专题　实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次方程实根分布，按R上、0分布、k分布、区间分布分类，通过典例提炼判别式、根与系数关系等方法，培养数学推理能力与模型观念，构建从基础到复杂的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |R上根的分布|1典例+1练习|判别式分析，参数是否为0讨论|从方程根的存在性基础出发，建立判别式核心地位| |根的“0”分布|1典例+2练习|结合根与系数关系列不等式组|特殊点分布拓展，强化代数推理能力| |根的“k”分布|1典例+2练习|函数值符号与图象特征分析|从特殊到一般，构建参数取值的几何直观| |根在区间上的分布|1典例+1练习|区间端点函数值符号判断|综合应用前序方法，提升复杂问题解决能力|

专题　实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题 类型1 R上根的分布情况 【典例1】(2026·淮安高一检测)如果二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,那么实数m的取值范围为 (　　) A.{m|-2<m<1} B.{m|-1<m<2} C.{m|m<-1或m>2} D.{m|m<-2或m>1} 【解题有招】 一元二次方程在R上根的分布情况 (1)表示出一元二次方程的判别式,若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ<0,则方程无实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根. (2)如果二次项系数含有参数,需要考虑参数是否为0的情况. 【即学即练】 (2025·西安高一检测)已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,则k的取值范围是(　　) A.{k|k<4}　 B.{k|k≤4} C.{k|k<4且k≠3}　 D.{k|k≤4且k≠3} 类型2 根的“0”分布 【典例2】若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是 (　　) A.(0,1)　 B.(0,+∞) C.(1,+∞)　 D.(-∞,0) 【解题有招】 一元二次方程根的“0”分布 一元二次方程根的“0”分布可以根据判别式,结合根与系数的关系列不等式(组)求参数的取值范围. 【即学即练】 1.设p:实数m满足-1<m<0,q:一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数解,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 (　　) A.{a|a>0} B.{a|a>2} C.{a|a>1} D.{a|a>-1} 类型3 根的“k”分布 【典例3】已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-5,-4)∪(4,+∞) B.(-5,+∞) C.(-5,-4) D.(-4,-2)∪(4,+∞) 【解题有招】 一元二次方程根的“k”分布 分布情况 两根都小于k即x1<k,x2<k 两根都大于k即x1>k,x2>k 一根小于k,一根大于k即x1<k<x2 大致图象 (a>0) 得出的 结论 f(k)<0 大致图象 (a<0) 得出的 结论 f(k)>0 【即学即练】 1.关于x的方程x2+(1+)x+9=0有两个不相等的实数根x1,x2且x1<1<x2,那么a的取值范围是 (　　) A.(-,) B.(,+∞) C.(-∞,-) D.(-,0) 2.(2026·扬州高一检测)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,)　 B.(-∞,] C.(4,)　 D.(4,] 类型4 根在区间上的分布 【典例4】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解题有招】 一元二次方程根在区间上的分布 分布 情况 两根都在(m,n)内 两根仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种) 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q 大致图象 (a>0) 得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或 大致图象 (a<0) 得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或 【即学即练】 (2025·北京高一检测)关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根x1,x2,满足0<x1<1<x2<2,则常数a的取值范围是 (　　) A.(0,1)　 B.(1,+∞) C.(1,)　 D.(-∞,) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题　实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题 类型1 R上根的分布情况 【典例1】(2026·淮安高一检测)如果二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,那么实数m的取值范围为 (　　) A.{m|-2<m<1} B.{m|-1<m<2} C.{m|m<-1或m>2} D.{m|m<-2或m>1} 【解析】选C.由二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,得Δ>0,即4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2,所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}. 【解题有招】 一元二次方程在R上根的分布情况 (1)表示出一元二次方程的判别式,若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ<0,则方程无实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根. (2)如果二次项系数含有参数,需要考虑参数是否为0的情况. 【即学即练】 (2025·西安高一检测)已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,则k的取值范围是(　　) A.{k|k<4}　 B.{k|k≤4} C.{k|k<4且k≠3}　 D.{k|k≤4且k≠3} 【解析】选C.因为二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,所以方程(k-3)x2+2x+1=0有两个不等的根,所以解得k<4且k≠3. 类型2 根的“0”分布 【典例2】若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是 (　　) A.(0,1)　 B.(0,+∞) C.(1,+∞)　 D.(-∞,0) 【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根, 所以,解得a>1, 故实数a的取值范围是(1,+∞). 【解题有招】 一元二次方程根的“0”分布 一元二次方程根的“0”分布可以根据判别式,结合根与系数的关系列不等式(组)求参数的取值范围. 【即学即练】 1.设p:实数m满足-1<m<0,q:一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数解,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.命题q:一元二次方程有两个负数解,所以, 解得-1<m≤,所以p是q的充分不必要条件. 2.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 (　　) A.{a|a>0} B.{a|a>2} C.{a|a>1} D.{a|a>-1} 【解析】选A.因为一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,设两根分别为x1,x2, 则解得a>0. 类型3 根的“k”分布 【典例3】已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-5,-4)∪(4,+∞) B.(-5,+∞) C.(-5,-4) D.(-4,-2)∪(4,+∞) 【解析】选C.令f(x)=x2+(m-2)x+5-m,由题可知:⇒ ⇒ 则-5<m<-4,即m∈(-5,-4). 【解题有招】 一元二次方程根的“k”分布 分布情况 两根都小于k即x1<k,x2<k 两根都大于k即x1>k,x2>k 一根小于k,一根大于k即x1<k<x2 大致图象 (a>0) 得出的 结论 f(k)<0 大致图象 (a<0) 得出的 结论 f(k)>0 【即学即练】 1.关于x的方程x2+(1+)x+9=0有两个不相等的实数根x1,x2且x1<1<x2,那么a的取值范围是 (　　) A.(-,) B.(,+∞) C.(-∞,-) D.(-,0) 【解析】选D.设f(x)=x2+(1+)x+9,则解得-<a<0, 即a的取值范围为(-,0). 2.(2026·扬州高一检测)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,)　 B.(-∞,] C.(4,)　 D.(4,] 【解析】选C.二次函数y=x2-5x+m的图象是一条抛物线,开口向上,对称轴方程为x=, 若它的两个零点都在区间(1,+∞)内,只需满足,解得4<m<. 所以m的取值范围为(4,). 类型4 根在区间上的分布 【典例4】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解析】设f(x)=x2-2ax+4,由题意,解得a>. 答案:(,+∞) 【解题有招】 一元二次方程根在区间上的分布 分布 情况 两根都在(m,n)内 两根仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种) 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q 大致图象 (a>0) 得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或 大致图象 (a<0) 得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或 【即学即练】 (2025·北京高一检测)关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根x1,x2,满足0<x1<1<x2<2,则常数a的取值范围是 (　　) A.(0,1)　 B.(1,+∞) C.(1,)　 D.(-∞,) 【解析】选C.因为y=x2-2ax+1=(x-a)2-a2+1,所以函数在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,由于0<x1<1<x2<2,f(0)=1,所以,解得1<a<. 学科网（北京）股份有限公司 $