级，用于选择题排除错误选项。 (3) 放缩法：在比较大小时，通过将其中一个数适当放大或缩小，转化为易于比较的形式。 知识点五：小数乘除法中的特殊数值关系与技巧 1. 特殊数的转化： (1) 除以0.5相当于乘以2； (2) 除以0.25相当于乘以4； (3) 除以0.125相当于乘以8； (4) 乘以0.5相当于除以2。 2. 小数点移动引起的数值变化： (1) 小数点向右移动一位、两位、三位……数值分别扩大10倍、100倍、1000倍…… (2) 小数点向左移动一位、两位、三位……数值分别缩小到原来的 …… (3) 培优考点：已知两个数的和（或差）及倍数关系（小数点移动关系），求这两个数。实质是“和倍问题”或“差倍问题”的小数形式。 3. 错中求解逻辑： (1) 典型题型：某同学在计算时看错了小数点位置，导致结果偏差。 (2) 解题思路：分析小数点移动导致的倍数变化，利用份数思想求解原数。 知识点六：复合运算中的顺序与括号处理 1. 运算顺序： (1) 同级运算从左往右。 (2) 两级运算先乘除后加减。 (3) 有括号先算小括号，再算中括号。 2. 括号的添与去： (1) 在简便计算中，灵活添加括号改变运算顺序。 (2) 注意：括号前是除号或减号时，去括号或添括号内部符号要变号（针对减法性质和除法性质）。 (3) 例如： ； 。 重难点题型精讲 题型一、小数乘法的算理本质与因数变化规律 【例题1】用竖式计算。 22.8×4.2＝            2.28×3.3＝            54.5×0.08＝ 4.3×1.3＝             4.28×0.55＝            33.6×1.9＝ 【答案】95.76；7.524；4.36； 5.59；2.354；63.84 【分析】小数乘法竖式：首先末尾对齐，将小数乘法看成整数乘法，按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点，得数的小数部分末尾有的一般要把去掉。 【详解】                                                                                                                                  【跟踪训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.65×1.001( )3.65            2.47×0.99( )2.47     7.89×2.37( )78.9×0.237 4.5( )4.5×0.8             5.1×0.54( )0.54     0.78×1( )0.78÷1 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ 【分析】一个不为0的数相乘规律：乘大于1的数，积＞原数；乘小于1的数，积＜原数； 乘1，积＝原数。 积不变规律：两个数相乘，一个因数乘一个不为0的数，另一个因数同时除以相同的数，它们的积不变。任何数×1＝任何数，任何数÷1＝任何数。 【详解】1.001＞1，所以3.65×1.001＞3.65； 0.99＜1，所以2.47×0.99＜2.47； 7.89×2.37＝（7.89×10）×（2.37÷10）＝78.9×0.237，所以7.89×2.37＝78.9×0.237； 1＞0.8，所以4.5＞4.5×0.8； 5.1＞1，所以5.1×0.54＞0.54； 0.78×1＝0.78，0.78÷1＝0.78，所以0.78×1＝0.78÷1。 题型二、小数除法的算理本质与商的变化规律 【例题2】用竖式计算。 4.32÷0.6＝    7.56÷0.9＝    12.48÷0.8＝ 17.38÷2.2＝    21.6÷9.6＝    8.17÷1.9＝ 【答案】7.2；8.4；15.6； 7.9；2.25；4.3 【分析】除数是小数的小数除法，把除数转化成整数，除数小数点向右移动几位，被除数小数点也向右移动几位，位数不够补0，再按照除数是整数的小数除法计算，整数部分不够除的商0，点上小数点继续除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 【详解】4.32÷0.6＝7.2              7.56÷0.9＝8.4             12.48÷0.8＝15.6                     17.38÷2.2＝7.9             21.6÷9.6＝2.25              8.17÷1.9＝4.3                 【跟踪训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9.1÷1( )9.1     76.5÷17( )76.5 5.2÷0.4( )5.2     0.9×6.3( )0.9÷6.3 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。任何数除以1，结果都等于它本身。据此解答。 【详解】9.1÷1＝9.1 17＞1，所以76.5÷17＜76.5 0.4＜1，所以5.2÷0.4＞5.2 6.3＞1，0.9×6.3＞0.9，0.9÷6.3＜0.9，所以0.9×6.3＞0.9÷6.3 题型三、整数运算定律在小数运算中的推广与应用 【例题3】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.6×8×1.5            0.159×99＋0.159            26.5−6.5×0.4 （1.25＋0.125＋12.5）×0.8                0.32×2.5×12.5 【答案】 31.2；15.9；23.9 11.1；10 【分析】2.6×8×1.5 利用乘法结合律，先算后两个数的乘积，再和第一个数相乘，简化运算步骤。 把后半段的改写为，逆用乘法分配律，提取公共因数，改写为的形式简化计算。 遵循四则运算优先级，先计算乘法部分，再用减去该乘积，按顺序运算即可。 利用乘法分配律，让括号内的三个数分别和括号外的相乘，再把所得的三个乘积相加，利用类数乘凑整特性简化运算。 把拆分为，再利用乘法交换律和结合律，分别凑整组合和，最后把两组的乘积相乘即可。 【详解】2.6×8×1.5 ＝2.6×（8×1.5） ＝2.6×12 ＝31.2    0.159×99＋0.159 ＝0.159×99＋0.159×1 ＝0.159×（99＋1） ＝0.159×100 ＝15.9   26.5－6.5×0.4 ＝26.5－2.6 ＝23.9   （1.25＋0.125＋12.5）×0.8 ＝1.25×0.8＋0.125×0.8＋12.5×0.8 ＝1＋0.1＋10 ＝11.1   0.32×2.5×12.5 ＝0.4×0.8×2.5×12.5 ＝（0.4×2.5）×（0.8×12.5） ＝1×10 ＝10 【跟踪训练3】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 6.05×21.7－6.05×11.7       2.5×（32×0.04）        1.58×101 2.5×17×4              1.25×3.2＋1.25×4.8          0.85×99＋0.85 【答案】60.5；3.2；159.58； 170；10；85 【分析】（1）根据乘法分配律提取相同因数6.05进行简算。 （2）根据乘法结合律和乘法交换律让2.5与0.04先相乘，计算更简便。 （3）先将101拆成100＋1，然后根据乘法分配律让括号外的因数与括号内的每个数相乘，计算更简便。 （4）根据乘法交换律让2.5与4先相乘，计算更简便。 （5）根据乘法分配律提取相同因数1.25进行简算。 （6）根据乘法分配律提取相同因数0.85进行简算。 【详解】（1）6.05×21.7－6.05×11.7 ＝6.05×（21.7－11.7） ＝6.05×10 ＝60.5 （2）2.5×（32×0.04） ＝2.5×32×0.04 ＝2.5×0.04×32 ＝0.1×32 ＝3.2 （3）1.58×101 ＝1.58×（100＋1） ＝1.58×100＋1.58×1 ＝158＋1.58 ＝159.58 （4）2.5×17×4 ＝2.5×4×17 ＝10×17 ＝170 （5）1.25×3.2＋1.25×4.8 ＝1.25×（3.2＋4.8） ＝1.25×8 ＝10 （6）0.85×99＋0.85 ＝0.85×99＋0.85×1 ＝0.85×（99＋1） ＝0.85×100 ＝85 题型四、积与商的近似值及估算策略 【例题4】竖式计算。（带※的题要验算，除不尽的得数保留三位小数） 3.64÷3.5          18.6÷24           19.85÷0.36          ※4.032÷2.4 【答案】1.04；0.775；55.139；1.68 【分析】除数是整数的小数除法：按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，整数部分不够除，商0，点上小数点继续除，除到被除数末尾仍有余数，添0继续往下除。 除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。 保留三位小数，就是保留千分位，看后一位的数字，如果数字大于或等于5则向前一位进1，如果数字小于5，则舍掉保留千分位。 因为除法的验算可以用商乘除数看是否等于被除数，所以计算出结果后，用所得的商乘除数，对比结果和被除数是否一致。 【详解】 3.64÷3.5＝1.04 18.6÷24＝0.775         19.85÷0.36≈55.139                   4.032÷2.4＝1.68       验算： 【跟踪训练4】妈妈带了100元钱，买下面商品。买了10盒纯牛奶，4盒牙膏。估一估，余下的钱还够买一桶醋吗？ 【答案】够 【分析】分析题目，一盒牛奶5.85元，一盒牙膏5.70元，5.85和5.70都接近6元，把它们的单价都估大一些估成6元，据此结合总价＝单价×数量分别算出10盒纯牛奶和4盒牙膏的价钱，再相加即可求出花了多少钱，再用100减去花了的钱数就等于剩下的钱数，最后把剩下的钱数和一桶醋的价钱比较大小即可。 【详解】5.85≈6 5.70≈6 6×10＋6×4 ＝60＋24 ＝84（元） 100－84＝16（元） 16＞15.80 答：余下的钱还够买一桶醋。 题型五、小数乘除法中的特殊数值关系与技巧 【例题5】直接写出得数。 2.3×0.03＝           8.6÷4.3＝           8÷0.25＝           0.7×0.3＝ 20.8÷0.2＝           0.2×75＝           19÷0.1＝           164÷8.2＝ 【答案】0.069；2；32；0.21； 104；15；190；20 【详解】略 【跟踪训练5】琳琳在计算4.14除以某一个数时，错算成41.4除以这个数，所得结果为1.2，这道题的正确结果是( )。 【答案】0.12 【分析】先根据错误的结果，利用除数＝被除数÷商，计算出除数后，再用正确的被除数÷除数，即可求得正确的结果。 【详解】除数为41.4÷1.2＝34.5 正确结果4.14÷34.5＝0.12 所以这道题的正确结果是0.12。 题型六、复合运算中的顺序与括号处理 【例题6】递等式计算。（能简算的用简便方法计算） 12.88－7.22－1.78＋6.12          7.9×12.5＋1.25         7.8÷（0.39÷0.5） 5.4×3.8－6.5×4.4＋2.7×5.4        2.5×（4－0.8）×12.5 【答案】10；100；10； 6.5；100 【分析】交换“－7.22”与“＋6.12”的位置，再利用减法的性质进行简便计算； 利用乘法分配律的逆运算，进行简便计算； 去掉小括号，小括号内的除法变成乘法，再从左往右依次计算； 交换“－6.5×4.4”和“＋2.7×5.4”的位置，两次利用乘法分配律的逆运算，进行简便计算； 先计算小括号内的减法，结果得3.2，把3.2拆成4×0.8，再进行简便计算。 【详解】12.88－7.22－1.78＋6.12                    ＝12.88＋6.12－7.22－1.78                     ＝（12.88＋6.12）－（7.22＋1.78） ＝19－9         ＝10         7.9×12.5＋1.25 ＝79×1.25＋1.25×1 ＝（79＋1）×1.25 ＝80×1.25 ＝100 7.8÷（0.39÷0.5）                 ＝7.8÷0.39×0.5         ＝20×0.5      ＝10          5.4×3.8－6.5×4.4＋2.7×5.4 ＝5.4×3.8＋2.7×5.4－6.5×4.4 ＝5.4×（3.8＋2.7）－6.5×4.4 ＝5.4×6.5－6.5×4.4 ＝6.5×（5.4－4.4）     ＝6.5×1 ＝6.5               2.5×（4－0.8）×12.5 ＝2.5×3.2×12.5   ＝2.5×4×0.8×12.5 ＝（2.5×4）×（0.8×12.5） ＝10×10 ＝100 【跟踪训练6】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 43.7－（5＋3.7）          7.35×9.9＋0.1×7.35 1.25×0.25×32            3.84÷[0.15×（3.2－1.6）] 【答案】35；73.5； 10；16 【分析】（1）利用减法的性质去括号，先算43.7－3.7凑整得到40，再减去5，简化计算过程。 （2）观察到两项中都有相同因数7.35，利用乘法分配律提取相同因数7.35，将9.9和0.1相加凑成10，再与7.35相乘，简化计算。 （3）把32拆分成8×4，利用乘法结合律，让1.25与8、0.25与4分别结合相乘，简化计算。 （4）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后计算括号外的除法。 【详解】（1）43.7－（5＋3.7） ＝43.7－5－3.7 ＝43.7－3.7－5 ＝40－5 ＝35 （2）7.35×9.9＋0.1×7.35 ＝7.35×（9.9＋0.1） ＝7.35×10 ＝73.5 （3）1.25×0.25×32 ＝1.25×0.25×（8×4） ＝（1.25×8）×（0.25×4） ＝10×1 ＝10 （4）3.84÷[0.15×（3.2－1.6）] ＝3.84÷[0.15×1.6] ＝3.84÷0.24 ＝16 培优练习 1．若a÷1.25＝b（a＞0），则a与b的关系是（    ）。 A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法确定 【答案】C 【分析】根据除法的规律判断：一个不为0的数，除以一个大于1的数，得到的商比原来的数小。 【详解】因为，且，根据规律：一个不为0的数除以大于1的数，所得的商小于被除数，可得的结果小于，即。 2．某电商平台推出“满减”活动，每满100元减20元，李叔叔买了4千克单价为39.65元/千克的坚果，应付（    ）元。 A．118.6 B．138.6 C．158.6 D．178.6 【答案】B 【分析】先根据总价＝单价×数量求出买坚果的总价钱，然后与100元比较即可，如果总价钱等于或大于100元，最后再减去20元，即可求出应付的钱数，据此解答。 【详解】（元） （元） 应付138.6元。 3．用简便方法计算4.8×9.9，下面正确的是（    ）。 A．4.8×10－4.8 B．4.8×10－0.1 C．4.8×10－4.8×0.1 D．4.8×（9＋0.9） 【答案】C 【分析】因为接近整数，所以可将转化为，再按照乘法分配律：展开即可得到简便计算的式子。 【详解】 4．妈妈带60元去超市，买了两盒牙膏，每盒12.8元，还买了一把9.5元的牙刷，剩下的钱够买一袋24元的洗衣粉吗？下面三种思路正确的是（    ）。 ①把12.8元看作12元，把9.5元看作9元，12×2＋9＝33（元），60－33＝27（元），27＞24，所以够。 ②把12.8元看作13元，把9.5元看作10元，13×2＋10＝36（元），60－36＝24（元），24＝24，所以够。 ③12.8×2＋9.5＝35.1（元），剩下60－35.1＝24.9（元），24.9＞24，所以够。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】判断钱够不够时，若用估算，需把商品价格往大估，估出的总花费若不超过带的钱，实际一定够；往小估无法保证结论正确，精确计算的结果准确。 【详解】①把商品价格都估小，算出的总花费比实际总花费少，得到的剩余钱数比实际剩余多，无法确定实际剩余的钱是否够买洗衣粉，思路错误。 ②把商品价格都估大，估大后剩余的钱刚好等于洗衣粉价格，实际总花费小于36元，剩余的钱大于24元，一定够买，思路正确。 ③直接精确计算总花费和剩余钱数，算出真实剩下24.9元，比24元多，完全可以判断钱够，思路正确。 故思路正确的有②③。 5．计算的积是( )位小数，商的最高位是( )位。 【答案】 四 个 【分析】小数乘法看两个因数一共有几位小数，积一般就是几位小数；小数除法先把除数变成整数，再看商的最高位在哪一位。 【详解】2.63是两位小数，0.12是两位小数，2＋2＝4，所以2.63×0.12的积是四位小数。 2.04÷1.8，除数扩大10倍变成18，被除数同时扩大10倍变成20.4。 20.4÷18，20＞18，商写在个位上，所以商的最高位是个位。 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 14.8÷2.9( )14.8        3.5×0.78( )3.5        9.28( )0.99×9.28 0.47÷1( )0.47        68.4÷60( )1           12.56÷0.9( )12.56 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＝ ＞ ＞ 【分析】（1）一个非0的数除以一个大于1的数，结果小于这个数；除以一个小于1的数（0除外），结果大于这个数；除以1，结果等于这个数； （2）一个非0的数乘一个大于1的数，结果大于这个数；乘一个小于1的数（0除外），结果小于这个数； （3）在除法算式中，被除数大于除数，商大于1；被除数小于除数，商小于1。 【详解】因为2.9＞1，所以14.8÷2.9＜14.8； 因为0.78＜1，所以3.5×0.78＜3.5； 因为0.99＜1，所以9.28＞0.99×9.28； 0.47÷1＝0.47； 因为68.4＞60，所以68.4÷60＞1； 因为0.9＜1，所以12.56÷0.9＞12.56。 7．如果a×5.21＝b×2.51＝c×1.52（a，b，c不等于0），则a、b、c三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 c a 【分析】根据乘法的意义可知，在积一定的情况下，其中的一个因数越小，另一个因数就越大；据此比较即可。 【详解】5.21＞2.51＞1.52，则a＜b＜c； 即a、b、c三个数中，最大的是c，最小的是a。 8．一个小数，如果把它的小数部分扩大到原来的6倍，这个数是10.8，如果把它的小数部分扩大到原来的9倍，这个数是13.2，这个小数原来是( )。 【答案】6.8 【分析】这个小数的整数部分始终不变，只有小数部分被扩大；先用两次结果相减，得到小数部分多扩大几倍对应的差，再用差除以倍数之差求出原来的小数部分；接着用第一次的得数减去扩大6倍后的小数部分，算出整数部分；最后把整数部分和原来的小数部分合起来，得到原来的小数。 【详解】（13.2－10.8）÷（9－6） ＝2.4÷3 ＝0.8 10.8－0.8×6 ＝10.8－4.8 ＝6 6＋0.8＝6.8 9．小丽在计算0.7×（▲＋0.7）时，错算成了0.7×▲＋0.7，所得结果与正确结果相差( )。 【答案】 0.21 【分析】利用乘法分配律，将0.7×（▲＋0.7）展开，再通过对比正确算式展开后的结果与错误算式，找出差异部分进行计算即可。 【详解】0.7×（▲＋0.7）＝0.7×▲＋0.7×0.7＝0.7×▲＋0.49，错误算式是0.7×▲＋0.7，对比两个算式，都包含0.7×▲，正确算式后半部分是0.49，错误算式后半部分是0.7，所得结果与正确结果相差：。 10．直接写出得数。 0.28÷1.4＝        2.4×0.5＝         1.25×8＝       1÷0.25＝        0÷0.25×4＝ 4.6÷0.2＝        0.09×1000＝       7.2÷10＝        15×0.4＝        3.5÷70＝ 【答案】0.2；1.2；10；4；0 23；90；0.72；6；0.05 【详解】略 【点睛】 11．用竖式计算，带△的得数保留两位小数。 0.064×5.9＝     13.33÷4.3＝     △0.742÷3.8≈ 1.435÷0.7＝     0.75×10.42＝     △4.92÷1.9≈ 【答案】0.3776；3.1；0.20；   2.05；7.815；2.59 【分析】（1）小数乘法先按整数乘法计算，再看两个因数一共有几位小数，从积的右边起数出几位，点上小数点，如果积的小数位数不够，前面补0；末尾有0的可以去掉。 （2）除数是小数的小数除法，要利用商不变的规律，先把除数变成整数（除数的小数点向右移几位，被除数的小数点也向右移几位，位数不够补0），接着按照整数除法的方法去计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，被除数不够除补0继续除；结果保留两位小数，就要看小数点后第三位小数（千分位上的数），根据“四舍五入”法取舍。 【详解】0.064×5.9＝0.3776            13.33÷4.3＝3.1                 △0.742÷3.8≈0.20                           1.435÷0.7＝2.05               0.75×10.42＝7.815              △4.92÷1.9≈2.59                           12．计算下列各题，能简算的要简算。 5.72－3.12×0.6         0.4×9.67×2.5 98.3×1.5＋1.5×1.7         0.63×101 【答案】3.848；9.67； 150；63.63 【分析】第一题：先计算乘法，再计算减法。 第二题：利用乘法交换律简便计算。 第三题：利用乘法分配律的逆运算简便计算。 第四题：把101化为100＋1，再利用乘法分配律简便计算。 【详解】5.72－3.12×0.6 ＝5.72－1.872 ＝3.848 0.4×9.67×2.5 ＝0.4×2.5×9.67 ＝1×9.67 ＝9.67 98.3×1.5＋1.5×1.7 ＝（98.3＋1.7）×1.5 ＝100×1.5 ＝150 0.63×101 ＝0.63×（100＋1） ＝0.63×100＋0.63×1 ＝63＋0.63 ＝63.63 13．用简便方法计算。 0.99×0.81＋0.99×0.19＋0.99                （4.16＋4.16＋4.16＋4.16）×2.5 【答案】 1.98；41.6 【分析】把最后一个看作，利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 观察括号里的加法，是4个4.16相加，可以改写成乘法形式，再利用乘法结合律，先算。 【详解】 14．一套校服用布3.2米，现有70米布料，至少可以做多少套校服，还剩多少米？ 【答案】21套；2.8米 【分析】求70米布料能做多少套校服，用总布料除以一套校服用布的长度，得到的商是至少可以做多少套校服，余数是剩余长度。 【详解】70÷3.2＝21（套）……2.8（米） 答：至少可以做21套校服，还剩2.8米。 15．一只鸵鸟的身高是2.85米，一只长颈鹿的身高是这只鸵鸟的1.8倍。这只长颈鹿能吃到高度为5米的树顶端的叶子吗？ 【答案】 能 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，求出长颈鹿的身高后与树的高度比较即可。 【详解】（米） 答：这只长颈鹿能吃到高度为5米的树顶端的叶子。 16．妙想的爸爸在某软件上购买了一个1889.4元的电热水器，他选择了分期免息付款，6个月还清。妙想的爸爸平均每月应还多少元？ 【答案】314.9元 【分析】用总钱数除以还款的月数，即可求出平均每月要还的钱。 【详解】1889.4÷6＝314.9（元） 答：平均每月应还314.9元。 17．小华去爬山，上山用了2.2小时，下山用了1.8小时。已知山路全长7.92千米，他往返的平均速度是多少？ 【答案】3.96千米/时 【分析】计算往返平均速度，需要先求出往返的总路程和总时间，再用总路程除以总时间得到结果。 【详解】往返总路程：（千米） 往返总时间：（小时） 往返平均速度：（千米/时） 答：他往返的平均速度是3.96千米/时。 18．张老师周末去超市买了15个棒棒糖，准备奖励给发言积极的学生，这种棒棒糖原价每个0.8元，她扫码支付时优惠了1.8元，实际每个棒棒糖多少元？ 【答案】 0.68元 【分析】先算15个棒棒糖的原价总额，减去优惠金额得到实际总花费，再除以购买数量得到实际单价。 【详解】（元） （元） （元） 答：实际每个棒棒糖0.68元。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $