专题05 函数的零点与方程的根（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-定理-应用”为主线，系统构建函数零点与方程根的题型方法体系，通过典例变式实现举一反三，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |确定函数的零点|1典例+3变式|代数法（解方程）、几何法（图象交点）|从零点概念出发，建立与方程根的等价关系| |零点存在定理应用|1典例+3变式|定理判断（连续曲线+端点异号）、数形结合|通过定理几何意义深化函数连续性理解| |零点范围求参数|1典例+2变式|单调函数端点异号、分离参数求值域|结合函数单调性实现参数范围转化| |零点个数判断|1典例+3变式|方程转化、函数图象交点分析|关联二次函数等基本函数零点特征| |零点和计算|2典例+3变式|对称性（轴对称、中心对称）|利用函数对称性简化零点和运算|

专题05 函数的零点与方程的根 （题型突破·举一反三） ▌题型01 函数的零点 【典例1】 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 【变式1-1】 【答案】A 【分析】分类解方程即可. 【详解】若，则由，得，不符合题意，故舍去； 若，则由，得（正值舍去）， 故. 【变式1-2】 【答案】C 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 【变式1-3】 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. ▌题型02 函数零点存在定理 【典例2】 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【变式2-1】 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 【变式2-2】 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 【变式2-3】 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. ▌题型03 根据零点范围求参数范围 【典例3】 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【变式3-1】 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】 【答案】D 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． ▌题型04 函数零点(方程根)的个数 【典例4】 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 【变式4-1】 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义计算得到结果； 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 【变式4-2】 【答案】D 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 【变式4-3】 【答案】B 【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围. 【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根. 当时，，为单调递增函数，值域为. 若有解，则，此时该区间有且仅有1个解； 若或，则该区间无解. 当时，，令，两边同乘整理得. 当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为， 故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解； 当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解. 综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是. ▌题型05 求函数零点的和 【典例5-1】 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 【典例5-2】 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 【变式5-1】 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 【变式5-2】 【答案】C 【分析】分析可知函数，均关于点对称，结合函数对称性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，， 可知函数，的定义域为， 又因为， 且， 可知函数，均关于点对称，且， 不妨设，可知点即为，点，关于点对称， 则，， 所以. 【变式5-3】 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的零点与方程的根 （题型突破·举一反三） 题型01 确定函数的零点 1 题型02 函数零点存在定理的应用 2 题型03 根据零点范围求参数范围 3 题型04 函数零点(方程根)的个数 4 题型05 求函数零点的和 5 ▌题型01 确定函数的零点 1.函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 2.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 3.求函数零点的两种方法: (1)代数法：求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的实数根; (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【典例1】（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 【变式1-1】（2025高二上·河南·学业考试）已知是函数的零点，则（    ） A． B． C．0 D．3 【变式1-2】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【变式1-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. ▌题型02 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.函数零点存在定理的几何意义 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【典例2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【变式2-1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． ▌题型03 根据零点范围求参数范围 1.单调函数 利用端点值异号列不等式组， 若在单调且存在零点，则（注意端点能否取到0）. 2.分离参数法 将方程转化为. 求在给定区间上的值域，即为参数的取值范围. 【典例3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 函数零点(方程根)的个数 1.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 2.几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型05 求函数零点的和 核心技巧：利用对称性 1. 图象对称 若函数的图象关于直线对称，且有两个零点，则. 2.中心对称 若函数图象关于点对称，且零点成对出现，则. 【典例5-1】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 【典例5-2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 【变式5-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【变式5-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数与恰有三个交点，，，则 （   ） A． B．0 C．3 D．与a的取值有关 【变式5-3】（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的零点与方程的根 （题型突破·举一反三） 题型01 确定函数的零点 1 题型02 函数零点存在定理应用 2 题型03 根据零点范围求参数范围 4 题型04 判断函数零点(方程根)的个数 6 题型05 求函数零点的和 8 ▌题型01确定函数的零点 1.函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. 2.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 3.求函数零点的两种方法: (1)代数法：求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的实数根; (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【典例1】（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 【变式1-1】（2025高二上·河南·学业考试）已知是函数的零点，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】分类解方程即可. 【详解】若，则由，得，不符合题意，故舍去； 若，则由，得（正值舍去）， 故. 【变式1-2】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. ▌题型02 函数零点存在定理的应用 1.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.函数零点存在定理的几何意义 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【典例2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【变式2-1】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 【变式2-2】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 【变式2-3】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. ▌题型03 根据零点范围求参数范围 1.单调函数 利用端点值异号列不等式组， 若在单调且存在零点，则（注意端点能否取到0）. 2.分离参数法 将方程转化为. 求在给定区间上的值域，即为参数的取值范围. 【典例3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． ▌题型04 函数零点(方程根)的个数 1.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 2.几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义计算得到结果； 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 【变式4-3】（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围. 【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根. 当时，，为单调递增函数，值域为. 若有解，则，此时该区间有且仅有1个解； 若或，则该区间无解. 当时，，令，两边同乘整理得. 当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为， 故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解； 当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解. 综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是. ▌题型05 求函数零点的和 核心技巧：利用对称性 1. 图象对称 若函数的图象关于直线对称，且有两个零点，则. 2.中心对称 若函数图象关于点对称，且零点成对出现，则. 【典例5-1】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 【典例5-2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 【变式5-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 【变式5-2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数与恰有三个交点，，，则 （   ） A． B．0 C．3 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】分析可知函数，均关于点对称，结合函数对称性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，， 可知函数，的定义域为， 又因为， 且， 可知函数，均关于点对称，且， 不妨设，可知点即为，点，关于点对称， 则，， 所以. 【变式5-3】（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $