专题17 反比例函数实际问题分类训练（6种类型48道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，通过6类真实情境问题构建"概念理解-模型建立-综合应用"的逻辑体系，强化数学建模与跨学科应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |浓度相关|8题|含药液/溶液浓度变化，涉及正反比例分段函数|从浓度定义出发，建立y=k/x模型解决最值与范围问题| |温度相关|8题|加热-恒温-冷却三阶段温度变化，结合图像分析|通过温度变化规律理解函数分段特征，培养几何直观| |销售与利润|8题|售价-销量-利润关系，含表格与图像数据|运用反比例关系构建利润模型，发展数据分析能力| |工程问题|8题|工程量-效率-时间关系，涉及方案优化|基于工程总量不变，建立反比例函数解决工期问题| |方案问题|8题|矩形面积-材料最省，含整数解与最优方案|结合几何与函数性质，培养优化意识与推理能力| |物理综合|8题|电阻-电流、杠杆平衡等物理公式应用|跨学科融合，体现数学作为工具学科的应用价值|

专题17 反比例函数实际问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 浓度相关问题】 1 【类型2 温度相关问题】 12 【类型3 销售与利润】 24 【类型4 工程问题】 34 【类型5 方案问题】 42 【类型6 （跨学科）反比例函数与物理综合】 55 【类型1 浓度相关问题】 1．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 2．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，代入，，求得，即可求解； （2）当时，求得； （3）根据题意可列方程，，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：∵糖浆浓度与糖浆总体积成反比例关系， ∴设关于的函数表达式为， 当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：，， ∴当糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是； （3）解，由题意得，， ， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为． 3．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升 (2)不超过6小时 (3)48小时 【分析】（1）先求双曲线的函数解析式，可得第16小时的血液浓度，再求直线的解析式，得，再求直线的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度； （2）将代入直线的解析式和双曲线的解析式，即可得答案； （3）曲线的函数解析式为，将代入，即可得答案． 【详解】（1）解：把点代入双曲线的解析式得，， 双曲线的函数解析式， 当时，，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∵OA与BC平行， ∴直线、OB的解析式中的k一样， 设直线的解析式为，把点代入得， 直线的函数解析式， 当时，，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升； （2）当时，若，则，解得， 当时，若，则，解得， ． 这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时； （3）把点代入得，． 曲线的函数解析式为，当时，，． ∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式． 4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 【答案】(1) (2) 能，理由如下： 在函数中，令，则， ， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内（含15天）不超过最高允许的． 【分析】（1）根据函数图像，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为，代入A，B坐标计算即可；②当时，设，代入B坐标计算即可； （2）令，则，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时，设线段对应的函数表达式为， 把代入，得：，解得， ， ②当时，设， 把代入，得， ， 综上所述，； （2）略 5．近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】(1)y＝，自变量x的取值范围是 (2)救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式． （1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）求出时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为， 由图像知过点，则． 解得：， 所以，此时自变量x的取值范围是； （2）当时，由，得 解得：， （小时）， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井． 6．为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 【答案】(1)主动释放阶段：；自然消散阶段： (2)或 (3)达到有效净化标准 【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的表达式，利用给定的数据点来确定函数表达式； （2）将给定的浓度代入相应的函数表达式，求解即可； （3）根据有效净化的标准，计算净化因子浓度不低于的持续时间，然后判断是否达标即可． 【详解】（1）设主动释放阶段的函数表达式为， 当时，，当时，，将其代入， 得，解得， 主动释放阶段的函数表达式为； 设自然消散阶段的函数表达式为， 当时，，将其代入，得，解得， 自然消散阶段的函数表达式为； （2）当时，将代入，得， 解得； 当时，将代入，得， 解得； 当净化因子浓度时，对应的释放时间的值为或； （3）令，解得， 主动释放阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 令，解得， 自然消散阶段净化因子浓度不低于的持续时间为， 净化因子浓度不低于的总持续时间为， ， 本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，通过代入已知点求解函数解析式，是解决后续问题的基础，过程中注意分类讨论思想的应用；将净化因子浓度的变化转化为函数问题，通过函数计算验证实际“有效净化”标准，体现了数学建模解决实际问题的应用价值． 7．某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 【答案】(1)函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围： (2)当 时， ；当 时， ． (3) 或 【分析】本题主要考查了求函数解析式、求自变量的取值范围、一次函数的应用、反比例函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分函数图像的段和段分别运用待定系数法求出函数解析式并结合函数图像确定自变量的取值范围即可； （2）①分别求出和的函数值即可；②根据一次函数、反比例函数的增减性解答即可； （3）由题意可得，然后分别在函数图像的段和段求得自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：函数图像的段是正比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ， 解得： ． ∴函数图像的段解析式：，自变量取值范围：． 函数图像的段是反比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ：， 解得： ． ∴函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：． （2）解：①当 时，代入 ，得： ； 当 时，代入，得 ． ② 变化趋势：函数图像段，，y 随 x 的增大而增大； 函数图像段，，y 随 x 的增大而减小． （3）解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 ， 当处于段：代入，得：，解得： ； 当处于段：代入，得 ，解得： ． 综上，符合规定的时间范围是 或． 8．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：，爆炸后： (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 【类型2 温度相关问题】 9．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 【答案】(1) (2) (3) 能喝到符合要求的温水， 由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟，工作人员于通电，第一批游客到达， ∴总通电时间为， ∵， 即对应第4个周期的第，处于的降温阶段， 当时，， 该温度在范围内，因此能喝到符合要求的温水． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的解析式是解题关键． （1）使用待定系数法求函数的表达式； （2）根据（1）中的反比例函数表达式计算出b的值； （3）根据题意可得总通电时间为，再由，可得对应第4个周期的第，处于的降温阶段，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，与成一次函数关系， 设， 将；代入表达式得： ， 解得， ∴； 当时，与成反比例关系， 设， 将代入表达式得：， 解得， ∴， 综上所述，． （2）解：将代入反比例函数的表达式得： ， 解得． （3）略 10．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用； （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点和点的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得： ， 解得：， ， 当时，解得：， 点坐标为， ∵停止加热了1分钟， 点坐标为， 当加热烧水时，设， 由题意得：， 解得：， 函数关系式为； 函数关系式为； （2）解：把代入，得， 因此从水烧开到泡茶需要等待分钟． 11．绿豆粉是贵州省铜仁市的特色传统美食，尤其以石阡县和印江县为代表产地，属于贵州地方小吃中的经典之一．如图①所示，它是以绿豆为主要原料，常搭配大米或糯米制成，口感软糯爽滑，带有天然绿豆清香，兼具清热解暑的功效．据了解，制作绿豆粉时需要将研磨成浆的原料放入锅中加热，温度达到时需保持一分钟，然后将成型的绿豆粉捞出冷却至常温为一个完整的加工过程．设整个制作过程中绿豆粉及原浆的温度为，从入锅加热开始计算，时间为x分钟，y与x的函数关系如图②所示，图中段是一次函数，段是反比例函数．若加热前原浆的温度为，当时间为12分钟时，冷却中的绿豆粉温度为． (1)求图②中反比例函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)为了保障安全，专家建议加工过程中温度高于时禁止徒手操作．请你帮助加工师傅计算一下从原料入锅加热开始的整个过程中，禁止徒手操作的时间有多少分钟？ 【答案】(1)， (2)分钟 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得反比例函数的关系式； （2）由图象可知加热过程和冷却过程中都有温度高于的，先求得一次函数的解析式，即可计算出加热过程达到的时间，再利用反比例函数计算温度降低到的时间即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， ∴自变量x的取值范围是． （2）解：绿豆粉温度达到时需保持一分钟， ∴一次函数图象经过， 设一次函数的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， 在一次函数上，令得，， 解得：， 在反比例函数上，令得，， 解得：， ∴（分钟），即禁止徒手操作的时间有分钟． 答：禁止徒手操作的时间有分钟． 12．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 13．某蔬菜大棚内装有一套智能温控系统，大棚内温度是时间的函数，当温度达到时，智能温控系统将自动启动，温度在上升过程中，温度与时间满足一次函数关系，当温度达到时开始恒温，持续一段时间后，温度开始下降，下降过程中大棚内温度与时间成反比例关系．温度降至时，温控系统将再次启动，重复上述过程．如图是智能温控系统从开始启动到首次温度降至时与的函数关系图象．在此范围内，解答下列问题： (1)根据图象，判断温度上升过程所用的时间_______h，保持恒温的时间______h； (2)温度下降过程中，求大棚内温度与时间的反比例函数表达式； (3)经研究发现，大棚内的温度不低于时，较适应蔬菜的生长．求能持续多长时间使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 【答案】(1)2，10 (2) (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数与反比例函数的应用，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察函数图象，进行列式计算，得温度上升过程所用的时间，保持恒温的时间，即可作答． （2）理解题意，设大棚内温度与时间的反比例函数表达式为，其中，再把代入计算，即可作答． （3）运用待定系数法求出，再把将代入，解得，将代入，解得，再列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出，， ∴温度上升过程所用的时间，保持恒温的时间； （2）解：依题意，设大棚内温度与时间的反比例函数表达式为，其中， 观察函数图象，将代入，得． ∴， （3）解：依题意，当时，设一次函数表达式为， 将分别代入， 解得：， ． 将代入，解得， 由（2）得， 将代入，解得， ， 因此，持续时间为能使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 14．某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 【答案】(1)水温上升：关于的函数关系式为；水温下降：关于的函数关系式为； (2)在一个循环内水温高于的时间为分钟； (3)开机接通电源比较合适． 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图像分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； （）由题意可得，当时，，解得：，从而求解． 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ，解得； ∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）； （3）解：由题意可得，当时，，解得：， ∴，即开机接通电源比较合适． 15．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 16．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)    ， (3)10小时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是结合图象特征确定函数类型，利用已知点求出函数解析式，再解决实际问题． （1）通过图象中线段的恒定温度，直接得出恒温系统的设定温度； （2）分别设段的一次函数、段的反比例函数解析式，代入对应点的坐标求出解析式； （3）将温度代入段的函数解析式，求出对应时间，再计算与关闭时间的差值得到关闭时长． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为． 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：， 当时，，则， 由图象可知，线段对应的温度是恒定的， 因此恒定温度为 （2）①段（一次函数）： 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：． ② 段（反比例函数）： 设的解析式为，代入： 解得： 故段解析式为：． （3）当温度时，代入段解析式： 解得： 恒温系统在时关闭，因此最多关闭时长为小时． 【类型3 销售与利润】 17．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 18．【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【答案】(1) (2)当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元 (3)此时店铺的一袋茉莉香茶为60元 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱． 【详解】（1）解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； （2）解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 19．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元 【分析】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； （2）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 20．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 【答案】(1) (2)72件 (3)宣传小组能拿到合同约定的提成 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用． （1）当时，设，当时，设（k为常数，且），再利用待定系数法求解即可． （2）把代入，再计算即可． （3）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 函数图象经过点， ， 即； ， 当时，设（k为常数，且），将坐标代入， 得， 解得， ， 与之间的函数表达式为． （2）解：当时，（件）； （3）解：对于，当时，， 解得， 对于，当时，， 解得：（天）， ∴， ， ∴宣传小组能拿到合同约定的提成． 21．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 22．如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 【答案】(1) (2) 本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”， 由图，可知日销售量不低于8万件在20天以后． 当时，，解得． 在段上从第35天开始日销售量不低于8万件． 当时，，解得． 在段上从第51天开始日销售量低于8万件． 日销售量不低于8万件的天数为（天）． ， 本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键． （1）按照的取值范围，分别求出对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别求出时对应的值，求出两个的值取正整数的个数并与15比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把，分别代入，得 解得 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 与之间的函数表达式为 （2）略 23．某超市在十二月份销售一种商品，根据统计结果发现该商品的日销售量（件）与时间第天之间的函数关系如图，当时，日销售量（件）与时间第天满足一次函数关系，当时，日销售量（件）与时间第天满足反比例函数关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)求该超市的日销售量不低于20件的天数． 【答案】(1)； (2)该超市的日销售量不低于20件的天数有11人． 【分析】本题考查了反比例二次函数的应用． （1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， 由题意得， 解得， ∴函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 由题意得， ∴函数表达式为； 综上，与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得； ， 解得； ； 该超市的日销售量不低于20件的天数有11人． 24．某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． (1)求双曲线的函数解析式： (2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【答案】(1) (2)2024年该公司不可能收回研发成本． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设双曲线的解析式为，代入点即可解答； （2）求解当时，线段为，再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，设线段为， ∴， 解得：， ∴线段为， 设销售利润为万元，则 当时， ， 当时，最大利润为（万元）， 当时， ， 对称轴为直线， ∴当时，最大利润为（万元）， ∵， ∴2024年该公司不可能收回研发成本． 【类型4 工程问题】 25．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 26．如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】(1)所求函数关系式为 (2)需要5台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 27．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 28．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 29．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【答案】(1)v＝ (2)实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量 【分析】对于（1），先求出土方的总量，再根据实际平均每天运输的土方量总量总天数得出答案； 对于（2），将代入关系式求出v，再用求出的结果减去原计划每天运输的土方可得答案． 【详解】（1）根据题意，得 ； （2）当时，， （）． 答：实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，列出反比例函数关系式是解题的关键． 30．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 【答案】(1) (2)该工程队需要20天才能完成此项任务 (3)最少还需调配4台挖掘机 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）将x＝60代入，求解即可； （3）先求出5天后还剩余的工作量，用这个剩余的工作量除以时间5天，得到每天应完成的工作量，再减去已有的两台挖机一天完成的要作量，得到还应凋入挖机一天要完成的工作量，用这个一天要完成的工作量除以每台完成任务的工作量，即可求得要调配的挖机数． 【详解】（1）解：设y=，由图可知，点(24，50)在图像上， 把(24，50)代入y=，得 50=，解得：k=1200， ∴； （2）解：∵该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米， ∴该工程队每天完成60米， 将x＝60代入，得 y=＝20(天), ∴该工程队需要20天才能完成此项任务； （3）解：5天后还剩1200－60×5＝900(米) 900÷5－60＝120(米) 120÷30＝4（台） ∴最少还需调配4台挖掘机． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求出反比例函数解析式是解题的关键． 31．某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】（1）；（2）至少需要增派辆同样的卡车才能按时完成任务． 【分析】（1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列方程即可． 【详解】解：（1）， ， 是的反比例函数； （2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米， 需要天才能完成任务， 工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车， ， 解得：， 答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． 32．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【类型5 方案问题】 33．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3) 解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 34．某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． (2) (3)方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案略． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 35．根据以下素材，探索完成任务 素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形种植基地，边的长不超过墙的长度．设． 素材2 现有长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计） 任务1 求y关于x的函数表达式： 任务2 若塑料薄膜用了，求的长； 任务3 若x、y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案． 【答案】（1）；（2）25；（3）最省． 【分析】题目主要考查反比例函数的应用及分式方程的解法，不等式的应用、方案问题，理解题意，列出相应的函数关系式及方程是解题关键． 任务1、根据面积直接得出函数关系式； 任务2、根据题意得，得出，然后联立求解即可，最后进行验证即可； 任务3、根据题意得出x可以为20、24、25、30，然后分别求解比较即可． 【详解】解：任务1：根据题意得：，即． 任务2：根据题意得， ∵塑料薄膜用了， ∴， 将代入得：， 解得：或， 经检验：或是原分式方程的解， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴的长为25米； 任务3：∵x、y都是整数，，， ∴， ∴x可以为20、24、25、30， ∴共有四种方案： 方案一、，此时塑料膜用料为； 方案二、，此时塑料膜用料为； 方案三、，此时塑料膜用料为； 方案四、，此时塑料膜用料为； ∴用料最省的围建方案是最省． 36．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）． (1)求关于的函数表达式． (2)若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度 (3)若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝12，进而可得出：； （2）根据篱笆总长和门的长表示出AB与BC，列出方程求出即可； （3）由x，y均为整数，围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，可得出x的值，进而可得出各围建方案． 【详解】（1）解：依题意得：xy＝12， ∴． 又∵墙长为6m， ∴， ∴． ∴y关于x的函数表达式为：． （2）解：依题意得：， ∴或， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意得：，， ∴， ∵和的长都是正整数， ∴或， ∴则满足条件的围建方案为：或 【点睛】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式以及根据x，y均为整数找出x，y的值是解题的关键． 37．某电商店铺为促销一件标价59元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A（限购8件），除包邮外，享受每满240元（标价）减40元，但在收货之前不能退换，小华正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买． （1）请求出小华每件商品实付款的均价与购买商品A的件数的关系； （2）小华对该商品的实际需求为4件，为了追求最大优惠，小华考虑以下两种方案： 方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货； 方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）． 若以小华的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小华选择一个优惠的购买方案． 【答案】（1）y＝；（2）小华选择方案二购买，见解析． 【分析】（1）设每件商品实付款的均价为元，购买商品A的件数为x件，根据x的条件得出y得值即可； （2）x＝5，分类讨论即可； 【详解】解：（1）设每件商品实付款的均价为y元，购买商品A的件数为x件， 当0＜x≤4时，y＝59， 当4＜x≤8时，y＝， 综上，y＝； （2）方案一：x＝5，y＝59﹣， 方案二：x＝5（买5件退一件）， y＝ ∴小华选择方案二购买． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 38．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1) 画出的图象如图所示： ①3，2，；②； (2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 39．如图，利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形花圃．设的长为，的长为．    (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)边和的长都是整数，若围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，试求出满足条件且用料最省的方案． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）利用矩形面积公式，得到y关于x的函数表达式，再利用已知墙长，即可求出自变量x的取值范围； （2）先根据边和的长都是整数，得出可能的取值，再结合三边篱笆的总长不超过，确定的值，分别计算即可得到满足条件且用料最省的方案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 已有的一面墙长为， ， ， y关于x的函数表达式为， （2）解：边和的长都是整数，且， 的值可以为4、5、10、20， 围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过， ， 的值可以为4、5， 当时，，则， 当时，，则， 满足条件且用料最省的方案为，． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用以及解不等式，正确理解题意，得出函数关系式，并确定自变量的取值范围是解题关键． 40．根据以下素材，探索完成任务. 如何拟定计时器的计时方案？ 问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用. 素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器. 素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. h（mm） … 72 162 288 … x（mm/min） … 10 15 20 … 问题解决 任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式. 任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T. 任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）.请求出所有符合要求的方案. 【答案】；；符合要求的方案有两种，方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min，方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min 【分析】（1）用待定系数法求解即可． （2）由题意得出T关于x的函数关系式，把对应x值代入即可． （3）根据题意求出x和T的取值范围，h和T都是整数，可以得出符合要求的只有两种方案． 【详解】解：[任务1] 把，和，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以h关于x的函数关系式为． [任务2] 解：由任务一得h关于x的函数关系式为， 当时， 即， 解得：， 由于，得， 由题意得：T关于x的函数关系式为， ∴当时，． [任务3] 由题意得：漏水壶水位在， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵h和T都是整数， ∴把分别代入和， 当时，，， 当时，，， ∴符合要求的方案有两种， 方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min． 方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min． 【类型6 （跨学科）反比例函数与物理综合】 41．某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将，代入，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得出，将，，代入求出结果即可； （3）根据反比例函数的性质得出随的增大而增大，从而得出当取最大值3时，有最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 42．【操作实验】 小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次实验，得到以下数据（如表）（电流电压电阻）： 电阻 … a 2 3 4 6 电流 … 4 3 2 b (1)根据实验结果，填空：______，　　　，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　　　； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　　　； (3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当≤时x的取值范围：　　　． 【答案】(1)1；； (2) 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小； (3) 【分析】（1）根据电流电压电阻，串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻，可得y关于x的关系式，再求出时，x的值和时，y的值即可得到答案； （2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象，再根据图象解答即可； （3）求出两个函数的交点的横坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵电流电压电阻，串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻， ∴， 当时，，解得，即； 当时，，即； （2）略 （3）解：当时，解得（已检验）或（已检验）， ∴由函数图象可知，当≤时x的取值范围为． 43．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键． （1）设可变电阻与物体质量之间的关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入求出结果即可； （2）设电流I与电阻之间的关系式为，再代入求解即可； （3）由题意可知当取得最小值时，x取得最大值，将代入中求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； （2）解：电流与总电阻成反比例， 又， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； （3）解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 44．小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【答案】(1) (2)y随着x的增大而减小，答案不唯一 (3)滑动变阻器上的电阻的变化范围为 【分析】本题考查反比例函数的应用； （1）观察图象，根据电流、电压、电阻的关系，可得其为反比例函数图象的一部分，用反比例函数来描述这些点的变化规律，进而求出函数解析式； （2）根据反比例函数的图象与性质，写出一条即可，答案不唯一； （3）根据反比例函数的图象与性质，y随着x的增大而减小，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵电流电压电阻， ∴在电压固定为时，电流与电阻成反比 ∴用反比例函数来描述这些点的变化规律， ∴设函数解析式为， 代入点得：，解得：， 验证其他点，符合这一关系式 ∴函数解析式为. （2）解：根据函数解析式和函数图象可得：y随着x的增大而减小， ∴写出函数的一条性质可以是：y随着x的增大而减小，答案不唯一. （3）解：∵y随着x的增大而减小， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴. 即滑动变阻器上的电阻的变化范围为. 45．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)； 画出图象如图所示： 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时， 46．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 47．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)反比例函数关系， (2) 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值， ∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系， 设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 48．数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 反比例函数实际问题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 浓度相关问题】 1 【类型2 温度相关问题】 4 【类型3 销售与利润】 8 【类型4 工程问题】 11 【类型5 方案问题】 14 【类型6 （跨学科）反比例函数与物理综合】 20 【类型1 浓度相关问题】 1．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 2．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 3．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 5．近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 6．为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组开展“探究净化因子浓度变化规律”实验，步骤如下： 实践准备 搭建模拟实验空间（体积固定），启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度（单位：），部分数据如下： 释放时间 0 0.5 1 1.2 1.5 …… 浓度 2 6 10 …… 通过实验发现：净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段与成一次函数关系； ②自然消散阶段与成反比例关系． 实践任务 (1)数据建模：根据实验数据，分别求出主动释放阶段和自然消散阶段中，关于的函数表达式（需注明自变量取值范围）． (2)数据应用：结合函数表达式，计算当净化因子浓度时，对应的释放时间的值． (3)效果评估：该实践小组通过查阅资料得知，“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于，且持续时间不低于．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 7．某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 8．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【类型2 温度相关问题】 9．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 10．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 11．绿豆粉是贵州省铜仁市的特色传统美食，尤其以石阡县和印江县为代表产地，属于贵州地方小吃中的经典之一．如图①所示，它是以绿豆为主要原料，常搭配大米或糯米制成，口感软糯爽滑，带有天然绿豆清香，兼具清热解暑的功效．据了解，制作绿豆粉时需要将研磨成浆的原料放入锅中加热，温度达到时需保持一分钟，然后将成型的绿豆粉捞出冷却至常温为一个完整的加工过程．设整个制作过程中绿豆粉及原浆的温度为，从入锅加热开始计算，时间为x分钟，y与x的函数关系如图②所示，图中段是一次函数，段是反比例函数．若加热前原浆的温度为，当时间为12分钟时，冷却中的绿豆粉温度为． (1)求图②中反比例函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)为了保障安全，专家建议加工过程中温度高于时禁止徒手操作．请你帮助加工师傅计算一下从原料入锅加热开始的整个过程中，禁止徒手操作的时间有多少分钟？ 12．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 13．某蔬菜大棚内装有一套智能温控系统，大棚内温度是时间的函数，当温度达到时，智能温控系统将自动启动，温度在上升过程中，温度与时间满足一次函数关系，当温度达到时开始恒温，持续一段时间后，温度开始下降，下降过程中大棚内温度与时间成反比例关系．温度降至时，温控系统将再次启动，重复上述过程．如图是智能温控系统从开始启动到首次温度降至时与的函数关系图象．在此范围内，解答下列问题： (1)根据图象，判断温度上升过程所用的时间_______h，保持恒温的时间______h； (2)温度下降过程中，求大棚内温度与时间的反比例函数表达式； (3)经研究发现，大棚内的温度不低于时，较适应蔬菜的生长．求能持续多长时间使该大棚内的温度适应蔬菜生长． 14．某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 15．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 16．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【类型3 销售与利润】 17．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 18．【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 19．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 20．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 21．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 22．如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 23．某超市在十二月份销售一种商品，根据统计结果发现该商品的日销售量（件）与时间第天之间的函数关系如图，当时，日销售量（件）与时间第天满足一次函数关系，当时，日销售量（件）与时间第天满足反比例函数关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)求该超市的日销售量不低于20件的天数． 24．某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． (1)求双曲线的函数解析式： (2)已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【类型4 工程问题】 25．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 26．如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 27．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 28．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 29．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 30．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 31．某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 32．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【类型5 方案问题】 33．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 34．某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 35．根据以下素材，探索完成任务 素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形种植基地，边的长不超过墙的长度．设． 素材2 现有长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计） 任务1 求y关于x的函数表达式： 任务2 若塑料薄膜用了，求的长； 任务3 若x、y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案． 36．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）． (1)求关于的函数表达式． (2)若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度 (3)若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 37．某电商店铺为促销一件标价59元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A（限购8件），除包邮外，享受每满240元（标价）减40元，但在收货之前不能退换，小华正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买． （1）请求出小华每件商品实付款的均价与购买商品A的件数的关系； （2）小华对该商品的实际需求为4件，为了追求最大优惠，小华考虑以下两种方案： 方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货； 方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）． 若以小华的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小华选择一个优惠的购买方案． 38．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 39．如图，利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形花圃．设的长为，的长为．    (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)边和的长都是整数，若围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，试求出满足条件且用料最省的方案． 40．根据以下素材，探索完成任务. 如何拟定计时器的计时方案？ 问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用. 素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器. 素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. h（mm） … 72 162 288 … x（mm/min） … 10 15 20 … 问题解决 任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式. 任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T. 任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）.请求出所有符合要求的方案. 【类型6 （跨学科）反比例函数与物理综合】 41．某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 42．【操作实验】 小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次实验，得到以下数据（如表）（电流电压电阻）： 电阻 … a 2 3 4 6 电流 … 4 3 2 b (1)根据实验结果，填空：______，　　　，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　　　； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　　　； (3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当≤时x的取值范围：　　　． 43．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 44．小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 45．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 46．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 47．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 48．数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 第 1 页 共 112 页 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