26.4 实际问题与二次函数 教学课件 2026-2027学年人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际问题，通过跳水、围菜园等生活情境导入，知识回顾衔接抛物线性质与方程根，新知探究以“设变量-列解析式-定范围-求最值-检验作答”五步建模为支架，结合运动、面积、利润等例题逐步深化。 其亮点在于情境化设计与分层教学，通过墙长限制时顶点不在范围、利润问题分涨价降价讨论等实例，渗透数学建模与数形结合思想，帮助学生掌握实际问题转化能力，教师可借助清晰流程与典型例题提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 学以致用 人教版·九年级上册 主张：本节课是本章的收官课——用二次函数解决实际问题。开场点题：前面三节我们认识了二次函数的图象与性质，也建立了它与一元二次方程的联系，今天把这些"工具"用起来，去解决跳水、菜园、利润、拱桥四类真实问题。过渡：先明确本课的学习目标。 学 习 目 标 1.能从实际问题中分析两个变量之间的关系，列出二次函数的解析式，体会数学建模思想.（重点） 2.会利用二次函数的顶点公式与增减性，解决最大高度、最大面积、最大利润等最值问题.（重点） 3.能根据实际意义确定自变量的取值范围，并正确处理"顶点不在范围内""自变量限整数"等情形.（难点） 素养指向：数学建模、数学运算、数形结合. 主张：这节课的核心不是"新知识"，而是"用旧知识解新问题"。支撑：目标1是建模——把文字题翻译成函数；目标2是用顶点公式求最值；目标3是本课难点，也是最容易丢分的地方——范围决定最值。过渡：先回顾二次函数最值的相关性质。 知识回顾 1.抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 . 2.当 时抛物线开口向下，顶点是 ；当 时开口向上，顶点是 . 在对称轴两侧，函数值随自变量的增减情况相反. 3.上节课：抛物线与轴公共点的横坐标 ⇄ 一元二次方程的根. 想一想：函数有了"顶点"和"最值"，能帮我们解决生活中的哪些问题？ 最高点 最低点 主张：本课全部计算只靠这三条旧知识。支撑：请学生齐答对称轴与顶点公式；追问"a<0 时顶点为什么是最高点"，为后面"最大高度、最大面积、最大利润"统一到"求顶点或范围最值"做铺垫。过渡：从生活中的几个真实场景引入。 情境引入 跳水运动员起跳后，何时到达最高点？ 用 20 m 篱笆靠墙围菜园，怎样围面积最大？ 商品定价多少元，每周利润最大？ 暴雨后水位上升 1 m，桥下的船还能通过吗？ 共同点：问题中两个变量之间的关系，可以用二次函数来刻画. 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究. 主张：一句话立住全课——"最优"问题就是"最值"问题。支撑：四个场景分别对应本课四个板块：运动最值、面积最值、利润最值、拱桥应用；引言用课本原句，提示学生画下来。过渡：先看第一类——跳水中的最大高度。 新知探究 实际问题 → 二次函数：建模五步 利用二次函数解决实际问题分为五步： 设变量 → 列解析式 → 定范围 → 求最值 → 检验作答 常见问题种类： 运动最值（跳水、小球）、面积最值（菜园）、利润最值（定价）、拱桥应用（建系） 提示：前两步是"建模"，后三步是"求解". 实际问题中自变量往往有现实限制（边长为正、单价为整数、销量非负），范围错了，最值往往就错了. 主张：给学生一张"路线图"，后面每个例题都回到这五步。支撑：板书五步；强调第三步"定范围"是本章新出现的环节，也是易错高发区。过渡：按这个流程走一遍例1。 新知探究 例1 跳水运动中的最大高度 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）的关系式为：. （1）起跳后经过多长时间达到最高点？ （2）跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 分析：求"到达最高点的时间"= 求顶点横坐标；求"最大高度"= 求顶点纵坐标（最大值）. 主张：最高点=顶点，这是例1唯一的翻译动作。支撑：先让学生看图26.4-1感受"先升后降"；提问"最高点在抛物线的什么位置"，引导学生自己说出"顶点"；提醒结果要保留一位小数。过渡：按顶点公式求解。 新知探究 例1：解答 解：在 ，抛物线开口向下，顶点是最高点. （1）. （2）最大高度 答：起跳后约 0.3 s 重心到达最高点，最大高度为 11.4 m. 运动最值模型：高度/高度差是时间的二次函数 → 顶点即最高（低）点；解题三件套：定的符号 → 顶点公式 → 按要求取近似. 主张：运动最值是"套公式"就能解决的第一类问题，先建立信心。支撑：板书(1)(2)的完整过程；强调近似值按题目要求保留一位小数，0.285…≈0.3 而不是 0.29。过渡：这类问题还有没有别的问法？提炼方法要点。 新知探究 方法提炼：最值问题的三个要点 要点一：时二次函数有最大值（开口向下）；时有最小值（开口向上）——先看开口方向，再谈最值. 要点二：最值在顶点处取得：，y最值=；也可用配方法写成顶点式直接读出. 要点三：实际问题中自变量常受现实限制，必须先确定取值范围——若顶点不在范围内，最值就不是顶点值！ 思考：如果顶点恰好不在取值范围内，最大（小）值在哪里取得？ 主张：把"会做一道题"变成"会做一类题"。支撑：要点三故意卖个关子，答案在练习1揭晓（顶点不在范围时取边界附近的值）；请学生用自己的话复述三个要点。过渡：看第二类问题——围菜园的面积最值。 新知探究 例2 矩形菜园的最大面积 借助一面长度不限的墙，用总长 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样围才能使菜园面积最大？最大面积是多少？ 分析：设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m，菜园面积是的函数——先写出解析式，再求最大值. 主张：几何最值问题的第一步是"设边、表示另一边"。支撑：结合图26.4-2提问——篱笆只围几条边？（3条）为什么平行于墙的边是 20-2x？墙"长度不限"这个条件后面对比练习1时会被"墙只有8m"替换，先埋伏笔。过渡：写出函数并求最值。 新知探究 例2：解答 解：设垂直于墙的边长为m，则 . 当 时， 有最大值 . 即垂直于墙的边长 5 m、平行于墙的边长 10 m 时，最大面积 50 m². 配方法验证：，顶点 (5, 50)，两种方法结果一致. 主张：面积最值=顶点值，但前提是范围给对。支撑：板书从 S=x(20-2x) 到顶点式的全过程；用配方法复核一遍，让学生看到顶点公式与配方法等价；此时另一边 20-2×5=10m。过渡：范围 0<x<10 是怎么来的？单独说清楚。 新知探究 关键一步：自变量的取值范围 为什么是？ 边长必须是正数：； 平行于墙的边也要为正：，即 . 数形结合：图象只取抛物线在之间的一段（图中的实线），顶点 (5, 50) 恰好落在范围内，最大值 50 才有效. 实际问题 → 先定范围，再求最值. 主张：范围不是"写上去好看"，它直接决定最值是否成立。支撑：指着图象问"如果范围是 6≤x<10，最大值还是50吗"，自然引向练习1；强调课本边注原文：函数自变量的取值应使问题有现实意义。过渡：马上检验——把墙改成只有8米。 新知探究 练习：墙长改为 8 m 如果例 2 中墙的长度为 8 m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：平行于墙的边不能超过墙长：，得 ； 结合，得取值范围——顶点 还在范围内吗？ 主张：只改一个条件，最值就从"顶点值"变成"边界值"。支撑：让学生先独立列范围，再对照图看顶点(5,50)在范围外；提问"抛物线在6≤x<10这一段是上升还是下降"。过渡：看解答。 新知探究 练习：解答 解：，对称轴不在取值范围内！ ，在对称轴右侧，随增大而减小 → 在范围内，越小 越大. ∴ 当 时，取得最大值. 此时平行于墙的边 = 20-2×6 = 8 m，恰好贴满墙. 易错警示：顶点不在取值范围内时，最大值在离对称轴最近的边界点取得，不能照抄顶点值 50！ 主张：这是本课第一个"反直觉"点，必须让全班亲历。支撑：请先算出50的学生说说错在哪；总结口诀"范围定最值"；对照图：红色区段内的最高点是x=6处。过渡：再练一个运动最值——上抛小球。 新知探究 练习：竖直上抛的小球 从地面竖直向上抛出一小球，高度 h（m）与运动时间 t（s）的关系近似为： . 小球运动的时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？ 主张：小球与跳水同构，快速巩固"运动最值"。支撑：注意此题范围 0≤t≤6 但顶点 t=3 在范围内，与练习1形成对照；追问"t=6 是什么时刻"（落地）。过渡：用课本原句引出第二大板块——利润。 新知探究 练习：竖直上抛的小球 解：由可知，= 3（s）. . 答：3 s 时小球最高，最大高度 45 m. 利用二次函数的性质，可以解决生活中的最大（小）值问题——下面再看最大利润问题. 主张：小球与跳水同构，快速巩固"运动最值"。支撑：注意此题范围 0≤t≤6 但顶点 t=3 在范围内，与练习1形成对照；追问"t=6 是什么时刻"（落地）。过渡：用课本原句引出第二大板块——利润。 新知探究 探究：怎样定价利润最大 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件. 市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件. 已知商品的进价为每件 40 元. 如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 分析：调整价格分涨价、降价两种情况，先分别讨论，再综合比较. 涨价会少卖但单件赚得多，降价多卖但单件赚得少——利润 =（售价-进价）× 销量. 主张：利润问题的建模核心是"两个变量都随x变"。支撑：带学生逐条圈条件：售价60、销量300、涨1少10、降1多20、进价40；强调"单价为整数"这个限制后面会改变答案。过渡：先讨论涨价的情况。 新知探究 探究（1）：涨价元的利润函数 解：设每件涨价元，则每星期少卖出件，实际卖出 件： 销售额元； 进货成本元. 化简得 . 取值范围：，为整数. 主张：把"利润"翻译成一个二次表达式，是探究1全部计算量所在。支撑：板书时把(60+x)与(300-10x)分别框出来——一个涨、一个降；提问"x=30时会发生什么"（一件也卖不出，利润0），让学生自己发现范围的由来。过渡：求这个函数的最大值。 新知探究 探究（1）：涨价时的最大利润 ，在范围内且为整数. 。 当 时最大，即涨价 5 元、定价 65 元时，利润最大，最大利润 6250 元. 检验：65 元 × 250 件 = 16250 元，成本 40×250 = 10000 元，16250-10000 = 6250 主张：涨价情况闭环——定价65元、利润6250元。支撑：顶点x=5恰好是整数且在范围内，此处最值=顶点值；检验一步让学生算一遍，体会"销售额-成本"框架。过渡：降价呢？请参考(1)自己讨论。 新知探究 探究（2）：降价的情况 设每件降价元（为非负整数），则每星期多卖出件： 化简得. 顶点不是整数！ 由对称性， 或 时同取最大值 6120（元）. 即降价 2 元（定价 58 元）或降价 3 元（定价 57 元）时，利润最大为 6120 元. 易错：自变量限整数时，最值不一定在顶点处取得——取离对称轴最近的整数. 主张：第二个"反直觉"点——顶点x=2.5作废，对称的整数点x=2、3才是答案。支撑：算y(2)=-80+200+6000=6120、y(3)=-180+300+6000=6120验证对称性；与练习1的"边界最值"放在一起对比板书。过渡：三种方案放一起，做决策。 新知探究 探究：综合定价决策 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况： 方案 定价（元/件） 每周销量（件） 每周利润（元） 现状（不调价） 60 300 6000 涨价 5 元 65 250 6250 降价 2 元 58 340 6120 降价 3 元 57 360 6120 结论：定价为 65 元/件 时利润最大，最大利润 6250 元 ；利润 =（售价-进价）× 销量. 主张：建模的最后一环是"回到实际作决策"，而不是算完就停。支撑：表格四行对应四条利润值，让学生读图比较；追问"为什么不无限涨价"（销量跌到0，利润归0）。过渡：两个利润类练习巩固。 新知探究 练习：旅游团的营业额 旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2100 元；对超过 20 人的团给予优惠：每增加 1 人，每人费用降低 30 元. 当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设比 20 人多人，则 . ，此时人数 20+25 = 45（人）. W最大 = 45×(2100-30×25) = 45×1350 = 60750（元）. 答：当旅行团人数为 45 人 时营业额最大，最大营业额 60750 元. 主张：营业额=人数×单价，结构同利润问题，学生应能独立完成。支撑：先让学生自己设x再对照；注意验证2100-30×25=1350>0；本页与下一页都是"探究1迁移"，节奏可以快。过渡：换一个"成本里带固定花费"的利润题。 新知探究 练习：生产多少件利润最大 生产某种商品需要 500 元的固定花费；在此基础上，每生产 1 件商品花费 10 元. 预定单价为 50 元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一. 当产量为何值时利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为件，则单价为元， . （件），. 答：当产量为 160 件时利润最大，最大利润 2700 元. 主张：本题新意有二——成本含固定量500元、单价随产量连续下调x/8。支撑：先带学生翻译"下调幅度为产量的八分之一"即单价50-x/8；固定花费500在化简后变成常数项，不影响顶点横坐标。过渡：最后一类问题——拱桥，需要先建坐标系。 新知探究 探究2：抛物线形拱桥 一座抛物线形拱桥如图 26.4-3，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法求出解析式，再由水面的纵坐标求横坐标——宽度. 图26.4-3 主张：拱桥问题的本质是"坐标化"——几何条件变成点的坐标。支撑：先让学生自由提建系方案（原点放水面中点？放拱顶？），再比较哪种最简——引出以拱顶为原点、对称轴为y轴。过渡：按最简方案建系。 新知探究 探究：建立坐标系，求解析式 解：以抛物线的顶点为原点、对称轴为轴建立坐标系.设 . 水面宽 10 m、拱顶离水面 4 m ， 抛物线过点 . 代入：，解得 . ∴ 这条抛物线对应的二次函数为. 说明：设过 结果相同；拱顶放原点，解析式没有一次项与常数项，最简. 主张：好坐标系=少算两步。支撑：板书建系过程；(5,-4)来自"半宽5、水面在拱顶下方4米"；顺带复习26.2的y=ax²型。过渡：水面上升1米，就是纵坐标变成-3。 新知探究 探究：水面上升后的宽度 水面上升 1 m ， 上升后的水面在拱顶下方 3 m 处，即. 设此时水面与抛物线交于点：∴ 由对称性，水面宽 = 2× = ≈ 8.7（m）. 答：水面上升 1 m 后，水面宽约 8.7 m. 方法提炼：由纵坐标反求横坐标 → 宽度 = 2×|横坐标|（对称性）. 主张：拱桥问题的收口动作是"解方程"。支撑：-3=-4/25x²本质是解一个简单的一元二次方程，呼应26.3；75/4开方=5√3/2，最后按题意取近似8.7。过渡：用这个模型再解决两个真实场景。 巩固练习 课堂检测 课堂检测 1. 二次函数 的最大值是________. 2. 用长 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（四面都围），当边长为________m 时面积最大，最大面积是________m². 3. 某商品进价 30 元，售价 40 元时每周可卖 200 件；每涨价 1 元，每周少卖 10 件（x 为整数）. 涨价________元时利润最大，最大利润是________元. 4. 抛物线形拱桥，拱顶离水面 2 m 时水面宽 4 m. 以拱顶为原点、对称轴为 轴建系，抛物线的解析式为________. 主张：四道小题分别对应"顶点公式、面积最值、利润最值、拱桥建系"四个考点。支撑：限时6分钟，独立完成；第3题注意涨价后单件利润为(10+x)元、销量(200-10x)件；第4题注意水面在y=-2、过点(2,-2)。过渡：核对答案并总结易错点。 巩固练习 课堂检测：答案与易错点 1. 最大值 5（时；先定，再用顶点公式）. 2. 边长 5 m，最大面积 25 m²（设一边，另一边）. 3. 涨价 5 元（定价 45 元），最大利润 2250 元. 4. （水面，过点 ）. 三大易错点： ① 不先确定自变量取值范围就下结论；② 顶点不在范围内/自变量限整数时照抄顶点值；③ 拱桥建系后忘记乘 2（宽度=2×|横坐标|）. 主张：答案速对，易错点慢慢过。支撑：第2题四面围篱笆与例2三面围的对比要点破——前者范围0<x<10内顶点即最值，本题(10-x)x同样是顶点；第3题检验2250=15×150。过渡：用小结把全课收拢。 课堂小结 一、建模流程（五步）：设变量 → 列解析式 → 定范围 → 求最值 → 检验作答. 二、三类最值问题：运动最值（例1、小球）、面积最值（例2）、利润最值（探究1）——本质都是求二次函数在给定范围内的最大（小）值. 三、拱桥应用：建系（拱顶为原点最简）→ 待定系数求解析式 → 由纵坐标求横坐标 → 对称性得宽度. 四、数学思想：数形结合、数学建模、分类讨论（涨价/降价分开算再比较）. 主张：把四类问题收回"一条流程+一个顶点"。支撑：请学生对照小结复述"最值什么时候等于顶点值、什么时候不是"——范围含顶点且无整数限制时是；否则看边界或最近的整数。过渡：布置作业。 作业布置 1.必做题：课本习题 26.4 第 1～3 题. 2.探究性作业：找一个身边的"最值"问题（如商品定价、菜地围栏、包装设计），设出变量、列出二次函数解析式，求出最值并检验. 作业说明：必做题覆盖三类最值；探究性作业把"建模"延伸到课外，下节课开头请两位同学展示。预告：下节课是全章小结。 人教版·九年级上册 感谢聆听! 用函数刻画生活 结束页。可在此页停留做课堂答疑，提醒作业提交时间。 $