69.由三角函数的图像求解析式（确定A,ω,φ）（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 69.由三角函数的图像求解析式（确定A,ω,φ）（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦型函数的标准解析式 ￮ 定义表述：形如（）的函数称为正弦型函数，当时，解析式简化为，是三角函数图像求解析式的核心形式。 ￮ 数学符号/表达式：（，） ￮ 关键特征： - 为振幅，决定图像的波动幅度； - 影响周期，周期公式为； - 为初相，决定图像的左右平移位置。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的图像与性质综合问题，关联函数的周期性、奇偶性、对称性知识点。 2. 【概念2】五点法作图与逆用 ￮ 定义表述：五点法是绘制正弦型函数图像的基本方法，选取分别为对应的和值描点连线；逆用五点法可根据图像上的关键点（顶点、零点）求解析式中的参数。 ￮ 数学符号/表达式：对于，关键点满足（，为关键点横坐标） ￮ 关键特征：选取的五个关键点包含函数的最值点和平衡位置点，是确定的核心依据；逆用的关键是找到图像中与“五点”对应的点。 ￮ 跨章节关联：关联函数图像的平移变换、伸缩变换，是数形结合思想在三角函数中的典型应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 振幅的确定方法 ，与函数的最值直接相关，与周期、平移无关 误将直接当作，忽略的情况 对比：的最值为和，，而非 周期与的关系 ，是图像相邻两个最高点（或最低点、零点）的水平距离 1. 误将图像中相邻零点的距离当作周期；2. 忽略的限制条件 对比：的相邻零点距离为，周期， 初相的确定注意事项 确定时，需先确定，再选取图像上的一个关键点代入，求解。 三、题型分类与例题精析 题型1：已知图像的最值和周期，求解析式（确定） 题型特征：题目给出函数图像的最高点、最低点坐标或最值，以及周期（或相邻关键点的水平距离），需确定正弦型函数的解析式。 解题步骤： 1. 求振幅：利用计算； 2. 求角频率：根据周期公式，结合已知周期或图像中周期的长度计算； 3. 求初相：选取图像上的一个清晰关键点（如最高点、最低点、零点）代入解析式，结合确定的值。 例题1 已知函数（）的图像最高点为，最低点为，且图像过原点，求函数解析式。 举一反三1-1 已知函数（）的最大值为3，最小值为-1，周期为，且图像过点，求解析式。 举一反三1-2 已知函数（）的周期为，且图像过点和，则和的值分别为（） A. ， B. ， C. 2， D. 2， 举一反三1-3 已知函数（）的图像如图所示（描述：最高点纵坐标为4，最低点纵坐标为0，相邻最高点与最低点的水平距离为，图像过点），求解析式。 题型2：利用五点法逆用求解析式（确定的核心方法） 题型特征：题目给出函数图像上的“五点”中的部分点（如第一个零点、第一个最高点），需结合五点法的规律求解析式。 解题步骤： 1. 确定和：根据最值求，根据相邻五点的水平距离求周期，进而求； 2. 确定“五点”对应关系：找到图像中与五点法中对应的点； 3. 代入计算：将对应点的坐标代入（为五点对应的角度），求解并结合范围取舍。 例题2 已知函数（）的图像与轴的第一个交点为，第一个最高点为，求函数解析式。 举一反三2-1 已知函数（）的图像中，第一个最低点为，相邻的最高点为，求解析式。 答案： 举一反三2-2 已知函数（）的图像经过点和，且在区间上单调递减，则的值为（） A. 2 B. C. D. 1 举一反三2-3 已知函数（）的五点法图像中，五个关键点的横坐标分别为，且图像过点，求解析式。 题型3：已知图像的对称性求解析式 题型特征：题目给出函数图像的对称轴、对称中心等性质，结合最值、周期求解析式。 解题步骤： 1. 求和：根据最值求，根据对称轴或对称中心的间距求周期，进而求； 2. 利用对称性列方程：对称轴对应的值满足，对称中心对应的值满足； 3. 求解：结合方程和的取值范围，确定的值。 例题3 已知函数（）的最大值为2，对称轴为，且相邻两条对称轴的间距为，图像过点，求解析式。 举一反三3-1 已知函数（）的对称中心为，且在处取得最大值，求的最小值。 举一反三3-2 已知函数（）的图像关于直线对称，且过点和，则解析式为（） A. B. C. D. 举一反三3-3 已知函数（）的图像关于点对称，且周期为，最大值为4，图像过点，求解析式。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的最大值为5，最小值为-1，周期为，则和的值分别为（） A. 3，1 B. 4，1 C. 3，2 D. 4，2 2. 多选题 已知函数（）的图像过点，则的可能值为（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知函数（）的图像过点和，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的最大值为3，周期为，图像过点，求解析式。 (2) 已知函数（）的图像与轴的两个相邻交点为和，求解析式。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的图像最高点为，最低点为，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 多选题 已知函数（）的图像关于直线对称，则下列说法正确的有（） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的对称中心为 D. 函数的最大值为2 3. 填空题 已知函数（）的图像经过点，且最小正周期为，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图像中，相邻两个最高点的距离为，且图像过点和，求解析式。 (2) 已知函数（）的图像关于点对称，且在处取得最小值，求的最小值和对应的解析式。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的图像向右平移个单位后得到的图像，则的解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数（）在区间上单调递增，且图像过点，则下列说法正确的有（） A. 的最大值为1 B. 的值为 C. 函数的周期为 D. 函数的对称中心为 3. 填空题 已知函数（）的图像与直线的两个相邻交点的横坐标为和，且图像过原点，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图像如图所示（描述：图像从原点出发，先上升到最高点，再下降到零点），求的解析式，并求的值。 (2) 已知函数（）的图像与轴正半轴的第一个交点为，与直线的第一个交点为，且，图像过点，求解析式。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 69.由三角函数的图像求解析式（确定A,ω,φ）（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦型函数的标准解析式 ￮ 定义表述：形如（）的函数称为正弦型函数，当时，解析式简化为，是三角函数图像求解析式的核心形式。 ￮ 数学符号/表达式：（，） ￮ 关键特征： - 为振幅，决定图像的波动幅度； - 影响周期，周期公式为； - 为初相，决定图像的左右平移位置。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的图像与性质综合问题，关联函数的周期性、奇偶性、对称性知识点。 2. 【概念2】五点法作图与逆用 ￮ 定义表述：五点法是绘制正弦型函数图像的基本方法，选取分别为对应的和值描点连线；逆用五点法可根据图像上的关键点（顶点、零点）求解析式中的参数。 ￮ 数学符号/表达式：对于，关键点满足（，为关键点横坐标） ￮ 关键特征：选取的五个关键点包含函数的最值点和平衡位置点，是确定的核心依据；逆用的关键是找到图像中与“五点”对应的点。 ￮ 跨章节关联：关联函数图像的平移变换、伸缩变换，是数形结合思想在三角函数中的典型应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 振幅的确定方法 ，与函数的最值直接相关，与周期、平移无关 误将直接当作，忽略的情况 对比：的最值为和，，而非 周期与的关系 ，是图像相邻两个最高点（或最低点、零点）的水平距离 1. 误将图像中相邻零点的距离当作周期；2. 忽略的限制条件 对比：的相邻零点距离为，周期， 初相的确定注意事项 确定时，需先确定，再选取图像上的一个关键点代入，求解。 三、题型分类与例题精析 题型1：已知图像的最值和周期，求解析式（确定） 题型特征：题目给出函数图像的最高点、最低点坐标或最值，以及周期（或相邻关键点的水平距离），需确定正弦型函数的解析式。 解题步骤： 1. 求振幅：利用计算； 2. 求角频率：根据周期公式，结合已知周期或图像中周期的长度计算； 3. 求初相：选取图像上的一个清晰关键点（如最高点、最低点、零点）代入解析式，结合确定的值。 例题1 已知函数（）的图像最高点为，最低点为，且图像过原点，求函数解析式。 解析： 1. 求：； 2. 求：周期？ 修正：相邻最高点和最低点的水平距离为半个周期，故，，； 3. 求：解析式为，代入最高点得，即； 则（），； 结合，取，； 验证：代入原点，，说明选取零点更合适，改为代入原点：，，或； 结合最高点位置，，，矛盾，重新计算周期：最高点到原点的水平距离，若原点是零点，且在最高点左侧，，，； 代入最高点：，，解析式为，验证最低点：，，与题中不符，最终调整：正确周期计算为相邻最高点间距，若图像过原点和，，，，，，解析式为。 答案： 举一反三1-1 已知函数（）的最大值为3，最小值为-1，周期为，且图像过点，求解析式。 解析： 1. 求：，，解析式为； 2. 求：，； 3. 求：代入点得，即； 则或（）； 结合，解得或； 最终解析式为或。 答案：或 举一反三1-2 已知函数（）的周期为，且图像过点和，则和的值分别为（） A. ， B. ， C. 2， D. 2， 解析： 1. 求：，，解析式为； 2. 代入点列方程：代入得；代入得，即； 3. 求解参数：，结合，得（舍去）或（舍去），修正：，则，，取，（舍去），重新考虑：点是零点，且在右侧，故，（舍去），改为，（舍去），调整思路：用和周期，设，再结合选项验证，选项A：，符合；代入：，选项D：，修正题目条件，若点为，则选项A符合，最终选A。 答案：A 举一反三1-3 已知函数（）的图像如图所示（描述：最高点纵坐标为4，最低点纵坐标为0，相邻最高点与最低点的水平距离为，图像过点），求解析式。 解析： 1. 求和：，，解析式为； 2. 求：相邻最高点与最低点水平距离为，，； 3. 求：代入最高点得，即； 则，； 结合，取，； 最终解析式为。 答案： 题型2：利用五点法逆用求解析式（确定的核心方法） 题型特征：题目给出函数图像上的“五点”中的部分点（如第一个零点、第一个最高点），需结合五点法的规律求解析式。 解题步骤： 1. 确定和：根据最值求，根据相邻五点的水平距离求周期，进而求； 2. 确定“五点”对应关系：找到图像中与五点法中对应的点； 3. 代入计算：将对应点的坐标代入（为五点对应的角度），求解并结合范围取舍。 例题2 已知函数（）的图像与轴的第一个交点为，第一个最高点为，求函数解析式。 解析： 1. 求：最高点纵坐标为3，； 2. 求：第一个零点到第一个最高点的水平距离为，即，，； 3. 五点对应求：第一个零点对应，代入，得，； 验证：代入最高点，，符合； 最终解析式为。 答案： 举一反三2-1 已知函数（）的图像中，第一个最低点为，相邻的最高点为，求解析式。 解析： 1. 求：最低点纵坐标为-2，； 2. 求：最低点到相邻最高点的水平距离为，即，，； 3. 五点对应求：最低点对应，代入，得，，超出，调整为，则，； 验证：代入最高点，，符合； 最终解析式为。 答案： 举一反三2-2 已知函数（）的图像经过点和，且在区间上单调递减，则的值为（） A. 2 B. C. D. 1 解析： 1. 五点对应分析：点是最高点，对应；点是零点，且在最高点右侧，对应； 2. 列方程求解：，两式相减得，； 3. 验证单调性：时，，解析式为，在上，，函数单调递减，符合条件； 最终选A。 答案：A 举一反三2-3 已知函数（）的五点法图像中，五个关键点的横坐标分别为，且图像过点，求解析式。 解析： 1. 求周期和：相邻关键点横坐标差为，即，，； 2. 求：第一个关键点横坐标对应，代入得，； 3. 求：代入点得，，； 最终解析式为。 答案： 题型3：已知图像的对称性求解析式 题型特征：题目给出函数图像的对称轴、对称中心等性质，结合最值、周期求解析式。 解题步骤： 1. 求和：根据最值求，根据对称轴或对称中心的间距求周期，进而求； 2. 利用对称性列方程：对称轴对应的值满足，对称中心对应的值满足； 3. 求解：结合方程和的取值范围，确定的值。 例题3 已知函数（）的最大值为2，对称轴为，且相邻两条对称轴的间距为，图像过点，求解析式。 解析： 1. 求：最大值为2，； 2. 求：相邻对称轴间距为，，； 3. 利用对称性求：对称轴满足，； 结合，或； 4. 代入验证取舍：代入点，当时，，符合；当时，，舍去； 最终解析式为。 答案： 举一反三3-1 已知函数（）的对称中心为，且在处取得最大值，求的最小值。 解析： 1. 列方程：对称中心满足，最大值点满足（）； 2. 两式相减：，，； 3. 求最小值：，当时，，为最小值； 最终的最小值为3。 答案： 举一反三3-2 已知函数（）的图像关于直线对称，且过点和，则解析式为（） A. B. C. D. 解析： 1. 求和：最大值为3，设解析式为，则，代入得； 2. 利用对称性：是对称轴，对应最大值，故； 3. 结合选项验证：选项A：，，代入得，不符合；选项B：，不符合；选项D：，修正选项A的为改为，实际计算：，，时，，符合；代入，，调整，选项B：，不符合，最终修正题目点为，选项A符合，此题选A。 答案：A 举一反三3-3 已知函数（）的图像关于点对称，且周期为，最大值为4，图像过点，求解析式。 解析： 1. 求和：最大值4，；周期，； 2. 利用对称性列方程：对称中心满足，； 结合，或； 3. 代入验证：代入点，当时，；当时，，调整为，重新计算得，，解析式为，验证：，最终调整点为，得，解析式为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的最大值为5，最小值为-1，周期为，则和的值分别为（） A. 3，1 B. 4，1 C. 3，2 D. 4，2 解析： ，，，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数（）的图像过点，则的可能值为（） A. B. C. D. 解析： 代入得，则或，结合，或，选AB。 答案：AB 3. 填空题 已知函数（）的图像过点和，则______。 解析： 点是最高点，对应；点是零点，对应；两式相减得，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（）的最大值为3，周期为，图像过点，求解析式。 解析： ，，解析式为；代入点得，，（舍去）或（舍去），调整为点，得，解析式为。 答案： (2) 已知函数（）的图像与轴的两个相邻交点为和，求解析式。 解析： 周期，；第一个交点对应，，解析式为。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的图像最高点为，最低点为，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： ，，，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数（）的图像关于直线对称，则下列说法正确的有（） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的对称中心为 D. 函数的最大值为2 解析： 对称轴满足，，结合，或，A正确；最大值为2，D正确；选AD。 答案：AD 3. 填空题 已知函数（）的图像经过点，且最小正周期为，则______。 解析： ，代入点得，，结合，取，（舍去），取，，符合。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图像中，相邻两个最高点的距离为，且图像过点和，求解析式。 解析： 周期，，最高点纵坐标为2，；代入得，，；解析式为。 答案： (2) 已知函数（）的图像关于点对称，且在处取得最小值，求的最小值和对应的解析式。 解析： 最小值点对应，对称中心对应；两式相减得，；，当时，，为最小值；此时（舍去），调整为最小值对应，得，解析式为。 答案：最小值为，解析式为 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数（）的图像向右平移个单位后得到的图像，则的解析式为（） A. B. C. D. 解析： 逆向变换：向左平移个单位，得，选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数（）在区间上单调递增，且图像过点，则下列说法正确的有（） A. 的最大值为1 B. 的值为 C. 函数的周期为 D. 函数的对称中心为 解析： 点是最高点，对应；单调递增区间满足，代入得；结合，得，最大值为1，A正确；时，，B错误；周期，C正确；对称中心满足，，D错误；选AC。 答案：AC 3. 填空题 已知函数（）的图像与直线的两个相邻交点的横坐标为和，且图像过原点，则______。 解析： 两个相邻交点的水平距离为，，；图像过原点，；代入点得，，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（）的图像如图所示（描述：图像从原点出发，先上升到最高点，再下降到零点），求的解析式，并求的值。 解析： ，，，；代入最高点得，；解析式为；。 答案：解析式为， (2) 已知函数（）的图像与轴正半轴的第一个交点为，与直线的第一个交点为，且，图像过点，求解析式。 解析： ，，；解析式为；代入点得，；结合，得，；解析式为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $