第一章 二次函数【能力提升卷】2026-2027学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

**基本信息** 浙教版九年级上册第一章二次函数能力提升卷，以10选择+6填空+8解答题（24题）构建“基础巩固-综合应用-探究提升”三阶训练，通过生活情境与图像分析深化概念理解与模型应用，适配单元复习分层需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数概念、图像性质、简单应用|如选择1-5判断函数关系、填空11-13求解析式，夯实概念理解与基本运算| |综合应用|图像与性质综合、实际问题建模|如选择6-8图像分析、解答17-19面积/利润问题，培养数学思维与模型意识| |探究提升|多结论推理、动态问题、跨知识综合|如选择9-10多结论判断、解答23-24平移与交点探究，发展创新意识与理性精神|

第一章 二次函数【能力提升卷】浙教版九年级上册（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 【答案】C 本题考查正比例函数、二次函数的定义。 【详解】 解：动点P速度每秒 1 个单位，运动时间t，则AP=t 正方形APCD周长: y=4AP=4t，符合正比例函数形式，y与t是正比例函数关系。 AB=5，所以PB=5-t。 B面积：S=展开后是关于t的二次函数，S与t是二次函数关系。 所以是正比例函数关系，二次函数关系。 故选：C。 2. 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 【答案】D 本题考查根据长方形周长、面积公式列函数关系式。 长方形周长公式：，面积公式： 【详解】 解：长方形周长为14cm， 所以长＋宽为7cm，一直一边长为xcm，则另一边长为（7-x）cm，所以面积y=x（7-x） 故选：D。 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 4. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴． ∴，故A正确，A选项符合题意； 由图像可知对称轴，， ∴，故B错误，B选项不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C错误，C选项不符合题意； 由图象可知，时，只有一个解，， ∴有两个相等的实数根，故D错误，D选项不符合题意； 故选∶A． 5. 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下．据此判断即可求解． 【详解】解：，， 该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 顶点坐标为， 当时，， ∴图象与轴的交点坐标是 观察四个选项，选项B正确，符合题意． 故选：B． 6. 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据点，点关于直线对称，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∵点，点关于直线对称， ∴； 故选：C． 7. 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把方程变为，此时可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：把方程变为，则二次函数与直线的交点即为方程的解，如图所示： 由图象可知：方程根的情况是有两个不相等的实数根； 故选A． 8. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 9. 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 10. 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，根据图象信息逐个判断即可． 【详解】解：①由图象可得，当时，，故①错误； ②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 故③错误； ④∵抛物线过点， ∴， ∵当时，，即， 当时，， ∴，即， 解得， 故④正确； ⑤∵抛物线与轴交点的横坐标分别为，， ∴，是的两根， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上所述，正确的结论有②④⑤共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 道小题） 11. 【答案】 【分析】直接利用抛物线与x轴的交点的横坐标与相对应的一元二次方程的解的关系可得答案． 【详解】解： 抛物线经过点、两点， 关于x的一元二次方程的解是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握“二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标是关于x的一元二次方程的解”是解本题的关键． 12. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：根据题意得：二次函数经过，（2，20） ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 13. 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 14. 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 15. 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 16. 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知：，对称轴为直线，则有，然后根据顶点坐标公式及二次函数的对称性可进行排除 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，则有， ∴，故①正确； 由顶点坐标在第一象限，可知， ∴，故②错误； 令，则有，即 ∵， ∴， ∴， 代入函数解析式得：，则有，故③正确； ∵点A、B关于对称轴对称，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴；故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题（本大题共 8 道小题） 17. 【答案】(1)； (2)①；②元． 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意可以得到与的函数关系式； （2）①根据（1）中的关系可以得到一元二次方程，解方程并根据自变量的取值范围确定答案即可； ②设花费为元，根据题意得到，利用二次函数的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 由题意可得，， 解得， 即与的函数关系式是； （2）①由题意可得，． 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 即如果花费元，的值为； ②设花费为元，则 ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为， 即最多花费为元． 18. 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 19. 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 （1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 20. 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 21. 【答案】水流喷出的最大高度为2米． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为2米． 22. 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把代入，求得y的值，与6作比较即可． 【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∵， ∴能飞越防御墙． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键． 23. 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为， (2)的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与轴交点等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据当时，可有，可得抛物线与轴交点的坐标；根据点，在抛物线上，且，易知点，关于对称轴对称，即可求得该抛物线的对称轴； （2）将点，代入抛物线解析式，结合可得，进一步解得，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， ∵点，在抛物线上，， ∴点，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即． 24. 【答案】(1) (2)①两点坐标分别为，；②或． 【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案； ②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【能力提升卷】浙教版九年级上册（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 2. 若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3. 长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 4. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 6. 已知在函数上有点，点，则关于的大小判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 7. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 8. 山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 9. 已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 10. 如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共 6 道小题） 11. 抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是______． 12. 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 13. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 14. 已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 15. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有 ．（填番号）． 16. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是___________ 三、解答题（本大题共 8 道小题） 17. 如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围； (2)如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费35元， ①如果花费元，求的值； ②求最多花费； 18. 已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 19. 荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 20. 已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 21. 某公园计划建个音乐喷泉，已知喷水管垂直于地面且水流喷出点距离水平地面1.5米，水流喷出后落地点距离水管3米，建立如图平面直角坐标系，水流喷出点为A，落地点为B，水流高度y（米）与水流距水管的水平距离x（米）的近似满足，求水流的最大高度．    22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，直接写出抛物线与轴交点的坐标及的值； (2)若，求的取值范围． 24. 已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $