专题14 反比例函数相关拓展提升题分类训练（6种类型48道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何综合，分6类系统训练最值、面积、系数等问题，以题载法培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型1|8道|动点距离/旋转/存在性最值|反比例函数性质与几何图形性质结合| |类型2|8道|矩形/三角形旋转/面积计算|坐标法转化面积关系，培养模型意识| |类型3|8道|等腰三角形/四边形面积求k|代数表达式与几何条件互化，提升推理能力| |类型4|8道|菱形/中心对称/坐标确定|图形变换与坐标计算结合，强化空间观念| |类型5|8道|函数交点/结论判断|一次函数与反比例函数综合，培养抽象能力| |类型6|8道|平移/对称/特殊图形存在性|探究性问题设计，发展创新意识与应用能力|

专题14 反比例函数相关拓展提升题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 反比例函数相关最值问题】 1 【类型2 反比例函数与几何综合求面积】 10 【类型3 反比例函数与几何综合求系数】 19 【类型4 反比例函数与几何综合求坐标】 28 【类型5 反比例函数综合性问题】 40 【类型6 反比例函数相关存在性问题】 52 【类型1 反比例函数相关最值问题】 1．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵轴交直线于点M， ∴， ∴等于点P到直线距离的倍， ∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当F、P、N三点共线时，最小， ∴其最小值为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键． 2．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 3．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 4．如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化，根据题意可知，设点的坐标为，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于的函数解析式，利用二次函数最值求出最值即可．熟练掌握二次函数最值求法是关键． 【详解】解：根据题意可知， 设点的坐标为，则， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 当时，取最大值． 故选：B． 5．如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与有交点，则k的最大值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A， E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，求出A，E点坐标，即可求出k的取值范围，进一步可知k的最大值． 【详解】解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，轴，轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且为等腰直角三角形， BC的中点坐标为， 即为(2,2)， ∵点(2,2)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有交点时，1⩽k⩽4，即k的最大值为：4 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的关键是求出E点坐标为(2,2)，利用点A，E坐标求出k的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上（含端点）的一点，将点绕着点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图像上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出所在直线的表达式，设，其中，过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，证明，进而得到点M坐标为，又因为点在反比例函数上，所以，结合，求关于p的二次函数的最小值，得到的最小值． 【详解】解：设过的直线表达式为：，将点A、B坐标代入表达式，联立得方程组 ， 解得，即， 点是线段上的点，设，其中， 过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，如下图 ， ， ， 逆时针旋转得到， ，且， ， ， 又， ， ， 点B相对于点P的坐标为， 点M相对于点P的坐标为， 点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， k的取值为关于p的二次函数，开口向上，对称轴，，在区间内，顶点处取得最小值，最小值为； 的最小值为． 8．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变换等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于直线的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：A． 【类型2 反比例函数与几何综合求面积】 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 10．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再结合反比例函数的几何意义求出，进而得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 11．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；利用旋转性质和角度关系得出直线的解析式（或利用等腰直角三角形性质设点坐标），联立反比例函数求出点的坐标；最后利用勾股定理或三角函数求出、的长，计算三角形面积． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，，， ，， ， ， 双曲线经过点， ，即， 线段绕点顺时针旋转交双曲线于点， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设 点在双曲线上， ，即， 解得， ， ， ， ， 在中，， ． 12．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】设，，借助等腰直角三角形的几何性质，用含a，b的式子表示出点B的坐标，从而得到与b的关系，再整体代入即可求解． 【详解】解：设，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．15 【答案】D 【分析】过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，先证明四边形是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C， ， 四边形是矩形， 平分， ， 同理， ， 四边形是正方形， 设， 点P恰好在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ， ，， ，， 在中，， 的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形是关键． 16．如图，点A是双曲线上的一点，连接，与y轴的夹角是并延长交双曲线于点B，将线段绕B顺时针旋转得到线段，则的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的判定与性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，等边三角形的判定与性质及直角三角形的性质，连接，先证明是等边三角形，再证明轴，可得，再证明，可得，，求得，可得出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 将线段绕B顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ， 与y轴的夹角是， ， ， ∴，轴， ， 根据对称性可得， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【类型3 反比例函数与几何综合求系数】 17．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 18．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点，作轴于点，容易证明四边形是矩形，则，，，结合题干可证明，则，，因此四边形是正方形．利用正方形的性质和、的值可计算出，则点，代入求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， 又∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，边在x轴的正半轴上，点A在第一象限，点C在斜边上，点D在反比例函数的图象上（点D在直线的右侧），反比例函数的图象过点A，则k的值为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，设，可求得，所以，再将代入求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ，点D的横坐标为， 当时，， ， ， ， ． 22．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，， ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 23．如图，在三角形中，点在轴上，且，，，反比例函数的图象经过点．若点的横坐标为2，则（     ） A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据三角形全等，即可求出C点坐标，把C点坐标代入反比例函数中，即可求出k的值． 【详解】解：过点A和C点作x轴的垂线，分别垂于D、E，如图所示： ，， ，点A的横坐标为2， 反比例函数的图象经过点， ， ． ， ． ， ． ， ． 在和中 ． ，． ． 点坐标为． ，解得． 24．如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和的面积都为6，得点为的中点，设，，由中点坐标公式得，代入解析式得出，过点作轴于点，利用，即可求解． 【详解】解：∵和的面积都为， ∴，即点为的中点， 设，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，则，， ∵， ∴． 【类型4 反比例函数与几何综合求坐标】 25．如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 在菱形中，，，， ， ， 设，则， 由图可得，，即， 由勾股定理得 解得或（舍去）， ，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ， 将代入得， 解得，即， 又为的中点， ， 设直线解析式为， 代入、得，， 解得， ∴， 联立和得， 解得或（舍）， 检验：将代入分母得，结果不为0， ∴是分式方程的解， 将代入得，， ∴． 26．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 27．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件对四个选项逐一验证即可． 【详解】由点A、B的坐标分别为、可知轴，． 由线段绕点旋转后得到，则，轴，所以点的对应点的坐标为． 选项A，此时点和点重合，反比例函数的图象与折线只有一个交点，故选项A不符合题意； 选项B，此时点恰好在线段上，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得， 此时反比例函数的图象与线段的交点为， 所以图象与折线有两个交点，故选项B符合题意； 选项C，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项C不符合题意； 选项D，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项D不符合题意； 【点睛】解决本题除了采用对四个选项逐一判断的方法外，还可以通过寻找临界位置的方法来确定满足条件的的取值范围，从而快速地找到答案，同学们可以试一试． 29．如图，平行四边形顶点O为原点，点A在x轴正半轴上，点在反比例函数第一象限图象上，双曲线交边于点E，延长交y轴于点D，若，平行四边形的面积为6，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作轴于，轴于，利用平行四边形的面积以及，求得矩形的面积为9，根据反比例函数系数的几何意义得到，进一步求得，得出，，从而求得，设，则，代入反比例函数解析式得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形， 点在反比例函数第一象限图象上， ， ，平行四边形的面积为6， 矩形的面积为9， ， 反比例函数为， ，解得， ， ，， 矩形为正方形， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得（负数舍去）， ． 30．如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点A的坐标，进而求出直线的关系式，可得点D，E的坐标，再根据特殊角的三角函数值求出点F的坐标，然后求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立求出答案即可． 【详解】解：∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴，． 在中，， 在中，， 解得， ∴， ∴点． 设直线的关系式为，且经过点，， 得，解得， ∴直线的关系式为， 将两个函数关系式联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点． 31．如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题以等边三角形与反比例函数结合为载体，通过作垂线转化几何性质求点坐标，利用反比例函数解析式建立方程求解，凸显了数形结合与方程思想的应用． 32．如图，等腰中，．若点，点在轴上，点在的图象上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，过作轴于，证明，得到，，由得到，即点纵坐标为，则，得到，即可得到点的坐标为． 【详解】解：过作轴于，则 ∵等腰中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴上， ∴点的坐标为， 故选：C． 【类型5 反比例函数综合性问题】 33．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④． 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【分析】首先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，进而求出点 B 坐标和直线 解析式； 对于①，考虑直线 与双曲线相切或垂直于 x 轴的特殊情况； 对于②，计算 的面积，设点 C 坐标表示 的面积，列方程求解； 对于③，分为直角三种情况讨论，结合等腰三角形性质验证点 C 是否在 x 轴正半轴； 对于④，假设，利用中点公式求出点 D 和 C 的坐标，再验证 是否等于 ． 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 35．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，过点作于，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为；②线段的长为9； ③当时，正比例函数的值大于反比例函数的值； ④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象和性质，逐项进行判断． 【详解】解：①联立， 解得（负值已舍）， ∴点C的坐标为，该选项正确； ②当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴， 该选项错误； ③由正比例函数和反比例函数的交点C的坐标为，以及函数图象可得， 当时，正比例函数的值大于反比例函数的值， 该选项正确； ④∵轴，，，点C的坐标为， ∴， ∴， 该选项正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 36．如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的几何意义即可判断①②，根据、是反比例函数图象上的动点，可得可能是钝角三角形，即可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，轴，轴， 又∵、是反比例函数图象上的动点， ∴， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 由①可得， 当与的面积相等时，如图，连接， ∴， 即， ∵， ∴假设不成立，故②不正确； 如图所示， 当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确； 如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论有2个． 37．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①；联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②；图象法判断③即可；利用三角形面积求得的面积即可判断④． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； ∵，，， ∴点C到的距离为， ∴，故④错误； 故选C． 38．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，． 其中结论正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，再根据图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴， ∴；故①正确； 联立， 解得或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 即，故③错误； ∴综上，结论正确的个数是2个． 故选：C． 39．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】把代入反比例函数得，把代入，得， ∴，故①错； 联立两函数解析式，解得， ∴，故②对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对； 由、、可知，， ∴，故④错． 综上，结论②③正确，正确的个数是2个， 故选B． 40．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，先求出点A和点B的坐标，进而得到，则可推出，据此可判断①；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，，据此可判断②；利用勾股定理求出，再利用等面积法可判断③；求出点C的坐标即可判断④⑤． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴点D到的距离为，故③错误； ∵， ∴， ∵直线与双曲线交于点C， ∴方程有一个解为，故④正确； 由函数图象可得当时，，故⑤正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【类型6 反比例函数相关存在性问题】 41．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)；面积4 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． （3）解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 42．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 43．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标； （2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； （3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， 把代入中，可得， 故，点坐标是 （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，； （3）解：设点C的坐标为， 则，，． ∵为等腰三角形，且， ∴，即， 解得：或（此时，则不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为． 故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．​ 44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 45．如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 46．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，反比例函数解析式为 (2) (3)点坐标为或或或, 【分析】（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标； （2）过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点 、 关于原点对称， ； 综上，，，反比例函数解析式为； （2）过作轴，交于点， 设， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于 轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ,； 综上，点坐标为或或或,． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在， 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点，通过证明得到，，进而列出关于、的方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，可得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 四边形为正方形， ，， 是等腰直角三角形， 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ， ， ， ， 设点， ， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 解得， ． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数的表达式为 (2) (3)点N的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，最后利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）先根据轴对称的最短路径问题作辅助线，可知：即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合，证明是等腰直角三角形，可得，从而得结论； （3）分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解：（1）把代入中，得：， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式是； （2）解：作点C关于y轴的对称点G，交y轴于L，连接交y轴于D，则，过点G作于F，交y轴于K，则，即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合， ∵，且点与点关于原点对称， ∴， ∴， 对于，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，在轴上， ∴，即； （3）解：存在， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分，根据中点坐标公式得： ， ∴， 代入，整理得：， 解得：或， ∴或， ∴点的坐标为或； ②当为边时，对角线，且，互相平分，则有： ∴， 代入，整理得， 解得：或（此时点与点重合，舍去） 当时，，， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，对角线，则： ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 变形为 解得或， 当时，此方程无实数根； 当时，解得或， 当时，点与点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 反比例函数相关拓展提升题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 反比例函数相关最值问题】 1 【类型2 反比例函数与几何综合求面积】 3 【类型3 反比例函数与几何综合求系数】 6 【类型4 反比例函数与几何综合求坐标】 8 【类型5 反比例函数综合性问题】 11 【类型6 反比例函数相关存在性问题】 14 【类型1 反比例函数相关最值问题】 1．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 3．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 5．如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与有交点，则k的最大值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上（含端点）的一点，将点绕着点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图像上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【类型2 反比例函数与几何综合求面积】 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 11．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（    ） A．4 B． C． D． 12．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则和的面积之差是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 14．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．15 16．如图，点A是双曲线上的一点，连接，与y轴的夹角是并延长交双曲线于点B，将线段绕B顺时针旋转得到线段，则的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【类型3 反比例函数与几何综合求系数】 17．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 18．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，边在x轴的正半轴上，点A在第一象限，点C在斜边上，点D在反比例函数的图象上（点D在直线的右侧），反比例函数的图象过点A，则k的值为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 22．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在三角形中，点在轴上，且，，，反比例函数的图象经过点．若点的横坐标为2，则（     ） A．6 B．8 C．4 D．2 24．如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【类型4 反比例函数与几何综合求坐标】 25．如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 26．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 29．如图，平行四边形顶点O为原点，点A在x轴正半轴上，点在反比例函数第一象限图象上，双曲线交边于点E，延长交y轴于点D，若，平行四边形的面积为6，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．如图，等腰中，．若点，点在轴上，点在的图象上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【类型5 反比例函数综合性问题】 33．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 35．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，过点作于，点A的横坐标为1．有以下结论： ①点C的坐标为；②线段的长为9； ③当时，正比例函数的值大于反比例函数的值； ④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 38．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8；②点C的坐标为；③当时，． 其中结论正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型6 反比例函数相关存在性问题】 41．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 42．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 45．如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $