周练01 错题巩固与压轴训练 1.1～1.2 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 这份九年级数学周练卷聚焦一元二次方程基础与应用，精选各地期末及模拟真题改编，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查概念理解、解法掌握及几何综合运用，渗透推理意识与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|一元二次方程定义、一般式、配方法|结合表格数据逆向求根，考查数学眼光| |填空题|6/30|根的代入、因式分解法|通过参数求解强化符号意识| |解答题|8/40|方程与几何综合（等腰三角形）、错误辨析|C级题融合海伦公式与角平分线，培养数学思维与表达|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第1章 一元二次方程（1.1～1.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•赛罕区期末）·【A】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣7＝3y+1 B．2x﹣3＝0 C．x21 D．x2﹣4x+8＝0 2．（2025秋•市南区期末）·【A】如表是随着x的不同取值，代数式ax2+bx+c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx+c﹣8＝0的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 4 5 6 … ax2+bx+c … 8 0 ﹣6 ﹣6 0 8 … A．x1＝﹣1，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝6 D．x1＝﹣4，x2＝7 3．（2026春•沙坪坝区校级同步）·【A】把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 4．（2026•汝阳县一模）·【A】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 5．（2025秋•长垣市期末）·【A】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 6．（2026春•宁阳县期末）·【A】用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 二．填空题（共6小题） 7．（2026•开福区校级三模）·【A】已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0的一个根为x＝2，则k的值为　 　 ． 8．（2026春•章丘区期末）·【A】一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则m的值为　 　 ． 9．（2026春•西湖区月考）·【A】已知关于x的方程ax2+bx﹣6＝0的一个根是x＝2，则代数式2a+b+2的值为　 　 ． 10．（2026春•龙口市期中）·【A】方程x2＝x的解是 　 　 ． 11．（2026春•成武县期末）·【A】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　 ． 12．（2026•嵊州市二模）·【A】已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•海淀区校级月考）·【A】已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根， 求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 14．（2025秋•密云区期末）·【A】已知x＝2是关于x的方程的一个根， 求m（m﹣2）的值． 15．（2026•开平市模拟）·【B】设a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： a2＝3a+1； a3＝10a+3； a4＝33a+10； a5＝109a+33； … （1）根据以上规律填空：a6＝　 　 ，a7＝　 　 ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若an+1＝sa+t，则an+2＝（3s+t）a+s．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 16．（2025秋•安新县期末）·【B】小颖在解方程2x2﹣8x+4＝0时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2﹣8x+4＝0 解：2x2﹣8x＝﹣4，…① x2﹣4x＝﹣4，…② x2﹣4x+4＝﹣4+4，…③ （x﹣2）2＝0，…④ x﹣2＝±0，…⑤ x1＝x2＝2…⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 17．（2025秋•永顺县期末）·【B】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 18．（2026•定海区一模）·【B】在用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得x2﹣2x＝1． 第二步：配方，得x2﹣2x+22＝1+22， 即（x﹣2）2＝5． 第三步：两边开平方，得， 第四步：所以，． （1）小颖的解答过程从第　 　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 19．（2025秋•岳西县期中）·【C】已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 20．（2025•青岛模拟）·【C】已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B D C 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•赛罕区期末）·【A】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣7＝3y+1 B．2x﹣3＝0 C．x21 D．x2﹣4x+8＝0 【答案】D 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、该方程含有两个未知数；故本选项错误； B、本方程的未知数的次数是1；故本选项错误； C、本方程不是整式方程，是分式方程；故本选项错误； D、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确． 故选：D． 2．（2025秋•市南区期末）·【A】如表是随着x的不同取值，代数式ax2+bx+c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx+c﹣8＝0的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 4 5 6 … ax2+bx+c … 8 0 ﹣6 ﹣6 0 8 … A．x1＝﹣1，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝6 D．x1＝﹣4，x2＝7 【答案】C 【解答】解：由表中数据得当x＝﹣3时，ax2+bx+c＝8； 当x＝6时，ax2+bx+c＝8； ∴方程ax2+bx+c﹣8＝0的解为x1＝﹣3，x2＝6． 故选：C． 3．（2026春•沙坪坝区校级同步）·【A】把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 【答案】B 【解答】解：x（4x﹣1）＝2x+3， 方程整理得：4x2﹣3x﹣3＝0， 则a，b，c的值分别是4，﹣3，﹣3． 故选：B． 4．（2026•汝阳县一模）·【A】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】B 【解答】解：由题意得，x2﹣8x+16＝0+16， ∴（x﹣4）2＝16， ∴a＝﹣4． 故选：B． 5．（2025秋•长垣市期末）·【A】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 【答案】D 【解答】解：由题意得，x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：D． 6．（2026春•宁阳县期末）·【A】用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 【答案】C 【解答】解：x2+6x＝2， x2+6x+9＝2+9， ∴（x+3）2＝11． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•开福区校级三模）·【A】已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0的一个根为x＝2，则k的值为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣kx+4＝0有一个根为x＝2， ∴2×22﹣2k+4＝0， ∴k＝6． 故答案为：6． 8．（2026春•章丘区期末）·【A】一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则m的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2， ∴（﹣2）2+m×（﹣2）﹣6＝0， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 9．（2026春•西湖区月考）·【A】已知关于x的方程ax2+bx﹣6＝0的一个根是x＝2，则代数式2a+b+2的值为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：把x＝2代入ax2+bx﹣6＝0得4a+2b﹣6＝0， ∴2a+b＝3． ∴2a+b+2＝3+2＝5． 故答案为：5． 10．（2026春•龙口市期中）·【A】方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 11．（2026春•成武县期末）·【A】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　 ． 【答案】3x2+9x+1＝0． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 12．（2026•嵊州市二模）·【A】已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为x1＝1，x2＝2　 ． 【答案】x1＝1，x2＝2． 【解答】解：原方程整理得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•海淀区校级月考）·【A】已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 【答案】12． 【解答】解：由题意得，a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， 又∵（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4a2﹣8a+8， ∴（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4（2a+1）﹣8a+8 ＝8a+4﹣8a+8 ＝12， ∴代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值为12． 14．（2025秋•密云区期末）·【A】已知x＝2是关于x的方程的一个根，求m（m﹣2）的值． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程 的一个根， ∴22﹣2m+m2＝0， ∴m2﹣2m＝﹣1， ∴m（m﹣2）＝m2﹣2m＝﹣1， ∴m（m﹣2）＝﹣1． 15．（2026•开平市模拟）·【B】设a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： a2＝3a+1； a3＝10a+3； a4＝33a+10； a5＝109a+33； … （1）根据以上规律填空：a6＝　360a+109　 ，a7＝　1189a+360　 ； （2）小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若an+1＝sa+t，则an+2＝（3s+t）a+s．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】（1）360a+109，1189a+360； （2）这个猜想正确，理由如下： ∵an+2＝a•an+1＝a（sa+t）＝sa2+ta＝s（3a+1）+ta＝3sa+s+ta＝（3s+t）a+s， ∴小华同学的猜想正确． （2）这个猜想正确，在等式an+1＝sa+t的两边同时×a，可得出an+2＝a（sa+t）＝sa2+ta，再代入a2＝3a+1，即可得出an+2＝（3s+t）a+s． 【解答】解：（1）根据题意得：∵a5＝109a+33， ∴a6＝109a2+33a＝109（3a+1）+33a＝360a+109． ∴a7＝a•a6＝a（360a+109）＝360a2+109a＝360（3a+1）+109a＝1189a+360．故答案为：360a+109，1189a+360； （2）这个猜想正确，理由如下： ∵an+2＝a•an+1＝a（sa+t）＝sa2+ta＝s（3a+1）+ta＝3sa+s+ta＝（3s+t）a+s， ∴小华同学的猜想正确． 16．（2025秋•安新县期末）·【B】小颖在解方程2x2﹣8x+4＝0时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2﹣8x+4＝0 解：2x2﹣8x＝﹣4，…① x2﹣4x＝﹣4，…② x2﹣4x+4＝﹣4+4，…③ （x﹣2）2＝0，…④ x﹣2＝±0，…⑤ x1＝x2＝2…⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （2）由题意，∵2x2﹣8x＝﹣4， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝﹣2+4， ∴（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±． ∴x1＝2，x2＝2． （2）利用配方法解决问题． 【解答】解：（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （2）由题意，∵2x2﹣8x＝﹣4， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝﹣2+4， ∴（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±． ∴x1＝2，x2＝2． 17．（2025秋•永顺县期末）·【B】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）当m＝7或m＝5时，△ABC是等腰三角形，周长分别为13、11． （2）依据题意，分①当BC为腰长时②当BC为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵Δ＝（m+1）2﹣12（m﹣2）＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴52﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0． ∴m＝7． ∴方程为：x2﹣8x+15＝0． ∴x＝3或x＝5． ∴等腰三角形的三边为：5，5，3． ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0． ∴m＝5． ∴方程为：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3． ∴等腰三角形的周长为：5+3+3＝11． 综上：周长为11或13． 18．（2026•定海区一模）·【B】在用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得x2﹣2x＝1． 第二步：配方，得x2﹣2x+22＝1+22， 即（x﹣2）2＝5． 第三步：两边开平方，得， 第四步：所以，． （1）小颖的解答过程从第　二　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）二； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1． ∴x2﹣2x+12＝1+12． ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． （2）利用配方法解决问题． 【解答】解：（1）小颖的解答过程从第二步开始出错，其错误的原因是等式两边应该加上12． 故答案为：二； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1． ∴x2﹣2x+12＝1+12． ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 19．（2025秋•岳西县期中）·【C】已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）周长为16或22． （2）设a＝6，另两边长为b、c，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2﹣8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设a＝6，另两边长为b、c， ①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣1）2＝0，解得：k＝1． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6， 代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0， 解得k＝3或5， 则原方程化为x2﹣10x+24＝0或x2﹣16x+60＝0， 解得x1＝4，x2＝6或x1＝6，x2＝10， 即b＝6，c＝4，或b＝6，c＝10， 此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形， 周长为6+6+4＝16或6+6+10＝22． 20．（2025•青岛模拟）·【C】已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【答案】见试题解答内容 （2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ＝0，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解x1，x2，进而可求解△ABC的周长； （3）由海伦公式可求解△ABC的面积，过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得IF＝ID＝IE，结合△ABC的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $