1.1 一元二次方程的概念 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册第1章“一元二次方程的概念”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究-综合训练”分层设计，通过概念辨析→运算应用→迁移创新的路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义、一般形式、根的检验|选择/填空/解答题结合，如概念辨析题直接对应知识点1| |能力提升|参数讨论、根的应用|含二次项系数不为0的条件分析题，培养推理能力| |拓展探究|新定义运算、代数式求值|结合“⊕”运算设计方程转化题，发展创新意识| |综合训练|实际问题建模|增长率、面积问题列方程，体现模型意识与应用能力|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 1.1　一元二次方程的概念　课时作业 苏科版 九年级上册 第1章 一元二次方程　（建议用时：45分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 判断一个方程是不是一元二次方程，要同时满足三个条件： （1）是整式方程，即分母中不含未知数，例如 不是整式方程； （2）只含有一个未知数，例如 含有两个未知数，不是一元二次方程； （3）化简整理后，未知数的最高次数是2，且二次项系数不等于0。 注意：判断前应先把方程整理化简。例如 整理后为 ，它是一元一次方程，而不是一元二次方程。 知识点2　一元二次方程的一般形式 任何一个关于 的一元二次方程，经过整理，都能化成 （，， 为常数，）的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 其中 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数； 叫做常数项。 注意：（1）“”是一元二次方程一般形式的必要条件，， 可以为0；（2）说系数和常数项时，要连同前面的符号一起说；（3）确定各项系数前，必须先把方程化为一般形式，并且习惯上使二次项系数为正数。 例如：方程 化为一般形式是 ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为2。 知识点3　一元二次方程的根 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 常见应用：（1）检验一个数是不是方程的根：把这个数代入方程，看左右两边是否相等；（2）已知方程的一个根求字母参数的值：把根代入方程，得到关于参数的方程；（3）整体代入求代数式的值：若 是方程 的根，则 ，可整体代入。 两个重要结论：对于方程 （），若 ，则方程必有一根为 ；若 ，则方程必有一根为 。 知识点4　根据实际问题列一元二次方程 列方程的一般步骤：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 整理成一般形式。常见的等量关系有： （1）面积问题：长方形面积 = 长 × 宽； （2）增长率问题：若基数为 ，平均增长率为 ，则两次增长后为 ；平均降低率为 ，则两次降低后为 ； （3）比赛（握手）问题： 个队单循环比赛，总场数为 。 知识点5　估计一元二次方程的近似解 对于不易直接求解的方程，可以列表计算 的值，观察它的值由负变正（或由正变负）的位置，从而确定方程的解所在的范围，逐步缩小范围，得到近似解。 二、典例精讲 【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？ ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 解析：②分母中含有未知数，不是整式方程；③含有两个未知数；④整理后为 ，是一元一次方程；①⑤⑥都满足一元二次方程的三个条件。 答案：①⑤⑥。 【例2】当 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程？ 解：由题意得 ，且 。由 得 ，又 ，所以 。 点拨：求字母参数时，既要考虑“最高次数为2”，也不能忽略“二次项系数不为0”。 【例3】将方程 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得 ，移项、合并同类项，得 。 二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为1。 【例4】已知 是关于 的方程 的一个根，求 的值及代数式 的值。 解：把 代入方程，得 ，解得 。所以 。 【例5】某商品原价为200元，连续两次降价后售价为128元，设平均每次降价的百分率为 ，列出方程并化为一般形式。 解：第一次降价后售价为 元，第二次降价后售价为 元，根据题意得 。整理得 。 【例6】估计方程 的正数解的范围（精确到0.1）。 解：列表计算 的值： 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.25 当 时，；当 时，，所以方程的正数解在2.4与2.5之间。因为 ，所以方程的正数解约为2.4。 点拨：“由负变正”的两个相邻数之间一定有方程的解，比较两端函数值的绝对值大小可以判断解更接近哪一端（本法为粗略估计）。 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．方程 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，4， B．3，， C．3，，2 D．3，4，2 3．若关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（　　） A． B． C． D． 4．下列各数中，是方程 的根的是（　　） A． B．2 C．3 D．6 5．若 是方程 的一个根，则 的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 6．把方程 化成一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某品牌手机两个月内价格由2000元降为1620元，设平均每月降价的百分率为 ，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为（　　） A． B．1 C． D．0 （二）填空题 9．方程 的一般形式是______________，其中一次项是________。 10．方程 的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。 11．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是________。 12．已知 是方程 的一个根，则 ________。 13．若 是方程 的一个根，则代数式 的值为________。 14．一个长方形的长比宽多3 cm，面积为40 cm²。设宽为 cm，则可列方程________________，化成一般形式为________________。 15．如图，在长32 m、宽20 m的长方形地块上修筑两条互相垂直、宽都为 m的道路，余下部分种植花草，要使种植面积为540 m²，则可列方程为________________。 （第15题图） 16．若关于 的一元二次方程 有一个根为1，则 ________；若有一个根为 ，则________________。 （三）解答题 17．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；　　（2）；　　（3）。 18．已知关于 的方程 。 （1）当 为何值时，它是一元一次方程？（2）当 为何值时，它是一元二次方程？ 19．已知关于 的一元二次方程 有一个根是0，求 的值。 20．根据题意，列出方程（不必求解），并化成一般形式： （1）如图，在一块长30 cm、宽20 cm的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为 cm的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使盒子的底面积为336 cm²； （第20题图） （2）某校图书馆2023年图书借阅总量为1万册，2025年图书借阅总量达到1.44万册，求这两年借阅总量的年平均增长率 ； （3）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，求参赛的队数 。 21．估计方程 的正数解（精确到0.1）。完成下表并回答问题： 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 由表可知，方程的正数解 的取值范围是________<<________，所以方程的正数解约为________（精确到0.1）。 四、能力提升 22．已知关于 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程必有一个根为（　　） A．2 B． C． D． 23．若关于 的方程 的两个根分别为2和 ，则 的值为（　　） A．5 B． C．7 D． 24．已知 是方程 的一个根，求下列各式的值： （1）；　　（2）；　　（3）。 25．已知 是关于 的一元二次方程，求 的值，并把这个方程化成二次项系数为正数的一般形式。 26．一个直角三角形的两条直角边的长度之和为14 cm，面积为24 cm²。设其中一条直角边长为 cm。 （1）列出关于 的方程，并化成一般形式；（2）试一试： 取1～13中的哪些整数时方程成立？由此写出两条直角边的长。 五、拓展探究 27．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值。 28．定义一种新运算“⊕”：。例如 。 （1）若 ，把这个关于 的方程化成一般形式，并判断它是不是一元二次方程； （2）判断 ，， 是不是（1）中方程的根，并说明理由。 六、综合训练 29．下列说法中正确的是（　　） A．方程 一定是一元二次方程 B．方程 没有常数项，所以不是一元二次方程 C．一元二次方程一般形式中的 ，， 都不能为0 D．方程 是一元二次方程 30．若关于 的方程 有一个根为 ，则 的值为________。 31．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为________。 32．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数。设个位数字为 ，则可列方程为________________，这个两位数是________。 33．某小区2023年底绿化面积为1000 m²，计划到2025年底绿化面积增加到1440 m²。设这两年绿化面积的年平均增长率为 。 （1）列出关于 的方程；（2）检验 是否符合题意。 34．已知关于 的方程 （）。 （1）说明：无论 取何值（）， 总是该方程的一个根； （2）当 时，写出方程的一般形式（化简到各项系数的最大公约数为1），并判断 是否是方程的根。 参考答案与解析 三、基础巩固 1．C　解析：A中分母含未知数，不是整式方程；B含两个未知数；D中没有说明 ，不一定是一元二次方程；C符合定义。 2．B　解析：移项得 ，所以二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为 。 3．A　解析：一元二次方程的二次项系数不为0，所以 ，即 。 4．C　解析：把 代入，左边 右边，所以3是方程的根；而 ，，。 5．B　解析：把 代入得 ，解得 。 6．A　解析：展开得 ，整理得 。 7．A　解析：第一个月后价格为 元，第二个月后价格为 元，所以 。 8．B　解析：由题意得 且 ，所以 且 ，故 。 9．；　解析：移项得 ，一次项连同符号为 。 10．；；0　解析：方程已是一般形式，缺少常数项，所以常数项为0。 11．　解析：二次项系数 。 12．5　解析：代入得 ，即 ，解得 。 13．2032　解析：由题意得 ，所以 ，原式 。 14．；　解析：长为 cm，由面积公式列方程。 15．　解析：把两条道路分别平移到长方形的边上，剩余部分拼成一个长为 m、宽为 m的长方形。 16．0；　解析：把 代入得 ；把 代入得 。 17．解：（1）一般形式为 ，二次项系数为5，一次项系数为 ，常数项为0； （2）展开得 ，一般形式为 ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为1； （3）左边 ，所以 ，一般形式为 ，二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为 。 18．解：（1）当 且 时，方程是一元一次方程。由 得 ，又 ，所以 。 （2）当 ，即 且 时，方程是一元二次方程。 19．解：把 代入方程，得 ，所以 。又因为方程是一元二次方程，所以 ，即 。故 。 易错点：只由 得出 ，而忽略二次项系数不为0的条件。 20．解：（1）盒子底面是长为 cm、宽为 cm的长方形，所以 ，整理得 ； （2），整理得 ； （3）每个队要与其余 个队各赛一场，每场比赛被计算了两次，所以 ，整理得 。 21．解：计算结果如下表： 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.56 1.25 当 时，；当 时，，所以方程的正数解满足 。又因为 比 0.56 更接近0，所以方程的正数解约为2.3。 四、能力提升 22．B　解析：当 时，，所以方程必有一根为 。 23．B　解析：把2和 分别代入，得 ，，两式相减得 ，所以 ，，。 24．解：（1）因为 是方程的根，所以 ，故 ； （2）因为 时方程左边 ，所以 。将 两边同除以 ，得 ，所以 ； （3）。 25．解：由题意得 且 ，所以 且 ，故 。此时方程为 ，化成二次项系数为正数的一般形式为 。 26．解：（1）另一条直角边长为 cm，由题意得 ，整理得 ； （2）逐一代入试值：当 时，；当 时，；其余整数均不满足。所以 或 ，两条直角边的长分别为6 cm和8 cm。 五、拓展探究 27．解：因为 是方程的根，所以 ，且 。于是 ，。 两边同除以 ，得 。 原式 。 28．解：（1）由定义得 ，所以 ，一般形式为 ，它只含一个未知数，未知数的最高次数是2，是整式方程，所以它是一元二次方程。 （2）当 时，左边 ，所以 是方程的根；当 时，左边 ，所以 是方程的根；当 时，左边 ，所以 不是方程的根。 六、综合训练 29．D　解析：A中缺少条件 ；B中 的常数项为0，仍是一元二次方程；C中 ， 可以为0；D正确。 30．2　解析：代入得 ，所以 。 31．2028　解析：由题意得 ，原式 。 32．；25或36　解析：十位数字为 ，整理得 ，试值可知 或 满足，对应的两位数为25或36，且 ，，符合题意。 33．解：（1）；（2）当 时，，所以 符合题意。 34．解：（1）把 代入方程左边，得 ，等于右边，所以无论 取何值（）， 总是方程的一个根。 （2）当 时，方程为 ，即 。把 代入，左边 右边，所以 是方程的根。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $