29.1.2《过三点的圆》分层作业2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习按“基础过关-进阶思维-中考链接”分层，覆盖过三点的圆全知识点，梯度从概念辨析到综合应用，适配新授课巩固与中考衔接，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|确定圆的条件、外心定义与位置等基础知识点|以选择、填空为主，直接考查概念辨析，如外心性质判断| |进阶思维题|外心位置与三角形形状关系、外接圆半径计算等综合应用|含解答题，需推理计算，如等腰三角形外接圆半径求解| |中考链接题|中考真题及模拟题，涉及实际应用与证明|对接中考题型，如残缺圆找圆心作图、反证法证明|

人教版九年级上册 第29章 圆 29.1.2 过三点的圆 本节知识点总结 1. 确定圆的条件：经过一点可以作无数个圆；经过两点也可以作无数个圆，此时圆心在以这两点为端点的线段的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个圆）． 2. 经过不共线三点作圆的方法：连接AB、BC，分别作出线段AB、BC的垂直平分线，设它们的交点为O，则以O为圆心、OA为半径的圆就是经过A、B、C三点的圆． 3. 过共线三点不能作圆：假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，圆心为P，则P既在线段AB的垂直平分线l₁上，又在线段BC的垂直平分线 上，即P是与的交点；而，，这与"经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾，所以经过同一条直线上的三个点不能作圆． 4. 外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆（且只能作一个），这个圆叫做三角形的外接圆． 5. 内接三角形：经过三角形三个顶点的圆是三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 6. 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点． 7. 外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 8. 外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点（在三角形上）；钝角三角形的外心在三角形的外部． 9. 直角三角形的外接圆：外心是斜边的中点，因此外接圆的半径等于斜边的一半． 10. 反证法：先假设命题的结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，得出与已知条件、已学概念、公理或定理相矛盾的结果，从而判定假设不成立，原命题成立．其一般步骤为：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立． 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：确定圆的条件 【考查要点】经过一点、两点、不共线三点分别能作多少个圆，圆心的位置在哪里． 【解题方法】抓住"圆心到圆上各点距离相等"，把计数问题转化为"到定点等距的点有多少、在哪里"的问题；牢记"不在同一直线上的三个点确定一个圆"． 1. 下列说法正确的是（ ） A．经过一点可以作一个且只能作一个圆 B．经过两点可以作一个且只能作一个圆 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．经过三个点一定能作一个圆 【答案】C 【解析】本题考查确定圆的条件．过一点、过两点的圆都不唯一；三个点共线时不能作圆；只有不共线的三点才能确定一个圆． 【解答】解：经过一点，圆心和半径都不受限制，可以作无数个圆，A错误；经过两点，圆心在这两点连线段的垂直平分线上，也可以作无数个圆，B错误；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，C正确；当三个点在同一条直线上时，不能作经过这三点的圆，D错误． 故选C。 2. 经过一点可以作___无数___个圆；经过A、B两点可以作___无数___个圆，此时圆心都在线段AB的___垂直平分线___上． 【答案】无数；无数；垂直平分线 【解析】本题考查过一点、过两点作圆的计数与圆心位置．圆心必须到A、B两点距离相等，而到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解答】解：经过一点，圆心与半径均可任意选取，可以作无数个圆；经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这条垂直平分线上有无数个点，以其中每个点为圆心、以它到点A的距离为半径，都能作一个经过A、B两点的圆，因此可以作无数个圆．故依次填：无数；无数；垂直平分线． 3. 平面内有A、B、C三点，经过这三点可以作一个圆，那么（ ） A．A、B、C三点在同一条直线上 B．A、B、C三点不在同一条直线上 C．A、B、C三点可能共线，也可能不共线 D．A、B、C三点构成等边三角形 【答案】B 【解析】经过三点能作圆的条件是三点不共线：三点不共线时确定一个圆，三点共线时不能作圆． 【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三个点共线时不能作经过这三点的圆，所以经过A、B、C三点能作一个圆时，A、B、C三点一定不在同一条直线上，但三点不共线时不一定构成等边三角形． 故选B。 题型二：经过不共线三点的圆的作法 【考查要点】经过不共线三点的圆的尺规作图步骤与依据． 【解题方法】圆心取两条垂直平分线的交点O，半径取OA；作图依据是"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"． 4. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆的步骤：①连接AB、BC；②分别作出线段AB、BC的__（垂直平分线）____，设它们的交点为O；③以O为圆心、以___OA（或OB、OC）___为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆． 【答案】垂直平分线；OA（或OB、OC） 【解析】圆心到A、B、C三点的距离必须相等，而到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心是两条垂直平分线的交点，半径就是交点到其中一点（如点A）的距离． 【解答】解：因为所求圆的圆心到A、B、C三点的距离相等，而到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点O，半径为OA（由作法知OA=OB=OC）． 故依次填：垂直平分线；OA（或OB、OC）． 5. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆，圆心是（ ） A．线段AB、BC的两条中线的交点 B．线段AB、BC的两条垂直平分线的交点 C．线段AB、BC的两条高所在直线的交点 D．线段AB、BC的两条角平分线的交点 【答案】B 【解析】圆心到A、B、C三点距离相等，由"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"确定圆心位置． 【解答】解：设经过A、B、C三点的圆的圆心为O，则OA=OB=OC．由OA=OB，点O在线段AB的垂直平分线上；由OB=OC，点O在线段BC的垂直平分线上，所以圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点． 故选B。 6. 已知：不在同一条直线上的三点A、B、C（如图）．求作：⊙O，使它经过A、B、C三点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解答（连接AB、BC，分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即为所求） 【解析】本题考查经过不共线三点的圆的尺规作图．关键是确定圆心——到三点距离相等的点，即两条垂直平分线的交点． 【解答】解：作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的垂直平分线，两线交于点O；③以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O就是经过A、B、C三点的圆（如图）．理由：因为点O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB；因为点O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC，故⊙O经过A、B、C三点． 题型三：三角形的外接圆与外心 【考查要点】外接圆、内接三角形、外心的定义及外心的特征． 【解题方法】抓住外心的本质——到三角形三个顶点距离相等的点，它是三条边的垂直平分线的交点． 7. 三角形的外心是（ ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】外心是三角形外接圆的圆心，由确定圆的条件可知，它到三角形三个顶点的距离相等，是三边垂直平分线的交点． 【解答】解：经过三角形三个顶点的圆是三角形的外接圆，其圆心到三个顶点的距离相等，而到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以外心是三角形三条边的垂直平分线的交点． 故选C。 8. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的___外接圆___，这个三角形叫做这个圆的___内接___三角形；外接圆的圆心叫做三角形的__外心____，它是三角形___三条边的垂直平分线___的交点． 【答案】外接圆；内接；外心；三条边的垂直平分线 【解析】本题考查外接圆、内接三角形与外心的定义． 【解答】解：由定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点． 故依次填：外接圆；内接；外心；三条边的垂直平分线． 9. 三角形的外心到三角形的（ ）的距离相等． A．三条边 B．三个顶点 C．三条高所在直线 D．三条边的中点 【答案】B 【解析】三角形的三个顶点都在它的外接圆上，外心是外接圆的圆心，圆心到圆上各点的距离都等于半径． 【解答】解：三角形的三个顶点都在它的外接圆上，外心是外接圆的圆心，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以外心到三角形三个顶点的距离相等． 故选B。 题型四：外心的位置与三角形形状 【考查要点】外心位置与三角形形状（锐角、直角、钝角）的对应关系． 【解题方法】结合图形记忆"锐角在形内、直角在斜边中点、钝角在形外"，并会双向判断（由形状定位置、由位置定形状）． 10. 锐角三角形的外心在三角形的__内部____；直角三角形的外心是___斜边___的中点；钝角三角形的外心在三角形的__外部____． 【答案】内部；斜边；外部 【解析】外心的位置与三角形的形状有关，可结合外接圆与三角形的位置关系记忆（如图）． 【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点（在三角形上）；钝角三角形的外心在三角形的外部． 故依次填：内部；斜边；外部． 11. 若一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】外心位置与三角形形状的对应关系：锐角三角形外心在形内、直角三角形外心是斜边中点（形上）、钝角三角形外心在形外． 【解答】解：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点（在三角形上），只有钝角三角形的外心在三角形的外部． 故选C。 12. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆半径为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半，先用勾股定理求出斜边长． 【解答】解：由勾股定理，斜边长为==10，而直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以半径为10÷2=5（如图，外心O是斜边的中点）． 故选A。 题型五：外接圆半径的计算 【考查要点】直角三角形、等边三角形、等腰三角形外接圆半径的计算． 【解题方法】直角三角形R=斜边÷2；等边三角形R=；等腰三角形先作底边上的高，设半径R，用勾股定理列方程R²=OD²+BD²求解． 13. 等边三角形的边长为2，则它的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】等边三角形的外心在底边的高上，且到三个顶点的距离相等．设外接圆半径为R，利用勾股定理建立方程求解． 【解答】解：等边△ABC的边长为2，作BC边上的高AD，则BD=1，AD==．外心O在高AD上，设外接圆半径OA=OB=R，则OD=AD-OA=-R．在Rt△OBD中，由勾股定理得OB²=OD²+BD²，即R²=，展开得R²=3-2R+R²+1，所以2R=4，R=．故外接圆半径为． 14. 等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为（ ） A． B．3 C．6 D．2 【答案】D 【解析】等边三角形的外心在高上，设外接圆半径为R，由勾股定理列方程求解；也可以先求出高AD=3，再由R²=(AD-R)²+3²求解． 【解答】解：等边三角形的边长为6，高AD=√(6²-3²)=3．设外接圆半径为R，由勾股定理得R²=+3²，展开得6R=36，R=2． 故选D。 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则它的外接圆的半径为______． 【答案】（即6.5） 【解析】直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，先用勾股定理求出斜边长． 【解答】解：由勾股定理，斜边AB===13，所以外接圆半径为AB÷2=（即6.5）．故填（6.5）． 题型六：外心性质的运用 【考查要点】外心性质（到三顶点等距、外接圆唯一）的直接运用，以及多边形顶点共圆的判断． 【解题方法】紧扣"外心到三个顶点距离相等"，正方形等特殊图形的外心就是其对称中心． 16. 经过三角形的三个顶点作圆，可以作（ ） A．无数个圆 B．一个且只能作一个圆 C．两个圆 D．不能作圆 【答案】B 【解析】三角形的三个顶点不在同一条直线上，由"不在同一直线上的三个点确定一个圆"判断作圆的个数． 【解答】解：三角形的三个顶点不在同一条直线上，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个圆，这个圆就是三角形的外接圆． 故选B。 17. △ABC的外心为点O，若OA=3cm，则OB=___3___cm，OC=___3___cm，△ABC的外接圆的半径为___3___cm． 【答案】3；3；3 【解析】外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【解答】解：因为外心O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C三点都在外接圆上，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以OA=OB=OC=外接圆半径．由OA=3cm，得OB=3cm，OC=3cm，外接圆半径为3cm（如图）． 故依次填：3；3；3． 18. 正方形ABCD的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】C 【解析】正方形的四个顶点到两条对角线的交点的距离相等，对角线的交点就是外心，外接圆半径等于对角线长的一半． 【解答】解：正方形四个顶点到两条对角线的交点O的距离相等，所以O是外心（外接圆的圆心，如图）．边长为4的正方形对角线长为 =4，外接圆半径为对角线长的一半，即2． 故选C。 题型七：反证法 【考查要点】反证法的思想、一般步骤（反设—归谬—结论）及简单应用． 【解题方法】第一步先写出结论的反面（"至少有一个"的反面是"一个也没有"）；第二步由假设推出与公理、定理或已知条件的矛盾；第三步肯定原结论． 19. 用反证法证明一个命题时，第一步应该是（ ） A．假设命题的结论不成立 B．写出命题的已知和求证 C．由假设出发，经过推理得出矛盾 D．直接肯定命题的结论成立 【答案】A 【解析】反证法的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立（即结论的反面成立）；②归谬——由假设出发推出矛盾；③结论——肯定原命题成立． 【解答】解：反证法证明命题时，第一步是"反设"，即先假设命题的结论不成立（也就是结论的反面成立），然后从这个假设出发进行推理． 故选A。 20. 用反证法证明"三角形三个内角中至少有一个内角不小于60°"时，应假设（ ） A．三个内角都不小于60° B．三个内角都小于60° C．至多有一个内角不小于60° D．三个内角都等于60° 【答案】B 【解析】"至少有一个"的反面是"一个也没有"，即三个内角都小于60°． 【解答】解：命题的结论是"至少有一个内角不小于60°"，它的反面是"没有一个内角不小于60°"，即三个内角都小于60°，所以应假设三个内角都小于60°． 故选B。 21. 用反证法说明：某校九年级有400名学生，那么这400名学生中至少有两人的生日相同（一年按365天计算）． 【答案】见解答 【解析】"至少有两人生日相同"的反面是"任何两人生日都不相同"，在生日各不相同的情况下，学生人数最多为365，与400人矛盾． 【解答】解：假设这400名学生中任何两个人的生日都不相同，那么学生生日的日期最多有365种不同的情形，因此该年级最多只能有365名学生，这与该年级有400名学生相矛盾，所以假设不成立．所以这400名学生中至少有两人的生日相同． 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 经过两个已知点A、B作圆，圆心的位置（ ） A．在线段AB上 B．在直线AB上 C．在线段AB的垂直平分线上 D．可以是平面内任意一点 【答案】C 【解析】圆心到A、B两点距离相等，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解答】解：经过A、B两点的圆的圆心O满足OA=OB，而到线段AB两端点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，所以圆心在线段AB的垂直平分线上． 故选C。 2. 下列关于三角形外心位置的说法中，错误的是（ ） A．锐角三角形的外心在三角形的内部 B．直角三角形的外心是斜边的中点 C．钝角三角形的外心在三角形的外部 D．等边三角形的外心在三角形的外部 【答案】D 【解析】逐项对照"锐角外心在形内、直角外心是斜边中点、钝角外心在形外"判断． 【解答】解：等边三角形的三个角都是60°，是锐角三角形，其外心在三角形的内部，所以D错误；A、B、C均为正确结论． 故选D。 3. 等腰直角三角形的一条直角边长为6，则它的外接圆的半径为（ ） A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】B 【解析】等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍，外接圆半径等于斜边的一半． 【解答】解：等腰直角三角形的两条直角边都是6，由勾股定理，斜边==6，所以外接圆半径=6÷2=3（如图，外心O是斜边的中点）． 故选B。 4. 有下列命题：①经过三点可以作一个圆；②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；③任意三角形都有一个外接圆；④经过两点不能作圆．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】①错误——三点共线时不能作圆；④错误——经过两点可以作无数个圆；②③正确． 【解答】解：①当三点在同一条直线上时不能作圆，故①错误；②外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离都等于半径，故②正确；③任意三角形的三个顶点都不共线，由确定圆的条件知都有唯一的外接圆，故③正确；④经过两点可以作无数个圆，故④错误．所以正确的命题是②③． 故选C。 5. 用反证法证明"经过同一条直线上的三点不能作圆"时，推理得出的矛盾是（ ） A．与"经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾 B．与三角形内角和定理相矛盾 C．与"两点确定一条直线"相矛盾 D．得不出任何矛盾 【答案】A 【解析】假设能作圆，则圆心既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上；而这两条垂直平分线都垂直于这条直线，于是经过圆心有两条直线与已知直线垂直，这与垂线的唯一性矛盾． 【解答】解：如图，假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，圆心为P，则PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线l₁上；PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线l₂上，即点P是l₁与l₂的交点．而l₁⊥l，l₂⊥l，即经过点P有两条直线都与直线l垂直，这与"经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾，所以假设不成立，即经过同一条直线上的三点不能作圆． 故选A。 6. 点O是△ABC的外心，若OA=3，则OB+OC=（ ） A．3 B．6 C．9 D．无法确定 【答案】B 【解析】外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【解答】解：因为O是△ABC的外心，所以OB=OC=OA=3，所以OB+OC=6． 故选B。 （二）填空题 7. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆，圆心是线段AB、BC的__垂直平分线____的交点，半径是__交点到点A（或点B、点C）____的长． 【答案】垂直平分线；交点到点A（或点B、点C） 【解析】所求圆的圆心到三点距离相等，是两条垂直平分线的交点；半径就是圆心到其中一个点的距离． 【解答】解：由确定圆的条件，圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点O，半径为OA（由作法知OA=OB=OC）． 故依次填：垂直平分线；交点到点A（或点B、点C）． 8. 等边三角形的外接圆半径为√3，则它的边长为__3____． 【答案】3 【解析】等边三角形外接圆半径R与边长a满足R=a√3/3，逆用该关系求边长． 【解答】解：设等边三角形的边长为a，由R=a√3/3，得a=3R÷√3=√3R=√3×√3=3．故边长为3． 9. 三角形的三边长分别为6、8、10，则此三角形的外接圆的半径为__5____． 【答案】5 【解析】先由勾股定理的逆定理判断该三角形是直角三角形，斜边为10，外接圆半径等于斜边的一半． 【解答】解：因为6²+8²=36+64=100=10²，由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且斜边为10，所以外接圆半径为10÷2=5． 故填5． 10. 等腰直角三角形的斜边长为8，则它的外接圆的半径为___4___． 【答案】4 【解析】直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半． 【解答】解：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以半径为8÷2=4．故填4． 11. 已知线段AB=4cm，经过A、B两点作半径为3cm的圆，这样的圆可以作__2____个． 【答案】2 【解析】圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A（或点B）的距离为3cm．设AB的中点为M，在Rt△OAM中由勾股定理求OM，垂直平分线上满足条件的点有2个． 【解答】解：设AB的中点为M，经过A、B两点且半径为3cm的圆的圆心O在线段AB的垂直平分线上，且OA=3cm．连接OM，则OM⊥AB，AM=2cm．在Rt△OAM中，OM=√(3²-2²)=√5（cm）．线段AB的垂直平分线上到点M的距离为√5cm的点共有2个（点M两侧各一个），所以这样的圆可以作2个（如图）．故填2． （三）解答题 12. 已知：如图，锐角△ABC．求作：△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出作法）． 【答案】见解答（作两条边的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即为所求） 【解析】△ABC的三个顶点不共线，其外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条垂直平分线即可确定圆心． 【解答】解：作法：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线，与①中的垂直平分线交于点O；③以O为圆心、OA为半径作圆．则⊙O就是△ABC的外接圆（如图）．理由：因为点O是三边垂直平分线的交点，所以OA=OB=OC，即A、B、C三点都在以O为圆心、OA为半径的圆上． 13. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC的外接圆的半径． 【答案】 【解析】作底边BC上的高AD，由等腰三角形"三线合一"得BD=3，用勾股定理求AD；设外心O在AD上，由OB=OA=R及勾股定理列方程求解． 【解答】解：作AD⊥BC于D．因为AB=AC，所以BD=CD=BC÷2=3．在Rt△ABD中，AD===4．设外心为O，外接圆半径为R，则O在高AD上，且OB=OA=R，所以OD=AD-OA=4-R．在Rt△OBD中，由勾股定理得OB²=OD²+BD²，即R²=(4-R)²+3²=16-8R+R²+9，所以8R=25，R=． 所以△ABC外接圆的半径为（如图）． 14. 用反证法证明：三角形三个内角中，至少有一个内角不大于60°． 【答案】见解答 【解析】"至少有一个内角不大于60°"的反面是"三个内角都大于60°"，由此推出与内角和定理的矛盾． 【解答】证明：假设三角形三个内角都大于60°，那么这三个内角的和就大于180°，这与"三角形的内角和等于180°"相矛盾，所以假设不成立．所以三角形三个内角中，至少有一个内角不大于60°． 15. 在△ABC中： (1)若∠A=50°，∠B=60°，判断△ABC外心的位置； (2)若∠A=50°，∠B=120°，判断△ABC外心的位置，并说明理由． 【答案】(1)外心在△ABC内部；(2)外心在△ABC外部 【解析】先由三角形内角和定理求出第三个角，判断三角形的形状，再由"锐角三角形外心在形内、直角三角形外心是斜边中点、钝角三角形外心在形外"判断外心位置． 【解答】解：(1)∠C=180°-50°-60°=70°， 三个内角都是锐角，△ABC是锐角三角形， 所以外心在△ABC的内部． (2)∠C=180°-50°-120°=10°， 因为∠B=120°＞90°，△ABC是钝角三角形，所以外心在△ABC的外部． 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）下列说法正确的是（ ） A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形的内部 C．直角三角形的外心与直角顶点重合 D．钝角三角形没有外接圆 【答案】A 【解析】本题综合考查确定圆的条件与外心的位置，逐项判断． 【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；钝角三角形的外心在三角形外部，B错误；直角三角形的外心是斜边的中点，与直角顶点不重合，C错误；任意三角形都有外接圆，D错误． 故选A。 2. （2026·武汉·一模）一个直角三角形的外接圆半径为6.5，则它的斜边长为（ ） A．6.5 B．7 C．12 D．13 【答案】D 【解析】直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，斜边长等于半径的2倍． 【解答】解：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以斜边长=2×6.5=13． 故选D。 3. （2026·河北·一模）若一个三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 【答案】B 【解析】外心在三角形边上的只有直角三角形，此时外心是斜边的中点；锐角三角形外心在形内，钝角三角形外心在形外． 【解答】解：直角三角形的外心是斜边的中点，在三角形的一条边（斜边）上（如图）；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外．所以外心恰好在一条边上的三角形一定是直角三角形． 故选B。 4. （2025·天津·一模）到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，到三个顶点等距的点同时在三边的垂直平分线上，即外心． 【解答】解：设点P到△ABC三个顶点的距离相等，则PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上；同理点P在BC、AC的垂直平分线上，所以点P是三条边的垂直平分线的交点，即△ABC的外心． 故选C。 5. （2026·西安·期末）用反证法证明"经过同一条直线上的三点不能作圆"时，第一步应假设__经过同一条直线上的三点可以作圆____． 【答案】经过同一条直线上的三点可以作圆 【解析】反证法的第一步是否定命题的结论，结论"不能作圆"的反面是"可以作圆"． 【解答】解：反证法的第一步是假设命题的结论不成立，命题"经过同一条直线上的三点不能作圆"的结论的反面是"经过同一条直线上的三点可以作圆"，所以应先假设经过同一条直线上的三点可以作圆． 故填：经过同一条直线上的三点可以作圆． 6. （2025·成都·期末）直角三角形的两条边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为__2.5或2____． 【答案】2.5或2 【解析】3和4的位置有两种情况：都是直角边，或4是斜边（3是直角边），分类求解． 【解答】解：①当3和4都是直角边时，斜边=√(3²+4²)=√25=5，外接圆半径=5÷2=2.5；②当4是斜边时，外接圆半径=4÷2=2．所以外接圆的半径为2.5或2． 故填2.5或2． 7. （2026·西山区·校级一模）已知线段AB=4cm，经过A、B两点作半径为2cm的圆，这样的圆可以作__1____个． 【答案】1 【解析】圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A的距离为2cm，而AB的一半恰好等于2cm，圆心只能是AB的中点． 【解答】解：设AB的中点为M，则MA=AB÷2=2cm．经过A、B两点且半径为2cm的圆的圆心O满足OA=OB=2cm，且O在线段AB的垂直平分线上．在Rt△OAM中，OM==0，即圆心O与AB的中点M重合，符合条件的圆心只有1个，所以这样的圆只能作1个（此时AB恰好是圆的直径）． 故填1． 8. （2026·黄岛区·期末）已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆的半径． 【答案】 【解析】作底边BC上的高AD，由"三线合一"得BD=6，AD=8；设外接圆半径为R，由OB=OA=R及勾股定理列方程求解． 【解答】解：作AD⊥BC于D． 因为AB=AC， 所以BD=CD=BC÷2=6． 在Rt△ABD中，AD===8． 设外心为O，外接圆半径为R，则O在高AD上，且OB=OA=R， 所以OD=AD-OA=8-R． 在Rt△OBD中，由勾股定理得OB²=OD²+BD²， 即R²=(8-R)²+6²=64-16R+R²+36， 所以16R=100，R=． 所以△ABC外接圆的半径为． 9. （2026·济南·期末）如图，一个圆形工件残缺了一部分，只留下一块残片（含一段圆弧）．工人师傅要按原样复原整个圆形工件，需要先找出圆心．请你用尺规作图的方法说明找圆心的方法，并说明理由（保留作图痕迹）． 【答案】见解答（在弧上任取三点A、B、C，连接AB、BC，作线段AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心） 【解析】圆弧上的点到圆心的距离相等，弧上不共线的三点确定一个圆，圆心就是这三点连线段垂直平分线的交点． 【解答】解：方法：在残片的圆弧上任取三个点A、B、C（三点不共线）， 连接AB、BC； 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O就是所求的圆心（如图）． 理由：因为圆心到圆弧上各点的距离相等， 所以OA=OB=OC，即圆心到A、B、C三点的距离相等； 而到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，就是它们的交点． 又因为不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以以O为圆心、OA为半径的圆就是原工件所在的圆． 10. （2025·泰安·期末）用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角． 【答案】见解答 【解析】假设三角形中有两个钝角，则这两个钝角之和大于180°，与三角形内角和定理矛盾． 【解答】证明：假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A+∠B＞180°，于是∠A+∠B+∠C＞180°，这与"三角形的内角和等于180°"相矛盾，所以假设不成立．所以一个三角形中不能有两个钝角． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第29章 圆 29.1.2 过三点的圆 本节知识点总结 1. 确定圆的条件：经过一点可以作无数个圆；经过两点也可以作无数个圆，此时圆心在以这两点为端点的线段的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个圆）． 2. 经过不共线三点作圆的方法：连接AB、BC，分别作出线段AB、BC的垂直平分线，设它们的交点为O，则以O为圆心、OA为半径的圆就是经过A、B、C三点的圆． 3. 过共线三点不能作圆：假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，圆心为P，则P既在线段AB的垂直平分线l₁上，又在线段BC的垂直平分线 上，即P是与的交点；而，，这与"经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾，所以经过同一条直线上的三个点不能作圆． 4. 外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆（且只能作一个），这个圆叫做三角形的外接圆． 5. 内接三角形：经过三角形三个顶点的圆是三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 6. 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点． 7. 外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 8. 外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点（在三角形上）；钝角三角形的外心在三角形的外部． 9. 直角三角形的外接圆：外心是斜边的中点，因此外接圆的半径等于斜边的一半． 10. 反证法：先假设命题的结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，得出与已知条件、已学概念、公理或定理相矛盾的结果，从而判定假设不成立，原命题成立．其一般步骤为：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立． 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：确定圆的条件 【考查要点】经过一点、两点、不共线三点分别能作多少个圆，圆心的位置在哪里． 【解题方法】抓住"圆心到圆上各点距离相等"，把计数问题转化为"到定点等距的点有多少、在哪里"的问题；牢记"不在同一直线上的三个点确定一个圆"． 1. 下列说法正确的是（ ） A．经过一点可以作一个且只能作一个圆 B．经过两点可以作一个且只能作一个圆 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．经过三个点一定能作一个圆 2. 经过一点可以作______个圆；经过A、B两点可以作______个圆，此时圆心都在线段AB的______上． 3. 平面内有A、B、C三点，经过这三点可以作一个圆，那么（ ） A．A、B、C三点在同一条直线上 B．A、B、C三点不在同一条直线上 C．A、B、C三点可能共线，也可能不共线 D．A、B、C三点构成等边三角形 题型二：经过不共线三点的圆的作法 【考查要点】经过不共线三点的圆的尺规作图步骤与依据． 【解题方法】圆心取两条垂直平分线的交点O，半径取OA；作图依据是"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"． 4. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆的步骤：①连接AB、BC；②分别作出线段AB、BC的______，设它们的交点为O；③以O为圆心、以______为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆． 5. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆，圆心是（ ） A．线段AB、BC的两条中线的交点 B．线段AB、BC的两条垂直平分线的交点 C．线段AB、BC的两条高所在直线的交点 D．线段AB、BC的两条角平分线的交点 6. 已知：不在同一条直线上的三点A、B、C（如图）．求作：⊙O，使它经过A、B、C三点（保留作图痕迹，不写作法）． 题型三：三角形的外接圆与外心 【考查要点】外接圆、内接三角形、外心的定义及外心的特征． 【解题方法】抓住外心的本质——到三角形三个顶点距离相等的点，它是三条边的垂直平分线的交点． 7. 三角形的外心是（ ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 8. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的______，这个三角形叫做这个圆的______三角形；外接圆的圆心叫做三角形的______，它是三角形______的交点． 9. 三角形的外心到三角形的（ ）的距离相等． A．三条边 B．三个顶点 C．三条高所在直线 D．三条边的中点 题型四：外心的位置与三角形形状 【考查要点】外心位置与三角形形状（锐角、直角、钝角）的对应关系． 【解题方法】结合图形记忆"锐角在形内、直角在斜边中点、钝角在形外"，并会双向判断（由形状定位置、由位置定形状）． 10. 锐角三角形的外心在三角形的______；直角三角形的外心是______的中点；钝角三角形的外心在三角形的______． 11. 若一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 12. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆半径为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型五：外接圆半径的计算 【考查要点】直角三角形、等边三角形、等腰三角形外接圆半径的计算． 【解题方法】直角三角形R=斜边÷2；等边三角形R=；等腰三角形先作底边上的高，设半径R，用勾股定理列方程R²=OD²+BD²求解． 13. 等边三角形的边长为2，则它的外接圆的半径为______． 14. 等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为（ ） A． B．3 C．6 D．2 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则它的外接圆的半径为______． 题型六：外心性质的运用 【考查要点】外心性质（到三顶点等距、外接圆唯一）的直接运用，以及多边形顶点共圆的判断． 【解题方法】紧扣"外心到三个顶点距离相等"，正方形等特殊图形的外心就是其对称中心． 16. 经过三角形的三个顶点作圆，可以作（ ） A．无数个圆 B．一个且只能作一个圆 C．两个圆 D．不能作圆 17. △ABC的外心为点O，若OA=3cm，则OB=______cm，OC=______cm，△ABC的外接圆的半径为______cm． 18. 正方形ABCD的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ） A．2 B．4 C．2 D．4 题型七：反证法 【考查要点】反证法的思想、一般步骤（反设—归谬—结论）及简单应用． 【解题方法】第一步先写出结论的反面（"至少有一个"的反面是"一个也没有"）；第二步由假设推出与公理、定理或已知条件的矛盾；第三步肯定原结论． 19. 用反证法证明一个命题时，第一步应该是（ ） A．假设命题的结论不成立 B．写出命题的已知和求证 C．由假设出发，经过推理得出矛盾 D．直接肯定命题的结论成立 20. 用反证法证明"三角形三个内角中至少有一个内角不小于60°"时，应假设（ ） A．三个内角都不小于60° B．三个内角都小于60° C．至多有一个内角不小于60° D．三个内角都等于60° 21. 用反证法说明：某校九年级有400名学生，那么这400名学生中至少有两人的生日相同（一年按365天计算）． 二、进阶思维题 （一）选择题 1. 经过两个已知点A、B作圆，圆心的位置（ ） A．在线段AB上 B．在直线AB上 C．在线段AB的垂直平分线上 D．可以是平面内任意一点 2. 下列关于三角形外心位置的说法中，错误的是（ ） A．锐角三角形的外心在三角形的内部 B．直角三角形的外心是斜边的中点 C．钝角三角形的外心在三角形的外部 D．等边三角形的外心在三角形的外部 3. 等腰直角三角形的一条直角边长为6，则它的外接圆的半径为（ ） A．3 B．3 C．6 D．6 4. 有下列命题：①经过三点可以作一个圆；②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；③任意三角形都有一个外接圆；④经过两点不能作圆．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 5. 用反证法证明"经过同一条直线上的三点不能作圆"时，推理得出的矛盾是（ ） A．与"经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾 B．与三角形内角和定理相矛盾 C．与"两点确定一条直线"相矛盾 D．得不出任何矛盾 6. 点O是△ABC的外心，若OA=3，则OB+OC=（ ） A．3 B．6 C．9 D．无法确定 （二）填空题 7. 经过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆，圆心是线段AB、BC的______的交点，半径是______的长． 8. 等边三角形的外接圆半径为√3，则它的边长为______． 9. 三角形的三边长分别为6、8、10，则此三角形的外接圆的半径为______． 10. 等腰直角三角形的斜边长为8，则它的外接圆的半径为______． 11. 已知线段AB=4cm，经过A、B两点作半径为3cm的圆，这样的圆可以作______个． （三）解答题 12. 已知：如图，锐角△ABC．求作：△ABC的外接圆（保留作图痕迹，写出作法）． 13. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC的外接圆的半径． 14. 用反证法证明：三角形三个内角中，至少有一个内角不大于60°． 15. 在△ABC中： (1)若∠A=50°，∠B=60°，判断△ABC外心的位置； (2)若∠A=50°，∠B=120°，判断△ABC外心的位置，并说明理由． 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）下列说法正确的是（ ） A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形的内部 C．直角三角形的外心与直角顶点重合 D．钝角三角形没有外接圆 2. （2026·武汉·一模）一个直角三角形的外接圆半径为6.5，则它的斜边长为（ ） A．6.5 B．7 C．12 D．13 3. （2026·河北·一模）若一个三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 4. （2025·天津·一模）到三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 5. （2026·西安·期末）用反证法证明"经过同一条直线上的三点不能作圆"时，第一步应假设______． 6. （2025·成都·期末）直角三角形的两条边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为______． 7. （2026·西山区·校级一模）已知线段AB=4cm，经过A、B两点作半径为2cm的圆，这样的圆可以作______个． 8. （2026·黄岛区·期末）已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆的半径． 9. （2026·济南·期末）如图，一个圆形工件残缺了一部分，只留下一块残片（含一段圆弧）．工人师傅要按原样复原整个圆形工件，需要先找出圆心．请你用尺规作图的方法说明找圆心的方法，并说明理由（保留作图痕迹）． 10. （2025·泰安·期末）用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角． 学科网（北京）股份有限公司 $