2.2-2.3《一元二次方程的解法、一元二次方程的根与系数的关系》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层覆盖一元二次方程解法及根与系数关系，从基础运算到综合应用，梯度清晰，适配新授课巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解法（配方法/公式法/因式分解法）、根的判别式基本应用|17题分方法解方程，强化运算能力| |中档|含参数方程、几何应用（三角形边长）、错误分析|19题参数方程根的证明，发展推理意识| |提升|换元法、十字相乘法、综合证明与应用|22题换元法解方程，体现创新意识与模型观念|

2.2-2.3《一元二次方程的解法、一元二次方程的根与系数的关系》同步练习 一、选择题 1.方程x2=3x的解是() A.七=x3=3 B.x=x3=0 C.￥=3，x2=0 D.=-3,x2=0 2.一元二次方程x-2x-5=0根的情况为( A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 3.已知，x是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x的值是（) A.0 B.2 C.-2 D.4 4.一元二次方程2x2-8x+1=0配方后可变形为() A.20-2y=-7g.20-2=7 C.2(x-4}2=7 D.2(x+4}=-9 5.已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为-1,2，则这个方程为（). A.（x+1x-2)=0 B.-10x-2)=0 C.(x+1(x+2)=0 D.(x-10(x+2)=0 6.k为实数，则关于x的一元二次方程x2-(k+)x+k=0的根的情况是() A.必有实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.不能确定根的情况 7.已知一元二次方程x2-4x+m=1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为() A.m<5 B.m<4 C.m>-4 D.m>-5 8.已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周 长是( A.26 B.16 C.28 D.16或26 9.若，是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则x-,+的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 10.甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根为-4和-5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9， 则原来的方程是( ) A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 1,已知关于的一元二次方程a+b)r+2r+(a-b)=0,其中0、6、°分别为41C三边的长. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状是() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 12.已知m,”是方程2+2025x+7=0的两个根，则+2024m+6r+2026m+8)=（) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 二、填空题。 1+1 13.已知一元二次方程x2+2x-12=0的两根为x、,则x 14.关于x的一元二次方程m-)x-3rm=0 两个不相等的实数根，则m的取值范围 la b=ad-bc 15.将4个数a、b、c、d排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义cd ,上述 1+x1+x=0 记号就叫做二阶行列式，若1-x1+x,则x=· 16.已知x2=2y+5,y2=2x+5,则x+y+y= 三、解答题。 17.解方程： (1)x2-2x-5=0(用配方法)： (2)3x2+2x=4(用公式法)； (3)x2-4x+3=0(用因式分解法)； (4)x2-4x+4=5(用适当的方法)· 18.小李解方程2(x-2)=(-2 的过程如下： 解：方程的两边同除以：-2 2),得2=-2,解得x=4 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程. 19.已知关于的一元二次方程-(m+3)r+m+2=0 (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值. 20.已知关于x的一元二次方程mr-(2m-3)x+m-3=0 (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 21.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例：已知 x可取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围. 2x2-12x+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6x+32-32）+14 解： =2[(x-3}-9+14=2(x-3)}-18+14=2(x-3}-4, :无论x取何实数，总有x-3≥0 .2(x-32-4≥-4 即无论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数. 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式-3x2+12x+11的最值情况. 22.为解方程(：-刂-5(r-小+4=0，我们可以将-1视为一个整体，然后可设2-1=y,则 (-=少，原方程可化为-5+4=0，解得%1，为=4 当y=1时，x2-1=1,则x2=2,x=±V2; 当y=4时，x2-1=4,则x2=5,.x=V5: “原方程的根为：=5，=55=5名=5 根据以上材料解方程：x-x2-6=0. 23.已知关于的一元二次方程mr-(m-小x+2= 有实数根，且两根之和为整数，求整数m的 值. 24.根据多项式乘法可知+P+9)=r+(D+9)r+四，从而我们可得利用十字相乘法进行 因武分解的公武r+P+g)r+p四=(+pr+q）,比如： x2-5x-6=x2+(-6+1)x+(-6×1)=(x-6)(x+1) 据此回答下列问题： (1)将二次三项式x2+2x-3分解因式； (2)解一元二次方程x2-4x+3=0; (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如： 3x2+x-2=0，方程左边分解为 (x+1)3x-2)=0 ,从而可以快速求出方程的解. 请你利用此方法尝试解方程5x2+7x-6=0. 25.在复习一元二次方程r+r+c=0(口≠0).】 时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式△=b2-4ac; -b±V公 知识点二：求根公式=2a: b C 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为x,,则 1+X2=-一，Xx2= a 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根为x,x, ①计算+=，x=_; ②求-1-的值： 1+1=k-1 (3)若一元二次方程x2-2x+k+1=0的两个实数根为x,七，且x,直接写出k的值. 参考答案 一、选择题 1.C 解：x2=3x, x2-3x=0 x(x-3)=0 x=0或x-3=0, 解得x=3,=0 2.C 解：在-元二次方程x2-2x-5=0中，a=1,b=-2,c=-5, “这个方程根的判别式△=-4c=（-2-4×1x(-5)=24>0 .这个方程有两个不相等的实数根 3.A 解：一元二次方程x2-2x=0中，a=1,c=0, 由根与系数的关系得，-=0 0 4.B 解：2x2-8x+1=0, 2x2-8x=-1 2(x2-4x）=-1 2(x2-4x+4)=-1+8 2(x-2)2=7 5.A A:(c+10x-2)=0 两个根分别为12，符合题意： B:(x-0x-2)=0 两个根分别为2，不符合题意， C:(x+lx+2)=0 两个根分别为↓-2，不符合题意， D.(《-1x+2)-0,两个根分别为1，-之，不符合题意。 6.A 解：“一元二次方程为 x2-(k+1)x+k=0 ÷a=1b=-(k+l)c=k ∴△=b2-4ac=[-(k+1)]-4x1×k=k2+2k+1-4k=k2-2k+1=(k-12 k为实数， .(k-1)2≥0 ，即4≥0 六方程必有实根。 7.A 解：将原方程整理为一般形式，得x2-4x+m-1=0, 方程有两个不相等的实数根， 4>0,即-4-4x1x(m-1)>0 ∴.16-4m+4>0, .20-4m>0, ∴.m<5. 8.A 解：解方程x2-10x-24=0, 因式分解得-12x+2)=0 解得x=12,为=-2， ,三角形边长为正数， 舍去负根x=-2,得第三边长为12， .6+8>12,符合三角形三边关系， .∴.三角形周长为6+8+12=26. 9.C 解：，是一元二次方程x2-2x-2026=0的实数根， .x2-2x-2026=0 .=2x+2026. ·X-x+=2x+2026-x+为2=(x+5)+2026 。 ,,是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根， .+为2=2 .-x+52=2+2026=2028 10.B 解：设原一元二次方程为x2+bx+c=0, ,甲写错常数项，一次项系数正确，两根为-4和-5， 根据根与系数的关系， -b=-4+(-5)=-9 .b=9, ,乙写错一次项系数，常数项正确，两根为2和9， ∴.根据根与系数的关系，c=2×9=18, 原方程为x2+9x+18=0. 11.C 解：“关于"的一元二次方程a+b)r+2ar+(a-b)=0 有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式△=(2c-4(a+ba-b)=4c2-4(a2-b)=0 .4c2-4a2+4b2=0, b2+c2=a2, 又.b与c不一定相等， ∴.△ABC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形. 12.A 解：：m,n是方程x2+2025x+7=0的两个根， .由根的定义得m2+2025m+7=0,n2+2025n+7=0, 由根与系数的关系得m+n=-2025,mn=7, m2+2024m+6=(m2+2025m+7）-m-1=-m-1 化简第一个因式： n2+2026n+8=(n2+2025n+7+n+1=n+1 化简第二个因式： :原式=（←m-n+l)=-mm-m-n-1=-mm-(m+m）-1 代入m+m=-2025,mn=7得：原式-7-(-2025)-1=2017. 二、填空题。 13.6 解：一元二次方程x2+2x-12=0的两根为x、x, :*5 2=2,=-12 1 1+1=x+五=-2=1 x3xx3-126 14.m≠1 解：方程为一元二次方程，因此二次项系数m-1≠0，解得m≠1， 判别式△=-4ac=(-3)°-4x(m-刂x(-ml=9+4m(m-)=4m2-4n+9 对于二次式4m2-4m+9,芙判别式为4-4x4x9=16-144=-128<0,且二次项系数4>0开口 向上，因此4m2-4m+9>0恒成立， 当m≠1时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：m≠1. 15.0或-1 1+x1+x=0 解：1-x1+x, (1+x)(1+x)-(1+x)1-x)=0 :1+2x+2-0-x)=0 .1+2x+x2-1+x2=0, .2x2+2x=0, :2x(x+1)=0 解得x=0或x=-1. 16.-3或9±4v6 解：已知=2y+5,广=2x+5,将两式作差得 x2-y2=2y+5-(2x+5) 分解因式，整理得：-x+)=-2(x-) 移项、提取公因式得：(-(x+y+2)=0 分两种情况讨论： 情况1：当x-y=0,即x=y时，把x=y代入x=2y+5得：x2-2x-5=0, 解得x=1±V6, ..x=y, .x+y+y=2x+x2, 又，x2=2x+5, ∴.r+y+y=2x+2x+5=4x+5 将x=1±6代入得：x+y+w=4±6)+5=9±46 情况2：当x+y+2=0,即x+y=-2时，将两个原等式相加得：2+y=2x+2y+10, 即+y=26+)+10 +y=(x+-2wy 把x+y=-2代入得：（-2-2wy=2×(-2)+10 整理得4-2y=6,解得y=-1, x+y+=-2+←）=3 综上，x+y+y的值为-3或9±4V6. 三、解答题. 17.（1)解：x2-2x-5=0 x2-2x=5 x2-2x+1=5+1 (x-1)2=6 x-1=±√6 解得=1+6.方=1-V6 (2)解：3xr2+2x=4 3x2+2x-4=0 此时a=3,b=2,c=-4, ∴.△=b2-4ac =22-4×3×(-4) =52>0 方程有两个不相等的实数根， 生珍22店 2a 6, :*馆 3， 5=1-g 3； (3)解：x2-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 ∴.x-1=0或x-3=0, 解得x=1,x=3； (4)解：x2-4x+4=5 (x-2)}=5 x-2=±V5 解得5=2+55=2-V5 18.两边同除以-2》时，未考虑到-2)可能为0. 正确解答：2(x-2)=(x-2 移项，得2(x-2)-(x-2=0 提取公图式，得-22-x+2)=0,即c-24-)=0, x-2=04-x=0 或 解得=2，x2=4 19.(①证明：在一元二次方程-(m+3别x+m+2=0中，a=1,=-(m+3）,c=m+2, △=b2-4ac=[-(m+3)]-4×1×(m+2) =m2+6m+9-4m-8 =m2+2m+1 =(m+1)2 :无论m取何值，(m+少≥0，即△≥0，无论m取何值，方程总有实数根； (2)解：方程的一个实数根是3， 片3-30m+3)+m+2=0 解得：m=1, ∴.一元二次方程x2-4x+3=0, :x-x-3)=0 解得：=1，x2=3 .方程的另一个实数根为1. 20.(1)证明：，该方程是关于x的一元二次方程， ∴.m≠0 △=(2m-3)-4m(m-3) =4m2-12m+9-4m2+12m =9>0 该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： (2m-3)±V9(2m-3)±3 由求根公式得= 2m 2m, 、2m一3+3=1x2=。兰=13 2m 2m m .m为整数，且方程的两个实数根都为正整数， 小会南正炎数 所为整数，且1-30 3 m m为整数， ∴.m的可能取值为±1，±3 当m=-1时，名=4，两根为1和4，均为正整数： 当m=-3时，七=2，两根为1和2，均为正整数； 当m=1时，x=-2，不符合要求； 当m=3时，为=0，不符合要求 该方程的两个实数根可以都为正整数 21.解：-3x2+12x+11 =-3(x2-4x)+11 =-3(x2-4x+4-4)+11 =-3(x-2)}2+23 “无论x取何实数，总有：-2)≥0， ∴.-3(x-2)≤0 -3(x-2)2+23≤23 .无论x取何实数，二次三项式-3x2+12x+11有最大值23. 22.解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0, :(a-3a+2)=0 解得a=3或a=-2, .a≥0， ∴.a=-2舍去， ∴.a=3, .x2=3, :5=5=-5 23.解：“方程mr-(m-)x+2= 是关于x的一元二次方程， 小二次项系数不为°，即m0 0 设关于的一元二次方程mr-(m-x+2= 的实数根分别为， 则5+x=-m-)1-1 m m· “方程的两根之和为整数， “整数m=山】 当m=1时，方程为x2+2=0,判别式△=0-4×1×2<0，无实数根，故m=1舍去； 当m=-时，方程为r+2x+2=0,判别式 =22-4×(-1)×2>0 ,有实数根 .∴.m=-1 24.(1)解： x2+2x-3=(x+3)(x-1) (2)解：x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 .x-1=0x-3=0 或 .x=1x2=3 (3)解：5x2+7x-6=0, (5x-3)(x+2)=0 .5x-3=0x+2=0 或 3 x=5,为2=-2 25.（1)解：一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根， 判别式4=(-2-4x1xk>0 解得：k<1, ∴k k<1 的取值范围为； (2)解：①根据题意得：方程x2-2x-1=0, 由根与系数的关系行：5+=子2，= 1 ②4-0s-) =xx2-x-x2+1 =xx3-(x+x2)+1 =-1-2+1 =-2 (3)解：方程x2-2x+k+1=0有两个实数根， ·判别式△=(-2y-4(k+1)20 解得：k≤0， 由根与系数的关系得：+%=子-2、5 1 _k+1=k+1≠0， 1 k≠-1 1+1=5+X=k-1 x x2 xx2 k-1=,2 +1, 整理得： (k+1)k-1)=2 解得：k=5或k=-5, :k≤0 .k=-V3