专题13 二次函数高频选择填空题分类训练（12种类型60道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数12类高频选择填空，60道题从概念到应用系统覆盖，强化图像性质与实际问题建模，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义/参数|10道|概念辨析与参数求解|从二次函数定义出发，夯实概念本质| |图像性质|25道|增减性/平移/顶点/对称轴|围绕图像核心要素，构建性质应用链条| |图像应用|15道|近似根/不等式/动态几何|体现数形结合，发展几何直观与推理意识| |综合与实际|10道|结论判断/实际问题建模|综合应用知识解决复杂问题，强化应用意识|

专题13 二次函数高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 二次函数定义】 1 【类型2二次函数的增减性】 1 【类型3 二次函数的平移】 2 【类型4 二次函数顶点坐标】 3 【类型5 利用二次函数图像求近似根】 3 【类型6利用二次函数图像解不等式】 4 【类型7 动态几何与二次函数图像】 6 【类型8 二次函数相关综合性问题】 8 【类型9 利用二次函数定义求参数】 10 【类型10 抛物线的对称轴】 10 【类型11 二次函数与X轴交点】 10 【类型12 二次函数相关实际问题】 11 【类型1 二次函数定义】 1．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，其中开口向下的二次函数是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【类型2二次函数的增减性】 6．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 7．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 10．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【类型3 二次函数的平移】 11．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 12．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 13．将抛物线的图象向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．将二次函数的图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 15．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【类型4 二次函数顶点坐标】 16．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 17．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 18．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 19．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是 C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是 20．抛物线顶点坐标是（） A． B． C． D． 【类型5 利用二次函数图像求近似根】 21．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 22．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 23．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 25．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【类型6利用二次函数图像解不等式】 26．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 27．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 29．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 30．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【类型7 动态几何与二次函数图像】 31．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 32．如图，在钝角中（为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点M，P分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为（    ） A． B． C． D． 33．如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（    ） A． B． C．D． 34．如图，正方形的边长为6，动点M沿的路径移动，过点M作交正方形的一边于点N，则的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（　　） A． B． C． D． 35．如图，中，，，点P和点Q分别从点B和点C同时出发，沿射线向左运动，且速度相同，过点P作，垂足为H，连接，设点P运动的距离为，的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图像大致为（    ） A．B． C． D． 【类型8 二次函数相关综合性问题】 36．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 37．如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 40．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型9 利用二次函数定义求参数】 41．若关于x的函数 是二次函数，则m的值为________． 42．函数的图象是抛物线，则___________． 43．若是关于的二次函数，则的值为______． 44．已知是关于的二次函数，______． 45．若函数是二次函数，则______． 【类型10 抛物线的对称轴】 46．抛物线的对称轴是______． 47．抛物线的对称轴是___________ ． 48．抛物线的对称轴是直线_______． 49．抛物线的对称轴是直线______． 50．已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 【类型11 二次函数与X轴交点】 51．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 52．若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 53．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 54．二次函数与轴交于，则的值为______． 55．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【类型12 二次函数相关实际问题】 56．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 57．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 58．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 59．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 60．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二次函数高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 二次函数定义】 1 【类型2二次函数的增减性】 3 【类型3 二次函数的平移】 5 【类型4 二次函数顶点坐标】 7 【类型5 利用二次函数图像求近似根】 8 【类型6利用二次函数图像解不等式】 12 【类型7 动态几何与二次函数图像】 14 【类型8 二次函数相关综合性问题】 21 【类型9 利用二次函数定义求参数】 26 【类型10 抛物线的对称轴】 28 【类型11 二次函数与X轴交点】 29 【类型12 二次函数相关实际问题】 31 【类型1 二次函数定义】 1．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 2．下列函数中，其中开口向下的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断二次函数的开口方向，根据抛物线的开口方向和二次项系数的关系逐一判断即可，掌握抛物线的开口方向和二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：、由可知，， ∴开口向上，不符合题意； 、由可知，， ∴开口向下，符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 3．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 5．下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 根据二次函数的定义判断，形如的函数为二次函数即可判定． 【详解】解：A．是分式函数，分母含，属于反比例函数，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意； B．是形如一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； C．符合的形式，是二次函数，故该选项符合题意； D．化简后为，属于一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【类型2二次函数的增减性】 6．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 8．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 9．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 10．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 【类型3 二次函数的平移】 11．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 12．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减．根据函数图象向右平移减，向下平移减平移规律，可得答案． 【详解】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是， 故选：D． 13．将抛物线的图象向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移法则解答即可，掌握二次函数图象的平移法则是解题的关键． 【详解】解：将抛物线的图象向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 14．将二次函数的图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的平移规律．熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键． 二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中“左加右减”是针对自变量而言，向左平移时，自变量需要加上平移的单位；向右平移时，自变量需要减去平移的单位；据此进行即可得到新的函数表达式． 【详解】解：将向左平移1个单位后得到 平移后所得的图像的函数表达式为：． 故选:B． 15．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移5个单位长度可得到抛物线． 【类型4 二次函数顶点坐标】 16．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 17．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求法，根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接求解即可． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为； 故选：D． 18．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 19．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是 C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可． 【详解】解：∵对于抛物线，， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为． 故选：D． 20．抛物线顶点坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：由的图象与性质可知： 抛物线顶点坐标是：， 故选：． 【类型5 利用二次函数图像求近似根】 21．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 22．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 23．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 24．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 25．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 【类型6利用二次函数图像解不等式】 26．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 27．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 28．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 29．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 30．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 【类型7 动态几何与二次函数图像】 31．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，设为x，则，根据得出二次函数表达式，根据二次函数性质得出结论． 【详解】解：∵正方形的四边相等，四个角都是直角，且， ， ∴． 设为x，则， 根据勾股定理，得 即（）， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线的抛物线， 故选：B． 32．如图，在钝角中（为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点M，P分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，二次函数的图象，解直角三角形等知识，过点A作于H，先在中，利用正弦和余弦定义求出，，然后在中，利用勾股定理求出，然后证明，，可求出，，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作于H， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式的函数图象表示为开口向下的抛物线，顶点坐标为 故选：A． 33．如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，抛物线的解析式及其图像，分割法计算面积，分类思想，图像信息的获取与处理，利用分类思想，表示不同阶段的图形面积，再画出大致图像即可． 【详解】解：①当时，∵为等腰直角三角形，，正方形的边长为1， ∴ ∵设的长为x, ∴； ②当时， ∵设的长为x, ∴,, ∵, ∴ ； ③当时，根据题意，得， ， ∴ ． ∴．观察图像，知B项正确， 故选：B． 34．如图，正方形的边长为6，动点M沿的路径移动，过点M作交正方形的一边于点N，则的面积y与点M运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点M在上时，根据三角形的面积公式可得y与x的关系式；当点M在上时，根据表示出y与x的关系式，最后根据函数解析式确定图像即可． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， 当点M在上时，即，，函数图像以y为对称轴，开口向上； 如图：点M在上时，即，则， ∴ ∴，函数图像以为对称轴，开口向下． 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像问题，根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解答本题的关键． 35．如图，中，，，点P和点Q分别从点B和点C同时出发，沿射线向左运动，且速度相同，过点P作，垂足为H，连接，设点P运动的距离为，的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点H作于点D，根据题意可得是等边三角形，从而得到，，然后根据直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得S与x之间的函数关系式，即可求解． 【详解】解：如图，过点H作于点D， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S与x之间的函数关系的图像为抛物线的一部分，且开口向上． 故选：A． 【类型8 二次函数相关综合性问题】 36．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 37．如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 38．如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 39．如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 40．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【类型9 利用二次函数定义求参数】 41．若关于x的函数 是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，，则． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 42．函数的图象是抛物线，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 43．若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 44．已知是关于的二次函数，______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键，根据二次函数的定义得到，且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得：， 故答案为：1． 45．若函数是二次函数，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数，其中a，b，c为常数”，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， ∴或，且 ∴． 故答案为：3． 【类型10 抛物线的对称轴】 46．抛物线的对称轴是______． 【答案】y轴 【分析】根据抛物线的性质：，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，即可得的对称轴． 【详解】解：根据抛物线的性质得：抛物线的对称轴是轴． 47．抛物线的对称轴是___________ ． 【答案】直线 【分析】根据二次函数顶点式的性质确定抛物线的对称轴即可. 【详解】解：∵对于二次函数的顶点式，其对称轴为直线， ∴抛物线对称轴是直线. 48．抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 49．抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．已知抛物线方程为顶点式，可直接得出对称轴． 【详解】解：抛物线是顶点式形式，其中，，， 因此对称轴是直线． 故答案为． 50．已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是二次函数性质的熟练掌握．根据抛物线顶点式，对称轴为，结合给定条件求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 由题意得，故． 故答案为3． 【类型11 二次函数与X轴交点】 51．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 52．若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 53．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】由进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ， 解得， 取． 54．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 55．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【答案】1 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 【类型12 二次函数相关实际问题】 56．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 57．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 58．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 59．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 60．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $