专题16 反比例函数相关存在性问题分类训练（6种类型48道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦反比例函数存在性问题，按6类几何情境系统分类，以题载法构建从代数表达到几何论证的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊三角形|8道|直角/等腰三角形存在性判断|函数表达式求解→坐标几何化→三角形性质应用| |特殊四边形|8道|平行四边形/菱形等存在性|图形性质转化→坐标关系建立→分类讨论验证| |角相关|8道|角度相等/半直角等条件探究|角的代数表示→三角函数应用→方程思想求解| |面积相关|8道|面积等量/倍数关系存在性|面积公式转化→坐标参数化→函数关系构建| |最值问题|8道|周长/面积最小值探究|对称变换→几何模型应用→函数最值求解| |定值问题|8道|乘积/和为定值证明|参数表示→代数化简→不变量提炼|

专题16 反比例函数相关存在性问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 存在性特殊三角形】 1 【类型2 存在性特殊四边形】 21 【类型3 存在性角相关】 41 【类型4 存在性面积相关】 64 【类型5 存在性最值问题】 80 【类型6 存在性定值问题】 99 【类型1 存在性特殊三角形】 1．如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或； (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设直线交轴于点， ∵， ∴当时，，时，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 综上：点Q的坐标为或． 3．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 4．如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是线段上一点，若，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，，，或 【分析】（1）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，根据待定系数法的求解方法即可求得答案． （2）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，可求得，由可知点的横坐标为． （3）本题主要考查一次函数和反比例函数图象和性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理，分三种情况讨论：当点为等腰三角形的顶角顶点时；当点为等腰三角形的顶角顶点时；当点为等腰三角形的顶角顶点时． 【详解】（1）将，代入，得 解得 ，． 所以一次函数的表达式为． 将代入中，得 ． 解得 ． 所以点的坐标为． 因为反比例函数的图象过点，得 ． 解得 ． 所以反比例函数的表达式为． （2）根据题意，得 ． 则 ． 可得 ． 由可知点的横坐标为． 将代入中，得 ． 所以点的坐标为． （3）设点的坐标为． 根据题意可得． ①如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则点的坐标为或． ②如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则 ． 解得 (舍去)，． 所以，点的坐标为． ③如图所示． 当点为等腰三角形的顶角顶点时，，则 ． 解得 ． 所以，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为，，或． 5．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积； （3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； （3）存在，设点， ∵，， ∴， ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 6．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点 (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接、，求三角形的面积 (3)连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是． (2)三角形的面积是4． (3)所有符合条件的点Q的坐标是或或． 【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入，能求出一次函数的解析式； （2）求出与x轴的交点坐标，求出和的面积即可； （3）符合条件的有3个①，②，③，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：，   ∴， 答：反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是． （2）如图，设交x轴于C， 由，当时，， ∴， ， ∴的面积是， 答：三角形的面积是4． （3）设，而，， ∴，，， 如图，为等腰三角形， 当时，则， ∴（负根舍去） Q的坐标是； 当时，则， 解得：（舍去） Q的坐标是； 当时，则， 解得：， Q的坐标是； 答：在x轴的正半轴上存在点Q，使是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是或或． 【点睛】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，注意分类讨论思想的运用． 7．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接． (1)求的值与点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，进而求得的值，根据点在反比例函数图象上，将的横坐标代入解析式即可求解； （2）设，根据勾股定理求得的长，根据等腰三角形的定义，分类讨论即可求解； （3）根据是轴上的一点，设，则，，，根据勾股定理建立方程，分类列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点，的横坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在，设， ∵，， ∴，，， 设直线的解析式为，则， ， 解得， ∴， ①当时，， 解得：， ∴， ②当时，， 此方程无解， ③当时，， 解得或， ∵线的解析式为，当时，， ∴,在直线上， 综上所述，或， （3）是轴上的一点，设，则，，， ①当为直角顶点时，， 解得：，则， ②当为直角顶点时，， 解得：，则 ③当为直角顶点时，， 此方程无解， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理求两点距离，等腰三角形的定义，掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC=2，AB=，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称． （1）当OB=2时，求∠ACB度数及点D的坐标； （2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； （3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P．问： ①连接PA，AA，则∠AAP= °； ②在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60°；（2）3（3）①30②存在；， 【分析】（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题； （2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），由题意CE＝1．DE＝，可得D（3＋a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a＝（3＋a），求出a即可； （3）①如图，设四边形ABCD向右平移m个单位，则P（3，t），AA1∥x轴，则A1（3＋m，2），D1（6＋m，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3t＝（6＋m），解得t＝m＋2，则PA＝m，再利用特殊角的三角函数值得到∠PA1A＝30°； ②分两种情形：如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．如图3中，当∠PDA1＝90°时．根据三角函数的性质及相似三角形的判定与性质分别求解； 【详解】解：（1）如图1，作DE⊥x轴于E． ∵∠ABC=90° ∴tan∠ACB= ∴∠ACB=60° 根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠CDE=90°﹣60°=30°， ∴CE=1，DE=， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴点D坐标为（5，）． （2）设OB=a，则点A的坐标（a，2）， 由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，）， ∵点A、D在同一反比例函数图象上， ∴2a=（3+a）， ∴a=3， ∴OB=3． （3）①如图，∵OB＝3， ∴A（3，2），D（6，）， 设四边形ABCD向右平移m个单位，P（3，t），AA1∥x轴，则A1（3＋m，2），D1（6＋m，）， ∵点P和点D1都在反比例函数y＝的图象上， ∴3t＝（6＋m），解得t＝m＋2， ∴PA＝m， 在Rt△PAA1中，tan∠PA1A＝， ∴∠PA1A＝30°， 故答案为：30°； ②存在．如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°． 在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2， ∴AA1＝， 在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°， ∴PA＝=， ∴PB＝AP+AB=+=， 由（2）可知P（3，）， ∴k＝3×=10． ②如图3中，当∠PDA1＝90°时．作DM⊥AB于M，A1N⊥MD交MD的延长线于N． ∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1， ∴． ∴， ∵∠AKD＝∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1， ∴∠KPA1＝∠KAD＝30° ∴PD＝A1D， ∵四边形AMNA1是矩形， ∴A1N＝AM＝， ∵△PDM∽△DA1N， ∴PM＝DN，设DN＝m，则PM＝m， ∴P（3，＋m），D1（9＋m，）， ∵P，D1在同一反比例函数图象上， ∴3（＋m）＝（9＋m）， 解得m＝3， ∴P（3，4）， ∴k＝3×4=12． 综上， k=10或12． 【类型2 存在性特殊四边形】 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求、的长． (2)若点为轴正半轴上的点，且，求经过、两点的直线解析式及经过点的反比例函数的解析式． (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以、、、为顶点且、为邻边的四边形为菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或 【分析】（1）根据题意解一元二次方程即可； （2）根据题意，设点，根据求得点，进而根据平行四边形的性质求得点的坐标，从而求得直线的解析式；根据在反比例函数图象上求得反比例函数的解析式； （3）根据且，可得平分，分两种情况考虑：①、是邻边，点在射线上时，②、是邻边，点在射线上时，进而根据菱形的性质求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵、的长是关于的一元二次方程的两个根，且， ∴解一元二次方程得，，， ∴，； （2）解：设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设过点的反比例函数的解析式为：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：依题意得，， ∵， ∴平分， ①、是邻边，点在射线上时，， ∴点与重合， 即， ②、是邻边，点在射线上时，在射线上，且垂直平分， ∵，，， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出关于的不等式的解集； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标为，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，；在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点的坐标为，通过证明得到，，进而列出关于的方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入中，得， ∴点的坐标为， 将，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 13．如图，在坐标平面内，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的坐标为，点B的横坐标为6． (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点C的坐标为或 【分析】（1）把点代入求出反比例函数的解析式，进而可知，把点、代入求解即可； （2）设点C的坐标为，根据勾股定理得到，，，根据矩形的性质可知或，分别根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， 解得． ∴反比例函数的解析式为； 当时，， ∴， 把点、代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：存在． 设点C的坐标为． 由、得： ； ； ； 若以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，且为边，则或． ①当时，，则， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，则， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数表达式中即可求解； （2）求出平移后的一次函数表达式，联立反比例函数表达式，得到一元二次方程，根据求解即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为：． 将点的坐标代入，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数向右平移个单位后的表达式为：， 联立， 则， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点， ， 解得或． 当时，，不经过第二象限，舍去． ∴． （3）解：当时，． 联立，解得或， ∴． 如图，点， 则直线的解析式为，， ． 设点， 则直线的解析式为，， ． ． ∴与直线垂直的直线为直线． 当为边时， 过点作的垂线，交直线于点， 由上可得直线的表达式为：， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 过点作的垂线，交直线于点， 同理可得，直线的表达式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为：． 当为对角线时， 则， 设点， ， ， 解得或， ∴点的坐标为：或． 综上所述，点的坐标为：或或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，求得，可得，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标 （2）由面积比，结合共底三角形面积比等于高之比，得点，进而求出点C横坐标，由此求出直线解析式，可得点坐标，再根据计算面积即可； （3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点坐标，再根据平移确定点N坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；，， ∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点， ∴点坐标为， ②当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；， ∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点， ∴点坐标为， ③当时，， ， 整理得： 解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【点睛】解（3）的关键是根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求解． 16．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象交于点．过点作轴于点，且． (1)求点的坐标及反比例函数关系式； (2)在反比例函数图象上，是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，菱形的性质，两点间的距离公式，熟知待定系数法求函数解析式和菱形的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，根据三线合一定理可得点B的坐标，进而可得点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点C的坐标，可证明，则一定是以、、、四点为顶点的菱形的两条边，据此根据菱形对角线互相垂直且平分求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点P的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， 把点P的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形，理由如下： 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴一定是以、、、四点为顶点的菱形的两条边， ∴与互相垂直平分，即点C到的距离等于点D到的距离， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴点C到的距离为4， ∴点D到的距离为4， ∴点D的坐标为，即， ∴存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形． 【类型3 存在性角相关】 17．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，，设，且，根据平移性质可得，即可求得答案； （3）在轴上存在点，使得，分两种情况：当点D在轴正半轴上时，在轴负半轴上时，分别求得点D的坐标即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， ∴， ∵反比例函数经过点， 则， 解得：； （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵为线段上的点， 设，且， 将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴， 点恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， ∴； （3）存在，理由如下， 当点在轴正半轴时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点 当点在轴负半轴上时， 如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合问题，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平移的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于，两点．            (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)将直线沿轴向下平移，使得新直线经过点，且与轴相交于点，点是轴上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及到了三角形面积公式，等腰三角形的判定即性质等知识点，熟悉掌握一次函数与反比例函数图象点的特征是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）利用三角形面积公式列式运算即可； （3）根据平移的特征求出的函数解析式，从而得到的坐标，即可求出的长，再利用等腰三角形的性质分情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得：，解得：， ∴反比例函数的表达式为：； 把代入可得：，解得：， ∴， 把，分别代入可得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：把代入可得：，即， 把代入可得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当点在点上面时，，即；当点在点下面时，，即； （3）解：设一次函数向下平移了个单位，即， 把代入可得：，解得：， ∴， 把代入可得：，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点在点左边时，，即；当点在点右边时，，即． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； (3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等角对等边和勾股定理等知识． （1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值，即求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设，根据列方程求解； （3）分点Q在x轴的负半轴上和点Q在x轴的正半轴上两种情况求解即可． 【详解】（1）把代入中得：， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）设， 把代入得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ （3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，    ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作    ∴ ∴． 综上可知，点的坐标或． 20．一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，过点作反比例函数，图象与直线在第三象限相交于点，连接、． (1)求出，的值； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)在轴上是否存在点．使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，进而求出值即可； （2）分割法求出的面积即可； （3）分点在轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴的面积； （3）①当点在轴的正半轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵ ∴； ②当点在轴的负半轴上时，设交轴与点， ∵， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴或． 21．如图1，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在双曲线上是否存在一点，满足，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作交反比例函数的图象于点，点为反比例函数的图象上一点，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点D坐标为或 (3)N 【分析】（1）点代入，点代入，即可求解； （2）由一次函数解析式得出，，设点坐标为，根据，建立方程，解方程即可求解； （3）由，，三点的坐标，可得点C为线段的中点，延长交的延长线于点H，连接，根据等角对等边得到，再由等腰三角形三线合一的性质得出，然后证明，可得，从而得到点H的坐标，然后运用待定系数法即可求出直线的解析式，解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：点代入， 解得 点代入，解得 所以 （2）存在，理由如下， 如图，过C作轴于点E，过D作轴于点F， 则， ∴， 对于，令，则， 解得， 令，则， ，， 设点坐标为 ， 解得或负值舍去 点坐标为，或， （3）解：∵，， ∴点C为线段的中点，， ∴， ∴， 如图，延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，三角形的面积，坐标轴上点的坐标特征，有一定难度．正确作出辅助线是解题的关键． 22．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2）解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，   ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，   ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，   三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)当与的面积相等时，求点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或； (3)存在，，． 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于，两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标； （2）首先依据与的面积相等，推导出；过点作轴，交于，求得，进而得到的解析式为，与联立解答即可得解； （3）如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，证明，根据正切的定义可得，可得的解析式为：，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； （2）解：如图1， 当与的面积相等时，则； 过点作轴，交于， ， 的解析式为：， 当时，， ， ； 的解析式为：， 联立得：①或②， 解①得：或（不合题意，舍去）； 解②得：或（不合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或； （3）解：存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且；理由如下： 如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于， 在中，当时，， ， ， ，， 四边形是“垂等四边形”， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得：， ， 的解析式为：， ， 解得：或（舍）， ； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 也是等腰直角三角形， ， ， 同理得：的解析式为：， 设， ， ， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键． 24．如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答； （2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可； （3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和中可得： ，，解得： ∴，． （2）解：设，则， ∴， ∵四边形的面积等于24， ∴,即， 整理得：，解得： 检验：是原方程的解， ∵， ∴，则． ∴． （3）解：由平移可得：, ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去） 经检验是方程组的解， ∴点 ∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 由 (2)可得：， ∴， ∵ ， ∴， 如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M， ∵， ∴, ∴ N为的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴； 如图，当点M位于外部时，作于，连接， ∵， ∴, ∵， ∴关于对称，， 设直线的解析式为:, 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则的中点在直线上， ∴在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，整理得：，解得:， ∴或， 经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴． 综上所述，M的坐标为或 ． 【类型4 存在性面积相关】 25．如图，已知边长为4的正方形中，轴，垂足为点E，轴，垂足为点F，线段，交于点G，与x轴交于点H，点A在双曲线上，且A点的横坐标为1． (1)请直接出B，C两点的坐标； (2)求出的长； (3)连接，在双曲线上任取一点M，连接，，是否存在这样的点M，使的面积等于8，若存在，请直接写出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标为或或或 【分析】（1）先求点A（1，2），根据正方形性质可求，，由点B在第二象限，点D在第四象限，可求点B的坐标为，点D坐标为，点D与点A关于x轴对称，由四边形为正方形，，，可知线段与线段关于x轴对称，可求点C的坐标为； （2）用待定系数法直线的表达式，直线的表达式，联立、的表达式，解方程组可求点G的坐标，再求出点H的坐标，即可求解； （3）先求出直线解析式，过M作轴交直线于N，设，则，根据的面积等于8构建关于x的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在双曲线上，且A点的横坐标为1， ∴点A的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为4， 则，， ∵点B在第二象限，点D在第四象限， ∴点B的坐标为，点D坐标为， ∴点D与点A关于x轴对称， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴线段与线段关于x轴对称， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知：，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得 ∴， 对于，当，则， 解得， ∴， ∴； （3）解：设解析式为， 则， 解得， ∴， 过M作轴交直线于N， 设，则， ∵的面积等于8， ∴， 化简得或， 解得，，， ∴的坐标为或或或． 综上，当的坐标为或或或时，的面积等于8． 【点睛】本题考查正方形性质，轴对称的判定与性质，待定系数法求直线解析式，两直线的交点，三角形面积，反比例函数与一次函数交点，解一元二次方程，本题比较复杂，涉及知识较多，难度较大，利用辅助线准确构图是解题关键． 26．如图，已知，是一次函数与反比例函数（）图象的两个交点，轴于C，轴于D． (1)求一次函数解析式及m的值； (2)在双曲线（）上是否存在一点P，使和面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例综合，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解绝对值方程，解一元二次方程．解题的关键在于正确表示图形的面积． （1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，，，设点P的坐标为，，则点P到直线的距离为，点P到直线的距离为，，，根据，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为：， 将代入得，，解得，； （2）解：由题意知，，， ∴，， 设点P的坐标为，， ∴点P到直线的距离为，点P到直线的距离为， ∴，， ∴，整理得，， 当时，即， 解得，或（舍去）； 此时点P的坐标为 当时，即， 解得， 或， ∴此时点P的坐标为或； 综上所述，存在一点P，使和面积相等，点P坐标为或或． 27．已知：如图是反比例函数图象的一支，    (1)求的取值范围； (2)若该函数图象上有两点，，则______（填“”“”或“”），并求出与的关系式； (3)若一次函数的图象与该反比例函数图象，交于点，与轴交于点，连接； ①求出、的值； ②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点，使得的面积等于的面积的一半，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②存在，点的坐标为 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解； （2）将点，代入反比例函数进行计算即可求解； （3）①将点代入一次函数可求出的值，即点的坐标，再代入反比例函数即可求出的值；②根据题意可算出点的坐标，设的高为，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限， ∴， ∴． （2）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：①∵在函数的图象上 ∴，则， ∵在函数的图象上， ∴， ∴，则反比例函数解析式为， ∴，； ②当时，， ∴， ∴， 则，且， ∴， ∵，设的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 将代入反比例函数得， ∴， ∴存在点． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．    (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)在轴正半轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的倍，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式 (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）首先求得点的坐标，然后根据点的坐标，求出，设点的坐标为，再表示出面积，列方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． ， 解得， 反比例函数的表达式为，一次函数的表达式； （2）由，解得或， ， ． ， 设点的坐标为， 面积是面积的倍， ， 解得或， ．    【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求函数的交点，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 29．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将、两点代入反比例函数解析式，，，可得，解得的值，即可求出、两点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）令，求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可． 【详解】（1）由题意，得，解得， ，， 把代入，得， 反比例函数表达式为， 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）令，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得， ， 解得：或， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，，，， 【分析】（1）把把，代入得出即可求出反比例函数的表达式 （2）把代入得，确定点B的坐标，再根据待定系数法得出直线的表达式，求出与轴的交点，再根据即可 （3）设点为，根据列出方程解之即可 【详解】（1）解：把，代入得：， ∴反比例函数的表达式为， （2）把代入得， ∴为； 设直线的表达式为：， 把点，点代入得：， 解得： ∴， ∴与轴的交点， ∴； （3）设点为， ∴， ∵， ∴或， ∴，，， ∴为，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何，反比例函数与一次函数，根据列出方程是解题的关键 31．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点的坐标为或 【分析】（1）根据正方形的性质，求出点的坐标，再利用待定系数法从而即可求出反比例函数的表达式； （2）设，则根据题意可得，求出的值即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：， ，且轴， 四边形为正方形， 轴，且， 反比例函数的图象经过点， ， 解得， 即反比例函数的表达式为； （2）解：根据题意，得，， 设，则，解得， 当时，， 此时， 当时，，此时， 综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，正方形的性质是解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) ①为直角三角形，理由∶ 设点，则点， ∵点A、C的横坐标相同， ∴轴， ∴点B关于y轴的对称点为C， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形； ②点P的坐标为或或或． 【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则： ， 解得（负值已舍去）， 故点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶， 解得∶； （2）解：①略． ②由①得∶， 则的面积， 解得（负值已舍去）， ∴点B的坐标为，C的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得， ∴反比例函数表达式为①； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求， 同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求． ∵， ∴设直线m的表达式为， 将点C的坐标代入，解得， 故直线m的表达式为②， 根据图形的对称性，则直线n的表达式为③， 联立①②并解得∶ 或， 联立①③并解得∶ 或， ∴点P的坐标为或或或． 【类型5 存在性最值问题】 33．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （）先求出，然后通过待定系数法即可求解； （）求出，过作轴于点，过作轴于点，由，然后求出即可； （）求出，如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则有，根据两点之间线段最短可知即为所求，直线解析式为，当时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 34．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 35．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；② (2)存在，3 【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答； ②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可； （2）连接，易证E是中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标即可得解． 本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴A点坐标为， ∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为， ∵反比例函数图象上有A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 整理可得：， 解得（负值舍去）， ∴点B的坐标为． （2）解：连接， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴ ∴E为中点， ∴为的中位线 ∴， ∵D点坐标为， ∴A点坐标为， 则， ∴反比例函数表达式为， 设点B的坐标为， ∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点， ∴， ∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧， ∴， ∴， ∴点E始终在直线的下方， ∴a的最小值为3． 36．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ②， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 37．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 【答案】(1)， (2)点，面积的最小值为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式； （2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵反比例函数过点， ， 反比例函数的解析式为， 设， ， ， 四边形的面积为， 四边形的面积为， ， 解得，舍去， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小， 设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时， 方程有唯一解， 即有两个相等的实数根， ， 解得或舍去， 与直线平行的直线的关系式为， 方程的解为， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点， 由题意得， ，，，， ， ， 答：点，面积的最小值为． 38．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）略 （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 39．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，解析式为： (2) 解：成立， 设，则， ， ∴ 而， ∴ ． (3)存在点P，且为，此时周长最小值为4 【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可； （2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值． 【详解】（1）解：①∵轴， ∴， ∴时，， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴， 将点A代入得：， ∴解析式为：； （2）略 （3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值， 设直线交轴于点，连接，，由（2）得，， ∵矩形的周长， ， 当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值， ∴，将代入得， ∴此时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题． 40．如图，已知一次函数与反比例的图象相交于点，与x轴相交于点B． (1)求k的值以及点B的坐标； (2)以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入中，求得，故点坐标为，再将代入，求得，最后根据题意，对一次函数，令，求得点B坐标；（2）由，，求得，再根据菱形的性质，求得点D的坐标；（3）作点关于y轴对称点，连接交y轴于点P，连接PB，此时值最小，且最小值为，根据，，求得的值即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，     故点坐标为， 将代入， 得．     ∵一次函数与x轴交于点B， ∴令， 解得， ∴． （2）解：∵，， ∴，     ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限， ∴． （3）解：如图，作点关于y轴对称点，连接交y轴于点P，连接PB， 此时值最小，且最小值为．    1 ∵，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法，菱形的性质，平面内线段最值问题，熟练掌握待定系数法，菱形的性质，图形对称性等知识是解题的关键． 【类型6 存在性定值问题】 41．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再根据解析式求出交点的坐标． 把点代入直线中，求出点的坐标，再把点的坐标代入求出反比例函数的解析式即可； 根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值． 【详解】（1）解：把点代入直线中， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入比例函数中， 可得：， 反比例函数的解析式是； （2）解：如下图所示，连接、， 解方程组， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 设点的坐标是， 则中边上的高是，中边上的高是， ，， ， ， 解得：，， 点的坐标是； （3）解：的值为定值， 点在反比例函数图象上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 是第一象限反比例函数图象上一动点， 设点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是, 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ，， ． 42．在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图像上，其中，点A，B的横坐标分别为，． (1)若，设点A，B的纵坐标分别为，，比较与的大小，并说明理由； (2)点P从点A出发，沿水平方向运动到过点B且平行于y轴的直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）． ①若过点A、B的直线经过一、三象限，求m的取值范围； ②在①的条件下，设，是否存在大小确定的t的值，对于任意实数m，使得d为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，理由：点A，B在函数的图像上，且横坐标分别为，， ，， ， ， , ∴在每个象限内， 随的增大而减小， ； (2)①； ②不存在符合条件的t，理由： 点P的路径分为两段: 水平移动： 从到直线，距离为， 竖直移动：从到 ，距离为 ， ， ， ， 要求d为定值，须消去m的影响，即 恒为常数，仅当时成立，但此时，与矛盾， 故不存在符合条件的t 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，反比例函数值大小比较，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的相关性质为解题关键 （1）将函数横坐标代入解析式，比较纵坐标的值即可； （2）①根据题意可得两点的横坐标符号相反，列式解不等式即可；②先表示出点P的路径分为两段的长度，再求长度的和，代入题目中给出的k的值，得到，因m无法确定从而d值无法确定 【详解】（1）略 （2）①当直线经过一、三象限时，点A和B需分别位于不同象限，函数在第一、三象限的横坐标符号相反， 当，时，，，m不存在， 当，时， 则m的取值范围是； ②略 43．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． (1)求m (2)若，求的度数 (3)如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，的和是定值． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把，代入反比例函数解析式求得a的值即可； （2）由等腰直角三角形的性质求出，再由角平分线的定义求得和的度数，进而由三角形内角和求得结果； （3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的表达式，根据是定值求出的值和的值即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上． ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， （3）如图，把代入中，得， ∴，    把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 当时， ∴， 当时，； 当时， ∴， 当时，，但，故此情况舍去， 综上：当时，的和是定值． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，P在反比例函数的图象上，、分别是的两条外角平分线． (1)求点P的坐标； (2)如图2，看，则： ①的度数为________； ②求出此时直线的函数关系式； (3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d﹔若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）过P作轴于C，作轴于点D，于E，根据角平分线性质得，再根据反比例函数的解析求得P点坐标； （2）①先求出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和求解即可； ②过P作轴于C，作轴于点D，，设与的交点为H，由角平分线的判定与性质得，进而求得，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得的解析式； （3）根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的解析式，根据解析式的特点进行解答即可． 【详解】（1）过P作轴于C，作轴于点D，于E，如图1， ∵和分别是分别是的两条外角平分线， ∴， 设，则， 把代入中得，， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ∵和分别是分别是的两条外角平分线， ∴， ， 故答案为：； ②过P作轴于C，作轴于点D，，设与的交点为H，如图2， 由（1）知， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则 ， 解得， ∴直线的解析式为：； （3）把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把代入中，得， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴当时，为定值，定值．（∵，不合题意，舍去）； 当时， ∵， ∴当时，为定值，定值．（∵，不合题意，舍去）； 综上，不论k为何值时，都不能为定值． 故不存在k的值，使得的和始终是一个定值d， 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数图象与性质，角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质等知识，解（1）题关键是掌握角平分线的性质，解（2）题关键是求出的长度，解（3）题关键是用k、n的代数式表示． 45．如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接OD． (1)求证：AD平分∠CDE； (2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：对于， 令，解得，令，则， 即点、的坐标分别为、， ， ， ，又， ， ，即平分； (2) 证明：设点的坐标为， ， ， ，， ， ， 即为定值，该定值为10； (3)存在，． 【分析】（1）求出点、的坐标分别为、，得到，而，又，故，即可求解； （2）设点的坐标为，利用勾股定理求得，而，则，即可求解； （3）四边形为平行四边形，则，求出点的坐标为，进而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：存在，理由： 由（1）知，， 四边形为平行四边形， ， 当时，，解得， 故点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得（舍去正值）， 故， 故直线的表达式为， 即存在直线，使得四边形为平行四边形，该直线的解析式的表达式为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的性质、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 46．已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 【答案】(1)； (2) 解：①不存在． 理由如下：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设P点的坐标为：（，）， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴F（，），E（，）， 由题意得，PEy轴，PFx轴， ∴PEOC，, ∴, 当时，△PFE≌△OCD， ∴， 化为一般方程为：， ∵， ∴没有实数根， ∴不存在点P，使△PFE≌△OCD； ②证明：设P（x，y）， ∵C（0.5，0），D（0，0.5）， ∴是等腰直角三角形， 如图，作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵P（x，y）在上， ∴， ∴. 【分析】（1）A（﹣1，﹣3）和B（1，m）分别代入y＝2x+b，转化为关于b，m的方程组解答即可； （2）①设P点的坐标为：（，），得到F（，），E（，），由题意得，当时，△PFE≌△OCD，即，化为一般方程为：，由于，得到没有实数根，即可证明结论；         ②作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，将DE•CF转化为反比例函数系数的倍数解答． 【详解】（1）解：∵y＝2x+b的图像经过A（﹣1，﹣3）和B（1，m）两点， ∴ 解得： ∴B（1，1） ∵反比例函数的图像经过点B， ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； （2）略 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，用待定系数法求解析式和函数图象的交点坐标与函数解析式组成的方程组的解的关系，构造等腰直角三角形也是解答此题的关键． 47．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)是定值，该定值是2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立函数解析式求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 48．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值； （2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标； （3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， 解得， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称， ∴点A和点B也关于原点对称， ∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点G的坐标为， ∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下： 如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在直角中，， ∴, ∴为定值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 反比例函数相关存在性问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 存在性特殊三角形】 1 【类型2 存在性特殊四边形】 4 【类型3 存在性角相关】 8 【类型4 存在性面积相关】 12 【类型5 存在性最值问题】 16 【类型6 存在性定值问题】 19 【类型1 存在性特殊三角形】 1．如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是线段上一点，若，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点 (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接、，求三角形的面积 (3)连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由 7．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接． (1)求的值与点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC=2，AB=，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称． （1）当OB=2时，求∠ACB度数及点D的坐标； （2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； （3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P．问： ①连接PA，AA，则∠AAP= °； ②在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 【类型2 存在性特殊四边形】 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求、的长． (2)若点为轴正半轴上的点，且，求经过、两点的直线解析式及经过点的反比例函数的解析式． (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以、、、为顶点且、为邻边的四边形为菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请直接写出关于的不等式的解集； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在坐标平面内，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的坐标为，点B的横坐标为6． (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象交于点．过点作轴于点，且． (1)求点的坐标及反比例函数关系式； (2)在反比例函数图象上，是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型3 存在性角相关】 17．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于，两点．            (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)将直线沿轴向下平移，使得新直线经过点，且与轴相交于点，点是轴上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； (3)在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 20．一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，过点作反比例函数，图象与直线在第三象限相交于点，连接、． (1)求出，的值； (2)已知点的横坐标为，求的面积； (3)在轴上是否存在点．使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 21．如图1，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在双曲线上是否存在一点，满足，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作交反比例函数的图象于点，点为反比例函数的图象上一点，，请直接写出点的坐标． 22．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)当与的面积相等时，求点的坐标； (3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型4 存在性面积相关】 25．如图，已知边长为4的正方形中，轴，垂足为点E，轴，垂足为点F，线段，交于点G，与x轴交于点H，点A在双曲线上，且A点的横坐标为1． (1)请直接出B，C两点的坐标； (2)求出的长； (3)连接，在双曲线上任取一点M，连接，，是否存在这样的点M，使的面积等于8，若存在，请直接写出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知，是一次函数与反比例函数（）图象的两个交点，轴于C，轴于D． (1)求一次函数解析式及m的值； (2)在双曲线（）上是否存在一点P，使和面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 27．已知：如图是反比例函数图象的一支，    (1)求的取值范围； (2)若该函数图象上有两点，，则______（填“”“”或“”），并求出与的关系式； (3)若一次函数的图象与该反比例函数图象，交于点，与轴交于点，连接； ①求出、的值； ②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点，使得的面积等于的面积的一半，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．    (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)在轴正半轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的倍，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型5 存在性最值问题】 33．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 34．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 36．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 37．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 38．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 39．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 40．如图，已知一次函数与反比例的图象相交于点，与x轴相交于点B． (1)求k的值以及点B的坐标； (2)以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【类型6 存在性定值问题】 41．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 42．在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图像上，其中，点A，B的横坐标分别为，． (1)若，设点A，B的纵坐标分别为，，比较与的大小，并说明理由； (2)点P从点A出发，沿水平方向运动到过点B且平行于y轴的直线l上，再沿l运动到点B，运动路程记为d（运动路线不重复）． ①若过点A、B的直线经过一、三象限，求m的取值范围； ②在①的条件下，设，是否存在大小确定的t的值，对于任意实数m，使得d为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 43．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． (1)求m (2)若，求的度数 (3)如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 44．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，P在反比例函数的图象上，、分别是的两条外角平分线． (1)求点P的坐标； (2)如图2，看，则： ①的度数为________； ②求出此时直线的函数关系式； (3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d﹔若不存在，请说明理由． 45．如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接OD． (1)求证：AD平分∠CDE； (2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 46．已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 47．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 48．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $