专题10 一元二次方程相关压轴题分类训练期末复习高频考题专项训练（5种类型40道）2026-2027学年九年级数学上册（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程压轴题，按5类核心考点系统分类，40道题覆盖判别式、韦达定理、新运算、换元法及代数操作，突出知识逻辑递进与解题能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式|8道|含参数方程根的存在性证明与取值范围求解|从概念理解到参数讨论，培养推理意识| |根与系数关系|8道|利用韦达定理进行代数式求值与参数计算|强化方程根与系数的关联，发展运算能力| |定义新运算|8道|结合新运算定义转化为方程求解|提升数学抽象能力，建立符号意识| |换元法|8道|通过整体代换将复杂方程转化为一元二次方程|渗透转化思想，培养数学思维灵活性| |代数操作题|8道|综合整式运算、方程根的性质等多知识点辨析|整合知识网络，发展应用意识与创新意识|

专题10 一元二次方程相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 一元二次方程根的判别式】 1 【类型2 一元二次方程根与系数的关系】 2 【类型3 一元二次方程相关定义新运算】 3 【类型4 换元法解一元二次方程】 3 【类型5 一元二次方程相关代数操作题】 4 【类型1 一元二次方程根的判别式】 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 2．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 4．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 6．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 7．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【类型2 一元二次方程根与系数的关系】 9．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 13．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【类型3 一元二次方程相关定义新运算】 17．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 18．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 19．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 20．定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 21．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 22．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 23．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 24．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为___________． 【类型4 换元法解一元二次方程】 25．若，则的值为___________． 26．若，其中为实数且，，则____________． 27．若实数x满足，则_____ ． 28．若实数x，y满足，则的值为______． 29．已知，则的值为______． 30．若实数x满足， 则＝____________． 31．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 32．已知，x，y都是实数，且，那么___________． 【类型5 一元二次方程相关代数操作题】 33．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 34．已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 35．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 36．已知一次函数，，下列说法： ①若，则与的图象关于轴对称； ②若关于的方程无实数根，则随的增大而增大； ③若函数的图象是二、四象限的角平分线，则点必在的图象上． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 37．已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 39．对于任意实数和，定义新运算，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（    ） ①的运算结果为； ②方程的解为，； ③当时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④函数的图像不经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ） ①化简一共有8种不同的结果； ②的最大值是5； ③若，（为正整数），则当时，； ④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元二次方程相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 一元二次方程根的判别式】 1 【类型2 一元二次方程根与系数的关系】 7 【类型3 一元二次方程相关定义新运算】 13 【类型4 换元法解一元二次方程】 17 【类型5 一元二次方程相关代数操作题】 21 【类型1 一元二次方程根的判别式】 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【答案】(1)且． (2)，． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． 2．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 4．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 6．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 7．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 【类型2 一元二次方程根与系数的关系】 9．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 13．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 14．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 【类型3 一元二次方程相关定义新运算】 17．新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 18．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 19．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 20．定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 21．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 22．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【答案】0或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 24．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为___________． 【答案】3或/或3 【分析】根据，由，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故答案为：3或． 【点睛】此题主要考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是要熟练掌握利用因式分解法求解一元二次方程． 【类型4 换元法解一元二次方程】 25．若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 26．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 27．若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 28．若实数x，y满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 29．已知，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法与因式分解法解一元二次方程；设，则原方程可化为，再用因式分解法解即可，注意当X为负数时要舍去． 【详解】解：设，则原方程可化为， 分解因式得：， 解得：， 由于， ∴不合题意，舍去， ∴， 即， 故答案为：1． 30．若实数x满足， 则＝____________． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或，用判别式是非负数排除，得，最后整体代入求值即可． 【详解】解：设， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：． 31．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解． 32．已知，x，y都是实数，且，那么___________． 【答案】1 【分析】令代入到，求得的值，即可求解，注意． 【详解】解：令，代入到 可得： 即 解得（舍去）， 即 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是将当成整体，进行求解． 【类型5 一元二次方程相关代数操作题】 33．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 【答案】B 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 34．已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据题目条件，逐个分类验证三个说法，结合单项式概念、一元二次方程根的性质、分类计数原理判断正确个数。 【详解】解：逐个验证三个说法： ①当时，，由题知是从中任意选取的一个数，即，若是单项式，则必须，可取，共个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当，，时，， ∵是从中任意选取的一个数，为自然数， ∴， （），，则， ∵， ∴， 情况一：，则，，不符合条件， 情况二：，则，，， 情况三：，则，，， 情况四：，则，，不符合条件， （），，矛盾，不符合题意； （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， 综上，使得方程的所有实数根的和为，故②错误，不符合题意； ③当，，， 时，， 情况一： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况二： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况三： 则有：，共有个满足条件的整式， 综上，一共有个满足条件的整式， 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有个． 35．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据“奇根方程”的定义，利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数得到答案。 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ， 据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根， 因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即， 因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别式，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数， 因此存在满足条件的有理数，④正确． 综上，正确的说法共 个． 36．已知一次函数，，下列说法： ①若，则与的图象关于轴对称； ②若关于的方程无实数根，则随的增大而增大； ③若函数的图象是二、四象限的角平分线，则点必在的图象上． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】运用一次函数性质，轴对称性质，一元二次方程根的判别式，二四象限角平分线的解析式等知识点，逐一推导即可． 【详解】解：①当时，，对任意，，即对于图象上的任意一点，点在上，两点关于轴对称，因此与关于轴对称，故①正确； ②将，代入方程， ∵， ∴原方程化为， 整理得， 若，方程为，有实根，因此， 方程无实数根，则判别式，解得， 因此随的增大而减小，故②错误； ③整理，得：， 二、四象限角平分线的解析式为，因此对应系数相等， ∴， 解得， ∴点， 当时，， ∴点在图象上，故③正确； 综上，正确的说法有①③，共2个． 37．已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题目给定条件，按的不同取值分类讨论，逐个验证四个结论，结合整式的概念、配方法判断非负性，即可得到结果． 【详解】解：∵ 和是正整数，其余系数为自然数（非负整数），且，逐个分析如下： ① 要得到最大次数，需要使系数之和最小；因为为正整数，为自然数，所以的最小值为1（当且其余系数均为0时），由可得，，即最高次数为5次，故①错误； ② 按分类计算整式总个数： 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 总个数为，故②错误； ③ 时，计算所有整式的和： 的系数总和为； 的系数总和为； 常数项总和与系数相等，为； ∴ 满足条件的所有整式的和为，故③正确； ④ 二次三项式满足：，，得，所有符合的整式为、、，共个，配方后恒为非负数，，故④错误； 综上，只有个结论正确，故选A． 38．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 39．对于任意实数和，定义新运算，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（    ） ①的运算结果为； ②方程的解为，； ③当时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④函数的图像不经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图像即可判断④． 【详解】解：①， ，故正确； ②当时，即时，方程为， 整理得，解得，， 当时，即时，方程为， 整理得，解得或（不符合题意，舍去）， 方程的解为，，故正确； ③当时，函数， 函数的图像经过第一、二象限，故错误； ④当时，即时，函数为， 当时，即时，函数为， 画出函数图像如下： 由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确； 故选：C． 40．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ） ①化简一共有8种不同的结果； ②的最大值是5； ③若，（为正整数），则当时，； ④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由、、的结果分别有2种，则的结果共有种，可判断①；根据的取值，化简运算即可判断②；根据 【详解】解：、、的结果分别有2种， 的结果共有种， 故①正确； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故②错误； 是正整数， ， ， ，， 当时，， 故③正确； ， 当或时，， ， 方程有2个不同的解， ， 解得：， 当时，， ， 方程有2个不同的解， ， 解得：， 故④错误； 综上，正确的有①③， 故选：C． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $