29.1.2 过三点的圆（第1课时 确定圆的条件）（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 同步练习围绕“确定圆的条件”，通过概念辨析、性质应用、尺规作图三层递进设计，覆盖三角形外接圆核心知识点，梯度合理，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形外接圆概念、外心性质|以选择/填空题辨析外心定义与位置特征，强化抽象能力与几何直观| |技能应用|外接圆半径计算、确定圆的条件|结合网格与坐标系求外心坐标，培养推理意识与运算能力| |综合操作|尺规作图（找圆心、作外接圆）|联系补全破圆等实际问题，发展空间观念与应用意识|

29.1.2 过三点的圆（第1课时 确定圆的条件）（原卷版） 目 录 类型一、三角形外接圆的概念辨析 1 类型二、确定三角形外接圆的半径和圆心 5 类型三、判断确定圆的条件 9 类型四、圆的个数问题 10 类型五、圆有关的尺规作图 11 类型一、三角形外接圆的概念辨析 1．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 3．如图，O是的外心，则________． 4．已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 6．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 8．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 10．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 11．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 13．下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形各边距离相等 14．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 16．如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为________． 17．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 18．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为__________． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 20．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 21．在中，，，则的重心和外心的距离为______． 22．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 23．如图，外接圆的圆心坐标为______． 类型二、确定三角形外接圆的半径和圆心 24．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 25．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 26．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 27．下列说法错误的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 28．下列条件不一定能确定一个圆的是（   ） A．圆心与半径 B．三角形的三个顶点 C．直径 D．平面上的三个已知点 29．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 30．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 31．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 32．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 33．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 34．已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 35．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 36．如图，的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上，过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 38．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 39．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 40．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 41．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 42．如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 43．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____． 44．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 类型三、判断确定圆的条件 45．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 46．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 47．在平面直角坐标系内的点，， ________________ 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 48．平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 49．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 50．当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 类型四、圆的个数问题 51．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 52．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 53．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 54．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 55．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 56．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 57．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 58．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 59．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 60．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 61．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 62．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 63．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 64．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 65．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ 类型五、圆有关的尺规作图 66．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 67．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 68．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 69．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 70．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 71．如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长度． 72．如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 73．试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 74．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 75．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 1．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 3．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是等边的外接圆，圆心为，半径为3．点，分别是边的三等分点，连接得到一六边形，则该六边形边长为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 6．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 7．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 8．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 9．如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______． 10．如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为______． 11．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 1．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 2．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 基本操作 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕（点，分别在边，上），把纸片展平； 操作二：在线段上选一点（不与点，重合），并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． (1)观察发现 如图1，当点在上时，的度数为________． (2)迁移探究 若将矩形纸片换为边长为的正方形纸片，继续上面的基本操作．延长线段交于点，连接． 如图2，当点在上时，求的面积． (3)拓展应用 在边长为的正方形纸片中，保持上述基本操作不变．当点在上的位置改变时，线段的延长线与的交点的位置也随之改变．请解决下列问题： ①当时，求的长； ②当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆（第1课时 确定圆的条件）（解析版） 目 录 类型一、三角形外接圆的概念辨析 1 类型二、确定三角形外接圆的半径和圆心 15 类型三、判断确定圆的条件 26 类型四、圆的个数问题 28 类型五、圆有关的尺规作图 34 类型一、三角形外接圆的概念辨析 1．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 2．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 3．如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 4．已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 5．如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 6．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 8．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点D在外接圆上， ∴； 故选B． 10．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 11．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，掌握“三角形的外心是其外接圆的圆心”、“同弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”知识点是解题的关键． 由已知点是的外心，说明点是外接圆的圆心，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：点是的外心，， 是圆周角，是同弧所对的圆心角， ． 故选：C． 12．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 13．下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形各边距离相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的相关定义， 根据圆的基本性质、圆周角定理和垂径定理等知识判断各选项的正确性． 【详解】解：∵三点共线时无法作圆，∴A错误； ∵在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，∴B正确； ∵当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴C错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，但到各边距离不一定相等，∴D错误． 故选：B． 14．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及确定圆的条件、正多边形的对称性、正六边形的性质以及三角形的外心性质，根据相关性质判断命题的真假即可． 【详解】解：∵ ①三点共线时不能确定一个圆，故假命题； ∵ ②正多边形不一定是中心对称图形（如正三角形），故假命题； ∵ ③正六边形的半径（外接圆半径）与边长相等，故真命题； ∵ ④三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，故真命题； ∴ 真命题有2个， 故选：C． 15．等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质及垂径定理，熟练掌握三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质及垂径定理是解题的关键．根据等腰三角形内接于圆，圆心在底边垂直平分线上，利用垂径定理和勾股定理求得，从而求得，最后再结合勾股定理求腰长即可． 【详解】解：设圆心为，且在该等腰三角形内部时，取底边中点为，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，底边中点为， ∴， ∴圆心在线段上， ∴， ∴， ∴； 当圆心在该等腰三角形外部时，如图， 同理可得：，， 故答案为：或． 16．如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，利用圆周角定理得出圆心角的度数，再根据点是外心可知，进而判断出的形状，最后利用勾股定理求得. 【详解】解：如图，过点作于点，则． 由题意，得内接于半径为的， ． 又， ， ， ， ， ； 故答案为：. 17．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 18．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 21．在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    22．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 23．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可． 【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点， ∵垂直平分线的交点坐标为， ∴外接圆的圆心坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点是解本题的关键． 类型二、确定三角形外接圆的半径和圆心 24．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 25．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 26．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 27．下列说法错误的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 【答案】C 【分析】本题考查确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 根据确定圆的条件，过一点或两点有无数圆；过三点时，只有不共线的三点才能确定一个圆，共线时无法确定圆；选项D中的三点不共线，故能确定一个圆。 【详解】A、∵ 过一点可作无数个圆（圆心任意，半径随圆心变化），∴该选项正确，不符合题意； B、∵ 过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上），∴该选项正确，不符合题意； C、∵ 过三点时，若三点不共线，则确定一个圆；若三点共线，则无法确定圆，∴该选项错误，符合题意； D、∵ 过直线上两点和直线外一点，三点不共线，∴能确定一个圆，∴该选项正确，符合题意． 故选：C． 28．下列条件不一定能确定一个圆的是（   ） A．圆心与半径 B．三角形的三个顶点 C．直径 D．平面上的三个已知点 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件，圆心与半径、直径、三角形的三个顶点均能唯一确定一个圆，但平面上的三个已知点若共线则无法确定圆． 【详解】A、给定圆心和半径能唯一确定圆，不符合题意； B、三角形的三个顶点不共线，能确定唯一外接圆，不符合题意； C、直径能确定圆心和半径，不符合题意； D、平面上的三个已知点可能共线，此时无法确定圆，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查确定圆的条件，关键是理解不共线的三点才能确定一个圆． 29．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 30．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 31．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 32．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 33．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 34．已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 【详解】解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 35．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 36．如图，的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上，过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆以及圆的切线，三角形的外接圆圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，据此即可求解． 【详解】解：如图所示：即为所求： 观察图象可知：过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个， 故选：C． 37．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 38．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 39．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 40．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键． 41．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 42．如图是一个残破的圆形零部件，现在需要找到它所在圆的圆心，当老师布置好这个任务后，第一小组的同学制定了如下方案：①在圆弧上取两条不平行的弦；②分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于、；③分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q；④作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心．其他小组的同学都非常认可第一小组的方案，你认为第一小组这样作法的依据是：________． 【答案】垂直平分弦的直线经过圆心 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心（外心）的确定，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 根据在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心．因此，只要找到两条不平行弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，直线垂直平分弦，垂直平分弦， 因为在同一个圆中，每条弦的垂直平分线都经过圆心． 所以作直线和，两直线交于点，则点为所在圆的圆心． 故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心． 43．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____． 【答案】． 【分析】依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 44．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 类型三、判断确定圆的条件 45．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 46．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 47．在平面直角坐标系内的点，， ________________ 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 48．平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点睛】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 49．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 50．当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 类型四、圆的个数问题 51．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 52．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 53．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 54．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 55．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 56．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 57．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 58．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 59．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 【答案】D 【分析】根据三点确定一个圆的定理、三角形外心的定义依次判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项说法错误； 等边三角形的外心是三角形的中心，故B选项说法错误； 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故C选项说法错误； 等腰三角形的外心在顶角的角平分线上，故D选项说法正确； 故选：D． 【点睛】此题考查点确定圆的条件，三角形外心的定义及性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 60．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 61．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 62．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 63．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 64．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 65．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ 【答案】(1)这样的圆能作2个 (2)这样的圆能作1个 (3)这样的圆能作0个 【分析】（1）要确定作半径为4且经过两点的圆的个数，需先作的垂直平分线，再以为圆心、4为半径作弧，看与垂直平分线的交点个数，交点个数即为圆的个数； （2）作半径为3且经过两点的圆，先作的垂直平分线，找到中点，判断以为圆心、3为半径的圆是否经过； （3）判断作半径为2且经过两点的圆的个数，需比较半径与一半的长度，看是否存在这样的圆心． 【详解】（1）解：这样的圆能作2个，如图①所示． 作的垂直平分线，再以点为圆心，4为半径作弧，交于点，，然后分别以点，为圆心，4为半径作圆，则和为所求． （2）解：这样的圆能作1个，如图②所示． 作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，3为半径作圆，则为所求． （3）解：，其一半为3，半径2小于3，不存在到距离为2的点，所以这样的圆能作0个． 【点睛】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． 类型五、圆有关的尺规作图 66．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 67．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 68．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可． 【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等， ∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到， ∵外心是三角形三边的中垂线的交点， ∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可． ∴作图的顺序为：③①②； 故选C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键． 69．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 70．如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 71．如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点O，再以O为圆心，为半径作圆，与交于点Q，连接； （2）由勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）可知，为的直径， ， 在中，，，， ， 是的中点， ， ，， ， ，即， ． 72．如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：点即为所求， (2)证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 73．试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 【答案】方法1：如图所示：点为破残轮片的圆心． 方法2：如图：点为破残轮片的圆心． 【分析】方法1：先从圆上找出任意的三点，连接，作线段的垂直平分线，交点即是破残轮片的圆心；方法2：作的圆周角：，直径交于点，点即为破残轮片的圆心． 【详解】解：略． 74．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 【详解】略 75．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】根据题意画出圆即可； 先任意画线段，然后作垂直平分线，交于点，再以为半径画圆即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 1．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 2．如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 3．如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 4．如图，是等边的外接圆，圆心为，半径为3．点，分别是边的三等分点，连接得到一六边形，则该六边形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，过点作于点M，根据是等边的外接圆，圆心为，可得，，解直角三角形求出，得到，进而得到，根据点，分别是边的三等分点，求出，，证明，得出，求出，同理可得，即可得解． 【详解】解：过点作于点M， ∵是等边的外接圆，圆心为，半径为3， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是边的三等分点， ∴， ∴， ∴，即， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形是正六边形，且边长为． 故选：B． 5．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 6．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 7．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 8．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 9．如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆半径为． 故答案为：． 10．如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、弧长公式等知识，由作图可知点O为的外接圆圆心是解题的关键．由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接，由圆周角定理求出，得到，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为： 11．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 1．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 【答案】(1)解：如图①，直线即为所求； (2)解：如图②，直线即为所求； 【分析】（1）连接，过点作的垂线，即为直线； （2）以为圆心，为半径画圆，连接，作的中垂线，再以为直径画圆，两圆交于点，连接，作直线即可，根据圆周角定理可得，即，又，根据弦心距相等，对应的弦也相等，即可得到直线即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 2．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 基本操作 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕（点，分别在边，上），把纸片展平； 操作二：在线段上选一点（不与点，重合），并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． (1)观察发现 如图1，当点在上时，的度数为________． (2)迁移探究 若将矩形纸片换为边长为的正方形纸片，继续上面的基本操作．延长线段交于点，连接． 如图2，当点在上时，求的面积． (3)拓展应用 在边长为的正方形纸片中，保持上述基本操作不变．当点在上的位置改变时，线段的延长线与的交点的位置也随之改变．请解决下列问题： ①当时，求的长； ②当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)①或；② 【分析】（1）根据题意得，再根据直角三角形的性质得，进而得出答案； （2）根据特殊角的三角函数值求出，即可得，再根据正方形和折叠的性质得，，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据三角形的面积公式得出答案； （3）①当点Q在点F的下方时，求出相应的线段长，再根据全等三角形的性质得，然后设，再根据勾股定理得，进而求出答案；当点Q在点F上方时，求出线段的长，再设，然后根据勾股定理求出答案即可； ②取的外心O，连接，作交于点H，连接，根据折叠的性质得，，，根据得到，进而可知，根据外心的定义得到，，设，根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，可知，，则a越小越小，根据三角形三边关系及垂线段最短得到即a最小时，此时最小，且H与M重合，即，根据求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或； ②如图，取的外心O，连接，作交于点H，连接， 根据折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵外心是三角形外接圆的圆心， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 解得：（负值舍去）， ∴，， 可知a越小越小， 由三角形三边关系可知 由垂线段最短可知， ∴， 即a最小时， 此时最小，且H与M重合，即， 由可知， 解得：， 即． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $