5.1《方程》整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程核心知识，系统梳理方程概念（含未知数的等式）、列方程步骤（审设找列）、方程的解（使等式成立的未知数的值）、一元一次方程定义（单未知数、整式、次数1）、等式性质（加减乘除运算规律）及解方程方法（移项、合并、系数化为1），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以两日分段预习任务明确目标，结合行程、面积等实例渗透建模思想，易错点汇总强化数学思维严谨性，真题训练提升应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生自检巩固，培养用数学语言表达现实问题的能力。

人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.1 方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・方程概念与一元一次方程模块）】 ✅ 达成目标：理解方程的概念，能设未知数列方程，理解方程的解，掌握一元一次方程的概念 通读课本 P111-P115 从算式到方程、方程的概念、例1、方程的解、例2和一元一次方程的内容，自主完成下文「核心知识点 1-4」「基本概念 1-4」的挖空填写。 熟记方程的定义（含有未知数的等式），掌握列方程的方法（设未知数、找相等关系、列方程），理解方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），掌握一元一次方程的概念（只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能判断方程，能设未知数列方程，能检验方程的解，能判断一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・等式的性质与解方程模块）】 ✅ 达成目标：掌握等式的性质，能利用等式的性质解一元一次方程 通读课本 P115-P117 等式的性质、例3、例4和练习内容，完成「核心知识点 5-6」「基本概念 5」剩余挖空填写。 掌握等式的性质1（两边加或减同一个数或式子）和性质2（两边乘同一个数或除以同一个不为0的数），能利用等式的性质解简单的一元一次方程，能检验方程的解。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能运用等式的性质解方程，能检验方程的解，能解决实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：方程的概念 在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题。接下来，我们将引入方程解决一些实际问题。 例如，甲乙两队行进问题：甲队速度1.2 km/h，乙队速度0.8 km/h，甲队从大本营出发1 km后乙队从大本营出发3 km后。设两队行进的时间为x h，甲队距大本营的路程为(1.2x+1) km，乙队距大本营的路程为(0.8x+3) km。 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程，因此1.2x+1=0.8x+3。 又如，水杯问题：大水杯单价x元，小水杯单价(x-5)元，用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯，所以3x=4(x-5)。 再如，纪念币面积问题：长x mm，宽 x mm，面积 x² mm²，已知面积为4000 mm²，所以 x²=4000。 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（equation）。 判断方程的条件（两个条件）： （1）必须是等式（含有等号）； （2）必须含有未知数。 算式与方程的区别： （1）算式：只含有已知数，不含未知数，表示计算过程； （2）方程：既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，表示相等关系。 ⚠️易错提醒：方程必须同时满足"是等式"和"含有未知数"两个条件，缺一不可。例如，2+3=5是等式但不含未知数，不是方程；2x+3含有未知数但不是等式，也不是方程。 知识点 2：列方程的方法和步骤 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 列方程的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量； （2）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量； （3）找：找出问题中的相等关系； （4）列：根据相等关系，列出方程。 例如：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 解：设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。根据"女生比男生多80人"，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80。 又如：一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m²，求正方形绿地的边长。 解：设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x²+5x) m²。根据"扩大后的绿地面积是500 m²"，列得方程x²+5x=500。 💡重要结论：列方程的关键是找出问题中的相等关系。相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的（如面积公式、路程公式等）。设未知数时可以直接设，也可以间接设。 知识点 3：方程的解与解方程 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值。 例如，对于方程1.2x+1=0.8x+3，可以发现，当x=5时，左边=1.2×5+1=7，右边=0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值相等。 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解（solution）。 求方程的解的过程，叫作解方程。 检验方程的解的方法： （1）代：将未知数的值代入方程的左边和右边； （2）算：分别计算方程左边和右边的值； （3）比：比较左边和右边的值是否相等； （4）判：如果左边=右边，那么这个值是方程的解；如果左边≠右边，那么这个值不是方程的解。 例如：x=2，x=是方程2x=3的解吗？ 解：当x=2时，左边=2×2=4，右边=3，左边≠右边，所以x=2不是方程2x=3的解； 当x=时，左边=2×=3，右边=3，左边=右边，所以x=是方程2x=3的解。 💡重要结论：方程的解是一个具体的数值，它能使方程左右两边的值相等。解方程是一个过程，是求方程解的过程。检验方程的解时，要分别代入左边和右边计算，不能直接代入整个方程。 知识点 4：一元一次方程的概念 观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它们有什么共同特征？ 这些方程都只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1。 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation with one unknown）。 判断一元一次方程的条件（三个条件）： （1）只含有一个未知数； （2）含有未知数的式子都是整式（分母中不含未知数）； （3）未知数的次数都是1。 例如：2x=3，x+7=26，-5x=20都是一元一次方程； 而x²+5x=500中未知数的次数是2，不是一元一次方程； =2中分母含有未知数，不是整式方程，也不是一元一次方程。 ⚠️易错提醒：判断一元一次方程时，必须同时满足三个条件：只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数都是1。未知数的次数高于1或分母中含有未知数的方程都不是一元一次方程。 知识点 5：等式的性质 方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质。 像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式。我们可以用a=b表示一般的等式。 等式的两个基本事实： （1）等式两边可以交换：如果a=b，那么b=a； （2）相等关系可以传递：如果a=b，b=c，那么a=c。 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b，c≠0，那么= 。 等式性质的注意事项： （1）等式两边加（或减）的必须是同一个数或式子，不能一边加一边减； （2）等式两边乘的可以是任意数，但除以的数不能为0； （3）等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则无意义。 💡重要结论：等式的性质是解方程的依据。利用等式的性质1可以移项（把方程中的某一项改变符号后从一边移到另一边），利用等式的性质2可以将未知数的系数化为1。 知识点 6：利用等式的性质解方程 利用等式的性质可以解方程。解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式。等式的性质是转化的重要依据。 利用等式的性质解方程的一般步骤： （1）移项：利用等式的性质1，将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边； （2）合并：合并同类项，将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：利用等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：利用等式的性质解下列方程： （1）x+7=26 解：方程两边减7，得x+7-7=26-7，于是x=19。 （2）-5x=20 解：方程两边除以-5，得x=-4。 （3） x-5=4 解：方程两边加5，得 x=9； 方程两边乘-3，得x=-27。 检验：从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等。 例如，将x=-27代入方程 x-5=4的左边，得×(-27)-5=9-5=4，方程左、右两边的值相等，所以x=-27是方程 x-5=4的解。 💡重要结论：解方程的过程就是利用等式的性质将方程逐步转化为x=m的形式。解完方程后要进行检验，确保解的正确性。移项时要注意变号，系数化为1时要注意除以的数不能为0。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） ） 易错点1：误认为含有未知数的式子都是方程。方程必须同时满足"是等式"和"含有未知数"两个条件。例如，2x+3含有未知数但不是等式，不是方程；2+3=5是等式但不含未知数，也不是方程。 易错点2：列方程时找错相等关系。列方程的关键是找出问题中的相等关系，相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的。要仔细审题，分析题意，找出正确的相等关系，不能凭印象列方程。 易错点3：检验方程的解时代入计算错误。检验方程的解时，要将未知数的值分别代入方程的左边和右边，分别计算，然后比较。不能直接代入整个方程，也不能只计算一边就下结论。 易错点4：误认为未知数次数为1的方程都是一元一次方程。一元一次方程必须同时满足三个条件：只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数都是1。例如，=2中未知数的次数虽然可以看作-1，但分母中含有未知数，不是整式方程，所以不是一元一次方程。 易错点5：利用等式性质2时，忽略除数不能为0。等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则无意义。在解方程系数化为1时，要注意未知数的系数不能为0。 易错点6：解方程时漏乘或符号错误。利用等式的性质解方程时，等式两边要同时进行相同的运算，不能漏乘某些项。移项时要注意变号，将方程中的某一项从一边移到另一边时，符号要改变。 二、基本概念定义 方程：先设出字母表示____，然后根据问题中的____，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 方程的解：使方程左、右两边的值____的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的____的过程，叫作解方程。 一元一次方程：如果方程中只含有____未知数（元），且含有未知数的式子都是____，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程。 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍____。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为____的数，结果仍相等。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解方程的过程就是利用等式的性质将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式，将求方程解的问题转化为等式变形的问题，体现了转化思想。转化思想使解方程的过程变得有条理，是解方程的核心思想。 2. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如甲乙两队行进问题、水杯问题、纪念币面积问题、学生人数问题、绿地面积问题等，都可以通过建立方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 符号化思想 符号化思想是指用符号（字母、运算符号等）来表示数、数量关系和运算规律的思想方法。在本节中，我们用字母x表示未知数，用含有x的等式表示实际问题中的相等关系，如1.2x+1=0.8x+3、3x=4(x-5)等，体现了符号化思想。符号化思想使数学表达更加简洁、通用，是代数的核心思想。用字母表示未知数后，可以将实际问题中的数量关系用方程表示，使数学从具体走向一般。 4. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，方程可以分为一元一次方程、一元二次方程、分式方程等；等式的性质可以分为性质1（加减）和性质2（乘除）；解方程的步骤可以分为移项、合并同类项、系数化为1等，体现了分类思想。分类思想使方程的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型方程的特征和解法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，方程广泛应用于行程问题（甲乙两队行进）、销售问题（水杯单价）、几何问题（纪念币面积、绿地面积）、百分比问题（学生人数）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列各式中，是方程的是（　　　） A. 2x+3 B. 2+3=5 C. 2x+3=5 D. 2+3 2.（2025-2026学年·北京期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　　） A. x²+2x=3 B. 2x+3y=5 C. =2 D. 3x-5=7 3.（2024-2025学年·山东济南期末）x=是下列哪个方程的解（　　　） A. 2x=3 B. 3x=2 C. x+2=3 D. x-2=1 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）根据等式的性质，如果a=b，那么下列变形正确的是（　　　） A. a+c=b-c B. ac=bc C. = D. a-c=b+c 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，设这所学校有x名学生，则下列方程正确的是（　　　） A. 0.52x=80 B. (1-0.52)x=80 C. 0.52x-(1-0.52)x=80 D. 0.52x+(1-0.52)x=80 6.（2025-2026学年·福建福州期末）方程x+5=3的解是（　　　） A. x=2 B. x=-2 C. x=8 D. x=-8 7.（2024-2025学年·河南周口期末）方程-2x=6的解是（　　　） A. x=3 B. x=-3 C. x=12 D. x=-12 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）方程 x=4的解是（　　　） A. x=2 B. x=4 C. x=8 D. x=16 9.（2024-2025学年·四川成都期中）一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m²，设正方形绿地的边长为x m，则下列方程正确的是（　　　） A. x²=500 B. (x+5)²=500 C. x²+5x=500 D. x²-5x=500 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）方程 x-5=4的解是（　　　） A. x=-27 B. x=27 C. x=-3 D. x=3 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）方程2x-3=5的解是________。 12.（2025-2026学年·北京期中）如果x=2是方程3x+a=10的解，那么a=________。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）方程x=6的解是________。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，设大水杯的单价为x元，则可列方程为________。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）如果2x+3=7，那么4x+1=_______。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲的速度是5 km/h，乙的速度是4 km/h，甲比乙早到1 h。设A、B两地的距离为x km，则可列方程为_______。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）利用等式的性质解下列方程： （1）x-5=6；　　（2）0.3x=45。 18.（2024-2025学年·人教版同步）检验x=10和x=20是不是方程3x=4(x-5)的解。 19.（2025-2026学年·北京期中）根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元。用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ （2）有两条电线，第一条长90 m，第二条长40 m。要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等。求截下的那段电线的长度。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）利用等式的性质解方程2 x=3，并检验。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）某车间有28名工人，生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓配两个螺母，问应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？（只列方程，不求解） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.1 方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・方程概念与一元一次方程模块）】 ✅ 达成目标：理解方程的概念，能设未知数列方程，理解方程的解，掌握一元一次方程的概念 通读课本 P111-P115 从算式到方程、方程的概念、例1、方程的解、例2和一元一次方程的内容，自主完成下文「核心知识点 1-4」「基本概念 1-4」的挖空填写。 熟记方程的定义（含有未知数的等式），掌握列方程的方法（设未知数、找相等关系、列方程），理解方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），掌握一元一次方程的概念（只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能判断方程，能设未知数列方程，能检验方程的解，能判断一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・等式的性质与解方程模块）】 ✅ 达成目标：掌握等式的性质，能利用等式的性质解一元一次方程 通读课本 P115-P117 等式的性质、例3、例4和练习内容，完成「核心知识点 5-6」「基本概念 5」剩余挖空填写。 掌握等式的性质1（两边加或减同一个数或式子）和性质2（两边乘同一个数或除以同一个不为0的数），能利用等式的性质解简单的一元一次方程，能检验方程的解。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能运用等式的性质解方程，能检验方程的解，能解决实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：方程的概念 在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题。接下来，我们将引入方程解决一些实际问题。 例如，甲乙两队行进问题：甲队速度1.2 km/h，乙队速度0.8 km/h，甲队从大本营出发1 km后乙队从大本营出发3 km后。设两队行进的时间为x h，甲队距大本营的路程为(1.2x+1) km，乙队距大本营的路程为(0.8x+3) km。 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程，因此1.2x+1=0.8x+3。 又如，水杯问题：大水杯单价x元，小水杯单价(x-5)元，用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯，所以3x=4(x-5)。 再如，纪念币面积问题：长x mm，宽 x mm，面积 x² mm²，已知面积为4000 mm²，所以 x²=4000。 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（equation）。 判断方程的条件（两个条件）： （1）必须是等式（含有等号）； （2）必须含有未知数。 算式与方程的区别： （1）算式：只含有已知数，不含未知数，表示计算过程； （2）方程：既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，表示相等关系。 ⚠️易错提醒：方程必须同时满足"是等式"和"含有未知数"两个条件，缺一不可。例如，2+3=5是等式但不含未知数，不是方程；2x+3含有未知数但不是等式，也不是方程。 知识点 2：列方程的方法和步骤 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 列方程的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量； （2）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量； （3）找：找出问题中的相等关系； （4）列：根据相等关系，列出方程。 例如：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 解：设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。根据"女生比男生多80人"，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80。 又如：一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m²，求正方形绿地的边长。 解：设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x²+5x) m²。根据"扩大后的绿地面积是500 m²"，列得方程x²+5x=500。 💡重要结论：列方程的关键是找出问题中的相等关系。相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的（如面积公式、路程公式等）。设未知数时可以直接设，也可以间接设。 知识点 3：方程的解与解方程 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值。 例如，对于方程1.2x+1=0.8x+3，可以发现，当x=5时，左边=1.2×5+1=7，右边=0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值相等。 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解（solution）。 求方程的解的过程，叫作解方程。 检验方程的解的方法： （1）代：将未知数的值代入方程的左边和右边； （2）算：分别计算方程左边和右边的值； （3）比：比较左边和右边的值是否相等； （4）判：如果左边=右边，那么这个值是方程的解；如果左边≠右边，那么这个值不是方程的解。 例如：x=2，x=是方程2x=3的解吗？ 解：当x=2时，左边=2×2=4，右边=3，左边≠右边，所以x=2不是方程2x=3的解； 当x=时，左边=2×=3，右边=3，左边=右边，所以x=是方程2x=3的解。 💡重要结论：方程的解是一个具体的数值，它能使方程左右两边的值相等。解方程是一个过程，是求方程解的过程。检验方程的解时，要分别代入左边和右边计算，不能直接代入整个方程。 知识点 4：一元一次方程的概念 观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它们有什么共同特征？ 这些方程都只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1。 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation with one unknown）。 判断一元一次方程的条件（三个条件）： （1）只含有一个未知数； （2）含有未知数的式子都是整式（分母中不含未知数）； （3）未知数的次数都是1。 例如：2x=3，x+7=26，-5x=20都是一元一次方程； 而x²+5x=500中未知数的次数是2，不是一元一次方程； =2中分母含有未知数，不是整式方程，也不是一元一次方程。 ⚠️易错提醒：判断一元一次方程时，必须同时满足三个条件：只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数都是1。未知数的次数高于1或分母中含有未知数的方程都不是一元一次方程。 知识点 5：等式的性质 方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质。 像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式。我们可以用a=b表示一般的等式。 等式的两个基本事实： （1）等式两边可以交换：如果a=b，那么b=a； （2）相等关系可以传递：如果a=b，b=c，那么a=c。 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b，c≠0，那么= 。 等式性质的注意事项： （1）等式两边加（或减）的必须是同一个数或式子，不能一边加一边减； （2）等式两边乘的可以是任意数，但除以的数不能为0； （3）等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则无意义。 💡重要结论：等式的性质是解方程的依据。利用等式的性质1可以移项（把方程中的某一项改变符号后从一边移到另一边），利用等式的性质2可以将未知数的系数化为1。 知识点 6：利用等式的性质解方程 利用等式的性质可以解方程。解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式。等式的性质是转化的重要依据。 利用等式的性质解方程的一般步骤： （1）移项：利用等式的性质1，将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边； （2）合并：合并同类项，将方程化为ax=b（a≠0）的形式； （3）系数化为1：利用等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数a，得到x=。 例如：利用等式的性质解下列方程： （1）x+7=26 解：方程两边减7，得x+7-7=26-7，于是x=19。 （2）-5x=20 解：方程两边除以-5，得x=-4。 （3） x-5=4 解：方程两边加5，得 x=9； 方程两边乘-3，得x=-27。 检验：从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等。 例如，将x=-27代入方程 x-5=4的左边，得×(-27)-5=9-5=4，方程左、右两边的值相等，所以x=-27是方程 x-5=4的解。 💡重要结论：解方程的过程就是利用等式的性质将方程逐步转化为x=m的形式。解完方程后要进行检验，确保解的正确性。移项时要注意变号，系数化为1时要注意除以的数不能为0。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） ） 易错点1：误认为含有未知数的式子都是方程。方程必须同时满足"是等式"和"含有未知数"两个条件。例如，2x+3含有未知数但不是等式，不是方程；2+3=5是等式但不含未知数，也不是方程。 易错点2：列方程时找错相等关系。列方程的关键是找出问题中的相等关系，相等关系可能是题目中明确给出的，也可能是隐含的。要仔细审题，分析题意，找出正确的相等关系，不能凭印象列方程。 易错点3：检验方程的解时代入计算错误。检验方程的解时，要将未知数的值分别代入方程的左边和右边，分别计算，然后比较。不能直接代入整个方程，也不能只计算一边就下结论。 易错点4：误认为未知数次数为1的方程都是一元一次方程。一元一次方程必须同时满足三个条件：只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数都是1。例如，=2中未知数的次数虽然可以看作-1，但分母中含有未知数，不是整式方程，所以不是一元一次方程。 易错点5：利用等式性质2时，忽略除数不能为0。等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则无意义。在解方程系数化为1时，要注意未知数的系数不能为0。 易错点6：解方程时漏乘或符号错误。利用等式的性质解方程时，等式两边要同时进行相同的运算，不能漏乘某些项。移项时要注意变号，将方程中的某一项从一边移到另一边时，符号要改变。 二、基本概念定义 方程：先设出字母表示__未知数__，然后根据问题中的__相等关系__，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 方程的解：使方程左、右两边的值__相等__的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的__解__的过程，叫作解方程。 一元一次方程：如果方程中只含有__一个__未知数（元），且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的次数都是__1__，这样的方程叫作一元一次方程。 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍__相等__。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为__0__的数，结果仍相等。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解方程的过程就是利用等式的性质将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式，将求方程解的问题转化为等式变形的问题，体现了转化思想。转化思想使解方程的过程变得有条理，是解方程的核心思想。 2. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如甲乙两队行进问题、水杯问题、纪念币面积问题、学生人数问题、绿地面积问题等，都可以通过建立方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 符号化思想 符号化思想是指用符号（字母、运算符号等）来表示数、数量关系和运算规律的思想方法。在本节中，我们用字母x表示未知数，用含有x的等式表示实际问题中的相等关系，如1.2x+1=0.8x+3、3x=4(x-5)等，体现了符号化思想。符号化思想使数学表达更加简洁、通用，是代数的核心思想。用字母表示未知数后，可以将实际问题中的数量关系用方程表示，使数学从具体走向一般。 4. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，方程可以分为一元一次方程、一元二次方程、分式方程等；等式的性质可以分为性质1（加减）和性质2（乘除）；解方程的步骤可以分为移项、合并同类项、系数化为1等，体现了分类思想。分类思想使方程的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型方程的特征和解法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，方程广泛应用于行程问题（甲乙两队行进）、销售问题（水杯单价）、几何问题（纪念币面积、绿地面积）、百分比问题（学生人数）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列各式中，是方程的是（　　　） A. 2x+3 B. 2+3=5 C. 2x+3=5 D. 2+3 【答案】C 【解析】本题考查方程的概念。方程必须同时满足"是等式"和"含有未知数"两个条件。A含有未知数但不是等式；B是等式但不含未知数；C既是等式又含有未知数，是方程；D既不是等式也不含未知数。 【解答】解：A. 2x+3含有未知数但不是等式，不是方程； B. 2+3=5是等式但不含未知数，不是方程； C. 2x+3=5既是等式又含有未知数，是方程； D. 2+3既不是等式也不含未知数，不是方程。 故选：C。 2.（2025-2026学年·北京期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　　） A. x²+2x=3 B. 2x+3y=5 C. =2 D. 3x-5=7 【答案】D 【解析】本题考查一元一次方程的概念。一元一次方程必须同时满足三个条件：只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数都是1。A中未知数次数是2；B中含有两个未知数；C中分母含有未知数，不是整式方程；D满足三个条件，是一元一次方程。 【解答】解：A. x²+2x=3中未知数的次数是2，不是一元一次方程； B. 2x+3y=5中含有两个未知数，不是一元一次方程； C. =2中分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程； D. 3x-5=7只含一个未知数，含有未知数的式子是整式，未知数的次数是1，是一元一次方程。 故选：D。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）x=是下列哪个方程的解（　　　） A. 2x=3 B. 3x=2 C. x+2=3 D. x-2=1 【答案】A 【解析】本题考查方程的解。将x=分别代入各选项检验：A中左边=2×=3=右边，是方程的解；B中左边=3×=≠右边；C中左边=+2=≠右边；D中左边=-2=≠右边。 【解答】解：将x=代入各选项： A. 左边=2×=3=右边，所以x=是方程2x=3的解； B. 左边=3×=≠右边，所以x=不是方程3x=2的解； C. 左边=+2=≠右边，所以x=不是方程x+2=3的解； D. 左边=-2=≠右边，所以x=不是方程x-2=1的解。 故选：A。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）根据等式的性质，如果a=b，那么下列变形正确的是（　　　） A. a+c=b-c B. ac=bc C. = D. a-c=b+c 【答案】B 【解析】本题考查等式的性质。等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。A中一边加一边减，错误；B符合性质2，正确；C中c可能为0，错误；D中一边减一边加，错误。 【解答】解：A. a+c=b-c，一边加一边减，不符合等式的性质，错误； B. ac=bc，等式两边乘同一个数，符合等式的性质2，正确； C. =，当c=0时无意义，错误； D. a-c=b+c，一边减一边加，不符合等式的性质，错误。 故选：B。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，设这所学校有x名学生，则下列方程正确的是（　　　） A. 0.52x=80 B. (1-0.52)x=80 C. 0.52x-(1-0.52)x=80 D. 0.52x+(1-0.52)x=80 【答案】C 【解析】本题考查列方程。设这所学校有x名学生，女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。根据"女生比男生多80人"，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80。 【解答】解：设这所学校有x名学生， 女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x。 根据"女生比男生多80人"，列得方程： 0.52x-(1-0.52)x=80。 故选：C。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）方程x+5=3的解是（　　　） A. x=2 B. x=-2 C. x=8 D. x=-8 【答案】B 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边减5，得x+5-5=3-5，即x=-2。 【解答】解：x+5=3， 方程两边减5，得x+5-5=3-5， 即x=-2。 故选：B。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）方程-2x=6的解是（　　　） A. x=3 B. x=-3 C. x=12 D. x=-12 【答案】B 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边除以-2，得x=-3。 【解答】解：-2x=6， 方程两边除以-2，得x=-3。 故选：B。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）方程 x=4的解是（　　　） A. x=2 B. x=4 C. x=8 D. x=16 【答案】C 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边乘2，得x=8。 【解答】解： x=4， 方程两边乘2，得x=8。 故选：C。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m²，设正方形绿地的边长为x m，则下列方程正确的是（　　　） A. x²=500 B. (x+5)²=500 C. x²+5x=500 D. x²-5x=500 【答案】C 【解析】本题考查列方程。设正方形绿地的边长为x m，扩大后的绿地是一个长方形，长为(x+5) m，宽为x m，面积为x(x+5)=x²+5x m²。根据"扩大后的绿地面积是500 m²"，列得方程x²+5x=500。 【解答】解：设正方形绿地的边长为x m， 扩大后的绿地面积为x(x+5)=x²+5x m²。 根据"扩大后的绿地面积是500 m²"，列得方程： x²+5x=500。 故选：C。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）方程 x-5=4的解是（　　　） A. x=-27 B. x=27 C. x=-3 D. x=3 【答案】A 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边加5，得 x=9；方程两边乘-3，得x=-27。 【解答】解： x-5=4， 方程两边加5，得 x=9， 方程两边乘-3，得x=-27。 故选：A。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）方程2x-3=5的解是___x=4_____。 【答案】x=4 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边加3，得2x=8；方程两边除以2，得x=4。 【解答】解：2x-3=5， 方程两边加3，得2x=8， 方程两边除以2，得x=4。 故答案为：x=4。 12.（2025-2026学年·北京期中）如果x=2是方程3x+a=10的解，那么a=___4_____。 【答案】4 【解析】本题考查方程的解。将x=2代入方程3x+a=10，得3×2+a=10，即6+a=10，解得a=4。 【解答】解：将x=2代入方程3x+a=10，得 3×2+a=10， 即6+a=10， 解得a=4。 故答案为：4。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）方程x=6的解是___x=8_____。 【答案】x=8 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。方程两边乘（或除以），得x=8。 【解答】解： x=6， 方程两边乘，得x=8。 故答案为：x=8。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，设大水杯的单价为x元，则可列方程为___3x=4(x-5)_____。 【答案】3x=4(x-5) 【解析】本题考查列方程。设大水杯的单价为x元，小水杯的单价为(x-5)元。根据"用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯"，列得方程3x=4(x-5)。 【解答】解：设大水杯的单价为x元，则小水杯的单价为(x-5)元。 根据"用买3个大水杯的钱可以买4个小水杯"，列得方程： 3x=4(x-5)。 故答案为：3x=4(x-5)。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）如果2x+3=7，那么4x+1=__9______。 【答案】9 【解析】本题考查利用等式的性质和整体代入。由2x+3=7，得2x=4，所以4x=8，因此4x+1=9。 【解答】解：由2x+3=7，得 2x=4， 所以4x=8， 因此4x+1=9。 故答案为：9。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲的速度是5 km/h，乙的速度是4 km/h，甲比乙早到1 h。设A、B两地的距离为x km，则可列方程为____=1____。 【答案】=1 【解析】本题考查列方程（行程问题）。设A、B两地的距离为x km，甲用的时间为 h，乙用的时间为 h。根据"甲比乙早到1 h"，列得方程=1。 【解答】解：设A、B两地的距离为x km， 甲用的时间为 h，乙用的时间为 h。 根据"甲比乙早到1 h"，列得方程： =1。 故答案为：=1。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）利用等式的性质解下列方程： （1）x-5=6；　　（2）0.3x=45。 【答案】（1）x=11；（2）x=150。 【解析】本题考查利用等式的性质解方程。（1）方程两边加5；（2）方程两边除以0.3。 【解答】解：（1）x-5=6， 方程两边加5，得x-5+5=6+5， 即x=11。 （2）0.3x=45， 方程两边除以0.3，得x=150。 18.（2024-2025学年·人教版同步）检验x=10和x=20是不是方程3x=4(x-5)的解。 【答案】x=10不是方程的解，x=20是方程的解。 【解析】本题考查检验方程的解。将x的值分别代入方程的左边和右边，比较是否相等。 【解答】解：当x=10时， 左边=3×10=30， 右边=4×(10-5)=4×5=20， 左边≠右边，所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解。 当x=20时， 左边=3×20=60， 右边=4×(20-5)=4×15=60， 左边=右边，所以x=20是方程3x=4(x-5)的解。 19.（2025-2026学年·北京期中）根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元。用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ （2）有两条电线，第一条长90 m，第二条长40 m。要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等。求截下的那段电线的长度。 【答案】（1）设甲种铅笔买了x支，1.4x+1.8(15-x)=23；（2）设截下的那段电线长x m，90-x=40+x。 【解析】本题考查列方程。（1）设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了(15-x)支，根据总钱数列方程；（2）设截下的那段电线长x m，第一条剩下(90-x) m，第二条变为(40+x) m，根据长度相等列方程。 【解答】解：（1）设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了(15-x)支。 根据"用23元钱买这两种铅笔"，列得方程： 1.4x+1.8(15-x)=23。 （2）设截下的那段电线长x m。 第一条剩下(90-x) m，第二条变为(40+x) m。 根据"两条电线长度相等"，列得方程： 90-x=40+x。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）利用等式的性质解方程2 x=3，并检验。 【答案】x=-4 【解析】本题考查利用等式的性质解方程并检验。方程两边减2，得 x=1；方程两边乘-4，得x=-4。检验：将x=-4代入原方程左边，得2×(-4)=2+1=3=右边。 【解答】解：2 x=3， 方程两边减2，得 x=1， 方程两边乘-4，得x=-4。 检验：将x=-4代入原方程左边，得 2×(-4)=2+1=3=右边， 所以x=-4是原方程的解。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）某车间有28名工人，生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓配两个螺母，问应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？（只列方程，不求解） 【答案】设安排x名工人生产螺栓，2×12x=18(28-x)。 【解析】本题考查列方程（配套问题）。设安排x名工人生产螺栓，则(28-x)名工人生产螺母。每天生产螺栓12x个，生产螺母18(28-x)个。根据"一个螺栓配两个螺母"，螺母数量是螺栓数量的2倍，列得方程2×12x=18(28-x)。 【解答】解：设安排x名工人生产螺栓，则(28-x)名工人生产螺母。 每天生产螺栓12x个，生产螺母18(28-x)个。 根据"一个螺栓配两个螺母"，螺母数量是螺栓数量的2倍，列得方程： 2×12x=18(28-x)。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）已知关于x的方程2x+a=5的解是x=1，求a的值，并检验。 【答案】a=3 【解析】本题考查方程的解。将x=1代入方程2x+a=5，得2×1+a=5，即2+a=5，解得a=3。检验：将a=3，x=1代入原方程左边，得2×1+3=5=右边。 【解答】解：将x=1代入方程2x+a=5，得 2×1+a=5， 即2+a=5， 解得a=3。 检验：将a=3，x=1代入原方程左边，得 2×1+3=5=右边， 所以a=3是正确的。 学科网（北京）股份有限公司 $