第11讲 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象讲义（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数图象核心知识点，系统梳理五点法作图步骤、参数A、ω、φ对图象的影响及由图象求解析式的方法，构建从基础作图到图象变换再到解析式确定的完整知识支架。 资料以思维导图整合知识体系，题型设计涵盖典例与变式，分层精练助力能力提升。通过分步拆解作图逻辑培养数学抽象能力，多维度图象变换训练发展推理思维，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固薄弱环节。

第11讲5.6.2函数y=Asin(@x+p)的图象 第一部分思维导图 2 第-步：将0x+口看徽一-个莹体，用晒点法作图列结时，分脸@x+p等于0，员，元，，2， 五点法作图 对应的y则取0，A,0,-A,0。,(如上表中，先列出序号①②两行) 第二步：逆向解出x(如上表中，序号③行。) π 3π 第三步：得到五个关键点为：（号0），乙°0(。2,0，之- .0 2.20 第二部分知识梳理 知识点一：五点法作图 必备方法：y=Asin(or+p)五点法步骤 ③ π-p 3π 2π-p 0 2 0 2 e ⊙ 0 ① @x+o 0 交 π 3π 2π 2 ② y=Asin(ox+p) 0 A 0 A 0 对于复合函数y=Asin(or+p), π 第一步：将ox十0看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令r十p等于0：2，元 3π ，2,2元，对应的y则取0：A?0:-A'0°，（如上表中，先列出序号①②两 行) 第二步：逆向解出X(如上表中，序号③行。) π -P 3 -P 第三步：得到五个关键点为：(-2,0)，(2，A0(匹P,0(2 ，A0 2π=9,0) 知识点二：三角函数图象变换 参数A,D,P对函数y=Asin(or+p)图象的影响 1.p对函数y=sin(x+p),x∈R的图象的影响 p>0时向左 平移变换 y=sinx 平移 的图象 单位长度 y=sin(x+) p <0时向右 的图图象 杯左淑老满器规律 2、o(0>0)对函数y=sin(ox+p)图象的影响 y=sin+p)的图象上 ω>1时 缩短到 所有点的横坐标 0<w<1时 伸长到 周 y=sin(ox+p)的图象 原来的。倍， 换 纵坐标不变 3、A(A>0)对y=Asin(or+p)的图象的影响 当A>1时， 伸长 到 y=sin(wx+p)的图象上 所有点的纵坐标 伸 当0<A<1时， 缩短 到 y=Asin(ωx+p)的图象 原来的A倍 赛 4、由y=sinx的图象变换得到y=Asin(or+p)(A>0,o>0)的图象的两种方法 步 画出y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 1 向左（右）平移lp个单位长度 横坐标变为 原来的品倍 步 得到y=sinc+p)的图象 骤2 得到y=sin x的图象 横坐标变为 原来的品倍 向左（右）平移 个单位长度 得到y=sin(ox+p)的图象 步 得到y=sin(oωx+p)的图象 3 纵坐标变为 原来的A倍 纵坐标变为 原来的A倍 步 得到y=Asin(ox+p)的图象 得到y=Asin(@ωx+p)的图象 4 知识点三：根据图象求解析式 形如f(x)=Asin(or+p)+B的解析式求法： 1、A,B求法： ①观察法：A代表偏离平衡位置的最大距离：B平衡位置. (A+B=M ②代数法：记f=Asin(ox十)+B的最大值为M最小值为m:则： M m -A+B=m ，联立求解 2π 2。求法：通过观察图象，计算周期7：利用公式T= |o求出 3、P求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点（化，B),将第一关键点(x,B)代入 0x,+p=0求解. (第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点，且该点离y轴最近) ②最值代入法：通过观察图象的最高点(：，M)(或者最低点(x2,m))代入解析式 f(x)=Asin(ox+p)+B求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点（化，） 代入解析式f(x)=Asin(or+p)+B求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件 取舍答案 第三部分题型精讲 题型01利用“五点法”作函数y=Asin(@r+p)的图象 【奥例1】(2425高一下江苏苏州阶段检已知函数f()=smr- (o>0,x∈R) 的最小正周期为兀， A ππππ5ππ7π2π3π5π11tπ 126 4 312 21234612 -2 (1)求 6 (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间x∈[0，上的图象，并根据 图象写出其在x∈[0，π上的单调递减区间. 【典例2】(23-24高一下四川成都-阶段检测)已知函数f(x)=2sin +别 (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数∫()的大致图象，要求：列表，描点，连 线： 2 π3π 5π 2 4 24 4 -2 -3 (2)若方程f(x)=a在x∈[0，有两个不同的实数根，求a的取值范围， 【变式1】已知酸数-2m2x-引，R在用“五点法”作酒数了儿)的图家 4 时，列表如下： 2x- 4 x f() 完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=(x)在区间[0，可上的图象： 232 112 π 3ππ 5π3r7rx 8-14-82--8-4-8- 2 32 -2 【变式2】 (25-26高一上·浙江湖州·期末) 设函数f(x)=cos(ox+p) 0>0,0<p< 的最 小正周期为 且f 2 (1)求0和0的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数(x)在一个周期内的简图： ax+p 0 2 π 3π 2 2π f(x) O 6 2π5元x 6 B求西数闭=++x-智，x0到的值城 【变式3】已知图数f)=cos2x-) (1)填写下表，并用“五点法”画出f(9在0，元上的图象： 2x-骨 元-2 2 3 石 5π 2π 11π 0 12 3 12 f(x) 1 0 -1 π ---------1 (2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位 长度，得到g(x)的图象，求()>2的解集。 题型02同名三角函数的图象变换 【典例1】(26-27高三上山东日照·开学考试)为了得到函数y=2sin2x的图像，只要把函 数y=2sin2x+8图像上所有的点（） A,向左平移8个单位长度 2 B.向右平移8个单位长度 C.向左平移16个单位长度 D,向右平移16个单位长度 【典例2】(25-26高一下·贵州安顺期末)为了得到函数y=2cos 2x- 4的图象，只需把 函数y=2cosx图象上() A.每个点的横坐标缩短到原来的)，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度 B.每个点的横坐标缩短到原来的)，纵坐标不变，再向右平移g个单位长度 π C.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度 D,每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移8个单位长度 【变式1】(2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题)为了得到 函数y=sin x- 3 的图象，可以将函数y=sinx的图象（) A,向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移6个单位长度 D.向右平移6个单位长度 【变式2】(25-26高二下·广东揭阳期末)为了得到函数y=sin 4+3的图象，只需将 函数y=sin4x的图象上的每个点（） A.向左平行移动3个单位长度 B.向右平行移动3个单位长度 4π C.向左平行移动3个单位长度 4π D,向右平行移动3个单位长度 【变式3】(25-26高二下·天津红桥期末)为了得到函数y=cos 6 xeR的图象， 只需将y=cosx上所有的点() π A,向左平行移动6个单位长度 B.向右平行移动6个单位长度 C,向左平行移动6个单位长度 D.向右平行移动6个单位长度 题型03不同名三角函数的图象变换 【典例1】(24-25高三上·湖南阶段检测)为得到函数y=six的图象，只需将函数 y=cosx+ 3的图象() A.向左平移6个单位长度 B.向右平移6个单位长度 5π C,向左平移6个单位长度 D.向右平移6 个单位长度 【典例2】(26-27高三上·黑龙江开学考试)函数y=cos 3 的图象，可以由函数 y=sim2x-3的图象向右平移(0<p<x)个单位得到，则p=（） A.3 2π 5π 7π B.3 C.12 0.12 【变式1】(24-25高一上北京朝阳期末)将函数y=sinx的图象经过下列哪种变换可以得 到函数y=cos2x的图象() A,先向左平移2个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不 变) B.先向左平移2个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不 变) C.先向左平移4个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的)倍（纵坐标不 变) D.先向左平移4个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不 变) 【变式2】(2026陕西榆林模拟预测)要得到函数f(:)=2cos 2x-的图象，只荷将函 数g(x)=2sin2x的图象() A,向左平移6个单位长度 B.向右平移6个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 【变式3】《多运)若将函数f()=2si@x+孕.o>0的图像向右平移片个月期后，与函 3 数8)=2cos(2x+p)的图像重合，则P的一个可能取值为() A.-4 8.- 2π 2π π 3 3 c.3 0.3 题型04由y=Asin(ox+p)的图象确定其解析式（或参数值） 【典例1】(2026宁受-模)函数f=4sim(@r+4>0,0>0,m< 的部分图象如 图所示，将fx的图象向左平移3个单位长度后得到的函数的解析式为 3 3 【典例2】(25-26高一下广东汕头阶段检测)已知函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0, 0>0,0<p<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为2和 7π 12,图象在y轴上的截距为、3，给出下列四个结论： ①f(x)的最小正周期为π：②f(x)的最大值为2： ③f日l,④fx-君)为斋西数 其中正确结论的序号是 7π 12 12 【变式1】(25-26高一下·湖南长沙阶段检测)如图是函数 f(x)=Asin(ax+p) A>0,0>0,g< 2 的部分图象，将函数f)图象上所有点的横坐标 变为原来的6倍后，再向左平移2个单位长度，得到函数g()的图象，则g(-)= 2 主 12 【变式2】(2425商=上天津期丰)已知西数f(<)=4sn(or+p)4>@>0,< 的部分图象如图所示，下列说法正确的是 (写出下列选项的序号即可) YA 2 123 -2 ①.函数f)的图象关于直线x= 12对称 ②.函数的图象关于对称骨0 ③.该图象向右平移6个单位长度可得y=2sin2x的图象 2π_π ④. 函数f(x)在3,6] 上单调递增 【变式3】(24-25高一上·黑龙江绥化期末)函数f()=Asin(or+p)(A>0,o>0, <2)的部分图象如图所示，将函数f)的图象向左平移3个单位长度后得 到y=()的图象，则下列说法正确的序号是一 ①p: ②函数8(x)为奇函数： 3 ③函数g(x)的最小正周期为π： ④函数g(:的图象的对称轴为直线x=机+k∈刀： 6 ⑤函数g)的单调递增区间为2 +ka+ka&eD. 题型05函数y=Asin(@r+p)的图象与性质的综合应用 【典例1】(26-27高三上新疆鸟鲁木齐阶段检测)函数f(x)=4cos(or+p)(w>0, -π<p<π)的部分图象如图所示. B 2 A 5π 12 (1)求函数f()的解析式： (2将该函数的图象向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵 4π 坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(女)的图象，当x∈元，3时，求 g(x)的值域. 【典例2】(26-27高三上北京阶段检测)已知f(x)=4si血(or+p(x∈R),其中A>0, 0>0,0<p< 2,f(x)的部分图象如下图所示： x02π 3 x0+2 -2 (1)求f(,)的解析式和单调增区间： π3π1 2)当x124]时， 若函数g(x)=f(x)-m恰有两个不同的零点x和x,直接写出m的 取值范围. 【变式1】(26-27高三上天津北辰·阶段检测)已知函数 f(x)=Asin(ox+p)(A>0,0>0,0<p<)在一个周期内的图象如图所示. y V2 12 (1)求f(x)的解析式： (2)求f()的单调递增区间： (3)求f()的对称中心和对称轴. 【变式2】(26-27高三上湖南株洲开学考试)已知函数 f(x)=Asin(ox+p)+k(A>0,o>0,0<p<m)在一个周期内的图象如图所示. V2 O 11元 6 12 (1)求f(x)的解析式 (2)求f(x)的单调递增区间： 3)求fy在区间0,2 上的值域。 【变式3】(2026高一全国专题练习)已知函数f)=Asin(ar+)(>0,0>0,0< 2) 的部分图象如图所示，其中点6的坐标为石2点p 7π 的坐标为 E 7π 24 12 (1)求A,0,P的值，并求(x)的单调递增区间： 2若e厂引 6':fx)-fx≤m,求m的最小值. 题型06函数y=Asin(ox+p)的图象与三角恒等变换 【典例1】(26-27高三上黑龙江哈尔滨开学考试)已知函数f(x)=Asin(@x+p)(其中 D0:0>0:网行)的部分图象如图所示 11π 12 (1)求函数f(x)的解析式： (2)若将函数∫()的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向 2π 左平移兮个单位得到函数g(x)的图象。若对任意的x32, 都有g(x)≥m恒成立， 求实数m的取值范围. 【典例2】(25-26高一下·河北承德期末)若将函数y=∫(x)的图象上所有的点向左平移 受个单位长度，得到函数y=g)=6i如(or+p)(0:o>0·网<受)的部分图象 如图所示. 段 -2 (1)求函数y=f(x)的解析式及其单调增区间： a西藏回-[V-4因+a在上有准专点，求实数。的取在范围 【变式1】(2526高一下湖北随州期末)已知函数f)-sin(ox+p@>0,网<的部 分图象如图所示. 5π 12 12 1)求f(x)的解析式： 2)将f四)的图象向左平移6个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数y=g()的 图象，若g闪在区间受孕上有三个零点，求实数a的取值范国。 【变式2】(25-26高一下河南南阳期末)已知f(x)=cos(ox+p)(0>0,0<0<)的部分 图象如图所示 (1)求f()的解析式： a若8)=x+f名，求g问在[0，可上的值域： π (3)若把f(x)的图象向右平移6个单位后得到函数p(x)的图象，设h(x)=p(3x)+p(2x), 求h(x)在(-π，0)上的零点之和. 【变式3】(2526高一下·河南新乡·期末)已知函数 fd=4sn(or-pj4>00>0受p<元） 的部分图象如图所示. 12 1)求f(x)的解析式： 2I[后， 恒有f(x)-f(x)≤a,求实数a的最小值： B老xe[晋引江有[V--4s0,求实数n的取植范国. 第四部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1.(2526高一下资州遵义期中)要得到两数y=5血2x+的图象，只需将函数 y=sin2x的图象() A.向左平移4个单位 B,向左平移8个单位 C.向右平移好个单位 D.向右平移餐个单位 2.己知函数f(x)=sin ox+》 +6)(@>0)的图象向右平移3个单位长度后与原图象重合，则 0的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 3.已知函数f()=sm2x+写， 将f(x)的图象向左平移p（p>0)个单位后所得函数 为偶函数，则”的最小值为() A.12 B.6 C.4 D.3 4.(25-26高一下湖南娄底期末)要得到函数y=sin x- 3的图象，只需把函数 y=sinx的图象() A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向左平移。个单位 D.向右平移)个单位 5.(25-26高一下全国单元测试)若函数y=sin(x+p)的一个对称中心为 ,0 、6 则函数 y=cos(x+p)的一条对称轴为() A B.x=I 6 Cxπ 4 6.(2526高三上宁夏银川期末)已知函数/(y=2im2x+石)的图象为乙，为了得到函 .π 数8(x)=2cos 5π 2x- 6 的图象，只要把工上所有的点()· A,所有横坐标向左平移6个单位长度 B,所有横坐标向右平移4个单位长度 C.所有横坐标向左平移牙个单位长度 0。所有横坐标向右平移名个单位长 度 7.《多选)(25-26高一下江西上饶阶段检测)函数(：)=3im2x-4)的图象向左平 移8个单位得到函数y=g(x)的图象，下列说法中正确的有(） A.f(x)与8(x)有相同的最小值 B.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 c.f(x)与8(x)有相同的对称中心 D.f()与g(y都在0,4上单调递增 8。(多选)(25-26高一上安徽黄山期末)函数f()=Asin(@x+p0>0m<的图 象如图所示，则下列说法正确的是() 珠 2 9π A.函数f(x)的最小正周期为π C.f取得最小值时，x=akeZ D.将y=f的图象向左平移4个单位长度，所得图象关于原点对称 9.(2526高下上海期中)已知图数f()=sm2x+, 若函数y=f(x-p)的图象关 于y轴对称，则P的最小正值是 10.(25-26高三上·北京·阶段检测)如图为函数 f()=kin(@x+4>0o>00<号xeRW)的部分图象，则y=f)函数解析 O 式为. 若g(x)=[f(x+f(x),则8(x)的最大值为 12 2 B能力提升 1.(25-26高一下河北衡水阶段检测)己知函数f(x)=V3cosr-sinx，先将y=f()图象 上所有点的横坐标缩短到原来的)，再将图象向左平移2个单位长度，得到函数y=g(x) 若写5且+（引4，则5-的最小值为） A. 2.(25:26商-下辽宁大连期未)将函数国=sinx+)〈0>0：1p水至)的图象向 左平移θ个单位长度得到函数g()的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为2，且 ,则() y=fx) 6 A. 号 c D.0 3.(多选)(2627商三上蛋庆阶段检测)已知f)=n(@r+j4>0o>0< 部分图象如图所示，则下列说法正确的是() 2 -2 A.0=2 (7 B.f)关于20对称 C.若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到的函数为奇函数，则m的最小值 为3 D若方程日1在[0引上有且仅有一个实数解，则，的取道范围为点同 4.(2026北京海淀三模)已知函数f八)-=cx+}m-》,则了)的授大值为 将函数f(x)图象向右平移p个单位(0<p)得到函数8(x),若对任意xR,都有 g(x)+g(-)=0成立，则常数p的最小值为 5.(26-27高一上湖南邵阳开学考试)己知函数f(x)=sin2x-V5cos2x. (1)求函数∫(x)的最小正周期及对称轴： 2)求函数y=f(x),x∈[0，刘的单调区间： (3)将函数f(x)的图象向左平移，个单位，得到函数g(x)的图象.若方程g(x)=1在区间 [0引上恰有两个不同的实数解，求实数，的取值范围。 C综合素养 1.(24-25高一上四川泸州阶段检测)己知函数f=si(r+p0>0,0<p<相邻两 条对称轴的距离为2· (但)当=时，求函数y=)的最大值，并求出取得最大值时所有x的值： 2若f内为偶两数。设8(=x+骨)，求g)的单调递塔区间： 包设=o+s+子f过友间后已知实数aE0小：若对f意50孕时。 都存在西孕.使得)+。-设立，这样的实克，是否有在若存在，求 出a的最小值，若不存在，请说明理由 2.(2526商一下辽宁大连期未)已知西数f()=n2x++ox-smx (1)若A=1,求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间； 2若西数)y=了满足（居仔+ (i)求A的值； m若方程2+/2x+)m在区间0 上至少有两个不同的解，求m的取值范 围 3.(2526高一下贵州遵义阶段检测)已知函数f()=sm(@r+p)+b0<<的最小 3 正周期为π，最大值为2(0)=1. (1)求函数∫(x)的解析式和单调递减区间： (2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 ππ 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.设函数(x)=g(x)-m在区间3'2上有两个不 同的零点，求实数m的取值范围. 4.(2526高一下河南焦作期末)已知西数f()=sm@x+》@>0)的部分图象如图所 示，点A为函数f(x)的图象的最低点，B,C为函数f(x)的图象与x轴的交点，且△ABC 是等腰直角三角形 (1)求f(x)的解析式： @诺关于x的方程/(m)0m>0)在0.2上只有2个解，求实数m的取值范围 5.(2526高-下上海期末)已知函数f()=2smor-君o>0),且f)图象的相邻 两个最高点间的距离为π. (1)求函数f(x)的所有零点： 2当fa)-时，且a64),求sn2a的值： 7π (3)设m∈R,将函数f(x)的图象向左平移12单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标 [π2π 不变)，得到函数gy)的图象，若对任意，一63」 都有g(x)-g(:)<m,求 m的取值范围. 第11讲5.6.2 函数的图象 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点二：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点三：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 第三部分 题型精讲 题型01利用“五点法”作函数的图象 【典例1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【详解】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 【典例2】（23-24高一下·四川成都·阶段检测）已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用五点作图法即可得解； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，结合图象即可得解. 【详解】（1）因为， 则列表如下： 所以的图象如图， （2）因为，所以， 又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图， 因为方程在有两个不同的实数根， 所以与的图象有两个交点，故或. 【变式1】已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    【答案】填表： 0 x 0 0 2 0 函数图象如图所示： 【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）. 【详解】略 【变式2】（25-26高一上·浙江湖州·期末）设函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图； 0 x    (3)求函数，的值域. 【答案】(1)， (2) 0 x 1 0 0 1      (3) 【分析】（1）根据周期公式，可得值，代入解析式，根据条件，化简计算，可得值. （2）由（1）知，，根据余弦函数的图象与性质，完成表格，作出图象即可. （3）根据诱导公式、两角差的余弦公式、辅助角公式，化简整理，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的性质，即可得值域. 【详解】（1）由，得， 由，即， 又，所以. （2）由（1）知，， 表格为 0 x 1 0 0 1 再作出图象      （3） ， 由，得， 当时，， 当时，， 所以，即值域为. 【变式3】已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1) ，补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1）略； （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 题型02同名三角函数的图象变换 【典例1】（26-27高三上·山东日照·开学考试）为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数变化判断图像平移的方向和长度. 【详解】已知原函数， 为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为， 所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度. 【典例2】（25-26高一下·贵州安顺·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】选项A，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项B，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，正确. 选项C，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项D，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的函数为，错误. 【变式1】（2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 【变式2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律， 将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度， 即可得函数的图象. 【变式3】（25-26高二下·天津红桥·期末）为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（     ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数图像的平移变换即可求解. 【详解】将上所有的点向左平行移动个单位长度得函数. 题型03不同名三角函数的图象变换 【典例1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】设将函数的图象向右平移个单位， 则， 故， 取得，故需将函数向右平移个单位长度． 【典例2】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换即可得到的值． 【详解】由，， 因为， 则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象， 因为函数的最小正周期为， 则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象， 所以． 【变式1】（24-25高一上·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度即可得到， 即得到函数的图象. 【变式3】（多选）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的图象变换，得到的图象，由，求得，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得周期为， 因为函数的图象向右平移个周期后， 得到的图象， 又因为， 所以，所以， 令，解得，所以A错误； 令，解得，所以B正确； 令，解得，所以C错误； 令，解得，所以D正确. 题型04 由的图象确定其解析式(或参数值) 【典例1】（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最值可得，代入点可得，代入点结合函数周期性可得，即可得函数的解析式，结合函数图象变换运算求解. 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 【典例2】（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论： ①的最小正周期为；②的最大值为2； ③；④为奇函数. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①②③④ 【详解】由图像，得函数的最小正周期，故①正确． 又，解得，即， 又， 所以，结合，得，即， 又，所以，即， 所以函数的最大值为2，故②正确． 又，故③正确． 又因为，所以， 所以为奇函数，故④正确． 【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图是函数的部分图象，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________． 【答案】0 【分析】根据函数的图象及性质，求得，结合三角函数的图象变换，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得， 所以，可得，所以， 又由，可得，即， 可得，解得， 因为，所以，所以， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，可得 再将其向左平移个单位长度，得到， 所以. 【变式2】（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是________．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【答案】①③ 【分析】根据函数图象结合正弦函数图象性质求出函数的解析式，然后逐项分析即可. 【详解】由图可知，设函数的最小正周期为， 则，所以，由及， 又，所以， 又，所以， 所以， 对①：由，即， 令，则为函数的一条对称轴；故①正确； 对②：由，即， 令， 故函数的图象不关于点对称，故②不正确； 对③：的图象向右平移个单位长度可得： ，故③正确； 对④：因为，所以， 由函数在上不单调， 所以函数在上不单调；故④不正确； 故答案为：①③. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的序号是______． ①； ②函数为奇函数； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象的对称轴为直线； ⑤函数的单调递增区间为． 【答案】①③⑤ 【分析】由函数的部分图象求出、和、的值，写出的解析式，利用图象平移得出的解析式，再逐一判断即可. 【详解】由函数的部分图象，得，周期， 则，由，得，， 而，因此，，， 对于①，，①正确； 对于②，，不是奇函数，②错误； 对于③，函数的最小正周期为，③正确； 对于④，由，解得，， 所以图象的对称轴为直线，，④错误； 对于⑤，令，解得，， 函数的单调递增区间为，⑤正确， 所以说法正确的序号是①③⑤. 故答案为：①③⑤ 题型05函数的图象与性质的综合应用 【典例1】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象最高点确定，利用个周期长度求出，再代入最高点坐标结合的范围求出； （2）根据图象变换规律求出的解析式，再利用余弦函数的性质求出给定区间上的值域 【详解】（1）解：由图象可知，函数的最大值为，所以. 观察图象，点为函数图象下降过程中的零点，点为函数图象的最高点， 所以，解得. 因为且，所以. 此时，将点代入解析式，得 ， 即 . 所以 ，解得 . 因为 ，令，解得. 所以函数的解析式为 . （2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象； 再向上平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍 得到的图象. 因为，所以 . 由余弦函数的性质可知，当 ，即时， 取得最小值； 当或时， 取得最大值. 所以 . 所以 . 故函数的值域为 . 【典例2】（26-27高三上·北京·阶段检测）已知，其中，，，的部分图象如下图所示： (1)求的解析式和单调增区间； (2)当时，若函数恰有两个不同的零点和，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，单调增区间为，； (2)或。 【分析】（1）根据周期求得，再根据最值得到，代入最低点坐标求得，从而得到，再利用整体法求得其单调增区间； （2）转化为直线与有两个交点即可. 【详解】（1）记函数的最小正周期为，由图知， 所以， 因为最低点为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以， 所以， 由， 解得， 所以单调增区间为， （2）令，即， 则直线需要与，的图象有两个交点， 因为， ， ， ， 则由图知：或． 【变式1】（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的对称中心和对称轴． 【答案】(1) (2) (3)对称中心，0；对称轴+ 【分析】（1）由图象求出、，由图象过点求出可得答案； （2）利用正弦函数的单调性可得答案； （3）利用正弦函数的对称性可得答案. 【详解】（1）由图象知，，所以， ， 由图象过点，代入解析式得，， 所以，因为，则， 所以； （2）令， 解得， 故函数的单调递增区间为； （3）由得， 所以的对称中心为， 由得， 所以的对称轴方程为，. 【变式2】（26-27高三上·湖南株洲·开学考试）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求的解析式 (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的图象确定的值，然后根据图象经过的点坐标求出. （2）根据正弦函数的单调性求出单调区间即可. （3）根据正弦函数的性质求出值域即可. 【详解】（1）由图象知，，所以， 由图象过点，代入函数得， 所以，，因为，则，所以． （2）令，，解得，， 故函数的单调递增区间为． （3）因为，所以，当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的值域为． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知函数（）的部分图象如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求的值，并求的单调递增区间； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)，，；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数图象可求得周期，即可计算出，结合点的坐标进而可求得和的值，并求出单调递增区间； （2）求出函数在区间上的值域，再由不等式恒成立计算可得的最小值． 【详解】（1）由题意知，，得， 则函数， 又，且位于增区间内， 可得， 又，当时，， 即函数， 令， 解得， 所以的单调递增区间为． （2）因，则，可得， 所以， 即的最小值为． 题型06 函数的图象与三角恒等变换 【典例1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象的最高点确定振幅，利用周期性确定，再代入特殊点坐标结合的范围求出初相； （2）根据三角函数图象变换规律求出的解析式，将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值问题. 【详解】（1）由函数的图象可知，函数的最大值为2， 因为，所以．观察图象，函数在处取得最大值，在处经过平衡位置且单调递增， 所以，解得.因为且，所以， 此时，将点代入函数解析式，得， 所以，解得. 因为，令，得． 所以函数的解析式为． （2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍， 得到函数的图象. 再将其图象向左平移个单位，得到函数的图象， 则. 因为，所以． 由余弦函数的性质可知，当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． 又因为，，且， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 若对任意的，都有恒成立，则，即． 所以实数的取值范围是． 【典例2】（25-26高一下·河北承德·期末）若将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调增区间为 (2) 【分析】小问（1）根据题目的图像解出相应的未知数从而解出，再根据题目条件求出，再根据正弦函数的单调性求出的单调增区间； 小问（2）求出的取值范围，再将转化成一个一元二次函数，在这个一元二次函数中进行求解. 【详解】（1）由图像可得，周期， 因此，解得，即， 将代入得，即， 又因，所以，解得，所以， 根据题目条件可得. 已知的单调增区间为， 所以的单调增区间满足：， 解得， 因此的单调增区间为. （2）当时，则， 因此，令，则， 则， 令，其对称轴，且其为开口向上的二次函数， 因此在内单调递减， 要使在上有唯一零点， 结合的图像可得只有当或时，满足题目要求，即或， 当时，当或，满足题目要求， 当时，，解得， 当时，因为在内单调递减， 所以，即， 解得； 当时，，解得； 综上. 【变式1】（25-26高一下·湖北随州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式； （2）由图象平移写出的解析式，问题化为在上只有3个解，由正弦型函数性质求在区间的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由图可知：函数的周期， 又，所以． 又因为，即， 则，即， 由，可知，所以． （2）依题意可得：， 在区间上有三个零点， 即函数与函数在区间上有三个交点， 令，即与函数在区间上有三个交点， 结合图象可得：，即有． 【变式2】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，求在上的值域； (3)若把的图象向右平移个单位后得到函数的图象，设，求在上的零点之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象可求出函数的最小正周期，可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）解法一：利用诱导公式化简得出，由可求出的取值范围，再结合余弦函数的基本性质可求得在上的值域； 解法二：利用三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再结合余弦函数的基本性质可求得在上的值域； （3）利用两角和与差的余弦公式化简得出，然后分别解出和在时的解，即可得出答案. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 由图可知，则，所以，即， 又因为，所以，， 因为，所以，，所以． （2）解法一：由（1）知， 则． ． 因为， 所以． 因为，即，所以， 即，所以在上的值域为； 解法二：由（1）知， 则， ， 则 ， 因为，即，所以， 即，所以在上的值域为． （3）由题知， 则， 所以 ， 令即，则或． 当时，，，即，． 因为，所以，化简得：，， 则，或，． 当时，，，即，， 因为，所以， 化简得：，，此时不存在，即无解. 故在上的零点之和为． 【变式3】（25-26高一下·河南新乡·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若，恒有，求实数的最小值； (3)若，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先由图象最值确定振幅，再代入已知点坐标结合的取值范围求解，最后代入最高点的坐标，结合周期的取值范围确定，即可得到函数的解析式. （2）先求解时的值域，，恒成立等价于在该区间上的最大值与最小值的差不大于，据此可求得的最小值. （3）先求解时的取值范围，通过换元将原不等式转化为二次函数在上的恒成立问题，结合二次函数的图象性质，只需区间端点处函数值小于等于0即可求解的取值范围. 【详解】（1）由题意得，所以．       因为的图象经过点，代入可得或，， 又，所以．          再将代入，可得， 解得，．          设的最小正周期为，观察图象可得，解得， 结合式可得，所以． （2）若，则，， 所以．          要使对任意的，恒有，只需， 即，故的最小值为． （3）若，则，所以．    令，则，，恒成立，等价于，恒成立，             所以 解得，即实数的取值范围为． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】利用三角函数图象的平移变化规律求解即可. 【详解】向左平移个单位后得到，故A错误. 向左平移个单位后得到，故B正确. 向右平移个单位后得到，故C错误. 向右平移个单位后得到，故D错误. 2．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将“图象平移后与原图重合”转化为“平移距离必为函数最小正周期的整数倍”，即可求得的最小值. 【详解】由题意得，， 且有，即，所以. 3．已知函数，将的图象向左平移（）个单位后所得函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将的图象向左平移个单位得为偶函数 所以， ，取得. 4．（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【详解】函数图象左右平移，依照左加右减的法则， 把的图象向右平移个单位，可得到的图象. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正余弦函数的图象及性质判断即可. 【详解】结合正余弦函数的图象可知， 的对称中心和的对称轴在一条直线上， 所以若的对称中心为， 则函数的一条对称轴为． 故选：B. 6．（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知函数的图象为L，为了得到函数的图象，只要把L上所有的点（    ）． A．所有横坐标向左平移个单位长度 B．所有横坐标向右平移个单位长度 C．所有横坐标向左平移个单位长度 D．所有横坐标向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】先使用诱导公式将转化为与同名的三角函数，设出使，即可求得的值，即图象向右平移的单位长度. 【详解】因为, 令， 令，解得， 故需要把L上所有的点的横坐标向右平移个单位长度. 故选：B. 7．（多选）（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列说法中正确的有（     ） A．与有相同的最小值 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的对称中心 D．与都在上单调递增 【答案】ABD 【详解】的图象向左平移个单位得到的函数是， A选项，最小值为，最小值为，所以A选项正确； B选项，最小正周期值为，最小正周期值为，所以B选项正确； C选项，令，解得对称中心为，其中， 令，解得对称中心为，其中，所以两者的对称中心不一样，所以C选项错误； D选项，当时，，此时单调递增，，所以单调递增，所以D选项正确. 8．（多选）（25-26高一上·安徽黄山·期末）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】AC 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；代入点，计算出的值，可判断B；利用三角函数求出取得最小值时的，可判断C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得， 又由图象知，将点 代入中得： ，即 ， 解得 ， 又因为 ，所以 ，故选项 B 错误； 因为函数 ， 令 ，即 ， 解得 ，故选项 C 正确； 将图象向左平移 个单位，得 ， ，图象不关于原点对称，故选项 D 错误. 故选：AC 9．（25-26高一下·上海·期中）已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________ 【答案】/ 【详解】由题意得，，其图象关于轴对称， 则，得， 故的最小正值是. 10．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图为函数的部分图象，则函数解析式为__________，若，则的最大值为______. 【答案】 6 【分析】由函数的部分图像，先求得，，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式；再结合二次函数的性质，求的最大值. 【详解】由题意，根据函数的部分图像，可得， 由，得，则，即， 又由，即， 解得，，即，， 又因为，所以，所以. ， 由，所以时，有最大值6. 故答案为：. ；6 B能力提升 1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再将图象向左平移个单位长度，得到函数， 要使且， 则或， 所以，， 所以，，则. 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）将函数（，）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】通过三角函数图象的对称性可将阴影部分的面积用矩形的面积表示，列方程可求得θ，根据周期性可求得ω，根据特殊点可求得，进而求解. 【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即， 因为将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象， 所以，故. 又图中阴影部分的面积为，，得. 又由图象可知函数的最小正周期满足，则， 所以. 因为，所以，即. 因为，所以，所以， 故. 3．（多选）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于对称 C．若将的图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为 D．若方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】选项A，通过计算图象中最高点到相邻零点的横坐标之差得出四分之一周期，进而求得，选项B，将已知点的横坐标代入函数解析式，通过检验其函数值是否为零来判断该点是否为对称中心，选项 C，写出平移后的函数表达式，利用奇函数的相位为的整数倍解出平移量的最小正值，选项D，计算出变量在给定区间内的整体相位范围，结合正弦函数在该范围内的单调性和极值，数形结合找出只有一个交点时的参数取值范围. 【详解】对于A，由图象知该函数的最大值为，最小值为，故， 且，即，解得， 代入得， 所以，解得， 仅取时，满足，所以，故A正确， 对于B，代入得， 故图象不关于点对称，故B错误， 对于C，， 若为奇函数，则有，即， 因为，依次取的值，当时，，此时为最小值，故C正确， 对于D，设，因为，所以， 原问题转化为在上仅有个解，如下图， 根据图象，当或时与仅有个交点， 此时，故D错误. 4．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 / 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 5．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数，的单调区间； (3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期是，对称轴是， (2)在，上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）令，则，再由正弦函数的单调性可得函数的单调区间； （3）先由平移可得，再由正弦函数性判断的单调性及值域，结合函数图象可得所求的值范围. 【详解】（1）由． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． （2）因为，令，则，由正弦函数的性质， 当，时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以，时，单调递增； 同理可得在上单调递减； 因此在，上单调递增，在上单调递减． （3）由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． C综合素养 1．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知函数相邻两条对称轴的距离为． (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，求的单调递增区间； (3)设，过点.已知实数，若对任意时，都存在，使得成立，这样的实数是否存在？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)最大值为1， (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知得，进而写出解析式，根据正弦型函数性质求最值及对应值； （2）由题意得，进而确定的解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间； （3）利用换元法求得的值域，求得的值域，进而由，进而可求得的最小值. 【详解】（1）由题知，，所以，所以，所以， 又，所以的最大值为1， 此时，即 所以取得最大值时所有的值为； （2）由为偶函数，得，又， 所以， 所以， 由，解得， 所以的单调增区间为. （3）， 令又，则，可得. 因为过点，所以， 所以，即， 又，所以， 因为，所以， 所以，所以， 由题意知，只需， 所以. 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知函数 (1)若，求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数满足 （i）求的值； （ii）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)(i);（ii） 【分析】(1)合并同角三角函数后用辅助角公式求周期与单调区间； (2)（i）对称轴处函数取最值，代入相位满足最值条件求；（ii）代入化简复合函数，换元转化为二次函数值域结合交点个数求. 【详解】（1）时， ， 所以最小正周期， 令 解得， 故最小正周期为，单调递增区间为. （2）（i） 由对称性知为对称轴，此时 又因为，所以 平方整理得，解得. （ii）由(i)，得， 所以 令，，则，得 代入化简： 方程化为，， 二次函数开口向上，对称轴： 时，最小值 时，，时，. 要求方程在至少两个不同解，等价于直线与在至少两个对应的交点： 当：对应或. 当：或，对应两个不同， 当时，，对应一个， 综上取值范围：. 3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知函数的最小正周期为，最大值为. (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期、最值、特殊点函数值求解参数得到解析式，再结合正弦函数的单调区间推导的单调递减区间； （2）按照图象平移、伸缩变换规则得到的解析式，将零点问题转化为函数图象交点问题，结合在给定区间的单调性与端点取值求解的范围 【详解】（1）由函数的最小正周期为，根据周期公式，解得. 由的最大值为，正弦函数最大值为1，得，解得. 代入，得，即， 又，故，因此. 令，，得，， 即，， 即的单调递减区间为， （2）将的图象向左平移个单位长度，得. 将所得函数图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得. 因为在上有两个不同零点，等价于在该区间有两个不同实根， 即与的图象在该区间有两个不同交点. 当时，单调递增，且； 当时，单调递减，且. 又，，， 故当时，两个图象有两个不同交点，即的取值范围为. 4．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数的部分图象如图所示，点A为函数的图象的最低点，B，C为函数的图象与x轴的交点，且是等腰直角三角形． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程在上只有2个解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知函数的最小正周期，即可得，即可得的解析式； （2）分析可知关于x的方程在上只有2个解，以为整体，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 因为函数的最大值为1，则，即， 且，则，解得， 所以函数. （2）对于方程，即， 可知关于x的方程在上只有2个解， 因为，，则， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为. 5．（25-26高一下·上海·期末）已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. (1)求函数的所有零点； (2)当时，且，求的值； (3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）由题意可得，根据正弦型函数性质列式计算求解； （2）由同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式即可求解； （3）根据图象变换可得，若对任意，都有成立，则，结合正弦函数性质计算求解. 【详解】（1）因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 则函数的最小正周期，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为； （2）由，得 . 由 得 ， 又，则 ，. 故. （3）将函数的图象向左平移个单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故， 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $