专题03 实数（期中真题汇编，浙江专用）七年级数学上学期浙教版

**基本信息** 专题03实数期中试题汇编，涵盖平方根、立方根、实数运算三大考点，精选浙江多地期中真题，融入地方文化情境与梯度化问题设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|平方根性质、立方根计算、实数分类|结合婺江宽度考平方根应用，体现地方文化| |填空|约15题|算术平方根、无理数识别|网格图求阴影正方形边长，考查几何直观| |解答|约15题|实数运算、规律探究|设计算式规律探究题，培养数学思维与创新意识|

专题03 实数 3大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）下列各式中，正确的是   （          ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【详解】A. ，此项错误 B.-=-5此项正确 C. 此项错误 D. 此项错误， 故选B. 考点：平方根 点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根的学习．为易错题．常在正负符号上出错． 2．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（     ） A. 45 B.  C.  D. 不存在 【答案】C 【分析】 本题考查平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 由可知，2025的平方根是． 【详解】 解：， 根据平方根的定义，2025的平方根是． 故选：C． 3．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）已知，，那么的值约为（   ） A. 0.2236 B. 0.7071 C. 0.02236 D. 0.07071 【答案】A 【分析】 本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点对应的向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴； 故选A． 4．（25-26学年七上·浙江杭州西湖区·期中）已知为实数，且，则的平方根是（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出 x 和 y 的值． 【详解】 ∵ 且 ，且， ∴ 且 ， ∴且， ∴， ∴， ∴ 的平方根为． 故选：C． 5．（25-26学年七上·浙江金华·期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（     ） A. 4米 B. 16米 C. 25米 D. 36米 【答案】B 【分析】 本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）． 【详解】 解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以， 解方程可得：， 那么这个正数（婺江的宽度）为． 故选：B． 6．（25-26学年七上·浙江金华·期中）若，则等于（       ） A. －1 B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值， 根据非负数的性质，若两个非负数之和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】 ∵ ∴，． ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 7．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）下列各式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A．，此选项符合题意； B．，此选项不符合题意； C．，此选项不符合题意； D．，此选项不符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了平方根，算术平方根及乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用平方根、算术平方根定义及有理数乘方的运算法则计算得到结果，即可判断． 【详解】 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、没有算术平方根，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）已知，且，则的值为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 先根据，且求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴x=±6，y=±2， ∵， ∴x=6，y=2，或x=-6，y=-2， ∴=6+2=8，或=-6+(-2)=-8， 故选C． 【点睛】 本题考查了绝对值和乘方的定义，以及有理数的加法运算，正确求出x和y的值是解答本题的关键． 10．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，有理数乘方，根据，得 ，求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11．（25-26学年七上·浙江温州·期中）9的算术平方根是　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】 ∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）121的平方根是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用平方根的定义计算即可得到结果. 【详解】 解：∵±11的平方等于121，∴121的平方根是：±11， 故答案为：±11. 【点睛】 本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．掌握平方根的定义是解题的关键． 13．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）4的平方根是　　　　　　　． 【答案】±2 【详解】 解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 14．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． （1）求图中阴影正方形的面积和边长的值． （2）若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】（1）阴影面积，边长     （2）      【分析】 本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据割补法可进行求解阴影部分的面积，然后根据算术平方根可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：， ∴该正方形的边长为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）若为实数，且满足，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了平方和算术平方根的非负性．根据平方和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算． 【详解】 解：∵ ，，且 ， ∴ 且， ∴， 解得 ，， ∴． 故答案为：1． 16．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）若 则 　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】 解：∵，且， ∴． 17．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）已知a，b为常数，且单项式与的和仍是单项式，则的平方根为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了同类项、平方根等知识点，掌握同类项的相同字母的指数必须相等是解题的关键． 根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们为同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而求出a和b的值，再计算的平方根． 【详解】 解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 18．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）如图是三个规格相同的正方形网格，请用铅笔按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点上的正方形）． （1）在图甲中画出与图1中阴影部分面积相等的正方形，该正方形的边长为                  ； （2）在图乙中画出面积大于9且小于16的正方形． 【答案】（1） 所画正方形如图所示： ；      （2） 所画正方形如图所示： 【分析】 本题考查基本作图，三角形的面积，勾股定理、算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合思考问题． （1）计算出图1中阴影部分面积为2，进而判断出正方形的边长为，利用格点及勾股定理画出正方形即可； （2）判断出正方形的边长为范围，再利用格点及勾股定理画出正方形即可． (1) 小问详解： 解：由题意，阴影部分面积为， ∴所画正方形的边长为，又； (2) 小问详解： 解：∵所画正方形的面积大于9且小于16， ∴所画正方形的边长大于3且小于4，如，又 19．（25-26学年七上·浙江温州·期中）已知是144的算术平方根，8的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了算术平方根，平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用算术平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：， 则， ． (2) 小问详解： 解：∵，． ∴， 则的平方根是． 20．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了平方根．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此求解即可． 【详解】 解：由题意，与互为相反数， 所以， 即， 解得． 故答案为：2． 21．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，，     （2）       【分析】 本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． （1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴， ∴，，； (2) 小问详解： 解：把，，代入得：， ∵， ∴的平方根是．, 22．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… （1）观察算式规律，计算，的值． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律． （3）根据规律，求的值． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． (1) 小问详解： 解：， ； (2) 小问详解： 解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； (3) 小问详解： 解：原式 ． 考点02 立方根 1．（25-26学年七上·浙江温州·期中）27的立方根是(        ) A. 3 B.  C. 9 D.  【答案】A 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵3的立方等于27， ∴27的立方根等于3． 故选A． 【点睛】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 2．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）下列说法：（1）1是1的平方根；（2）若的平方根是，则；（3）没有立方根；（4）无理数是开方开不尽的数；（5）无理数可以分为正无理数，负无理数，0．其中正确的有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查无理数，平方根，立方根，解题的关键是根据平方根的意义判断（1）和（2）；根据立方根的意义判断（3）；根据无理数的意义判断（4）和（5）． 【详解】 解：（1）是的平方根，故原说法正确； （2）若的平方根是，则，故原说法不正确； （3）有立方根，故原说法不正确； （4）无理数是无限不循环小数，故原说法不正确； （5）无理数可以分成正无理数，负无理数，故原说法不正确； 综上所述，说法正确的有个． 故选：A． 3．（25-26学年七上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根，绝对值性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）下面计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：A、，则计算错误； B、，则计算正确； C、，则计算错误； D、，则计算错误， 故选B． 5．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查有理数的乘方、算术平方根和立方根的运算．根据有理数的乘方、算术平方根和立方根的运算，逐项判断，即可． 【详解】 解：选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，错误． 故选：A． 6．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是　　　　　　． 【答案】4 【分析】 此题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的意义是解题的关键．根据立方体的体积公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】 解：∵立方体体积为， ∴这个立方体的棱长为． 故答案为：4． 7．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查有理数的乘法运算律及含乘方的有理数混合运算，算术平方根，立方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数乘法运算律进行求解即可； （2）根据有理数的乘方运算，立方根，算术平方根可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 8．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. （1）求和的值； （2）求的立方根. 【答案】（1），.     （2）4      【分析】 本题考查了平方根与立方根的应用； （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得，进而求得的值； （2）将的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解． (1) 小问详解： 解∶ 依题意， 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 小问详解： ∵，， ∴       ∴的立方根为4. 9．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、立方根，再计算有理数的加减运算即可得； （2）先计算有理数的乘方、算术平方根，再利用乘法分配律计算即可得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 11．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）若一个数的立方是﹣8，则这个数是　　． 【答案】-2 【分析】 根据乘方，求立方根即可． 【详解】 解：∵ ∴＝﹣2， 即﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】 本题主要考查了求一个数的立方根，掌握乘方与开方互为逆运算是解答本题的关键． 12．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）计算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）2      【分析】 本题考查了有理数的混合运算、立方根、算术平方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据有理数加减的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）根据乘方、立方根、算术平方根的性质化简，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年七上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． （1）求立方体的棱长； （2）如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：立方体木块的体积是， 则棱长为； (2) 小问详解： 解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）下列各数中，最小的数是（　　） A.  B. 0 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的法则是关键．根据实数的大小比较法则：① 正数都大于0； ② 负数都小于0； ③ 正数大于一切负数； ④ 两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案． 【详解】 解： 所以最小的数是， 故选：D． 2．（25-26学年七上·浙江杭州西湖区·期中）下列数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 此题主要考查了无理数的识别，关键是明确无理数的概念和几种常见的形式，无理数是无限不循环小数，常见的无理数包括开方开不尽的数，含有π的数，有规律但不循环的小数． 无理数是无限不循环小数，分别判断每个数：和3.14是有理数；无限不循环小数，2.010010001……是无理数． 【详解】 ∵ 是分数，有理数； 3.14是有限小数，有理数； 是开方不尽的数，无理数； 是π除以2，π是无理数，故无理数； 2.010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，无理数， ∴ 无理数有共3个． 故选：B． 3．（25-26学年七上·浙江金华·期中）下列各数中，属于无理数的是（     ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】 解：，3，和中，无理数的是； 故选C． 4．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，数轴上A、B、C、D四个点中，与表示数的点最接近的点是（     ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【分析】 考查的是无理数的估算，实数和数轴，掌握相关知识是解决问题的关键．用平方法进行估算即可． 【详解】 解：∵， ， ∴与表示数的点最接近的点是C． 故选：C． 5．（25-26学年七上·浙江温州·期中）估计的值在（     ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【详解】 因为3的平方是9，4的平方是16，即=3，=4， 因为9<11<16， 所以估计的值在3和4之间， 故正确的选项是C． 6．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）下列各数中，属于无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的定义及求一个数的算术平方根，根据无限不循环小数是无理数作答即可，掌握求一个数的算术平方根的方法是解题的关键． 【详解】 解：A、不属于无理数，故本选项不符合题意； B、不属于无理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、不属于无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 7．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）估计的值在（       ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【分析】 利用完全平方数进行估算，即可解答． 【详解】 解：， ， 估计的值在5和6之间， 故选：C． 【点睛】 本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 8．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）点在数轴上表示的数是，点在数轴上和原点相距3个单位长度，则之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查实数与数轴，解答的关键是清楚数轴上两点距离的意义． 先求出点B表示的数为3或，然后分两种情况解答即可． 【详解】 解：∵点B与原点相距3个单位长度， ∴点B表示的数为3或． 当点B表示的数为3时，A、B距离为； 当点B表示的数为时，A、B距离为； 综上所述，之间的距离为或． 故选：D 9．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）在，，，，，六个实数中，无理数的个数有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 2个 【答案】D 【分析】 本题主要考查无理数的定义和求算术平方根，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】 解：，且无限不循环小数叫做无理数， ，，，，，六个实数中， 无理数有：，， 有理数有：，，， 即无理数的个数有个． 故选：D． 10．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）下列说法正确的是（　　） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 平方根是它本身的数只有0 C. 两个无理数的和一定是无理数 D. 负数没有立方根 【答案】B 【分析】 本题考查实数与数轴、平方根、无理数等概念，根据实数的性质逐一判断各选项． 【详解】 解：A、实数与数轴上的点一一对应，故A错误； B、平方根是它本身的数只有0，故B正确； C、两个无理数的和可能是有理数（如），故C错误； D、负数有立方根（如的立方根为），故D错误； 故选：B． 11．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）估计的值是（　　） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】B 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．估算的大小，再估计的值． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴，即， 因此，的值在2和3之间． 故选：B． 12．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查无理数的概念，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】 解：是分数，属于有理数； 3.14159是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 含有无理数π，属于无理数； 0.515115111...（每两个5之间依次增加1）是无限不循环小数，属于无理数． 无理数有、、0.515115111... （每两个5之间依次增加1），共3个． 故选：C． 13．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【分析】 本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故选：D 14．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）下列说法正确的有（     ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数； ④近似数所表示的准确数的范围大于或等于，而小于； ⑤的立方根是2； ⑥是分数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查实数与数轴、相反数、绝对值、近似数、立方根及分数的概念，根据上述知识逐一判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：①实数与数轴上的点一一对应，故① 不符合题意； ②互为相反数且，则，所以，故② 符合题意； ③ ∵绝对值是本身的数包括正数和0，故③ 不符合题意； ④近似数精确到，表示准确数范围且，故④ 符合题意； ⑤，8的立方根是2，所以的立方根是2，故⑤符合题意； ⑥ 是无理数，仍为无理数，而分数是有理数，故⑥ 不符合题意； ∴ 符合题意的有② 、④ 、⑤ ，共个， 故选：C． 15．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】 解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 16．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． （1）整数集合：             ； （2）分数集合：             ； （3）无理数集合：             ． 【答案】（1）② ③ ⑤     （2）① ⑥ ⑦     （3）④ ⑧      【分析】 本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． (1) 小问详解： 解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：② ③ ⑤ ， 故答案为：② ③ ⑤ ； (2) 小问详解： 解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：① ⑥ ⑦ ， 故答案为：① ⑥ ⑦ ； (3) 小问详解： 解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④ ⑧ ， 故答案为：④ ⑧ ． 17．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根，根据图示进行求算术平方根，并判断是否无理数． 【详解】 解：由图示得：，是有理数， 2的算术平方根是，是无理数，输入此值， 故答案为：． 18．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）比较大小：　　　　　　；　　　　　　；　　　　　　 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，灵活运用绝对值的化简规则、有理数大小比较的方法是解题的关键通过化简绝对值、将数转化为相同形式（小数或分数），结合有理数大小比较的规律（正数大于负数、负数比较绝对值），即可完成大小比较 【详解】 ，，由于，所以； ，，由于，所以； ，，由于负数小于正数，所以 故答案为：，， 19．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 【答案】把各数表示在数轴上，如图所示： ；；； 【分析】 本题主要考查了用数轴上点表示实数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】 解：， 用“”连接为：． 20．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）． ①1；②；③；④0；⑤；⑥（每两个“3”之间依次多一个“0”）；⑦；⑧． （1）正整数：________________； （2）分数：________________； （3）负有理数：________________； （4）无理数：________________． 【答案】（1）① ⑦     （2）② ⑤     （3）⑤     （4）③ ⑥ ⑧      【分析】 本题考查了实数的分类，根据实数的分类即可得出答案，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． (1) 小问详解： 正整数：① ⑦ (2) 小问详解： 分数：② ⑤ (3) 小问详解： 负有理数：⑤ (4) 小问详解： 无理数：③ ⑥ ⑧ 21．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①0，②，③，④，⑤，⑥ 整数：                                 ； 分数：                                 ； 无理数：                                 ． 【答案】整数：① ⑤；分数：② ③；无理数：④ ⑥ 【分析】 本题考查实数的分类．整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数；无理数是无限不循环小数． 根据整数、分数和无理数的定义进行判断即可． 【详解】 解：① 0是整数． ②，是分数． ③是分数． ④是无理数． ⑤，是整数． ⑥是无理数． 因此，整数：① ⑤；分数：② ③；无理数：④ ⑥． 22．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）请写出一个大于且小于的无理数　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】 ， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 23．（25-26学年七上·浙江温州·期中）在实数3.1415926，，0，，，，，0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）中，无理数的个数是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查无理数，无理数是指无限不循环小数．根据每个实数的性质，逐一判断是否为无理数． 【详解】 解：3.1415926是有限小数，属于有理数； 为无理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 中100的立方根不是整数，也不是分数，属于无理数； 0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，无理数有、和0.1010010001…，共3个． 故答案为：3． 24．（25-26学年七上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的横线内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦2025； ⑧（每相邻两个8之间依次多一个6）． 自然数：______； 正分数：______； 负实数：______； 无理数：______； 【答案】① ⑦ ；⑤ ⑥ ；② ④ ；③ ⑧ 【分析】 本题考查了实数分类，非负整数为自然数，无限不循环小数即为无理数，大于0的分数为正分数，小于0的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：自然数：① ⑦ ； 正分数：⑤ ⑥ ； 负实数：② ④ ； 无理数：③ ⑧ ． 25．（25-26学年七上·浙江温州·期中）按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是　　　　　　；当输出的值等于4时，输入的负数是　　　　　　． 【答案】① 8    ② 【分析】 本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】 解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 26．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦； （1）整数｛       ｝． （2）分数｛       ｝． （3）无理数｛       ｝． 【答案】（1）① ④ ⑥     （2）② ③     （3）⑤ ⑦      【分析】 本题考查有理数的分类和无理数的定义，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． （1）根据整数的定义解答即可； （2）根据分数的定义解答即可； （3）根据无理数的定义解答即可． (1) 小问详解： 解：整数｛① ④ ⑥｝． (2) 小问详解： 解：分数｛② ③｝． (3) 小问详解： 解：无理数｛⑤ ⑦｝． 27．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的加减运算和实数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）根据实数的混合运算顺序计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 28．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． 【答案】，，；，，，0，；，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 【分析】 本题考查了实数分类，理解分数，有理数，无理数的类概念是解题的关键． 根据实数分类，逐个选出分数，有理数，无理数即可． 【详解】 解：∵，， ∴分数：，，， 有理数：，，，0，， 无理数：，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）． 29．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的大小比较，会比较无理数是解题的关键． 根据负数比较大小的法则，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 30．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）9     （2）32      【分析】 本题涉及有理数的运算、乘方、三次根式化简考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 先计算括号里面的，再计算即可； 先化简，再计算求值即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 ． 31．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】 解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 32．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）先化简，再求值： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）先根据算术平方根、立方根、有理数的乘法法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 33．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． （1）图中阴影部分的面积是多少，正方形的边长是多少？ （2）已知的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了网格问题，图形的积的计算，勾股定理，无理数的估算，正确应用勾股定理进行计算，理解无理数的整数部分与小数部分的定义是解题的关键． （1）根据勾股定理求出阴影部分的正方形的边长的平方，再开方即可求解； （2）先求出的值，再代入到中计算即可． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得，图中阴影部分的面积为， 该正方形的边长为； (2) 小问详解： 由（1）的所求可得，，， ∴， 的整数部分，小数部分是， 。 34．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有　　　　　　（横线上填序号）． 【答案】① ③ ⑤ 【分析】 本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数以及算术平方根的定义逐个判断即可． 【详解】 解：①是开方不尽的数，且无限不循环，是无理数； ②是循环小数，可化为分数，是有理数； ③π是圆周率，无限不循环，是无理数； ④是分数，是有理数； ⑤虽有一定规律，但无限不循环，是无理数． 所以无理数有① ③ ⑤． 故答案为：① ③ ⑤． 35．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，． 【答案】相反数为4，相反数为，相反数为， ∴按从小到大的顺序排列为：， 即，在数轴表示为，如图： 【分析】 本题考查了数轴和相反数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别求得所给数的相反数和近似值，然后进行大小比较即可求解； 【详解】 略 36．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的运算的规律，实数与数轴，先求出点B表示的数得到，则表示的数为，再求出表示的数为，则，然后依次表示，，；；即可找到规律求解． 【详解】 解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ，∴，则表示的数为， ∵， ∴ ∴， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ……， 以此类推可得，当n为奇数时，当n为偶数时， ∴ 故答案为：． 37．（25-26学年七上·浙江金华·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． （1）_______． （2）求的平方根． （3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）实数a，b的这种新运算满足交换律；      【分析】 此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 的平方根为 (3) 小问详解： 解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 38．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）大正方形与小正方形的边长分别为            ； （2）求阴影部分的面积； （3）求长方形的周长． 【答案】（1）3，     （2）阴影部分的面积为     （3）周长为      【分析】 本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； (2) 小问详解： 解：阴影部分的面积为； (3) 小问详解： 解：长方形的周长为． 39．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． （1）图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． （2）将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． （3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了正方形的面积与边长、数轴与实数的对应关系以及图形面积的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式、实数与数轴的对应关系． （1）根据组成正方形的小正方形个数求面积，再求边长； （2）先求的长度，再结合数轴上点的位置求点表示的数； （3）先计算阴影部分面积，再求新正方形的边长． (1) 小问详解： 解：正方形由五个边长为1的小正方形组成， 面积为， 根据正方形面积公式（为边长），可得边长． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，点与表示的点重合，以该点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是，即． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：阴影部分的面积. ∴新正方形的边长是． 40．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如：． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） 26     （2）       【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键． （1）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算； （2）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算 (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， ， ， . 41．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）阅读理解： ，即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题： （1）已知是的整数部分，是的小数部分，则_______，_______． （2）已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值． ②求的平方根． 【答案】（1）3；     （2）① 1；；②      【分析】 本题考查无理数的估算，以及已知字母的值，代入求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为． 故答案为：, (2) 小问详解： ①解：∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为 ∵a是的整数部分，是的小数部分， ∴, ②∴, ∴， ∴的平方根为． 42．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）计算： （1） （2） （3）（结果精确到0.1，参考值，） （4） 【答案】（1）     （2）7     （3）     （4）      【分析】 本题考查实数的混合运算，涉及有理数的四则混合运算、含乘方的有理数的混合运算、求算术平方根的近似数，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）先去括号，再利用算术平方根和有理数乘法求近似值即可； （4）先算乘方，再算除法，最后减法运算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 43．（25-26学年七上·浙江温州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及实数的运算，解题的关键是熟练掌握乘方、除法、绝对值、开方的运算规则． （1）先算乘方和绝对值，再算除法，最后算减法； （2）先算乘方、开方，再算乘法，最后算加减． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ． 44．（25-26学年七上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】 解：，是的整数部分，是的小数部分， ，． ． 故答案为：． 45．（25-26学年七上·浙江温州·期中）对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． （1）计算：________；________． （2）已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． （3）已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 【答案】（1）1，2     （2）重复4次后有固定值，固定值为0     （3）      【分析】 本题考查了新定义（取整函数）的运算，解题的关键是准确理解表示不超过的最大整数这一概念． （1）根据的定义直接计算两个式子的值； （2）按照 “取四分之一，再取不超过它的最大整数” 的规则逐步操作，直到得到固定值； （3）找到临界数据，结合能被整除的条件，求出所有符合条件的的值． (1) 小问详解： 解： ，不超过的最大整数是， ． ：，不超过的最大整数是；    ：，不超过的最大整数是； ． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， 所以如此操作至少重复4次后开始变为固定值0． (3) 小问详解： 解：因为， ， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 因为， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 综上：所有符合条件的的值为：． 46．（25-26学年七上·浙江温州·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别为1、2，以为边向上作正方形，以点B为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴上点B的右侧于点C，则点C表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．由勾股定理可得，正方形的对角线长为，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理可得，正方形的对角线长为， 则点C表示的数为， 故答案为：． 47．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料请回答以下问题： （1）比较与4的大小； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值； （3）如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了无理数的估算． （1）根据作答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b的值，进而代入计算即可； （3）根据无理数的估算求出m、n的值，进而代入计算，最后求其立方根即可． (1) 小问详解： 解：因为， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以； (3) 小问详解： 解：因为的整数部分为，且， 所以， 因为， 所以， 又因为的整数部分为， 所以， 所以， 所以的立方根是4． 48．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故答案为：． 49．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 【答案】各数在数轴上表示如下： ． 【分析】 本题主要考查数轴及实数的大小比较，熟练掌握数轴上数的表示及实数的大小比较是解题的关键． 分别根据去绝对值、算术平方根、乘方和立方根，计算出各数，再根据所得的数在数轴上表示出来即可．根据数轴将各数按从小到大排列即可 【详解】 解：，，， 50．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． （1）求组成这个魔方的小立方体的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． （3）把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【答案】（1）     （2）正方形的面积为，边长为     （3）      【分析】 本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1算术平方根求出正方形的边长即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：， 组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； (2) 小问详解： 解：正方形的面积为，正方形的边长为，； (3) 小问详解： 解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 51．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）[a]表示不超过的最大整数，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后结果变为1．恰需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数是　　　　　　　　　　　． 【答案】255 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，根据操作定义，需找到正整数 ，使得经过三次取整平方根操作后变为1，且第二次操作后的结果不为1，以确保恰好需要三次操作．通过分析操作序列中各步骤的取值范围，确定 的最大值． 【详解】 解：设操作序列为：第一次操作： ， 第二次操作： ， 第三次操作： ， 由第三次操作 ，得 ，即 ，故 可取 1， 2， 3．但为确保恰好三次操作（第二次操作后结果不为1），排除 ，故 或 ． 若，则 ，即 ，故 ． 若，则 ，即 ，故 ． 由第一次操作 ，得 ．为最大化 ，取 （对应 ），则 的取值范围为 ，最大整数 ． 验证：对 ， 第一次操作：（因 ，取整为15）， 第二次操作：（因 ，取整为3）， 第三次操作： （因 ，取整为1）， 恰好三次操作后变为1，且第二次操作后结果不为1．对 ，需四次操作，故不符合．因此最大数为255． 故答案为： 255 ． 52．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）比较下列各组数的大小：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比较实数的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，以及估算法进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数 3大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）下列各式中，正确的是   （          ） A. ； B. ； C. ； D. . 2．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（     ） A. 45 B.  C.  D. 不存在 3．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）已知，，那么的值约为（   ） A. 0.2236 B. 0.7071 C. 0.02236 D. 0.07071 4．（25-26学年七上·浙江杭州西湖区·期中）已知为实数，且，则的平方根是（       ） A.  B. 2 C.  D.  5．（25-26学年七上·浙江金华·期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（     ） A. 4米 B. 16米 C. 25米 D. 36米 6．（25-26学年七上·浙江金华·期中）若，则等于（       ） A. －1 B. 1 C.  D.  7．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）下列各式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）已知，且，则的值为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 10．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·浙江温州·期中）9的算术平方根是　　　　　． 12．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）121的平方根是　　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）4的平方根是　　　　　　　． 14．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． （1）求图中阴影正方形的面积和边长的值． （2）若阴影正方形的边长的整数部分为，小数部分为，求的值． 15．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）若为实数，且满足，则的值是　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）若 则 　　　　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）已知a，b为常数，且单项式与的和仍是单项式，则的平方根为　　　　　　． 18．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）如图是三个规格相同的正方形网格，请用铅笔按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点上的正方形）． （1）在图甲中画出与图1中阴影部分面积相等的正方形，该正方形的边长为                  ； （2）在图乙中画出面积大于9且小于16的正方形． 19．（25-26学年七上·浙江温州·期中）已知是144的算术平方根，8的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 20．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是　　　　　　． 21．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 22．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… （1）观察算式规律，计算，的值． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律． （3）根据规律，求的值． 考点02 立方根 1．（25-26学年七上·浙江温州·期中）27的立方根是(        ) A. 3 B.  C. 9 D.  2．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）下列说法：（1）1是1的平方根；（2）若的平方根是，则；（3）没有立方根；（4）无理数是开方开不尽的数；（5）无理数可以分为正无理数，负无理数，0．其中正确的有（   ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年七上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）下面计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是　　　　　　． 7．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）计算： （1）； （2）． 8．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. （1）求和的值； （2）求的立方根. 9．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）计算： （1）； （2）． 10．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为　　　　　　． 11．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）若一个数的立方是﹣8，则这个数是　　． 12．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）计算． （1） （2） （3） （4） 13．（25-26学年七上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． （1）求立方体的棱长； （2）如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）下列各数中，最小的数是（　　） A.  B. 0 C.  D.  2．（25-26学年七上·浙江杭州西湖区·期中）下列数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3．（25-26学年七上·浙江金华·期中）下列各数中，属于无理数的是（     ） A.  B. 3 C.  D.  4．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，数轴上A、B、C、D四个点中，与表示数的点最接近的点是（     ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5．（25-26学年七上·浙江温州·期中）估计的值在（     ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）下列各数中，属于无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）估计的值在（       ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）点在数轴上表示的数是，点在数轴上和原点相距3个单位长度，则之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D. 或 9．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）在，，，，，六个实数中，无理数的个数有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 2个 10．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）下列说法正确的是（　　） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 平方根是它本身的数只有0 C. 两个无理数的和一定是无理数 D. 负数没有立方根 11．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）估计的值是（　　） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 12．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 14．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）下列说法正确的有（     ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数； ④近似数所表示的准确数的范围大于或等于，而小于； ⑤的立方根是2； ⑥是分数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． （1）整数集合：             ； （2）分数集合：             ； （3）无理数集合：             ． 17．（25-26学年七上·浙江杭州余杭区·期中）如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）比较大小：　　　　　　；　　　　　　；　　　　　　 19．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 20．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）． ①1；②；③；④0；⑤；⑥（每两个“3”之间依次多一个“0”）；⑦；⑧． （1）正整数：________________； （2）分数：________________； （3）负有理数：________________； （4）无理数：________________． 21．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）把下列各数的序号填在横线上． ①0，②，③，④，⑤，⑥ 整数：                                 ； 分数：                                 ； 无理数：                                 ． 22．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）请写出一个大于且小于的无理数　　　　　　　． 23．（25-26学年七上·浙江温州·期中）在实数3.1415926，，0，，，，，0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）中，无理数的个数是　　　　　　　　． 24．（25-26学年七上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的横线内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦2025； ⑧（每相邻两个8之间依次多一个6）． 自然数：______； 正分数：______； 负实数：______； 无理数：______； 25．（25-26学年七上·浙江温州·期中）按如图所示的流程操作，当输入时，输出的值是　　　　　　；当输出的值等于4时，输入的负数是　　　　　　． 26．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦； （1）整数｛       ｝． （2）分数｛       ｝． （3）无理数｛       ｝． 27．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）计算： （1） （2） 28．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． 29．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）计算： （1） （2） 31．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是　　　　　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年七上·浙江杭州大关中学·期中）先化简，再求值： （1）； （2） 33．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． （1）图中阴影部分的面积是多少，正方形的边长是多少？ （2）已知的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 34．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有　　　　　　（横线上填序号）． 35．（25-26学年七上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，． 36．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年七上·浙江金华·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． （1）_______． （2）求的平方根． （3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 38．（25-26学年七上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）大正方形与小正方形的边长分别为            ； （2）求阴影部分的面积； （3）求长方形的周长． 39．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． （1）图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． （2）将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． （3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 40．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如：． （1）求的值． （2）求的值． 41．（25-26学年七上·浙江协作学校·期中）阅读理解： ，即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题： （1）已知是的整数部分，是的小数部分，则_______，_______． （2）已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值． ②求的平方根． 42．（25-26学年七上·浙江温州新希望学校·期中）计算： （1） （2） （3）（结果精确到0.1，参考值，） （4） 43．（25-26学年七上·浙江温州·期中）计算： （1）； （2）． 44．（25-26学年七上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则　　　　　　　　． 45．（25-26学年七上·浙江温州·期中）对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． （1）计算：________；________． （2）已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． （3）已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 46．（25-26学年七上·浙江温州·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别为1、2，以为边向上作正方形，以点B为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴上点B的右侧于点C，则点C表示的数为　　　　　　． 47．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料请回答以下问题： （1）比较与4的大小； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值； （3）如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 48．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年七上·浙江舟山·期中）在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 50．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． （1）求组成这个魔方的小立方体的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． （3）把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 51．（25-26学年七上·浙江嘉兴联盟·期中）[a]表示不超过的最大整数，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后结果变为1．恰需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数是　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年七上·浙江宁波鄞州区·期中）比较下列各组数的大小：　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 11．【答案】3 【分析】 根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】 ∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12．【答案】 【分析】 利用平方根的定义计算即可得到结果. 【详解】 解：∵±11的平方等于121，∴121的平方根是：±11， 故答案为：±11. 【点睛】 本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．掌握平方根的定义是解题的关键． 13．【答案】±2 【详解】 解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 14．【答案】（1）阴影面积，边长     （2）      【分析】 本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据割补法可进行求解阴影部分的面积，然后根据算术平方根可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：， ∴该正方形的边长为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴． 15．【答案】1 【分析】 本题主要考查了平方和算术平方根的非负性．根据平方和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算． 【详解】 解：∵ ，，且 ， ∴ 且， ∴， 解得 ，， ∴． 故答案为：1． 16．【答案】 【分析】 当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】 解：∵，且， ∴． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了同类项、平方根等知识点，掌握同类项的相同字母的指数必须相等是解题的关键． 根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们为同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而求出a和b的值，再计算的平方根． 【详解】 解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 18．【答案】（1） 所画正方形如图所示： ；      （2） 所画正方形如图所示： 【分析】 本题考查基本作图，三角形的面积，勾股定理、算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合思考问题． （1）计算出图1中阴影部分面积为2，进而判断出正方形的边长为，利用格点及勾股定理画出正方形即可； （2）判断出正方形的边长为范围，再利用格点及勾股定理画出正方形即可． (1) 小问详解： 解：由题意，阴影部分面积为， ∴所画正方形的边长为，又； (2) 小问详解： 解：∵所画正方形的面积大于9且小于16， ∴所画正方形的边长大于3且小于4，如，又 19．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了算术平方根，平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用算术平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：， 则， ． (2) 小问详解： 解：∵，． ∴， 则的平方根是． 20．【答案】2 【分析】 本题考查了平方根．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此求解即可． 【详解】 解：由题意，与互为相反数， 所以， 即， 解得． 故答案为：2． 21．【答案】（1） ，，     （2）       【分析】 本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． （1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴， ∴，，； (2) 小问详解： 解：把，，代入得：， ∵， ∴的平方根是．, 22．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． (1) 小问详解： 解：， ； (2) 小问详解： 解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； (3) 小问详解： 解：原式 ． 考点02 立方根 1．A 2．A 3．A 4．B 5．A 6．【答案】4 【分析】 此题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的意义是解题的关键．根据立方体的体积公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】 解：∵立方体体积为， ∴这个立方体的棱长为． 故答案为：4． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查有理数的乘法运算律及含乘方的有理数混合运算，算术平方根，立方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数乘法运算律进行求解即可； （2）根据有理数的乘方运算，立方根，算术平方根可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 8．【答案】（1），.     （2）4      【分析】 本题考查了平方根与立方根的应用； （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得，进而求得的值； （2）将的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解． (1) 小问详解： 解∶ 依题意， 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 小问详解： ∵，， ∴       ∴的立方根为4. 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、立方根，再计算有理数的加减运算即可得； （2）先计算有理数的乘方、算术平方根，再利用乘法分配律计算即可得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 11．【答案】-2 【分析】 根据乘方，求立方根即可． 【详解】 解：∵ ∴＝﹣2， 即﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】 本题主要考查了求一个数的立方根，掌握乘方与开方互为逆运算是解答本题的关键． 12．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）2      【分析】 本题考查了有理数的混合运算、立方根、算术平方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据有理数加减的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）根据乘方、立方根、算术平方根的性质化简，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：立方体木块的体积是， 则棱长为； (2) 小问详解： 解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 考点03 实数及其简单运算 1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 13．D 14．C 15．C 16．【答案】（1）② ③ ⑤     （2）① ⑥ ⑦     （3）④ ⑧      【分析】 本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． (1) 小问详解： 解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：② ③ ⑤ ， 故答案为：② ③ ⑤ ； (2) 小问详解： 解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：① ⑥ ⑦ ， 故答案为：① ⑥ ⑦ ； (3) 小问详解： 解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④ ⑧ ， 故答案为：④ ⑧ ． 17．【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根，根据图示进行求算术平方根，并判断是否无理数． 【详解】 解：由图示得：，是有理数， 2的算术平方根是，是无理数，输入此值， 故答案为：． 18．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，灵活运用绝对值的化简规则、有理数大小比较的方法是解题的关键通过化简绝对值、将数转化为相同形式（小数或分数），结合有理数大小比较的规律（正数大于负数、负数比较绝对值），即可完成大小比较 【详解】 ，，由于，所以； ，，由于，所以； ，，由于负数小于正数，所以 故答案为：，， 19．【答案】把各数表示在数轴上，如图所示： ；；； 【分析】 本题主要考查了用数轴上点表示实数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】 解：， 用“”连接为：． 20．【答案】（1）① ⑦     （2）② ⑤     （3）⑤     （4）③ ⑥ ⑧      【分析】 本题考查了实数的分类，根据实数的分类即可得出答案，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． (1) 小问详解： 正整数：① ⑦ (2) 小问详解： 分数：② ⑤ (3) 小问详解： 负有理数：⑤ (4) 小问详解： 无理数：③ ⑥ ⑧ 21．【答案】整数：① ⑤；分数：② ③；无理数：④ ⑥ 【分析】 本题考查实数的分类．整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数；无理数是无限不循环小数． 根据整数、分数和无理数的定义进行判断即可． 【详解】 解：① 0是整数． ②，是分数． ③是分数． ④是无理数． ⑤，是整数． ⑥是无理数． 因此，整数：① ⑤；分数：② ③；无理数：④ ⑥． 22．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】 ， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 23．【答案】3 【分析】 本题主要考查无理数，无理数是指无限不循环小数．根据每个实数的性质，逐一判断是否为无理数． 【详解】 解：3.1415926是有限小数，属于有理数； 为无理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 中100的立方根不是整数，也不是分数，属于无理数； 0.1010010001…（两个“1”之间依次多个“0”）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，无理数有、和0.1010010001…，共3个． 故答案为：3． 24．【答案】① ⑦ ；⑤ ⑥ ；② ④ ；③ ⑧ 【分析】 本题考查了实数分类，非负整数为自然数，无限不循环小数即为无理数，大于0的分数为正分数，小于0的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：自然数：① ⑦ ； 正分数：⑤ ⑥ ； 负实数：② ④ ； 无理数：③ ⑧ ． 25．【答案】① 8    ② 【分析】 本题考查了流程图与实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先判断正负，再根据流程图计算即可． 【详解】 解：当输入时，， ， ； 当输出的值等于4时，， 输入的负数是， 故答案为：8，． 26．【答案】（1）① ④ ⑥     （2）② ③     （3）⑤ ⑦      【分析】 本题考查有理数的分类和无理数的定义，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． （1）根据整数的定义解答即可； （2）根据分数的定义解答即可； （3）根据无理数的定义解答即可． (1) 小问详解： 解：整数｛① ④ ⑥｝． (2) 小问详解： 解：分数｛② ③｝． (3) 小问详解： 解：无理数｛⑤ ⑦｝． 27．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的加减运算和实数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）根据实数的混合运算顺序计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 28．【答案】，，；，，，0，；，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 【分析】 本题考查了实数分类，理解分数，有理数，无理数的类概念是解题的关键． 根据实数分类，逐个选出分数，有理数，无理数即可． 【详解】 解：∵，， ∴分数：，，， 有理数：，，，0，， 无理数：，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）． 29．【答案】 【分析】 本题考查了实数的大小比较，会比较无理数是解题的关键． 根据负数比较大小的法则，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 30．【答案】（1）9     （2）32      【分析】 本题涉及有理数的运算、乘方、三次根式化简考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 先计算括号里面的，再计算即可； 先化简，再计算求值即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 ． 31．【答案】 【分析】 先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】 解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）先根据算术平方根、立方根、有理数的乘法法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了网格问题，图形的积的计算，勾股定理，无理数的估算，正确应用勾股定理进行计算，理解无理数的整数部分与小数部分的定义是解题的关键． （1）根据勾股定理求出阴影部分的正方形的边长的平方，再开方即可求解； （2）先求出的值，再代入到中计算即可． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得，图中阴影部分的面积为， 该正方形的边长为； (2) 小问详解： 由（1）的所求可得，，， ∴， 的整数部分，小数部分是， 。 34．【答案】① ③ ⑤ 【分析】 本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数以及算术平方根的定义逐个判断即可． 【详解】 解：①是开方不尽的数，且无限不循环，是无理数； ②是循环小数，可化为分数，是有理数； ③π是圆周率，无限不循环，是无理数； ④是分数，是有理数； ⑤虽有一定规律，但无限不循环，是无理数． 所以无理数有① ③ ⑤． 故答案为：① ③ ⑤． 35．【答案】相反数为4，相反数为，相反数为， ∴按从小到大的顺序排列为：， 即，在数轴表示为，如图： 【分析】 本题考查了数轴和相反数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别求得所给数的相反数和近似值，然后进行大小比较即可求解； 【详解】 略 36．【答案】 【分析】 本题考查了实数的运算的规律，实数与数轴，先求出点B表示的数得到，则表示的数为，再求出表示的数为，则，然后依次表示，，；；即可找到规律求解． 【详解】 解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ，∴，则表示的数为， ∵， ∴ ∴， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ……， 以此类推可得，当n为奇数时，当n为偶数时， ∴ 故答案为：． 37．【答案】（1）     （2）     （3）实数a，b的这种新运算满足交换律；      【分析】 此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 的平方根为 (3) 小问详解： 解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 38．【答案】（1）3，     （2）阴影部分的面积为     （3）周长为      【分析】 本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； (2) 小问详解： 解：阴影部分的面积为； (3) 小问详解： 解：长方形的周长为． 39．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了正方形的面积与边长、数轴与实数的对应关系以及图形面积的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式、实数与数轴的对应关系． （1）根据组成正方形的小正方形个数求面积，再求边长； （2）先求的长度，再结合数轴上点的位置求点表示的数； （3）先计算阴影部分面积，再求新正方形的边长． (1) 小问详解： 解：正方形由五个边长为1的小正方形组成， 面积为， 根据正方形面积公式（为边长），可得边长． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，点与表示的点重合，以该点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是，即． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：阴影部分的面积. ∴新正方形的边长是． 40．【答案】（1） 26     （2）       【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键． （1）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算； （2）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算 (1) 小问详解： (2) 小问详解： ， ， ， . 41．【答案】（1）3；     （2）① 1；；②      【分析】 本题考查无理数的估算，以及已知字母的值，代入求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为． 故答案为：, (2) 小问详解： ①解：∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为 ∵a是的整数部分，是的小数部分， ∴, ②∴, ∴， ∴的平方根为． 42．【答案】（1）     （2）7     （3）     （4）      【分析】 本题考查实数的混合运算，涉及有理数的四则混合运算、含乘方的有理数的混合运算、求算术平方根的近似数，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）先去括号，再利用算术平方根和有理数乘法求近似值即可； （4）先算乘方，再算除法，最后减法运算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及实数的运算，解题的关键是熟练掌握乘方、除法、绝对值、开方的运算规则． （1）先算乘方和绝对值，再算除法，最后算减法； （2）先算乘方、开方，再算乘法，最后算加减． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】 解：，是的整数部分，是的小数部分， ，． ． 故答案为：． 45．【答案】（1）1，2     （2）重复4次后有固定值，固定值为0     （3）      【分析】 本题考查了新定义（取整函数）的运算，解题的关键是准确理解表示不超过的最大整数这一概念． （1）根据的定义直接计算两个式子的值； （2）按照 “取四分之一，再取不超过它的最大整数” 的规则逐步操作，直到得到固定值； （3）找到临界数据，结合能被整除的条件，求出所有符合条件的的值． (1) 小问详解： 解： ，不超过的最大整数是， ． ：，不超过的最大整数是；    ：，不超过的最大整数是； ． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：， 所以如此操作至少重复4次后开始变为固定值0． (3) 小问详解： 解：因为， ， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 因为， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 综上：所有符合条件的的值为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．由勾股定理可得，正方形的对角线长为，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理可得，正方形的对角线长为， 则点C表示的数为， 故答案为：． 47．【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了无理数的估算． （1）根据作答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b的值，进而代入计算即可； （3）根据无理数的估算求出m、n的值，进而代入计算，最后求其立方根即可． (1) 小问详解： 解：因为， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以； (3) 小问详解： 解：因为的整数部分为，且， 所以， 因为， 所以， 又因为的整数部分为， 所以， 所以， 所以的立方根是4． 48．【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故答案为：． 49．【答案】各数在数轴上表示如下： ． 【分析】 本题主要考查数轴及实数的大小比较，熟练掌握数轴上数的表示及实数的大小比较是解题的关键． 分别根据去绝对值、算术平方根、乘方和立方根，计算出各数，再根据所得的数在数轴上表示出来即可．根据数轴将各数按从小到大排列即可 【详解】 解：，，， 50．【答案】（1）     （2）正方形的面积为，边长为     （3）      【分析】 本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1算术平方根求出正方形的边长即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：， 组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； (2) 小问详解： 解：正方形的面积为，正方形的边长为，； (3) 小问详解： 解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 51．【答案】255 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，根据操作定义，需找到正整数 ，使得经过三次取整平方根操作后变为1，且第二次操作后的结果不为1，以确保恰好需要三次操作．通过分析操作序列中各步骤的取值范围，确定 的最大值． 【详解】 解：设操作序列为：第一次操作： ， 第二次操作： ， 第三次操作： ， 由第三次操作 ，得 ，即 ，故 可取 1， 2， 3．但为确保恰好三次操作（第二次操作后结果不为1），排除 ，故 或 ． 若，则 ，即 ，故 ． 若，则 ，即 ，故 ． 由第一次操作 ，得 ．为最大化 ，取 （对应 ），则 的取值范围为 ，最大整数 ． 验证：对 ， 第一次操作：（因 ，取整为15）， 第二次操作：（因 ，取整为3）， 第三次操作： （因 ，取整为1）， 恰好三次操作后变为1，且第二次操作后结果不为1．对 ，需四次操作，故不符合．因此最大数为255． 故答案为： 255 ． 52．【答案】 【分析】 本题考查比较实数的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，以及估算法进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $