1.2　空间向量基本定理 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，通过问题链导入，先以空间三垂直向量能否表示任意向量衔接平面向量基本定理，再证明系数唯一性，构建从平面到空间的知识支架，引导理解基底、正交分解等核心概念。 资料以问题驱动与例题示范为特色，通过基底判断、向量表示及立体几何应用（如证明垂直、求夹角），培养学生空间观念与推理能力。反思感悟总结方法，习题层次分明，助力学生用数学语言表达空间关系，提升数学思维与应用意识。

湖北省十堰市郧阳中学 2025级高一数学自编学案 选择性必修一 §1.2　空间向量基本定理 [学习目标]　1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量(重点).3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法(难点)． 一、空间向量基本定理 问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ 问题2　请证明x，y，z的唯一性． 知识梳理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c____________，那么对任意一个空间向量p，存在____________的有序实数组(x，y，z)，使得_______________. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个____________，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量____________，且长度都为____________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_______________.像这样，把一个空间向量分解为三个____________的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 反思感悟　基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 跟踪训练1　已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c 二、用基底表示空间向量 例2　如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和. 反思感悟　用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 三、空间向量基本定理的应用 例3　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 延伸探究　若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C. 反思感悟　(1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 跟踪训练3　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 1．知识清单： (1)空间向量基本定理． (2)空间向量基本定理的应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区： (1)基向量理解错误，忽视基向量的条件． (2)利用基向量表示向量时，没有转化目标． 1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A. B. C. D.或 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　) A．a－b＋2c B．a－b－2c C．－a＋b＋c D.a－b＋c 3．在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判断位置关系 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为(　　) A.a B.a C.a D.a §1.2　空间向量基本定理 问题1　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量， 则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj. 从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 问题2　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 两边同除以(x′－x)， 得i＝j＋k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 知识梳理 1．不共面　唯一　p＝xa＋yb＋zc 2.基底 3．两两垂直　1 4．a＝xi＋yj＋zk　两两垂直 例1　解　假设，，共面． 则存在实数λ， μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底． 跟踪训练1　D　[能与p，q构成基底，则与p，q不共面． ∵a＝，b＝， a＋2b＝p－q， ∴A，B，C都不符合题意． ∵{a，b，c}为基底， ∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．] 例2　解　＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋＋. ＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋. 跟踪训练2　解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1， ＝＋ ＝－＋ －＝a－b－c. ＝＋＝＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－＝a－c. (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， 又＝xa＋yb＋zc， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 例3　(1)证明　设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． ∴＝＋＝－k＋(＋) ＝i＋j－k， ＝＋＝－i－k， ∴·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)解　∵＝i＋j－k，＝＋＝－k－j， ∴||2＝2 ＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3， 即||＝， ||2＝2 ＝|k|2＋|j|2＝4＋＝， 即||＝， ∴cos〈，〉＝ ＝ ＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 延伸探究　证明　设＝i， ＝j，＝k， 则＝＋＝－i－k， ＝－ ＝(＋) －(＋) ＝ － ＝－ ＝－i－k＝(－i－k) ＝， 所以∥， 又MF，B1C无公共点， 所以MF∥B1C. 跟踪训练3　 解析　如图所示，令＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b， 因为＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c， |cos〈，〉|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 随堂演练 1．C　[∵＝(a－b)， ∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间基底．] 2.D　[＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c.] 3．C　[＝－， 所以·＝·(－) ＝·－· ＝1×1×－1×1×＝0， 故⊥， 即AB与CD垂直．] 4．A　[设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． ＝＋＋ ＝i＋j＋(－j＋k) ＝i＋j＋k， 故||2＝a2＋a2＋a2＝a2， 所以MN＝a.] 学科网（北京）股份有限公司 $