专题16 相似高频选择填空题分类训练（12种类型60道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 以12类60道选择填空题系统覆盖相似核心知识，从概念到应用构建“概念-性质-应用-综合”完整逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段等基础概念|5道/类型|概念辨析与计算|概念引入，奠定相似判定基础| |相似性质应用（线段/面积）|5道/类型|性质直接应用|从定性到定量，深化相似性质理解| |动点/综合问题|5道/类型|动态分析与多结论判断|逻辑推理进阶，提升综合解题能力| |位似与实际应用|5道/类型|坐标计算与测高建模|知识迁移，体现数学与现实联系|

专题16 相似高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 成比例线段】 1 【类型2 相似多边形】 1 【类型3 利用相似多边形形状求解】 2 【类型4 黄金分割】 4 【类型5 相似相关线段求解】 5 【类型6 相似相关面积求解】 6 【类型7 相似相关动点问题】 7 【类型8 相似相关综合性问题】 9 【类型9 添加条件判定相似】 11 【类型10 位似】 11 【类型11 利用位似性质求坐标】 13 【类型12 利用相似三角形测高】 14 【类型1 成比例线段】 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 3．下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 4．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度是（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．9 【类型2 相似多边形】 6．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 7．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 8．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． C． D． 9．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　） A．   B．   C．   D．   【类型3 利用相似多边形形状求解】 11．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 12．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 13．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 14．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【类型4 黄金分割】 16．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 17．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 18．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 19．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【类型5 相似相关线段求解】 21．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 24．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 25．如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 【类型6 相似相关面积求解】 26．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 28．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（    ） A．6 B．18 C．32 D．64 29．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 30．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【类型7 相似相关动点问题】 31．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 32．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 33．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 34．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 35．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【类型8 相似相关综合性问题】 36．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 37．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 38．如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 39．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 40．如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型9 添加条件判定相似】 41．如图，，添加一个条件_______使得． 42．如图，在中，在上，要说明，还需添加的条件是___________， 43．如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 44．如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 45．如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 【类型10 位似】 46．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 47．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 48．如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为_______． 49．如图，矩形ABCD与矩形是位似图形，点A为位似中心，已知矩形的周长为24，，则矩形ABCD的面积为_________ 50．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 【类型11 利用位似性质求坐标】 51．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 52．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是__________． 53．如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 54．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 55．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为__． 【类型12 利用相似三角形测高】 56．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 57．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 58．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________． 59．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 60．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 相似高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 成比例线段】 1 【类型2 相似多边形】 3 【类型3 利用相似多边形形状求解】 5 【类型4 黄金分割】 9 【类型5 相似相关线段求解】 13 【类型6 相似相关面积求解】 16 【类型7 相似相关动点问题】 20 【类型8 相似相关综合性问题】 25 【类型9 添加条件判定相似】 34 【类型10 位似】 37 【类型11 利用位似性质求坐标】 40 【类型12 利用相似三角形测高】 46 【类型1 成比例线段】 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3．下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 5．已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度是（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了成比例的线段．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴（负值舍去）， 故选：B． 【类型2 相似多边形】 6．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 7．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 8．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 9．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 10．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形 故选：D． 【类型3 利用相似多边形形状求解】 11．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 12．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 13．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 14．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 15．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形， ， 设，，则， ， 故，即， ∴， ∴， 故选：B 【类型4 黄金分割】 16．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 17．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 19．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 20．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 【类型5 相似相关线段求解】 21．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 22．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 23．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 24．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 25．如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 【类型6 相似相关面积求解】 26．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 27．如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 28．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（    ） A．6 B．18 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∵的面积2， ∴的面积为18， 故选：B． 29．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 30．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 【类型7 相似相关动点问题】 31．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 32．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 33．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 34．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 35．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 【类型8 相似相关综合性问题】 36．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 37．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 38．如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①只要证明是△的中位线即可得出结论； ②根据四边形是正方形，是的平分线可求出即可求出结论； ③是的中位线等已知条件可得出，设正方形的边长为，表示出、即可得出结论； ④由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的性质即可得出结论． ⑤结合④和③即可判断． 【详解】解：①在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为正方形对角线的中点， ， 是的中位线， ，故①正确； 四边形是正方形，是的平分线， ， ， ， 是的中点， ， ， ，故②正确； ③是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ，故③不正确； ④由②知， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， ，即是的中点 ， ， ，， ， ， ， ，故⑤正确． 39．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【答案】A 【分析】依次判断四个结论，①：根据，可证明；②：根据即可证明；③过点作交于点，交于点，先证明是中点，从而是中点，即可证明垂直平分，则；④根据，得到线段的相似关系比，证出，从而． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ①四边形是矩形， ， ， ， ， ，①正确； ② E是边的中点， ， ， ， ， ，②正确； ③， 四边形是平行四边形， ， 是中点， 又， 是中点， 垂直平分， ，③正确 ④， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即，④正确． 40．如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于结论①，四边形是矩形， ， . , ． ，故结论①符合题意； 对于结论②，若平分成立，则有， ， ， ， ， 而根据现有条件无法说明，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵四边形是矩形， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 四边形是矩形， ， ， ． F是的中点， ． 设，则，． 在和中， ， ，即 ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ，故结论④不符合题意． 综上可知，符合题意的结论有①③． 【类型9 添加条件判定相似】 41．如图，，添加一个条件_______使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定推理即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴再加一个条件为：， ∴， 故答案为：． 42．如图，在中，在上，要说明，还需添加的条件是___________， 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形判定定理，由于已经有了公共角，可结合三角形的判定方法添加条件． 【详解】解：当添加的条件为时， ， ． 当添加的条件为时， ， ． 当添加的条件为， ， ． 故答案为：或或． 43．如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：（答案不唯一）． 44．如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 【答案】 【分析】本题考查了选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用来求解． 根据相似三角形的判定求解． 【详解】解：当时，和满足： 为公共角，即， ． 根据两角对应相等的两个三角形相似，成立． 故答案为：． 45．如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据，当时，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 【类型10 位似】 46．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，则点B的横坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了位似计算，熟练掌握位似比是解题的关键．设点B的横坐标是，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标是，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 47．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 48．如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为_______． 【答案】2 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2， 故答案为：2． 49．如图，矩形ABCD与矩形是位似图形，点A为位似中心，已知矩形的周长为24，，则矩形ABCD的面积为_________ 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 设，根据矩形的周长为，表示出，进而分别表示出、，然后根据两个矩形相似，列出比例式求出，进而根据面积公式求出矩形的面积． 【详解】解：设， ∵矩形的周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴，即， 解得：， 经检验，是分式方程的根，且符合题意， ∴，， 则矩形的面积为， 故答案为：． 50．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 【答案】18 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点的坐标分别为 ∴相似比为2， 点的坐标分别为， 的面积为． 故答案为：18． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【类型11 利用位似性质求坐标】 51．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 52．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是__________． 【答案】 或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点． 【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，， ∴，，， （1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，交轴于点， 点即为两个正方形的位似中心， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 当时，即，解得，即点坐标为，， 两个正方形的位似中心的坐标是：，． （2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，，，并延长交于点， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 设所在直线解析式为：，把，代入得： ， 故， 联立直线BH、AG得方程组： ， 解得：， 故， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或． 故答案为：，或． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键． 53．如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质以及点的坐标得出相关线段的长度，根据线段中点的性质得出，然后利用位似图形的性质得出，即可求出坐标． 【详解】解：如图所示，连接， 根据位似图形的性质可得，点在上，点在上， ∵四边形和四边形为矩形，且点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， 由位似图形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 54．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 55．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为__． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过B作轴于点M，过作轴于点N，可得，，得出，设B点横坐标为x，由和是位似比为的位似图形，得到，解得：，即可确定B点横坐标为． 【详解】解：如图，过B作轴于点M，过作轴于点N， ∴， ∴， ∴， 设B点横坐标为x， ∵和是位似比为的位似图形， ∴，解得：， ∴B点横坐标为． 故答案为：． 【类型12 利用相似三角形测高】 56．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 57．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 58．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 59．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭的高度． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得(米)； 故答案为：． 60．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $