26.4 实际问题与二次函数（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在实际问题中的最值应用，课堂导入通过问题回顾求顶点坐标的方法，结合具体函数填表巩固顶点和最值，再以跳水运动、矩形菜园实例搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，通过问题链引导学生用数学眼光观察现实，如分析跳水轨迹对应函数顶点，用数学思维探究自变量取值范围对最值的影响，如墙长限制时判断最值位置，用数学语言表达函数关系。采用数形结合和问题驱动教学，帮助学生发展应用意识，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数（第 1 课时） 数学人教版九年级上册 知识回顾 　　问题 1　求二次函数的顶点坐标的方法有哪些？ 　　求二次函数的顶点的常用方法有： 配方法 公式法 － ， b 2a 4ac－b2 4a 代入求值法 2 知识回顾 　　问题 2　结合下面两个具体的二次函数，完成下面的表格. 函数解析式 y＝x2＋2x－1 y＝－x2＋6x＋3 图象 顶点坐标 最值 （－1，－2） （3，12） 当 x＝－1 时，y 有最小值为－2 当 x＝3 时，y 有最大值为 12 3 例题精讲 　　例 1　在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单 位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝－4.9t2＋2.8t＋11． 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大 高度是多少？（结果保留小数点后一位．） 　　追问 1　你能画出 h＝－4.9t2＋2.8t＋11 的 函数图象吗？　　 4 例题精讲 　　追问 2　从图中可以看到重心高度是如何变化的？你能描述一下运 动员的整个运动过程吗？ 　　重心高度先上升后下降， 　　运动员先往上跳达到最高后往下落入水中． 　　追问 3　观察图象，运动员的最高点对应函数 图象中的哪个点？ 　　 运动员的最高点对应函数图象的顶点．　 5 例题精讲 　　追问 4　运动员的最大高度对应函数中的哪个值呢？ 　　运动员的最大高度对应自变量取顶点横坐标时的函数值.　 　　追问 5　如何求出运动员跳水过程中重心的最大高度？ 　　解：对于二次函数 h＝－4.9t2＋2.8t＋11， 　　当 t＝－ ＝－ ≈0.3 时，h 有最大值 　　也就是说，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高 度为 11.4 m． b 2a 2.8 2×(－4.9) 4×(－4.9)×11－2.82 4×(－4.9) 4ac－b2 4a ＝ ＝11.4． 6 例题精讲 　　例 2　如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成 一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？　 　　追问 1　菜园有两边垂直于墙，一边平行 于墙，设哪一条边的长度为 x m 呢？ 　　设垂直于墙的边长为 x m． 菜园 墙 7 　　追问 2　列出 S 关于 x 的关系式，并思考自变量的取值范围是怎样的？ 　　菜园面积 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x， 　　边长需满足 x＞0 且 20－2x＞0，得到 0＜x＜10． 　　追问 3　根据表达式，你能画出函数 图象吗？ 50 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 45 40 35 30 25 20 15 10 5 x/m S/m2 例题精讲 236, 0, 140 8 例题精讲 　　追问 4　由 S＝－2x2＋20x，观察函数图象并思考，“如何围才能使 菜园的面积最大？最大面积是多少？” 　　解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为（20－2x）m， 矩形菜园的面积 S＝x(20－2x)， 即 S＝－2x2＋20x（0＜x＜10）． 　　当 x＝－ ＝－ ＝5 时，S 取得最大值 　　也就是说，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积 S 最 大，最大面积为 50 m2． b 2a 20 2×(－2) ＝ ＝50． －202 4×(－2) 4ac－b2 4a 9 例题精讲 　　问题 3　除了通过顶点坐标求最值，还有哪些方法？ 　　追问 　你能求出 S＝－2x2＋20x 的图象与 x 轴的交点吗？交点的横 坐标与对称轴有什么关系？ 　　可以因式分解 S＝－2x(x－10) ，函数图象与 x 轴的两个交点坐标为 （0，0）和（10，0），由图象的对称性可知，对称轴 x＝ ＝ ＝5 时，代入求值，即可求得最大值 S＝－2×5×(5－10)＝50． x1＋x2 2 0＋10 2 10 例题精讲 　　问题 4　利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次 函数的最大值或最小值解决实际问题？ 　　（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变 量的取值范围； 　　（2）画出函数图象，在自变量的取值范围内，结合图象分析并解决 实际问题. 11 　　问题 5　如果例 2 中墙的长度为 8 m，如何围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 　　追问 1　此题中墙的长度变为 8 m，使函 数自变量的取值范围发生了什么变化呢？ 　　边长需满足 x＞0 且 0＜20－2x≤8，得到 6≤x＜10． 拓展提升 菜园 墙 8 m 12 新课导入 　　追问 2　在 6≤x＜10 条件下，结合函数图象，函数的最大值在何处 取得呢？ 　　x＝－ ＝－ ＝5 不满 足 6≤x＜10， 　　所以不在顶点处达到最大值．抛物 线开口向下，由图象可知，离对称轴越 近函数值越大，故当 x＝6 时，S 有最大 值 S＝－2×62＋20×6＝48． 50 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 45 40 35 30 25 20 15 10 5 x/m S/m2 x＝6 b 2a 20 2×(－2) 13 　　问题 5　如果例 2 中墙的长度为 8 m，如何围才能使菜园的面积最大？最 大面积是多少？ 　　解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长 为(20－2x)m，矩形菜园的面积 S＝x(20－2x)，且 x＞0， 0＜20－2x≤8，得到 6≤x＜10. 　　因为x＝－ ＝－ ＝5 不满足 6≤x＜10， 　　且抛物线开口向下， 　　所以当 x＝6 时，S 有最大值 S＝－2×62＋20×6＝48． 　　答：垂直于墙的边长为 6 m 时，这个菜园的面积最大，最大面积为 48 m2． 拓展提升 菜园 墙 8 m b 2a 20 2×(－2) 14 课堂练习 　　1. 如果例 2 中平行于墙的边长不低于 12 m，如何围才能使菜园的面积最 大？最大面积是多少？ 　　解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙 的边长为(20－2x)m ，矩形菜 园的面积 S＝x(20－2x)， 　　且 x＞0，12≤20－2x，得到 0＜x≤4． 　　因为x＝－ ＝－ ＝5 不满足 0＜x≤4， 　　且抛物线开口向下， 　　所以当 x＝4 时，S 有最大值 S＝－2×42＋20×4＝48． 　　答：垂直于墙的边长为 4 m 时，这个菜园的面积最大，最大面积为 48 m2． 菜园 墙 b 2a 20 2×(－2) 15 课堂练习 　　2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动 时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间 是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 　　解：对于二次函数 h＝30t－5t2， 　　因为x＝－ ＝－ ＝3 满足 0≤t≤6 ， 　　且抛物线开口向下， 　　所以当 x＝3 时，h 有最大值 h＝30×3－5×32＝45． 　　答：小球运动的时间是 3 s 时，小球最高，最大高度为 45 m. b 2a 30 2×(－5) 16 　　（1）求二次函数的最大值或最小值的方法有三种，配方法、公式法、 代入求值法． 　　利用其解决实际问题过程： 建立模型 确定范围 求解最值 验证作答 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）如何求二次函数的最大值或最小值，并利用其解决实际问题？ 　　（2）运用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值过程中应注 意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？ 　　（2）应注意的问题：充分考虑自变量的取值范围，函数的最值不一定 在顶点取得，须结合图象和自变量的取值范围来求解． 　　思考问题的方法：将抽象的二次函数性质与具体的实际问题联系起来， 运用数形结合的方法分析问题． 17 教科书习题 26.4 第 1，4 题． 课后任务 18 $