专题09 一元二次方程 高频选择填空题分类训练 2026-2027学年 北师大版九年级数学上册期末复习 （重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程12类高频选择填空，以定义-解法-应用-综合为逻辑链条，60道题覆盖核心考点，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|5道|直接判断与参数限定|从概念本质出发，夯实基础| |解法|10道（配方法/公式法）|变形与求解|体现代数变形逻辑，培养运算能力| |根的判别式|10道（判断/参数范围）|根的情况分析|衔接方程性质与参数关系，发展推理意识| |应用题|5道（增长率/几何）|情境建模|强化数学语言表达，提升模型意识| |综合|15道（几何动点/整体代入）|跨知识整合|从单一到综合，培养数学思维的系统性|

专题09 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程定义求参数】 3 【类型3 一元二次方程的估算】 4 【类型4 配方法解一元二次方程】 7 【类型5 判断一元二次方程的根的情况】 8 【类型6 公式法解一元二次方程】 10 【类型7 列一元二次方程】 12 【类型8 由根的情况求参数范围】 15 【类型9 一元二次方程根与系数的关系】 16 【类型10 可化为一元二次的分式方程】 18 【类型11 一元二次方程与几何动点】 20 【类型12 整体代入】 24 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 3．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 4．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 5．下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 【类型2 利用一元二次方程定义求参数】 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 9．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 10．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【类型3 一元二次方程的估算】 11．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 12．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 13．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 14．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 15．如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程解的范围，理解题意是解决本题的关键． 通过观察代数式值的符号变化，利用函数连续性即可确定根所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程在和之间有一个正根， 即． 故选C． 【类型4 配方法解一元二次方程】 16．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 17．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 18．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 19．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 20．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 【类型5 判断一元二次方程的根的情况】 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 22．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 23．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 24．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 25．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 【类型6 公式法解一元二次方程】 26．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 27．关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式“一元二次方程的求根公式是”．根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是： ， 故选：B． 28．解是的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式进行作答即可． 【详解】解：A、因为，所以，故不符合题意； B、因为，所以，故不符合题意； C、因为，所以，故不符合题意； D、因为，所以，故符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，难度较小，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 29．一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（    ） A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1 【答案】D 【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案． 【详解】∵， ∴， 则a =-2，b =3，c =-1, 故选： D ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 30．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【类型7 列一元二次方程】 31．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 32．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 33．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 34．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 35．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 【类型8 由根的情况求参数范围】 36．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 37．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 38．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 39．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解参数的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，此处，，， 代入得：， 解不等式得． 40．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程无实数根的条件为判别式小于0，只需通过判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 展开整理得， 解得， 因此的取值范围是． 【类型9 一元二次方程根与系数的关系】 41．已知的两个根分别为、，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 42．已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 43．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 44．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 45．设方程的两根分别是、，则______． 【答案】 【分析】由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵方程的两根分别是、， ∴，，且，符合题意． ∴． 【类型10 可化为一元二次的分式方程】 46．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 47．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 48．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 49．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的整式方程是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据换元法将分式方程化为整式方程，即可求解． 【详解】解：分式方程变形得： 根据，得到 分式方程整理得： ， 整理得：， 故答案为：． 50．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 【类型11 一元二次方程与几何动点】 51．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为________． 【答案】 【分析】设，的运动时间为，可得，用表示出的面积，并令其等于，即可解出的值，即动点，的运动时间． 【详解】解：设动点，的运动时间为，且，则，． ，， 又的面积为， ，解得，（舍去）． 故动点，的运动时间为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确地设出未知量，并通过解方程求解是解决本题的常见方法． 52．如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 【答案】10 【分析】由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 53．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：依题意， 的面积为． 解得 故答案为：． 54．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 55．在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是____． 【答案】 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒时，能使的面积为， 则的长为，的长为． 可列方程为， 解得，（舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为． 故答案为：3． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 【类型12 整体代入】 56．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 57．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 58．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 59．若一元二次方程有一根为，则________． 【答案】 【分析】把根代入一元二次方程，求出的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ． 60．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程定义求参数】 2 【类型3 一元二次方程的估算】 2 【类型4 配方法解一元二次方程】 3 【类型5 判断一元二次方程的根的情况】 3 【类型6 公式法解一元二次方程】 4 【类型7 列一元二次方程】 5 【类型8 由根的情况求参数范围】 6 【类型9 一元二次方程根与系数的关系】 6 【类型10 可化为一元二次的分式方程】 6 【类型11 一元二次方程与几何动点】 7 【类型12 整体代入】 8 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 5．下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【类型2 利用一元二次方程定义求参数】 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 10．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【类型3 一元二次方程的估算】 11．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 12．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 13．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 14．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 15．如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【类型4 配方法解一元二次方程】 16．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 17．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 18．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 19．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 20．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【类型5 判断一元二次方程的根的情况】 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 22．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 23．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 24．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 25．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【类型6 公式法解一元二次方程】 26．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 27．关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 28．解是的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 29．一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（    ） A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1 30．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【类型7 列一元二次方程】 31．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 32．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 33．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 34．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 35．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【类型8 由根的情况求参数范围】 36．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 37．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 38．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 39．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 40．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【类型9 一元二次方程根与系数的关系】 41．已知的两个根分别为、，则______． 42．已知方程的两根为，，则________，________． 43．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 44．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 45．设方程的两根分别是、，则______． 【类型10 可化为一元二次的分式方程】 46．方程的根是______． 47．方程的解为________． 48．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 49．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的整式方程是______________． 50．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【类型11 一元二次方程与几何动点】 51．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为________． 52．如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 53．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    54．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 55．在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是____． 【类型12 整体代入】 56．若a是方程的一个解，则的值是________． 57．已知是关于的方程的一个根，则________． 58．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 59．若一元二次方程有一根为，则________． 60．已知，是方程的两个根，则_______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $