第02讲 5.2.1三角函数的概念讲义（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学三角函数的概念核心知识点，系统梳理任意角三角函数的单位圆及终边上点定义，结合各象限符号口诀、特殊值表格、诱导公式一及三角函数线，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料以思维导图开篇构建知识框架，知识梳理配即学即练题，题型精讲分6类典例与变式，精练设基础和提升分层。通过几何直观培养数学眼光，推理应用发展数学思维，符号口诀与表格强化数学语言，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第02讲 5.2.1三角函数的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 【即学即练1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()  【即学即练2】（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 知识点02：三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦” ） 知识点03：特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 知识点04：诱导公式一 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.  (2)式子表示: ① ② ③其中. 知识点05：三角函数线 设角的终边与单位圆相交点； ①由点向轴做垂线，垂足为点； ②由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。 为正切线，长度为正切值。 第三部分 题型精讲 题型01 利用三角函数的定义求三角函数值 【典例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知角的终边经过点，则______， ______． 题型02由终边或终边上点求三角函数值 【典例1】（25-26高一下·四川泸州·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角终边上一点，则________________ ． 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【变式3】（25-26高一下·广西河池·期中）已知角的终边过，求，和的值． 题型03由三角函数值求终边上的点或参数 【典例1】（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边经过点，且，则__________. 【变式1】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 题型04 三角函数值符号的运用 【典例1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，则是（   ） A.第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【典例2】（多选）（24-25高一上·甘肃·期末）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 【变式1】（25-26高一下·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·湖南长沙·阶段检测）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【变式3】（24-25高一上·四川巴中·期末）“角为第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05画三角函数线 【典例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【典例2】如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是 A． B． C． D． 【变式3】若，求角的取值范围． 题型06 三角函数线的应用 【典例1】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D．   【变式1】应用单位圆三角函数线证明：若，则． 【变式2】（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 【变式3】求的角的取值范围. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（25-26高一下·北京·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 8．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数且恒过，则__________. 10．（25-26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． B能力提升 1．（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 2．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．D． 3．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设角终边上一点，则的值为________． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 5.2.1三角函数的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 【即学即练1】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()  【即学即练2】（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 知识点02：三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦” ） 知识点03：特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 知识点04：诱导公式一 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.  (2)式子表示: ① ② ③其中. 知识点05：三角函数线 设角的终边与单位圆相交点； ①由点向轴做垂线，垂足为点； ②由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。 为正切线，长度为正切值。 第三部分 题型精讲 题型01 利用三角函数的定义求三角函数值 【典例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果. 【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 故选：B. 【典例2】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角函数的定义算出即可 【详解】因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 所以 故选：A 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单. 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求出． 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以根据三角函数的定义可知，． 故选：C． 【变式2】若的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】角的终边与单位圆的交点为， ． 故选：A. 【变式3】已知角的终边经过点，则______， ______． 【答案】 / 【分析】根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】由已知得， 所以 . 故答案为：；. 题型02由终边或终边上点求三角函数值 【典例1】（25-26高一下·四川泸州·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知，，. 所以. 【典例2】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 【变式1】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角终边上一点，则________________ ． 【答案】 【详解】角终边上一点，则。 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【答案】 【详解】由角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点， 得. 【变式3】（25-26高一下·广西河池·期中）已知角的终边过，求，和的值． 【答案】；；. 【分析】先求，再根据任意角的三角函数的定义求三角函数值. 【详解】因为， 所以；；. 题型03由三角函数值求终边上的点或参数 【典例1】（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边经过点，且，则__________. 【答案】 【分析】由条件结合任意角的三角函数的定义可得求解. 【详解】因为已知角α的终边经过点，且， 所以，显然， 解得，（舍去）， 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以. 又，所以. 【变式2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义列方程求解. 【详解】由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 题型04 三角函数值符号的运用 【典例1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，则是（   ） A.第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数关系将已知条件转化，再根据三角函数符号判断角的象限. 【详解】因为，所以，所以是第一或第四象限角. 故选：D 【典例2】（多选）（24-25高一上·甘肃·期末）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 【答案】CD 【分析】根据终边角的定义确定为第二象限角或第四象限角.分类讨论是第二、四象限角，结合三角函数的符号判断即可求解. 【详解】由角的终边在第四象限，得， 则，因此是第二象限角或第四象限角. 当是第二象限角时，； 当是第四象限角时，. 故选：CD. 【变式1】（25-26高一下·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角是第二象限的角，则，，. 【变式2】（24-25高一下·湖南长沙·阶段检测）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】B 【分析】由弦切互化后结合三角函数的符号可得. 【详解】， 所以角为第二或第三象限角. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·四川巴中·期末）“角为第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数符号以及充分、必要条件等知识可确定正确答案. 【详解】若是第三象限角，则； 若，如，则不是第三象限角. “角为第三象限角”是“”的的充分不必要条件. 故选：A. 题型05画三角函数线 【典例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，P是角α的终边与半径为1的圆的交点，轴于M，AT和均是半径为1的圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（   ） A．正弦线是，正切线是 B．正弦线是，正切线是 C．正弦线是，正切线是 D．正弦线是，正切线是 【答案】C 【分析】根据正弦线、正切线的定义即可判断. 【详解】由正弦线，正切线的定义可知，是正弦线，是正切线. 故选：C. 【典例2】如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可. 【详解】由题图，，，，而， 所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，，. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 【变式2】（多选）设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出角的正弦、余弦和正切线,根据三角函数线定义,即可得出结果. 【详解】分别作角的正弦、余弦和正切线,如图, . . 故选:BC. 【点睛】本题考查利用三角函数线比较同角三角函数值的大小比较,考查数形结合思想的应用,难度较易. 【变式3】若，求角的取值范围． 【答案】 【分析】利用单位圆，利用三角函数线解三角不等式. 【详解】如图，作单位圆，并作直线与单位圆交于两点，连结、， 当终边落在图中的阴影部分时，． ∵是的终边，是的终边， 故时，角的取值范围是 题型06 三角函数线的应用 【典例1】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 【典例2】利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦线的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 在单位圆中，观察正弦线可知， 在区间，的长度随着增大而增大， 所以 故选：D    【变式1】应用单位圆三角函数线证明：若，则． 【答案】 令的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，始边交单位圆于点， 过作轴于，过作单位圆的切线交的终边于点，如图， 由三角函数定义得：，，， 由，得， 因此，所以. 【分析】通过三角函数线可得：，，，则只需比较，，的大小，转换为面积，即可得到大小关系，得证． 【详解】略 【变式2】（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：和，和，和的大小． 【答案】，，． 【分析】作出和的三角函数线，根据图形可得. 【详解】如图，和的正弦线分别为， 余弦线分别为，正切线分别为， 所以，，．    【变式3】求的角的取值范围. 【答案】 【分析】利用三角函数线，结合单位圆的图形进行求解即可. 【详解】因为tan和tan都等于， 利用三角函数的正切线（如图）可知， 角的终边在图中阴影部分（不包含y轴），      将终边所在的所有区域合并得，， 即满足的角的取值范围为 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】在角的终边上任取异于原点的点， 由，得． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，, 且为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 4．（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 5．（25-26高一下·北京·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出角的正弦线、余弦线和正切线，判断即可. 【详解】如图所示： 由图可知. 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 8．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD 9．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数且恒过，则__________. 【答案】/ 【详解】由题可得，则，所以. 10．（25-26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高一下·辽宁·期中）若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 2．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则Ａ错误． 3．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设角终边上一点，则的值为________． 【答案】/ 【详解】，，． ． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $